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日刊ベリタに紹介された記事の要旨をご覧ください．

この図鑑（「美しい幾何学」技術評論社）には美しい図形や不思議な図形がたくさん出てきます。そのような図形の仕組みを「見ているだけで理解できるように」したいのです。数式を使えば正確な説明が楽にできますが，そのためには，たくさんの数学準備の回り道があり，焦点がぼけてしまいます。小学生から大学生まで，本書の図を眺めているうちに，図形に隠された仕組みが自ずとわかることを狙いました。普通の数学書のように抽象的な記述だけで終始しません。
内容には大学の専門課程レベルのものもあり，初めはわからないこともあるでしょうが，何度も図を見ていると，不思議なことに理解できる時がきっと訪れるはずです。

実はこの本の各章は，万華鏡で繋がっているのです．1,2章は有限図形，3,4章は周期的な空間，5章は万華鏡，6章は円による反転という数学的な鏡，7章はフラクタル操作という数学的な鏡，8章はイスラミック・デザインの特徴を鑑賞します．それは，黄金比が多く，かつ，局所的に高い対称性がちりばめられた周期平面なので，あたかも我々の住む3次元に高次元宇宙が投影されているような不思議さが魅力です．数式は極力減らしたので，楽しめると思います．

0と1だけが並んでいる語を考えます．そのようなn桁の語をn-bit語と呼びます．
連続して1を含まないn-bit語はいくつあるでしょうか．
(1)n=1のとき，そのような語は，0,　1,ですから，計2個あります．
これをa(1)=2と書きます．
(2)n=2のとき，そのような語は，00,　01,　10で，a(2)=3個です．
11は1が連続するので条件に合いません．
(3)n=3のとき，そのような語は，
n=2のときの語の末尾に0を付加した，000,　010,　100，のa(2)個，
および，n=2のときの末尾に1を付加したものと言いたいところですが，
１の連続を避けるために，n=1のときの語に01を付加し，001,　101のa(1)個で，
互いに背反するこの両ケースを合わせて，a(3)=a(2)+a(1)=5です．

連続した1のない語の数の数列a(n)は，このような手順（一般のnで成立）で作れ，
2,3,5,･････と続き，a(n)=a(n-1)＋a(n-2)が得られます．
これはフィボナッチ数列の再帰的な定義そのものです．
フィボナッチ数列F(n)は，1,1,2,3,5,･････ですから，
a(n)は3項目から始まるフィボナッチ数列です．a(n)=F(n+2)

それでは，連続した111を含まないn-bit語の数はいくつでしょうか．
これも同様な議論で，a(n)=a(n-1)+a(n-2)+a(n-3)　となることが証明できます．

（問題）n個のコインを順番に投げて，連続して表がでない確率を求めよ．
（解）連続して表の出ないに相当する語の数はa(n)=F(n+2)でした．
n個のコインを順番に投げて実現する状態数は2ⁿですから，求める確率はF(n+2)/2ⁿとなります．

今年のとっとりサイエンスワールドの3回目（in倉吉）は8月25日の日曜日でした．
in米子7月30日（参加者891人）では，万華鏡は30人x4回，in鳥取8月4日（参加者1086人）では，万華鏡は30人x5回，in倉吉8月25日（参加者1090人）では，万華鏡は30人x5回を実施しました．
いずれの会場でも晴天に恵まれ暑い中，皆頑張りました．小さい子供達も一生懸命作って，
出来上がるととても喜んで見せに来ます．誰もがみんな達成感が味わえて満足でき，楽しい経験になるでしょう．このようなことで数学や理科に興味を持つ子が増えることを願っています．

万華鏡で説明すべきことはいくつかあります．（１）合わせ鏡：１対の平行な合わせ鏡が，直線上に並ぶ像を作り出すこと．（２）像の配列は市松模様（正像と反射像が交互に繰り返す）．（３）交差する鏡の作り出す映像の配列は円上に並ぶこと．（４）鏡の交差角θの2倍が市松模様のペアに対応し，円周上で映像が規則正しくつながるための条件は．360/(2θ）＝整数［割り切れること］．
4番目の理解には，1点のまわりは360°ということを知っている必要があり，この知識は4年生で学びます．

作業には，自然に身に着いた物質を扱う手先の感覚が必要なのです．これは大人（学問のあるなしとは関係ないようです．表面張力とか粘性とか知識はあるのですが）でもできない人が多いし，小さな子供でもうまく扱える人もいる．粘性のある液体を壁伝いに流し込み試験管の底まで導き，詰め込んだガラスくずの中の空気と入れ替えることが，なかなか難しいらしい．
昔の私たちは子供の頃，毎日水遊びや泥んこ遊びをしていて，これらの物質の性質や力加減は，すっかり身についています．あたかも熟練の職人がやるように試験管を回転させながらとか臨機応変な手で簡単にできるのですが．このようなことが身についていないと職人にはなれません．
そういう意味で，数学だけを勉強するのは本当はあまりお勧めしません．

数学では，√3　などと答えるのが正しいのですが，もの作りでは1.732などと少数で答える必要があります．これらの数値で四則演算するので，工学部の学生には，有効数字という概念を，まず徹底する必要があります．そうでないと，無駄な計算を際限なくやることになります．
このようなことも，学問以前の生活で身に着けるべきことではないかと思っています．

■サイエンスワールド（8月25日）の前日に倉吉に着きましたから，以前から行きたいと思っていた三徳山三佛寺に行って来ました。絶壁の中に建つ投入堂は役行者が法力で作ったという，日本一危険な国宝です．ハイキングではなく修験道の山ですから危険な箇所ばかりで，単独行は禁止されてます．知り合いになったシニアと4人のパーティができました．私以外の3人は山のベテランでしたので幸運でした．鎖で登るのも難所でしたが，下りはもっと難しいです．しかし，皆様の指導がよく無事生還できました．私は足のしびれがあるので足が攣ったときつらかったが，なんとか持ちこたえました．筋肉痛ですが翌日のイベントも盛況に終わりホッとしています．

投込堂や危険なコースのことは，後日項を改めます．

数理資本主義の時代だそうだ．この経産省の調査報告の表題には違和感はあるが，
　GAFA（Google，Amazon，Facebook，Apple）と言われるIT企業の繁栄を見れば，
ビッグデータを解析する数学が国富の源泉である（気に入らない表現だが）という主張にも一理ある．
米国では，ビッグデータの時代を迎えて，市民への数学啓発の「数学月間」も「数学統計学月間」に衣替えしている．
日本は米国に20年は遅れているといわざるを得ない．
経産省はあせっているようだが，ことさらに利用できる数学をそのように強調し，
強者になるための道具にすることには違和感がある．
高い年収が得られるとのキャンペーンに動かされて数学を職業とするのでは本末転倒，底が浅いと言わざるを得ない．

これまで，電気電子，計測などの工学部が応用数学の研究と教育を担っていたが，
コンピュータの発展により，数学能力が低下したのは事実と思う．
例えば，理論を何も知らずとも優れたコンピュータ・ソフトを操り，
良い結果を得る状況はしばしば目撃してきた．
しかし，これからのAI（ディープラーニングなど）は，コンピュータ・ソフトを使いこなしてもダメで，
データ・サイエンスの基礎となる数学（確率，統計，情報理論，グラフなどの離散数学，
線形代数，離散Fourier，トポロジーなど）は何でも総動員する．
近年，日本でも工学部にデータ・サイエンス部門が新設され始めている．
データ・サイエンスの基礎となる数学を扱うカリキュラムを作り出す工夫が最も重要であろう．

私は「数学では物は作れない」という意見も正しいと思う．
データ・サイエンスもデジタル制御も強力なコンピュータがあって初めて出来る．
そして，コンピュータが扱うのは数値（解析や予測）のみである．
工学は具体的に物や反応に働きかけねばならない．コンピュータ全盛前には
アナログ制御も工学が応用数学を発展させすばらしい成果を出しているではないか．
これまでの応用数学に敬意を払おう．
「コンピュータは役に立つが数学は役に立たない」とは誰も思ってはいないはずだ．

■2次元，3次元の格子点に配置された約数構造
左図の2次元格子｛2ⁿ･5^m｝は，素数２および５が生成する２つの1次元格子｛2ⁿ｝と｛5^m｝の直積で生まれる．10の2次元約数構造が，それぞれ格子点に配置されたものとみなせる．

右図の3次元格子｛2^p･5^q･3^r｝は，３つの素数2,5,3がそれぞれ生成する1次元格子｛2^p｝，｛5^q｝，｛3^r}　の直積で生まれる．これは，30の立方体約数構造が，3次元格子点に配置された構造とみなせる．

■4次元約数構造を，新設した1次元格子の格子点に配置してできる4次元＋1次元格子の約数構造で，この格子点は37037（右端の4次元超立方体）の約数構造と，新設した素数3の1次元格子｛3ⁿ｝との直積で得られる．

■まず210の約数の構造を例に，亀井図の性質を調べてみましょう．
210の約数の系統的な構造は，4次元の超立方体と同じ構造です．

210は4つの互いに素な素数の積210=2･3･5･7から出来ているので，4次元超立方体と同じ構造です．
頂点１のレベルには1個，頂点２のレベルには，4つの素数で4個．頂点６のレベルには，２つの素数の積で，4C2=6個．頂点30のレベルには，３つの素数の積で，4C３=4個．頂点210のレベルは，4つの素数の積で，1個です．4次元の超立方体には対象心があり，互いに点対称な頂点の積は210になることも理解できます．
4次元の超立方体の１つの次元（例えば，素数2の方向）を消すと，3次元の立方体の２つに分離します．同様なことを，それぞれの3次元立方体で考え，例えば，素数7の方向の次元を消すと，3次元の立方体は2次元の面（例えば1-3-15-5）に分離します．

このような性質を利用して，さらに高次元の6次元や7次元の超立方体を，同様に作れます．

■こんどは，5次元の超立方体を調べます．2310を素因数分解すると,2310=2･3･5･7･11ですから，2310は5次元の約数構造を持つ最小の数であるはずです．

この5次元の超立方体は，素数２の方向の次元を消し去ることで，4次元の超立方体1155と2310の2つに分離することはお判りでしょう．
5次元空間は，1次元空間と互いに直交する4次元空間の直積で表現できるからです．
あるいは，互いに直交する2次元空間と3次元空間の直積ともみなすことができます．
例えば，2次元空間の代表を1-2-6-3とし，3次元空間の代表を385とすると，
385，770，2310，1155　の４つの３次元の立方体を見ることができるでしょう．

続く⇒亀井図を素数のべき乗が作る1次元格子で拡張する

今日は広島原爆の日です．7月22日の数学月間懇話会では，秋葉忠利（前広島市長）さんの講演がありました．私も，秋葉さんの著書「数学書として憲法を読む」を今読んでいます．
憲法の明文規定を公理として読むと，いくつかの定理が導けるというものです．
そのような定理の１つに，改正してはいけない条項の存在があります．例えば9条や11条はそのような条項で，改正すると自己矛盾を起こします．

8月4日は，とっとりサイエンスワールドin鳥取市でした．多くの高校生，中学生ボランティアの参加がありました．全参加者は，1,086人ということです．万華鏡は5クラス実施し120人が万華鏡を作りました．

■約数の構造をわかり易く表示するグラフ（亀井図）について取り上げましょう．この詳細は，
亀井喜久男；1992年数理科学，1992年1月号，p68-73によります．

このようなグラフには数学のいろいろな分野で出会うことがありますから，その性質や応用をじっくり考えてみると面白いでしょう．数学月間の会でも，このようなグラフ（亀井図）について学ぶ機会を企画したいと思っています．

約数の構造に関しては，数学Aの研究課題として高校生にもなじみやすいものであるし，
高次元立体の解釈にも発展できるので興味深いものです．亀井氏は多元構造図とも呼んでいます．

 ■まず実例を示しますので慣れましょう：

（１）30の約数の構造．30=2･3･5

(2)　210の約数の構造．210=2･3･5･7

(3)　2310の約数の構造．2310=2･3･5･7･11

今回ここで見た30，210，2310の約数の構造は，それぞれ3次元，4次元，5次元の超立方体と同じ構造のグラフとなりました．大変興味深いことです．

7月28日（日）はとっとりサイエンスワールドin米子でした．891人の参加者があり，万華鏡は30人クラスを4回で120人が作りました．前日の27日（土）は米子がいな祭りで街は大変な賑わいでした．

さて，米子にあるとっとり花回廊で，期間限定の鏡の迷路をやっていることを知りました．どんなものかちょっとでも見たかったので，帰りに寄ることにしました．オープンが10時で帰りのシャトルバスが10時30分ですから，歩く時間を入れると迷路に居たのは数分でした．急ぐほど迷い込んでしまいますから，速く脱出出来て良かったのですが，もう少しゆっくり楽しみたかったです．

鏡の迷路は正3角形のタイル張りの世界を鏡で作っています．セルが正3角形だと隣のセルへの通路が３つですが，どれを選ぶか迷います．もしセルが正6角形で蜂の巣様だったら通路は6つあり，ものすごく面倒な迷路になるでしょう．作ってみたいものだと思いました．2列に並んだ正6角形セルの帯の上で，１つのセルから逆戻りしない条件で，ハチが移動するとして，n番目のセルにたどり着く異なる道の数はフィボナッチ数列1,2,3,5,8,･･･で増加することが証明されています．セルの数が増えればものすごく面倒な迷路が作れるでしょう．
■肝心の万華鏡のワークショップの様子レポートは，次の写真をご覧ください．

本日7/22は，先の号でお知らせした数学月間懇話会を開催しました．
たいへん楽しい会で懇親会も盛り上がりました．
プログラムは以下の様でした．
１．片瀬豊さんと数学月間，谷克彦
２．教育数学と高大接続，岡本和夫
３．数学書として憲法をよむ，秋葉忠利

今回のメルマガでは３の内容の一部だけのホットな速報です．
秋葉忠利（前広島市長）氏の講演は，同名の書籍の発売に合わせタイムリーです．
都合に合わせた解釈や改憲がまかり通るようではなりません．
この時期に特に国会議員は心して読むべきでしょう．
憲法の全体は，無矛盾，自己完結するとして，文字通り憲法を公理の集まりと見て
素直に読んでみます．すると，論理的にいくつかの結論（定理）を導くことができます．
まず面白いのは，
憲法改正の手続き規定である96条の対象にならない「改正不可条項」があることが示されます．
改憲禁止の条項があるとは明示されてはいないが，論理的にそのような結論になる条文は
かなりの数（8か条）あることを論理的に導いています．改正不可能な条文もいれて，
改正の対象にならない条文は30か条を超えるそうです．また，96条は改憲のための必要条件に過ぎないそうです．
義務という言葉は素直に法的義務と読むべきなのですが，
都合の悪いところは道義的要請とよむ「憲法マジック」が通用しているそうです．
99条に対してそのような曲解がなされています．
「国民の総意」というのは大事な文言ですがその意味するところは深いですね．
多数とは違い総意なのです．ゆっくり読んでみましょう．

以下の写真はオーボールという赤ちゃんのおもちゃです．

球の表面は互いに接する大きい円20個と小さい円12個でできています．
円を正多角形にすれば，いわゆるサッカーボールの形で，正6角形20個と，正5角形12個です．
正12面体と正20面体は互いに双対な多面体で，
オーボールの小さい円は正12面体の面，大きい円は正20面体の面に対応しています．
オーボールの大きい円は正12面体の頂点，小さい円は正20面体の頂点になり，
両者の頂点32個でできるサッカーボールに双対な多面体は菱形30面体です．

菱形面の対角線比は黄金比です．
さて，大きい円と小さい円の半径の比はいくらでしょうか？
（解答）これはC60（フラーレン分子）と同じ形なので，
正5角形の1辺も正6角形の1辺も同じ長さ（C-C結合のボンド長）ですから，
オーボールの大きい円と小さい円の半径の比は，
辺の長さの等しい正5角形と正6角形の外接円（あるいは内接円）の半径比となります．

■不特定市民を対象に数学への共感を呼びかけるMSAM
米国の数学月間MathsAwarenessMonthは1986年のレーガン宣言により始まりました．
1989年には昭和が終わり，1991年はベルリンの壁崩壊，ソ連邦解体と続きます．1990年には日本の製造業（例えば半導体）は世界一位になります．レーガン宣言は「数学は万学の基礎であり，国力（産業）の基礎である」と謳い，工業力の基の数学力の低下の危機をくい止めようとの政策でした．こうした背景下で，1986年に創始された数学月間MAMは，毎年その年の統一テーマ（1994数学と医学，1995数学と対称性，etc.）を決めて，大学などを拠点に，毎年4月に全国各地で展開されます．統一テーマの変遷をみると公平に見て非常に納得のいくものです．数学関連4学協会が協力したJPBM(Joint Policy Board for Mathematics)が次年のテーマを決め実施します．
日本では，米国のように社会と数学は無縁でないことを啓蒙する動きは弱く，小林昭七教授から米国MAM情報を聞き監視していた片瀬さんが，見かねて日本の数学月間を提唱（2005年），私たちのボランティア活動が始まりました．米国に20年遅れていますし，その規模は比較にもなりません．
■90年代は，世界的な生産の空洞化の始まりです．それ以前から起きていた理数科離れは，これによりさらに加速されます．80年代は，サンシャイン計画，超LSI技術研究組合など，官民共同の技術開発が隆盛で，私たちもアモルファスシリコンの研究をしました．成果が出て技術が完成しても，商品とならないことを，このとき私も経験しました．製造コストで中国に負け生産の空洞化の連鎖が続きます．研究費削減，技術者集団の解散冷遇の社会が，理数科離れのもとになったと思っています．1990年に世界の頂点に達した日本の半導体技術も，その後は衰退の一途でした．
空洞化はグローバル企業による属国化を進め，ラチェット原則による規制撤廃，労働者の流動化，などは，国家の主権を守れず民主主義の危機に陥っています．
■90年代は日本では理数科離れとゆとり教育の時代でした．米国も同様に理数科離れはあったのですが，米国の数学月間MAMは，数学と社会のかかわりを数学の入門から先端まであらゆるレベルで学習できる非常に優れた指標を与えました．
2017年からMAMは統計学Statisticsを加えてMSAMになりましたが，これもGAFAで象徴される大量情報の状況に対応したものです．STEM教育という科学技術工学数理の融合重点教育も米国で始まったものです．
市民に対して数学への共感を惹起する，米国のMAMやMSAMのような活動が日本でも重要です．

■生徒を対象に豊かな数学を体験させるNMF
米国国民数学祭りNationalMathsFestivalは，MSRI(Mathematical Sciences Research Institute) がMoMathなどと協力し,毎年5月［今年は4日（土）］に，ワシントンDCと40州の科学博物館で実施しています．あらゆる年齢層の2万人の参加者があります．もう少し地道に，学校カリキュラムや試験準備でない豊かな数学能力を育てる活動が，米国の「数学サークル」や「数学の月曜日」です．学校カリキュラムと併用するので，能力別教育により個性を伸ばすことができます．
日本のゆとり教育は，意欲のある生徒と有能な教師にとっては有効であったが，画一的な教育では時間の浪費になりました．
•数学サークル（月1，地域の大学に実施）
•数学の月曜（週1の昼食時，ゲームなどの教材がある）

■ゆとり教育は2002年から実施され2008年に終わりました．学力低下の弊害などが指摘されています．しかし，その理念は競争社会へのアンチテーゼであり，望ましいことでした．「総合的な学習の時間」が作られ，豊かな学習プログラムが可能になり，私なども全国各地の学校に行き万華鏡の授業をしました．子供達には楽しいイベントになり，ほんの少しは数学に興味を持ったでしょう．面白いところだけやる一回きりの授業ですから，毎日授業をしている先生方にはずいぶん迷惑をかけたのではないかと思います．
■ゆとり教育では，少数点以下１位の数までしか使わないとか，円周率は３にするとかがよく例にされます．これは，計算を簡単にして，主題の問題に思考を集中するためなのでしょうが，数字の概念を歪めてしまう欠点があります．数直線上の点は連続で，実数に対応します．「実数」という述語はまだ使わないとしても，将来出会う概念の準備をしたい．「整数」は「実数」のうちの特別なもの．「実数」には分数で記述できる有理数と，分数では記述できない無理数があること．円周率は無理数であることに気づくときがいずれ来ます．自分の知っていた数が属する広い数の世界の体系に感動するでしょう．円周率が整数であるかのような単純化は有害です．

ゆとり教育が終わり，新指導要領とのことですが，分数は分母が2の冪乗のものと，その他の数の場合とは，別々の年度で教えるそうです．2の冪乗は丸いピザの分割で説明しやすいというのがその理由だそうです．しかし，分数の定義では何等分でも一貫したやり方が，概念の把握を明確にします．わかり易くしようとして，数学概念をゆがめるのは有害です．
■さて，ゆとり教育の始まる以前の80年代から，理数科離れと学力低下は始まっていたようです．このような社会風潮は，90年代に始まる産業の空洞化と無縁ではないと思います．報われない技術者と社会の数学軽視の風潮，両親の数学軽視は子供の理数科離れを生み，産業の空洞化はさらにその傾向を加速する負のスパイラルになりました．1990年に世界1位になった日本の半導体技術の凋落ぶりは今や見る影もありません．グローバル企業による属国化，規制撤廃は民主主義の破壊へと向かっています．⇒理数科離れと産業空洞化

■1989年のレーガン宣言ではじまった米国の数学月間活動MAMは，万学の基礎である数学へ関心をもち，産業力の低下を防ぐことを国民に呼びかけます．2017年から，大量データの時代に適応して

数学統計学月間MSAMになりました．学校のカリキュラムと異なる豊かな数学を楽しむ国民数学祭NMFや，数学サークル活動，これを補完する数学の月曜日活動もあります．これらの活動の併用により，能力別数学教育（日本のゆとり教育の欠点は，画一的な実施にあったと思います）の効果が出ているようです．

球の表面積は，球の半径をRとすると４πR²となることは，知っていると思います．

 球の表面を円周が2πRsinθ，幅がRdθの円環に細分し，これを0≦θ≦πで積分して球の全表面積4πR²が得られます．
$$\displaystyle \int_{0}^{\pi}2\pi Rsin\theta \cdot Rd\theta =4\pi R^{2}$$

πR²は，半径Rの球を射影した影（半径Rの円）の面積ですが，球の表面積は，なぜ影の4倍になるのでしょうか．

球表面の円環を球の断面円(赤道の断面)に射影すると，円環の円周の長さ2πRsinθは変わりませんが，幅はRcosθdθになります．上半球の円環をすべて断面円内に射影すると面積πR²の円を埋めます．πR²sin2θdθを0≦θ≦π/2で積分したπR²が得られます．$$\displaystyle \int_{0}^{\pi /2}\pi R^{2}sin2\theta d\theta =\pi R^{2}$$
確かに，球の表面積は，自分の影の4倍であることが計算されます．

■これは，球を包むシリンダーをスクリーンにして，下図のような射影しても説明できます．

球の表面の微小な面積（緯線と経線で囲まれた矩形）を，球を包むシリンダーのスクリーンに，地軸に垂直平面に沿って射影すると，投影された矩形の縦横の比は変わりますが，面積は変わりません．このことから，半径Rの球の表面積は，幅2R，周囲2πRの長方形（シリンダーの展開図）になり，その面積は4πR²になることがわかります．

 一般に，正多面体の表面積と影面積（方位平均をとったもの）の比は4のようです．正多面体の極限としての球の場合は，表面積と影面積の比が正確に4になります．

詳しくは3Blue1Brownをご覧ください．　https://youtu.be/GNcFjFmqEc8

Fairfax Math Circle（FMC）は，探求と問題解決に焦点を当てた数学を豊かにするプログラムです．やる気のある学生に，数学への理解を深める機会を提供することを目的とします．数学とは何か，数学者になるとは何か，ということの生徒の認識を広げようとしています．
より深く数学と遊べる道具と，新規なやりがいの探求に快適な環境を学生に提供します．FMCは，伝統的な学校カリキュラムでは扱わないような数学概念に彼らをさらすように努めています．FMCがやるのは，補修，テスト準備，競技の数学ではありません．非標準のトピックスや，伝統的なトピックスでもさまざまな観点から深く見ていきます．学生は多くのことを学び，あらゆる種類の数学の意欲的で効率的な学習者になりますが，標準的な数学カリキュラムを加速するわけではありません．

サークルのリーダーは通常プロの数学者（大学教授または大学院生）で，家族のボランティアも受け入れます．
6-12年生のDCメトロエリアに住んでいるすべて意欲のある生徒は資格があり，２つのグループがあります：
グループπ：代数1を修了した中学生のためのもの
グループe：代数2を修了した高校生のためのもの
すべてのセッションは George Mason大学で行われます．会費は家族1人あたり100ドル．2018/19学年度は、秋に9回、春に9回、合計18回のセッションがあります（日曜日に実施されるらしい）．
http://www.fairfax-mathcircle.org/

3Blue1Brownのyoutube動画をご覧ください．

コーヒーカップの表面に，3つの家と３つのソース（ガス，電気，水）があり，
パイプラインが交差しないように，３つのソースと3つの家を繋ぎます．
いくら頑張っても交差箇所が1つできてしまいます．

 頂点の数V，辺の数E，面の数Fとすると，V-E+F=2　がオイラーの多面体定理ですが，
図のように面（領域）の数は４つ（黒い地の部分も１つと数えます）で，
6－８＋４＝２とオイラーの定理が成立しています．
３つの家はそれぞれ３つのソースに結ばれるわけですから，辺（パイプライン）の数は９本ありますが，頂点６と面の数４ですから，最後のパイプラインはどうしても繋げません．

さてここで，コーヒーカップで実験をしている理由がわかります．
コーヒーカップの取っ手の部分をうまく使うのです．取っ手の中を通り抜けるパイプラインと取っ手の上を這わせるパイプラインで立体交差になります．

コーヒーカップは，穴が１つある浮袋のような位相表面です．先のオイラーの多面体定理は穴のない位相表面に対する表現なので，穴の開いている位相表面では定理が少し変わります．
注）トーラスでは，面の数が2つ減り，頂点の数が3つ減り，辺の数が３つ減るので，V-E+F=0　が成り立ちます）

このような教育グッズがたくさんあり提供されるようすが，国民数学祭NMFのサイトで見ることができます．

60÷5(7-5)＝？
この答えは24ですか6ですか
60÷5x2＝？と聞かれれば，24と迷わず答えられる人が，なぜ6と答えたくなるのでしょうか．これは５と()の間にxが書かれていないことが心理的に影響すると思います．
5(7-5)は文字式のような錯覚に陥り,ひとまとめにして数値を出したくなります．
÷とxの演算が並んだ式は，前から順番に演算するのが決まりです．

割り算を使わず掛け算だけで書き直すこともできます．例えば，

60÷5x2＝60x(1/5)x2　のようにです．

60÷5(7-5)＝を，分数で書いてみましょう．しかし，

5だけが分母に来るのか，5(7-5)が分母に来るのか不明確です．
(60/5)(7-5)のことなのか，60/(5(7-5))のことなのか，かっこを1組追加すれば明確になります．

逆ポーランド式に，二項に対する演算の繰り返しとして計算手順のグラフを書くと，
解釈の異なるそれぞれの計算手順は以下のようになります．

■さて，文字式の場合は係数と文字の間のx記号は省略されるのが普通です．

9a²÷3a＝の答えは，3a か，3a³のどちらが正しいのでしょうか？

雰囲気的には3aですが，式の機械的な記述は曖昧です．

このような曖昧さを避けるために，()を用いて明確にすべきです．

9a²÷(3a)＝3a　あるいは，(9a²÷3)a＝3a³のようにはっきりさせましょう．

数学月間SGK通信 ［2019.06.04］ No.269
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
2019年の国民数学祭（National Math Festival）は，5月4日（日曜日）に
ワシントンDCと40州の科学博物館で実施されました．
数学のなかを旅し，発見し，ゲームをし，コミュニティのなかで数学の無限の力と喜びを祝いました．
数理科学研究所（MSRI），および高等研究所（IAS）と国立数学博物館（MoMath）の共同研究者は，
この日の素晴らしい成功をもたらした皆様の支援と貢献に感謝します．
ソーシャルメディアであなたの写真を私たちと共有してくださいとのメッセージがあります．
楽しい数月祭りの様子の多くの写真が公開され，雰囲気を知ることができます．
ワシントンDCと各地の科学博物館に，あらゆる年齢の2万人の数学愛好者を惹きつけたものは何でしょうか．

数学の月曜日（Math Monday）という動きがあります．以下にその特徴を述べます．
■楽しい： 子供たちに数学を楽しんでもらいたいので，自分の遊びたいものを選びます．
■無料：ゲーム費用を除いて，始めるのに何もかかりません．
■簡単：始めるのに少数の人々ででき，運営は週に数時間です．
■ボランティアが運営：両親を含み，教師には負担をかけません．
■すべての子供が対象：すでに数学を楽しんでいる数学の弱者だけでなく，すべての能力の子供たちのために．
■ソーシャル：私たちのゲームは子供たちが一緒に遊んで学ぶことを奨励しています．
■毎週（数学月曜日）：数学サークルのような毎月のイベントを補完します．

数学の月曜日（MathMonday）をあなたの学校や家庭で始めましょうと呼びかけています．
数学の月曜日はとても良いことで，これは日本の小学校のカリキュラムと全く逆の動きです．
数学の月曜日のやり方は：
- 時間と場所を決めましょう．学生が誰でも来れるような多目的室や図書館のような広い公共スペースで，
昼食時に毎週実施することをお勧めします．
- 保護者のボランティアを参加させ，校長，学校，PTAの支援を受けます．
数学の月曜日で使える無料で提供できるいろいろなゲームがあります．
例えば，
1. ブロックス（プレーヤー４人）
テトリスのようなピースをボードに置き,領土を主張します.
空間的思考力を養います.
2. セット（プレーヤー2～6人）
色，形，数，模様を見て，セットを構成する3枚のカードを見つけます．
３．　プライムクライム（プレーヤー2～4人）
素数の加算，掛け算，をし，1から101までピースを進めます．
４．　ラッシュアワー
赤い車がでられるように混雑した敷地内で車を滑らせてグリッドロックを脱出．

■数学パズルは，論理，空間思考，計算技術を開発します．
次の問題に挑戦してください：
各式の４つの空所に，すべて１，２，４，７という数を入れて，式が成立するようにしてください．
□＋□＋□＝□
□＋□＋１＝□□
□□＋□□＝５９
□□＋１４＝□□
５□＋□□＝□５

今日は，YouTubeにある動画の話をします．たいへん興味を引く動画なので，ぜひご覧ください．
この動画の発信元3Blue1Brownは，Grant Sandersonが作ったYouTubeのチャンネルで，
なかなかよくできた可視化された数学入門です．

動画は，物体mは静止しており，物体Mは初速度v₀で摩擦のない台上を滑る所から始まります．
Mやmはそれぞれの物体の質量（M>m）で，左側は壁です．
衝突はすべて弾性衝突とすると，エネルギー保存（１）と運動量保存（２）が成り立ちます．

（１）は楕円の式ですが

　　の変数変換をすれば，新しい変数v₃を採用したv₁，v₃平面では半径v₀の円になります．
（２）は，2つの物体m,Mが衝突したとき2つの物体から成る系全体の運動量が保存される（運動量変化が０）ことを示しています．こちらの式も，v₂からv₃へ変数変換すると，v₁，v₃平面で傾き-√M/mの直線になります．物体mとMの衝突後に分配される速度変化⊿v₁と⊿v₂の比は，それぞれの質量に反比例するわけですが，質量mの速度v₂を変換したv₃に対しては，v₁，v₃の速度変化の比はそれぞれの質量の平方根に反比例します(2')．つまり，v₃＝－√(M/m）v₁＋C　で，傾き-√(M/m）の直線です．

物体mが壁と衝突するときは，壁は動きませんから，v₃の符号のみ変えます．
横軸を速度v₁，縦軸を速度v₃としてグラフを描くと，
式（１'）は，半径がv₀の円で，エネルギーが保存される系の状態はいつもこの円上にあるべきです．式（２'）は運動量保存を示すグラフで，（-v₀,0）の点から出発し傾きー√(M/m)の直線です．
この直線が円と交差する点が，物体mと物体Mの最初の衝突後の速度v₁，v₃の状態です．
その後，物体mはそのまま滑り壁に衝突し，v₃だけが符号を変えます．これは，最初の衝突点のv₃の符号を変えた円上の点になります．
このように続けると，円内に納まるのこぎり歯状のグラフができます．

衝突のたびに円周上の，のこぎり歯の先の状態を移るわけで，衝突回数を求めることができます．
YouTubeのアニメーションのように，Mの質量を増加させると，直線（１'）の傾きが急になり，
のこぎり歯が細かくなるので衝突回数は増加します．
きちんと計算すると，tanθ＝√(m/M)として，

衝突回数Nは，N=２［π/2θ］となり，
Mが大きくなればなるほど，Nは大きくなります．（［］は数値の整数部分）

m/M＝10^-2pとおくと，Mが大きくなる（p→∞）のとき，N→π×10^pの整数部分になります．

この記事は数を記憶する方法 https://note.com/sgk2005/n/n15dcfd723999 の続編です．

藤井聡太君の活躍はすごいですね．彼の頭には自分の棋譜はもちろんのこと数多くの棋譜が記憶されており，盤面の映像として取り出せるのでしょう．2019年，5月19日の日本数学協会の講演会の一つに，田村聡子氏（大阪市公立小学校教諭）の講演「ソロバンを取り入れた算数」がありました．
今日の学校教育は，教科書からはみ出たことは一切できない，指導要領にないことは入る余地のない時代だそうです．そのうえ，ソロバン塾よりも公文に行ってしまう時代で，ソロバン教育はなかなか大変です．

私も小学生の頃，ソロバン塾に数か月通ったことはあります．たし算ひき算しか出来ない初級ですので，上級者の技には感嘆するばかりです．その脳の働き方は想像もつきません．
田村先生の話によると，数字がソロバン珠の配列パターンで見えるそうです．私も暗算の時はソロバンを見ていた方が楽ですので，その状態はなんとなく想像できます．

2014/06/10発行のメルマガ13号で，「数を記憶する方法」という英国のエッセイを紹介したことがありますが，3.141592...などの数字の列を，色彩豊かな色の列として見る人がいるそうです．
記憶術でも，こじつけのストーリをつくり，それを映像化して記憶するという方法があるそうです．どうも映像で覚えるのが決め手のようですね．私にはかえって面倒でその良さがわかりません．
日本語では語呂で覚えることはよくやります．英語の語呂合わせは日本語よりも面倒で，この点では日本語の方が有利なようです．

√5＝2.2360679は「富士山麓オウム啼く」とやる方が，各数字を同じ韻を踏んでいる言葉と結び付け（例えば），oneワン＝バンbun，twoトゥー＝シューshoe，threeスリー＝ツリーtree，fourフォー＝ドォーdoor,.....などとやるより優れているでしょう．

■ソロバンの上級者は，数字でも英語のアルファベットでもピアノの楽譜でも，ソロバン珠の配列パターンで見えるそうです．ソロバンの上級者になると，英語にも音楽にもこの能力は役立つそうでうらやましい限りです．
読み上げ算や読み上げ暗算では，ものすごいスピードで読み上げるのを
聞き逃さず，聞き分け，記憶する．その集中力がすい．
試験会場の自分の座席とスピーカーの位置で，聞きやすい座席位置と聞きにくい座席位置があるそうですが，その違いが明瞭に出るほどの極限状態の集中力です．
場所は指定されているので始めは運ですが，間違った人が抜けて前に詰めるときは，聞きやすい場所を見抜ける人は皆，そこを狙っているそうです．
そろばんの頭の使い方と集中力はいろいろなことでも役立つでしょう．

今回の多面体は，互いに双対な立方体と正８面体を重ね合わせたときの共通部分です．
従って，これらの多面体の対称性は全部同じです．

Fig.1の円盤内部は双曲幾何の支配する世界で，ポアンカレの円盤モデルと呼ばれます．
この円盤世界の直線は，円盤の縁に直交する円弧です．もちろん，円盤の中心を通る直線は円盤の縁で直交するので，この円盤世界でも直線です．
この円盤世界は，正7角形のタイルが頂点で３つ集まるように敷き詰められています［双曲面の正則分割｛7,3｝］．正7角形の辺は，この双曲世界の直線でできています．
直線に沿って円盤の縁に向かって進んだとすると，自分の世界もどんどん小さくなり縁に到達するには無限の時間がかかるようになっている世界です．
｛7,3｝分割の正7角形のタイルは，円盤の縁に近づくにつれどんどん小さくなっていますが，円盤の中にいる人にとっては全部同じ大きさ（言葉をかえれば円盤内は無限に広い）です．

Fig.1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Fig.2

コクセター万華鏡は，正7角形タイルの中を14個の直角3角形(7,3,2)に分割してできます．この直角3角形の頂点の角度は（π/7，π/3，π/2）ですから，直角3角形(7,3,2)と略記しました．

この直角3角形を鏡室にして作った万華鏡をコクセター万華鏡と呼ぶことにしました．
それは，同様な分割｛6,4｝の論文をコクセターがエッシャーに送って，それがエッシャーの極限としての円の作品を生んだからです．
｛7,3｝分割を直角3角形(7,3,2)のコクセター万華鏡にすると，Fig.2のように3角形のどの頂点周りにも偶数の直角3角形が集まるので，円盤内の世界全体が市松模様になります．

円弧の1つを円柱鏡にして，この円弧で分けられた左世界の像を映し出した実験をした撮影してみましたFig.3．右世界の像は左の世界の鏡像なので，円柱鏡を境として市松模様が逆転しているのがわかるでしょう．
Fig.3

円柱鏡（円の内側で反射）の焦点は収差のため，このような曲線になります．
このような反射光線のが作る包絡線の形を“火線”といいます．
この曲線の形はネフロイド（サイクロイドの仲間）と呼ばれます．

 ■コクセター万華鏡
このコクセター万華鏡は直角3角形(7,3,2)の辺を鏡にして作られます．
この双曲幾何のポアンカレ円盤世界の直線は，円盤の縁で直交する円弧です．

双曲面の正則分割｛7,3｝の正7角形を，直角3角形(7,3,2)で細分したコクセター万華鏡を示します．

この万華鏡像は，
直角3角形(7,3,2)の辺を鏡にして，円による反転（数学的演算）により得られます．

しかしながら，円柱鏡による反射像には収差があるので，反射を繰り返すとボケてしまいます．
円柱鏡の1回反射の実験例を示します．右側世界は左側世界の鏡像なので，市松模様が鏡面に沿ってずれているのがわかるでしょう．

■風が吹けば桶屋が儲かるバタフライ効果

バタフライ効果とは，気象学者のエドワード・ローレンツが1972年にアメリカ科学振興協会で行った講演のタイトル”予測可能性：ブラジルの1匹の蝶の羽ばたきはテキサスで竜巻を引き起こすか？”に由来します．

複雑系では，単純な因果列ではなく，あらゆる原因がどの結果にも反映されるので，予測できない結果をもたらす可能性があることを言います．

□定まっているようで定まらない運命

系の運動を記述する方程式は正しく作れるのだが，この方程式の解析解が求まる（可積分）とは限りません．現実は，非可積分の場合がほとんどで，教科書で習う可積分の場合は例外的幸運な場合です．1880年代にポアンカレは，ニュートンの運動方程式ですべての運動が定まっているはずの世界で，三体問題は解析解が得られないことを証明しました．

□非可積分の世界とバタフライ効果

非可積分の方程式の解は，コンピュータによる数値計算で求めることができます．しかし，このような系の解では，方程式のパラメータや初期値によって，解が分岐したりカオスと呼ばれる定まらない状態になったりします．

このような状態は，ロジスティク写像の漸化式X_n+1＝aX_n(1-X_n)　や同様な漸化式　X_n+1＝X_n²＋λ　でも見られます．ここで得られる実数列　X_n（n→∞）が，実数パラメータλやaの値により，振動したり発散したり，定まらない状態になったりすることが起こります．また，初期値のごくわずかのずれが，X_nの劇的な変化を生むことがあります．これがバタフライ効果と呼ばれる所以です．

■マンデルブロの登場とフラクタル

IBMトーマス・J・ワトソン研究所にいたマンデルブロは，綿花などの価格変動を調べていて，不規則な変動データの中に隠れている自己相似性を見つけフラクタルとなずけました．フラクタル幾何学は1982年に発表されました．

 マンデルブロ集合（奇妙なフラクタル構造）と言うのは，

f(z) = z² + Cという写像で生まれる複素数列を，

初期値z₀ = 0として，z₁ = f(z₀), z₂ = f(z₁), …とくり返し計算し，n → ∞で|z_ｎ|が発散しないような，複素平面上の複素数Cの集合「初項z₀ = 0に対して，発散しないCは何か」のことです．

マンデルブロ集合の境界（数列が発散する/しないの限界）ではカオスの発生があり，美しく不思議に入り乱れたフラクタルが見られます．

 Fig.1

 菱形30面体と12・20面体とは互いに双対な多面体です．双対の説明はFig１に図示しました．さらに，12・20面体は互いに双対な正12面体と正20面体とを重ねたときの共通部分でもあります．

注）Fig.1の重な合わせでは，共通部分はサッカーボール［5,6,6］の半正多面体ですが，正20面体のを少しづつ大きくしていくと，［5,3,5,3］の半正多面体（12・20面体）になる点があります．

菱形30面体の頂点は，正12面体の頂点（3回軸の位置）と正20面体の頂点（5回軸の位置）とから構成されています．菱形面の短対角線（正12面体の正5角形面の辺長）をaとし，長対角線（正20面体の正3角形面の辺長）をbとすると，a:b=1:Φ＝2:1+√5　の黄金比です．正12面体の頂点のうちの8個を使い，一辺Φaの立方体を内接できるので，正12面体の外接球の半径は，R₁₂＝√3Φa/2です．
一方，正20面体の外接球の半径は，R₂₀=(b/4)√(10+2√5)です．

寸法をa=2，b=1+√5，Φ=1.618にすると，R₁₂=2.80，R₂₀=3.08が得られます．
実際の製作は展開図に記入した寸法（10倍）にすると作り易いです．

ミラー紙（厚さ0.25mm程度の厚紙）を使って，展開図の鏡を作りピラミッド（内側が鏡）のような形に組み立てます．O点は立体（ピラミッド）の中心に相当し，O点の周囲は光の窓になります．覗くのは菱形面（ピラミッドの底面）の外部からです．

針金で正4面体ABCDを作り，持ち手をつけて，正4面体をシャボン液の中に浸してからゆっくり引き上げると，どのような面にシャボン膜ができるでしょうか？
実験してみてください．針金枠の正4面体の面にシャボン膜ができると思いますか？

多分，正4面体の中心Oと正4面体の辺でできる三角形，例えば，△OABなどの膜ができると思います．正4面体は辺が6個ありますから，このような膜は6枚あります．
Oから正4面体の各頂点へ，線分OA,OB,OC,ODの4本がありこの線分が３つのシャボン膜の境界になります．
（１）Oから正4面体の各頂点に向かう線分同士のなす角度は何度でしょうか？
（２）△OABのような６つの膜が1点で出会うOのような点が必ずできるでしょうか？
（３）正4面体の４つの面の面積合計と，△OABの面積x6とでどちらが大きいでしょうか？
（４）どのようなシャボン膜の形のつり合いが実現するでしょうか？
色々な疑問が起こり難しい問題です．実験してみて推測してみましょう．

 針金の枠が立方体のときは，どのような膜の形になるでしょうか？

実験してみると下図のような膜ができると思います．
このような膜の形ができることを説明してください．

1976年，ドイツのRegensburg大学のKurt Fischerは，神経の生理学モデルを研究し，フィボナッチ数の発生をここでも発見した[177]．神経繊維に沿って移動するインパルスは，ナトリウムまたはカリウムのイオンに由来し，n>=2の細胞からなる同一の膜貫通孔を通って流れる．微量のカルシウムイオンCa²⁺が孔に入ると，孔内のナトリウムイオンNa⁺の流れを止めることができる．
これらのイオンは，細孔の入り口を除いて，それぞれ1つまたは2つの細胞を占有することができ，これらの２つの状態をそれぞれ１あるいは２と標記する．図3.39は典型的な孔の状態で，0と表示したのは空の細胞である．

ナトリウムは，孔のいずれの端でも出入りすることができるが，カルシウムは孔の左側でのみ出入りできると仮定する．その結果，孔内のカルシウムイオンは，この孔を通るナトリウムの流れを妨げる．
ロシアの数学者Andrey Andreyevich Markov （1856-1922）にちなんで名付けられたこのマルコフ確率過程は，ツリー構造で表すことができる．木の頂点は細孔の可能な状態を表し，そのエッジは状態間の可能な遷移を表す．たとえば，図3.40に，5つの空でない細胞を有する孔の様々な可能な状態を示す．
図３．４０

ツリーは2種類の頂点で構成されていることに注意せよ．すなわち，右端のセルに1，あるいは，右の2つのセルの中央に2があるものだ. レベル5のすべての状態は後者で，状態の右側にカルシウムが存在するため，ナトリウムイオンの右への移動がもはや実行可能ではない．図3.41に図3.40のツリー骨格が描かれている．これは図2.1のフィボナッチツリーに非常に似ている．いずれの図からも，5つの空でない細胞を有する孔は，レベル5に5=F₅個の状態を有することがわかる．
図３．４１

一般的に，n個の空でない細胞を有する孔は，レベルnにF_n個の状態を有する．これは，レベルnの状態数がフィボナッチ再帰関係を満たすことからわかる．

1963年，カリフォルニア州サンノゼにあるサンノゼ州立大学のS.L. Basinは，”電気ネットワークに関心のある人々まで，我が友フィボナッチから逃れることはできない”[23]と書いた．ここでは，フィボナッチ数が電気ネットワークの研究にどのように現れるか示そう．

今年の桜

■NPO法人「数学月間の会(SGK)」（理事長岡本和夫）が設立されました．
詳細は新ウエブサイト　http://sgk2005.saloon.jp/　をご覧ください．
数学月間の会の会員募集中です．ご支援のほどよろしくお願いします．
問い合わせや会員登録は　sgktani@gmail.com　

■数学月間の会とは
数学はあらゆる文化・学術の基盤で，科学，工学，産業，芸術，医学，経済など，社会のあらゆる分野を数学が支えています．しかしながら，一般市民，特に，生徒・学生とその両親は，数学学習を敬遠する風潮にあり，これが数学力の低下をもたらしています．

米国では，1986年4月17日のレーガン宣言により国家的な行事として「数学月間」MAMが開始され，今日に至ります．米国MAMは，数学系の学協会が参加するJPBM（Joint Policy Boad for Maths）が，毎年，社会を反映した数学テーマを選定し，毎年4月に種々の数学イベントを展開し，国民からの事後評価も受けます．皆が知りたい時局の数学を，種々のレベルで学習できるウエブサイトができ，そこにエッセイや論文が集積され，そのテーマの数学を基礎から最先端まで，学生が独習できる優れたガイドになります．MAM期間には，一般から専門家まで，小学生から大学生まで，いろいろなレベルのイベントが全国で展開されます．米国が国家的行事のMAMを決断した背景には，国民の数学力が低下し，米国の産業力も低下するとの焦りがありました．日本も同様な状況にあるものの，国家的行事の数学月間は実施されておりません．

近年，日本でもSTEM（科学・技術芸術・工学・数学）教育が叫ばれていますが，これも2003年に始まった米国のSTEM教育に源を発します．これらの科目の中で統合的に数学を教える試みは良いことですがまだ成功していません．数学月間の視点はSTEM教育へも貢献できるものと思います．

数学を学ぶ同好会，塾，講習会，講演会などは種々あります．これらも重要であるのは言うまでもありませんが，我々の目指す「数学月間」活動は，このような数学同好者の内部にとどまる活動ではありません．数学がかかわるあらゆる分野を横断して数学を紹介する数学外の一般市民に向けた活動です．

一般市民，学生，生徒に対し，数学が社会を支えている事例を，わかり易く啓蒙する事業を行い，数学への社会的共感を獲得し，社会に数学文化を普及させ，社会の発展に寄与することを目的とする市民の活動です．どうぞ活動にご協力ください．

日本の数学月間は，2005年に日本数学協会が7/22-8/22を数学月間と定めたことに始まります．任意団体「数学月間の会（代表；故片瀬豊）」は，2005年の発足以来，ボランティア・ベースながら，毎年，数学月間の初日7/22に，数学月間懇話会を開催し，計37件の啓蒙的な講演を一般市民に対し実施することで，数学啓蒙活動をこの時期に集中し，数学の重要性を社会にアピールしてきました．このような数学月間活動は，米国MAMのように国家的行事として行うべき性質のもので，個人寄付金とボランティア・ベースで行う現状には限界があります．数学同好会ではなく，活動を社会に波及させるためには，NPO法人格を得た「数学月間の会」が，数学の内部にとどまらず社会の諸分野に横断的に呼びかけ活動し，「社会と数学の架け橋」になることが必要でした．

4月から新しい「数学月間の会」の会員になり，一緒に活動しませんか．

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数学月間SGK通信 ［2019.03.26］ No.260
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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周期的な2次元平面の互いに独立な並進ベクトルは2方向とれます．
これら2本の並進ベクトルが挟む平行４辺形を単位胞といいます．
並進ベクトルの組み（単位胞の形）を対称性で分類したものがブラベー格子です．
2次元のブラベー格子には，図に示す5種類があります．
そして，それぞれに対応する格子の図も掲載しておきました．

さて，以下に伝統文様を10種挙げました
図の中に赤色ベクトルで，並進の周期を書き込んだ図もあります．
１．書き込んでない図にも赤色ベクトルを書き込んでみましょう．
赤色ベクトルの選び方はいろいろ可能ですが，
単位胞の形（赤色ベクトルで囲まれた平行4辺形）が
A正方形，B長方形，C120°の菱形，D任意角度の菱形，　
の4種類のどれかにあてはめるようにとれます．
2次元のブラベー格子の5種類のうち，一般形の平行4辺形に属する伝統文様は，
ここの例には挙げていません．
２．それぞれの伝統文様は，A,B,C,Dのどのタイプに属するでしょうか．
３．伝統文様のいくつかを，どこかで見たことがあるでしょうか．
私は立涌を壁紙で見かけます．

■　円に点Bを通る2直線が交差しているときに，方冪の定理が成り立ちます．

■２つの長さの加法，減法は簡単です．以下の図をご覧ください：

■結局，直線定規とコンパスだけを有限回繰り返し用いて作図できる長さは
加法，減法，乗法，除法，開平です．
開平を繰り返せは，2のべき乗根（4乗根，8乗根，．．．）は作図できますが，
例えば，立方根は作図できません（この証明は難かしいのでスキップ）．

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数学月間SGK通信 ［2018.11.06］ No.240
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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私は色々な万華鏡を作っています．
今日は万華鏡のクイズを２つ載せますので，お考え下さい．
(1)2枚鏡（ブリュースタ）の万華鏡
Q:
下の２つの映像は，2枚鏡のある万華鏡を観察したものです．
ワンドの中のガラスくずの流れとともに，映像はいろいろに変化しますが，映像の対称性はいつも同じです．
そのわけは，生じる映像にはいつも万華鏡の鏡室の対称性が反映されるからです．
それでは，この万華鏡の2枚鏡の交差角度は何度でしょうか？

  (2)正多面体の見える万華鏡
Q:
次の写真は万華鏡の映像です．正８面体（緑）と正6面体（青），正4面体（赤）が同時に見えています．
これは，3枚鏡の万華鏡ですが，どのような鏡の組合せでしょうか？

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  A　

（１）

（２）
正８面体（緑）と正6面体（青）の対称性は同じなので，空間中の非対称領域（3枚の鏡が囲む空間＝鏡室）は同じですが，
正4面体（赤）の非対称領域はこの2倍の大きさです．
したって，これらの3つの正多面体が同時に生じているということは，
正4面体の非対称領域がこの万華鏡の鏡室であることが必要です．
万華鏡の3枚の鏡は，それぞれ，青，黄緑，赤紫で示した平面で，この３平面はO点で交わっています．
左図は正4面体の鏡室，右図は正8面体と正6面体の鏡室です．

この万華鏡は，正4面体の鏡室の場に，一番右の図に示すように物体（緑）を置いたり，
光の線分（赤，青）ができるようにしてあります．

この透明な立方体の箱（単位胞）が周期的に並ぶと，ページ65の空間の充填ができます．結晶はこのように単位胞が並んだ周期的構造です．
小梁（OSA工房）のパズルは，単位胞だけ取り出して充填させるパズルです．

 　　図１　　　　　　　　　　　　　　　　　　　図２　　　　　　　　　　　　　　　　　　図３
図１は，透明な単位胞の底面中央に正8面体の上半分が見える様子です．この正8面体の残りの下半分は，見えませんが立方体の底面を突き抜けて存在します．
周期的な空間ですから，透明な箱（単位胞）の天井と床は同じもので，天井から箱内に向かって存在とイメージすると良いです．
単位胞内の底面の4隅には正8面体の1/8が見えます．この正8面体の残りの部分は，周期的な空間なので，図２のように立方体の壁を突き抜けて存在します．
図１のように並んだ正８面体の間隙には正4面体が４つ入ります（図３）．

 　　図4　　　　　　　　　　　　　　　　　　　図5　　　　　　　　　　　　　　　　　図6

透明な単位胞の６つの面に，半割の正8面体を図4のように貼りつけました．単位胞内に6つの半割正8面体が入っています．単位胞の中心で，これら６つの半割正8面体の頂点が出会い，正8面体は稜を共有してつながります．
単位胞の中に含まれる正8面体の数は，半割正8面体6個と単位胞の8つの隅に1/8の正8面体がある（6×1/2＋8×1/8）ので4個です．
図4をよく見ると，単位胞の内部にあるこの多面体（注）には8個の正4面体の間隙があることがわかります．従って，このような単位胞が繰り返される空間は，充填される正8面体と正4面体の個数比は1:2です．
注）半割の正8面体6つと，正4面体８つでできる多面体は，半正多面体｛3,4,3,4｝です．

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数学月間SGK通信 ［2019.03.05］ No.257
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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皆様いかがお過ごしでしょうか．ひな祭りも過ぎ春がもうすぐです．
ご存知の方も多いと思いますが，yahooブログが今年で閉鎖されることになりました．
私は，数学と社会の架け橋＜数学月間＞を，yahooブログに書き続けていますが，
現時点で延べ47,917人の訪問者があるし，お友達もできて，この縁を続けたいと
対策を考えています．数学月間の会は，https://sgk2005.org/にホームページがあります．
加えて，新しいサイトhttp://sgk2005.saloon.jp/　を準備中で，そこにはブログのコーナーも設け
yahooブログもここに集積するつもりです．
しかし，現在，要の役割をしているyahooブログの地位は捨てがたいので，これに代わる
新しいブログサイトも何処かに開設しお知らせしますので，皆様との縁が続きますよう願います．
そのようなわけで，要のyahooブログが今移動準備状態で，
メルマガで使う図はyahooブログからのリンクで入れていましたので
本号のメルマガ257号は，文章だけとなります．

■液体のジュースの缶と凍らせたジュースの缶があり，斜面を転がしたらどちらが速いでしょうか？
質量は同じで，直径の大きい缶と直径の小さい缶があり，斜面を転がしたらどちらが速いでしょうか？
このトッピックスは，中西達夫著の微積とラグランジアン（工学社）に載っています．
ネットを検索してみると，これらの話題は各所に見受けられます．
中西氏の本では，このような物理（運動）の実験から，問題を解くための微積などの
数学概念手法を説明します．その数学理論が生まれた場に立ち戻り数学を作ろうというのが
数学月間流の数学理解の仕方です．大変読みやすく興味深い本なのでお勧めします．

表題の物理の問題は，缶が斜面を転がる運動は，重心の移動と重心の周りの回転の
両者の重ね合わせと考えます．斜面の上端で静止状態の持つ位置エネルギーが
重心移動の運動エネルギーと重心周りの回転運動のエネルギーに変わります．
すなわち，回転運動のエネルギーに費やされる分だけ，
重心移動の運動エネルギー（1/2）mv^2は小さくなります．
回転させにくい程，回転に多くのエネルギーを使います．
缶の中が凍っている方が回転させにくいし，半径の大きい方が回転させにくいので，
液体の入った缶の方が速く転がり，直径の小さい缶の方が速く転がります．

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数学月間SGK通信 ［2019.03.12］ No.258
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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数学への興味を喚起するさまざまな活動が米国では行われてきました．
教授法の優れた教師の表彰や数学啓蒙の優れた記事を書いたジャーナリスト表彰も行われています．
このたび，Math + Literature = 2019 Mathical Book Prize Winners!の発表がありました．
数学科学研究所（MSRI）は，2-18歳の若者向けの優れた数学文学書（フィクションとノンフィクション）
の2019年の受賞者を発表しました．今年で5年目だそうです．
数学+文学=the Mathical．対象学年別グレード分けがあります．

■3-5学年用の受賞作品
The Miscalculations of Lightning Girl by Stacy McAnulty(Random House Children’s Books)
「雷に打たれた少女の誤算」を紹介します：

12歳のルーシー・キャラハンは4年前に雷に打たれて気を失い心臓が止まったのですが，
アパート管理人が除細動器を使い心臓が再び動き出し救われました．
手をやけどしただけで，変わりないようでしたが，実は数学の天才になっていたのです．
突然，難しい計算をすることができました．医師は後天性サバント症候群と診断しました．
ルーシーの脳は落雷によって損傷を受け，彼女の左脳の一部が閉鎖され，右脳が余計に働くようになった．
ルーシーは高度な数学的計算，暦の数学，数学的パターンの認識を行うことができ，
あらゆる数字が色や形を持つものと認識するようになったといいます．
その他，おかしな習慣がルーシーにできました．細菌を恐れ、触れるあらゆる表面を消毒するようになり，
座る前に3回座る立つを繰り返す儀式が必要になった．
また，何でも読む前に，そのすべての単語を数えることが必須になりました．
彼女の奇妙な習慣のために，ルーシーはホームスクールで学びます．
そして今12歳で高校レベルを通過しました．彼女は大学に進学したいのですが，
彼女の母は大学に行くには若すぎると思っています．
ルーシーの伯父さんも，公立学校に通わせるという母に賛成し，ルーシーは７年生に入学します．
ルーシーは中学校に行きたくはなく大学に行きたい．彼女は自分がオンラインですべてを行えると信じています．

ルーシーは中学で2人の友人を作ります．
ミュージカルが大好きでルーシーの奇妙さに興味をそそられるウィンディ・シットンと，
写真が大好きな男の子リーバイ・ボイドです．ルーシーはからかわれて，「クリーニングレディー」とあだ名されます．
彼女は自分の数学の天才を隠すために，テストでわざと間違えるべき質問の数を計算したりもしす．
ルーシーは自分の数学の能力を使って，ウィンディとリーバイのグループをクラスプロジェクトで支援し，
2人のクラスメートとの友情が深まりますが，ルーシーは自分が数学の天才である秘密は守れると思っています．
しかし、ルーシーは数が特定の事を予測するのを助けることができるが，
人生のすべてが数学方程式で決定されているわけではないことを認識し始めます．
ルーシーは彼女が信頼と友情の意味について多くの誤算をしていることを発見します．

■6-8年生用には，「アポロ8号の宇宙飛行士と先駆的な女性数学者の感動的な実話」が受賞しました．

シリカガラスSiO2の軟化点は1700°Cと高温です．ガラスには明確な融点はありません．初めから乱れた構造ですから液体状態の個体ともいわれます．固体での変形が起こるのは軟化点～1900°Cあたりまでで，それ以上の温度では液体になります．シリカの正4面体ネットワーク中の所々にCaイオンやNaイオンが入ったものが，ソーダーライムガラス（青板ガラスとも呼ばれる）で，ガラスの融点も軟化点も下がり成型が容易になります．しかし，Naの熱振動振幅は大きく，ガラスの熱膨張率は大きくなります．ホウケイ酸ガラスは，ホウ素Bを添加したガラスで，ナトリウムNaの量を減らせるので，熱膨張率を小さくできます．これがpyrexパイレックスガラス（Corningの商標）で軟化点は820℃位で，Nonexという非膨張ガラスの処方も開発されました．パイレックスガラスは，キッチンのベーキング皿にも，温度計にも，ビーカーなど理化学機器にも，1949年に完成したパロマーのヘール望遠鏡の巨大鏡（回転放物面）にも使われています．この巨大鏡はパイレックスガラスの直径5mのガラスのキャストディスクで20トンもあります．この巨大なガラスのキャストディスクの製造では，アニーリング・オーブンに入れて10か月もかけて徐冷したそうです．これを現場に運び凹面（回転放物面）に研磨しました．
しかし，2008年3月14日に パイレックス・ロール板が生産中止をコーニング社は決めました．パイレックスと言えば耐熱ガラスの代名詞で，理化学機器にも使われていますが，望遠鏡用の 大きなガラスも作らなくなりました．どうなることか心配です．コーニング社の製品は，スマートフォン用のGorillaGlassというカバーガラスやエレクトロニクス用の薄い強化ガラスにシフトしたようです．

コーニングガラス博物館は面白そうです．

昔，ギリシャのデロス島で疫病が横行しました．神の怒りを鎮めるために預言者の言により，アポロンの立方体の祭壇を2倍の大きさにしなければなりません．長さが2倍では体積が8倍になってしまいます．体積を2倍にするには，現在の立方体の祭壇の長さを１とすると，新しい祭壇の1辺の長さは2の3乗根=1.259921･･･にしなければなりません．直線定規とコンパスを有限回使ってこの長さを作るというのがこの難問です．プラトンも考えました．実は，２の3乗根の作図は，直線定規とコンパスでは作図不可能でした．この他に，任意の角度の3等分．与えられた円と同じ面積の正方形の作図も直線定規とコンパスを有限回使って作図することが不可能です．いろいろな人々が挑戦しましたが出来ませんでした．これらの作図が絶対不可能であることが証明されるまでに2,000年もの年月を要しました．
■直線定規とコンパスだけを有限回繰り返し用いて作図できる長さは，
与えられた長さの　加法，減法，乗法，除法，開平（平方根）　です．
開平を繰り返せは，2のべき乗根（4乗根，8乗根，．．．）は作図できますが，
立方根（3乗根）は作図できません．
従って，有理数が与えられたとき，それらの加・減・乗・除と開平の操作を有限回繰り返して得られる数（a+b√cの形の数）が，直線定規とコンパスで作図できる数字です．

参考：
長さの加法，減法はすぐわかると思います．
乗法，除法，開平の作図法は，方冪の定理（以下の図を参照のこと）を応用します．
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/50/18283150/img_0_m?1539587485

1ドル札と2ドル札のみを使い，n（整数）ドルを払う方法の数B(n)を求めましょう．

１．n=1のとき：2ドル札は0枚で，1ドル札1枚出すしか方法はありません：
　　方法｛1｝のみで，方法の数はB(1)=1
２．n=2のとき：2ドル札0枚なら｛1,1｝，2ドル札1枚なら{2}で，
　　方法の数は　B(2)=2
３．n=3のとき：2ドル札0枚なら｛1,1,1｝，2ドル札1枚なら｛2,1}，{1,2}で，
　　方法の数は　B(3)=3
４．n=4のとき：2ドル札0枚なら{1,1,1,1}，2ドル札1枚なら{2,1,1},{1,2,1},{1,1,2}，2ドル札2枚なら{2,2}で，
　　方法の数は　B(4)=5
（ただし，同じ種類の札は区別していません）

これらの結果を考察すると，
B(n)はB(n-1)の方法に1ドル追加したものと，B(n-2)の方法に2ドル追加するものとの和になる．
2ドル追加の方法に{1,1}を追加する方法があると思う人がいるかもしれないが，
追加する２つの１のうちの始めの１は，B(n-1)個の方法に繰り込まれ，すでに存在し，それに1を追加することは，すでに前者の項に含まれている．ゆえに．
B(n)=B(n-1)+B(n-2)
かくして，この方法でnドル支払う方法の数の再帰的な定義が得られました．
これはフィボナッチ数列
1,2,3,5,8,13,21,34,55,･････
の定義と同じです．

万華鏡の映像は鏡映群にすぎないと数学者は思っているようだが，実は，群よりもっと複雑な代数系であるところが面白い．
理想化した状況で作った数学は適用範囲が広い．これに対し，複雑な状況下で作った数学は，あまり使われない．骨折り損のくたびれ儲けなのだが止められない．自然法則を数学は記述できるが，自然法則は数学に従はないところが面白い．

これらの万華鏡造像を鏡映群で記述すれば，どちらもmに過ぎないが，それではあまりにもつまらない．群では表現できない様々な規則性があるではないか．

■テープをこのように結ぶと正5角形ができることが知られていますが
なぜでしょうね．証明してください．

右の図は正5角形の外形と内部の対角線でできる星形が見えます．
対角線と正５角形の辺は平行で，赤く着色したものがテープであり，
テープの一方の端が対角線の星形を，もう一つの端が5角形の辺を
交互に入れ替えながら描くことが，軌跡を辿ってみれば確かめられます．
私は，正5角形であることの証明をどのようにしたらできるか
まだ考えたことがありません．案外難しそうです．
どうぞ良い証明ができたらここで教えてください．
いずれにしても，正５角形になることは，対称性から明らかです．
「この5角形の図形には，5回回転対称性があるので，この5角形は正5角形だ」
と言うのは如何ですか．一目でこの5角形は5回回転対称だとわかります．
これなら面倒なことを言わずにすむので，対称性は非常に強力な概念です．
このような論法をいろいろな所で使いたいのですが，乱暴ですか皆様どう思ますか．
■紙を2つ折りにすると折り目が直線になることを証明してください．
これも当たり前なのに，証明が面倒な問題です．
この問題に対する私の解答は，「対称性から明らかである」と言っておきます．

こんなクイズを何処かで聞いたことがありませんか？１人10ドルのホテルに3人が止まり，30ドル支払いました．ホテルフロントが5ドル値引きしてくれ，女中を介して返金してきましたが，途中で女中が2ドル抜いたので，3人に渡ったのは1ドルづつです．結局，それぞれ9ドルづつ支払ことになり，全員でホテルに27ドル，女中が2ドル持っています．残りの1ドルはどこに消えたのでしょうか？
ややっこしくて変な気分ですが，お判りでしょう．27ドルと2ドルを足す意味は何でしょうか？
このような計算の笑い話は，落語のツボ算にも出てきます．買ったツボを返品するときに，支払った金額と返品するツボの値段を足してしまうのです．
数学の方程式を作るときに，左辺に足すか右辺に足すかよく意味を考えて式を作らないと，このようなとんでもないことになります．
落語の時そばでは，そば代金の16文を数える間に，8のときに時間（八つ）を混ぜ込むことで，１つスキップし金額を1文ごまかします．与太郎が真似をするときは，時間が（四つ）で，逆戻りし損をしてしまいます．これは，お金と時の呼び名という単位が異なり足すことのできないものを足すトリックです．我々ももう少し複雑な問題ではありますが．方程式を立てるときに単位の異なるものを足してしまうような式を立ててしまうことがよくあります．笑い話ではすみません．
話のついでにもう一つ，落語に出てくる不正な計算について述べましょう．落語花見酒では，酒だるを担いで売りに行く2人の間で，お金をやりとりしているうちに，お酒が全部なくなってしまう話です．これは売上金の公金横領に当たるわけですが，お金はお金でも，公金と自分の金というカテゴリーの違うものの区別ができなかったために起きた笑い話です．
最初の例に戻ると，ホテル取り分は25ドル，女中取り分は2ドル，客支払い分は3x9=27ドルで何の不思議もありません．

■読者の方から「三方一両損」の話が出ましたので，追加しておきます．
江戸っ子の職人が３両入りの財布を拾って，落とし主に届けると，落とし主はいらないと意地を張る．どちらも江戸っ子らしくていいですね．
大岡越前守が，1両出して4両にし，2両づつ分けさせる名裁きをします．
拾ったまま届けず手元に置けば3両ある．届けてもらって受け取っておけば3両ある．
奉行も関わらなければ1両出さずに済む．しかし，結局3人とも1両ずつ損をしたというのです．

公的統計は合理的な意思決定を行うための基盤となる国民にとって重要な情報です．米国や英国でも統計が政策の客観的な基礎になるので，統計調査を政府の管理下に置き重視していますが，日本でも同様です．統計法という法律（2007年に大幅な改正）は，国勢調査などの基幹統計調査での報告義務，かたり調査の禁止，地方公共団体による事務の実施などが決められています．しかし，政府の統計を監督する統計委員会は、総務省に置かれているので，政府からの独立性が懸念されます．
麻生太郎副総理・財務相は2015年10月の経済財政諮問会議（議長・安倍首相）で，「毎月勤労統計については，企業サンプルの入れ替え時には変動があるということもよく指摘されている」と発言しました．これはもちろん誤りではないのですが，2018年のサンプル入れ替えのときに，偏ったサンプリングによる数値上昇への忖度につながった可能性はあります．

統計調査は全数調査ではなく，サンプリングした集団に対して実施されます．このサンプル集団が元の集団の性質を代表しているとみなせるのは，サンプリングが完全にランダムであることが前提です．しかし現実には完全にランダムは不可能です．調査される側の意識も，自分が正規分布の1点と思うと気が進まないし，個人情報を出すのを嫌うので，予定したサンプル数がなかなか集まらない．結局，何らかの偏りがあるサンプル集合に，適切な補正をし現実に近づけます．このように，サンプル集合の採り方により，得られる統計数値は色々に変わり得ますが，もし，意図的な偏りも加わると処置なしです．数値への信頼はほどほどにしましょう．しかし，数値化されると独り歩きし都合の良い数値が政策に採用される懸念があります．

こうして考えると，問題は統計学や数学以前の所にあり，もともと一つの数値で表すことのできない社会の複雑な状態を，おおざっぱでも正しく把握する常識感覚が必要になります．庶民の実感する豊かさと，統計数値に乖離があるとすれば，サンプル集団は，社会状態を正しく代表していないのです．

東京都における「500人以上規模の事業所」については，全数調査の1,464事業所（平成30年）でなければいけないのに，概ね３分の１の491事業所のサンプリングでした（2004年1月から東京都では約3分の1のサンプリングをしていました）．
平成16年以降，厚生労働省から東京都に対し，厚生労働省が抽出した事業所名簿を送付し，当該名簿に基づき抽出調査を行うこととしていました．このサンプリングはランダムだったのでしょうか？

大企業と中小企業の比率などを考慮して，補正により現実に近づけようと試みたようですが，首尾一貫した定義のサンプル集団ではないので，アベノミクスの成果と言われる賃金伸び率の数値比較があてにならなくなりました．毎年の伸び率比較には，同一定義のドメインで統計をとらなければ意味がありません．
日刊ベリタに掲載

補足）サンプル集合の大きさ（抽出率）と誤差

母集団の全数検査すれば正確な数値が得られますが，現実には実施不可能なのでランダムサンプリングによりサンプル集合を作ります．しかし，サンプル集合の大きさが小さいほど，誤差はさらに大きくなりますので，ある程度のサンプル数は確保しなければなりません．サンプル数を1/2にして得られた数値を2倍にすれば精度は同じだと言う大臣がおりますが，とんでもないことを言うものだ．

菱形12面体の見える万華鏡の作り方の話をしたことがありました．
今回は，ケルビン立体の見える万華鏡を作ります．
菱形12面体とケルビン立体は，下図のような形です．

 この2つの多面体は，正6面体や正８面体と同じ対称性で，重要な形です．
どちらの多面体も空間に隙間なく詰め込むことができ，空間に詰め込んだ時に，
菱形12面体は立方面心格子，ケルビン立体は立方体格子を作ります．

■さて今回は，ケルビン立体の見える万華鏡を作ります．

互いに直角に交わる3枚鏡が切り取る全空間の1/8が，
この万華鏡の非対称領域であることはすぐわかります．
しかしながら，ケルビン立体には，
直角に交わる3枚鏡の2等分面も鏡とする対称性があます．
1/8の空間領域の中に，
それらを鏡とする万華鏡を作ると，1/16，1/24，1/48などの空間を
非対称領域とする万華鏡が作れます．
ここでは，3回対称性が残るように尊重して，1/8，1/24．1/48の
3種類の万華鏡を作りましょう．
＊注）非対称領域とは，万華鏡の内部の物体を置く領域のことです．
この物体を，万華鏡の鏡映で広げていき，どれもケルビン立体の映像が生じます．

写真A：
3種類の万華鏡を並べました

写真B:
非対称領域1/8の万華鏡

写真C:
非対称領域1/24の万華鏡

写真D:
非対称領域1/48の万華鏡

3種類の万華鏡像で，それぞれに8個ある正6角形面の中をよく見ると，
面の分割数の違いに気づくでしょう．写真Bでは分割なしですが，写真Cでは3分割，写真Dでは6分割になっています．

平面は２次元ですから独立な並進ベクトルは２つ a, bです．従って，
a, bを2辺とする平行4辺形が平面を充填する並進の単位（単位胞）となります．
３つの並進ベクトルがとれる凸平行6辺形もタイル張りが可能ですが，
a, b, cの間に, c=b-aの関係があり，このうちで独立な並進ベクトルは２つです．

．

平面をタイル張りできる凸6角形の形は，
ここに示した平行6辺形を含むタイプの他に，
さらに2タイプあることを，ラインハルトが学位論文で証明しました（1918）
凸6角形タイルで平面の充填ができるものは，
以下に図示する３つのタイプです．

タイプ１：2つのタイルが並進の単位を作る
（凸平行6辺形はこのタイプに含まれる）
タイプ２：4つのタイルが並進の単位を作る
タイプ３：3つのタイルが並進の単位を作る

5角形タイルで平面張り詰め（タイリング）ができるタイルの形は，以前掲載したタイプの5角形タイルだけではありません．全部で15タイプあります．単位胞がたくさんの5角形タイルで構成される15番目のものは，コンピュータを用いて見つかりました．
■米国サンディエゴの主婦マジョリー・ライスが，タイル張り（タイリング）の問題を初めて知ったのは，1975年のScientific American誌のマーチン・ガードナーのコラムでした．平面をタイル張りできる「タイル」の形，別の言い方をすれば，一つのタイルで平面を分割する（テッセレーション）問題です．
平面のタイル張りは，任意の3角形，任意の4角形タイルで可能，凸7角形以上のタイルでは不可能です．凸6角形の場合は，平行6辺形の他にもあり，全部で３タイプのタイル形が可能なことは，ラインハルトが学位論文で証明しました（1918）．残されたのは凸5角形の場合で，1975年時点のガードナーのコラムには，ラインハルトの５タイプと1967年にカーシュナーが発見した3タイプが掲載されています．カーシュナーの論文には，タイリングできる凸５角形タイプが他にないことの証明は省略されており，そして，実際にまだ新しいタイプがあったのです．

■以下は，Natalie Wolchoverの記事（Quantamagazine,2017）から引用
https://www.quantamagazine.org/marjorie-rices-secret-pentagons-20170711/

フロリダ州に生まれたマージョリは，1クラスだけの田舎の学校で年長の子供たちと一緒に学びました．彼女は勉強好きでしたが，高等学校で数学を学んだのは１年だけです．貧困と文化的規範のため，大学に進学するなど思いもよらない時代でした．1945年，彼女は結婚しワシントンD.C.に移り，幼い息子と一緒に、その地で商業デザイナーとして働きました．後にサンディエゴに移住します．
数学が楽しみで，黄金比とピラミッドに魅了されていたといいます．ライスは，子どもたちが学校に通っている間に自分も読めるようにと，息子達にScientificAmericanの定期購読を許しました．

この問題では，5角形タイルのタイプ分けがとても難しい．連続変形によりどちらのタイプにも属するタイルがあるし，同じタイプでも出来上がったパターンが全く違うように見えたりもする．新しいタイプであるかどうかの判定は，ライスもずいぶん苦労したに違いありません．数学的な背景がないので，独自の記法システムを開発し，数ヶ月で新しいタイプを発見したといいます．彼女は発見に驚き喜んで，自分の仕事をガードナーに送りました．ガードナーはそれをペンシルバニア州のモラヴィアン・カレッジのタイリング問題の専門家であるドリス・シャトシュナイダーに送ってくれました．
シャトシュナイダーは，ライスの発見が正しいことを確認しました．ライスのアプローチは，後にマイケル・ラオが新しいコンピュータ支援の証明に取り入れた手法と同じでした．ライスは，4つの新しい凸五角形タイプと，それらによるほぼ60種類のテッセレーションを発見しました．シャトシュナイダーの招待で，ライス夫妻は大学の数学会に出席し，聴衆に紹介されました．ワシントンにある数学協会のロビーの床タイルに彼女の五角形テッセレーションの1つが使われ，彼女の発見したエッシャー風の絵が見られるといいます．
コンピュータ支援の新証明法で，フランスの数学者 マイケル・ラオが，ライスが発見した4つを含む15（残りは，ジェームスIII，シュタイン，マンがそれぞれ1つづつ発見）の凸五角形タイプがすべてであることを証明しました．ライスは，2017年7月2日94歳で亡くなりました．認知症のため，五角形タイリングの物語がついに完結したのを知ることはなかったが，ガードナーの提起から数十年が経過していました．

2018年もあと数日になりました．今年も，いろいろなことがありました．
おつき合いいただき有難うございました．
皆様にとって，2019年は良い年になりますように．
数学と社会の架け橋＝数学月間の会からのお知らせです．この会を，
数学好きの同好会ではなく，分野横断的な市民活動にしたいと思っております．
社会でどのような数学が使われているのか？
上滑りでも言葉遊びでもなく，基礎を踏まえ本質をとらえた，見通しの良い説明で，そこにある数学に気づくことを目指します．
特定非営利活動法人「数学月間の会」が，来年早々スタートし，会員募集をする予定です．多くの皆様のご参加を呼びかけます．

■球に近い正20面体は，５つの正多面体（プラトン立体）のうちで，
最も対称性が高い（面の数が多い）もので，正３角形の面が20個でできています．
正多面体とは，正多角形（正p角形）の面でできていて，どの頂点の周りも同数の面（q個の面）が会している立体です．この立体を，シュレーフリの記号で｛p,q｝と記述します．
正多面体（プラトン立体）は，正4面体{3,3}，正8面体{3,4}，正6面体{4,3}，正12面体{5,3}，正12面体{3,5}の５つしかないことは証明できますから，
面数20より多い正多面体が存在するはずはありません．
しかし，例えばゴルフ球のディンプルはいくらでもたくさん作れるように思えなす．
正多面体の面を分割し続けると，いくらでも球に近い正多面体が作れるように思うかもしれません．しかし，そのようなことが可能なはずがありません．
ここで作るいくらでも球に近い多面体は，面が正多角形からわずかに歪むので，正多面体ではないのです．
正20面体の１つの正3角形の面を４つの三角形に細分化します．このとき，中心の三角形は正3角形ですが，その周りの3つの3角形は正3角形から歪むのを確認ください．
以下，細分化の操作を繰り返すたびに，面の数は4倍ずつ増加します．そして，細分化された面で正3角形のものは，初めの正20面体の面の中心にあるものだけです．
だから，正20面体を細分化して，球に近い多面体を作っても，その対称性は正20面体と同一（細分化しても対称性は上昇しません）．素性は隠せないのです．細分化された多面体の面は正3角形ではないので，細分化でできる多面体は正多面体ではありません．
（この細分化で用いたjavaプログラムは郡山彬氏が作成しました）

私はいくつかのゴルフ球のディンプルを調べましたが，
正多面体{4,3}の細分化の系列と，{5,3}の系列のものがありました．

「美しい図形と奇妙な空間」
 
東京ジャーミイ（代々木上原，東京）にある装飾です．左写真は祭壇の横にあります．
イスラム特有の美しい複雑な図形です．右の写真はステンドグラスです．
これらの図形の美しさの原因の一つは，これらの図形が黄金比だらけだからでしょう．

もう一つの原因は，折りたたまれた空間のような不思議感じがあるからでしょう．
図の一番左は辺の長さが黄金比の2等辺三角形です．
つまり底辺を１とすると，等しい２辺は1.618...
真ん中の図は，正5角形の中にできる星形で，
星の頂角は黄金比の三角形にでてくる頂角36°と同じです．
一番右の図は，この星型とこの星型を180°回転したものを重ね合わせたものです．
東京ジャーミイの美しい図形は，星形を２つ重ね合わせたものになっているのに
お気づきでしょうか．

星形を2つ重ねた図形の対称性はどのように記述しましょうか．
まず，星形の対称性は．点群5mです（５は5回回転対称軸，mは鏡映面）．
重ねた図形には，2回回転対称軸２があるので部分群として点群２を含みます．
結局，２つの点群の直積として2⊗5m＝10mmの点群になります．
あるいは，星形5mを「法」にすると，10回回転操作（36°の回転）は
｛１，10(mod5m)｝のような，位数2の点群としても理解できます．
この考え方は，奇妙なもので，36°回転を2回続けると元の星形に重なるから
振り出しに戻ったと見なすわけで，我々の3次元ユークリッド空間では
360°回転しないと元に戻らないのですが，この奇妙な空間があるとすると
2x36°＝72°回転すると元に戻ることになります．

菱形12面体が見える万華鏡を作りましょう．少し厚手（0.25mmとか0.31mm）のミラー紙（B5版）が手に入ると，簡単に作れます．
菱形12面体とは図１のような形で，空間を隙間なく埋め尽くすことのできる形でもあります．
菱形面ABA'B'を底面にして，立体の中心Oを結んだピラミッドADA'B-Oが，
中心のまわりに12個集まるとできる立体です．

①　ピラミッドABA'B-Oの側面OAB，OBA'，OA'B，OB'Aを鏡面にした万華鏡を作ります．非対称領域1/12
②　ピラミッドABA'B-Oの半分のABB'-OやABA'-Oでも万華鏡が作れます．非対称領域1/24
③　さらにそれらの半分のABH-Oも万華鏡が作れます．非対称領域1/48

菱形12面体の内部には立方体が含まれますので，
立方体の１辺を2とすると，菱形面ABA'B'の対角線の半分の長さは，
AH=1，BH=√2で，OH=√2，OA＝√3，OB=2となります．

                          図 1　                                                                            図2

 底面（＝菱形面ABA'B'）と頂点（立体の中心O）を結びピラミッドABA'B'-Oを作ります．ピラミッドの内面を鏡面とし，外部（ピラミッドの底側）から頂点Oを覗く万華鏡です．
ピラミッドABA'B'-O，あるいは，底面が直角3角形ABHのピラミッドABH-Oの2種類の万華鏡ができます．ピラミッドの各所の寸法は図２に示します．この寸法を用いて，作った展開図を図3a，bに示します．どちらの展開図でも，Oの周りのグレーに塗った部分は切り取り，窓（＝光の面）を開けます．それぞれの転開図で端辺どうし（左図ではOA'，右図ではOB）を，それぞれ貼り合わせると完成（写真は図4a，b）です．

展開図のグレーに塗った部分は切り取りる．

図3a,　図3b
実際に作る寸法はこの4倍位にすると良い．

完成した万華鏡の外側．鏡面はピラミッドの内側．

図4a　　　図4b

（a)および(b)に対応する万華鏡像

■２つの万華鏡はどちらも菱形12面体像が見えます．図4aのピラミッドには図4bが４つ入ります（図4bの非対称領域は図aの1/4）ので，図4bの万華鏡の方が「菱形面に2mmの対称性があり」，図4aの万華鏡より対称性は高いのです．

■菱形12面体の見える他の万華鏡の例は，⇒ここに掲載します．

トレチャコフ美術館展のポスターを飾る．19世紀末から20世紀初頭のロシア絵画の代表作，クラムスコイ作の「忘れえぬ女」は印象に残ります．表題のНеизвестнаяを直訳の「見知らぬ女」でなく「忘れえぬ女」とした翻訳は実に上手いですね．
この女性が誰だか謎です．すべてのものをありのままに見通すようなまなざしは，実に魅力的です．何も恐れず媚びず，勇敢にまっすぐにみる．あらゆる欺瞞を見抜いているようです．

トレチャコフ美術館展で気に入った絵画がありました．子供の世界のコーナーに展示されている「楽しいひととき」です．作者は，アントニーナ・レオナルドブナ・ルジェフスカヤ（女性）．Антонина Леонардовна Ржевская
ルジェフスキー家のレオナルドの娘アントニーナというわけで，ロシアの標記では，父称からも姓からも女性ということがわかります．この絵画は，男名のА Л Ржевский　と署名し1897年の展覧会に出品しました．

この絵画はパーベル・トレチャコフの目に留まり彼の所蔵となりました．
当時は絵画は男の仕事になっており偏見を心配したためです．

(注）父称や姓は，アントニーナ（女性名詞）を修飾する形容詞ですから女性の語尾変化をし，女性であることが明示されてしまいます．
彼女は没落した貧しい領主の家に生まれました．アレクサンドル2世による農奴解放令は1861年だが，農奴は土地を買わなければならなかったので不徹底改革でしたが，没落領主もあったでしょう．調べたら父は早く死に母と苦労したようです．
1880年にモスクワの絵画・彫刻・建築学校を卒業しました．
1899年に正式に移動派のメンバーになりました．
私立女子学校で教えたり，1920年には骨疾患の子供達のための教育芸術スタジオを組織しボランティア活動をしました．
「楽しいひととき」はこの絵です

エントロピーといえばボルツマンを思い浮かべます．天才ボルツマン（オーストリアの物理学者）の墓碑には，S=klogWと刻まれているそうです．Sはエントロピー，Wはとり得る微視的な”状態数”，kはボルツマン定数です．
対数をとると，log(A･B)=logA+logBのように，積が和になりますので，加算量であるエントロピーと，微視的な”状態数”という積で増加する量とを結び付けるには，対数の登場となるわけです．
熱力学のエントロピーのクラウジウス（1865年）による定義は，系の温度をTとし，可逆過程で熱量δQが系に流入すると，dS=δQ/Tだけ系のエントロピーが増加するというものです．
系の内部エネルギーやエントロピーは状態量です．状態量ならば，系の２つの状態間で，変化経路にかかわりなく，状態量の差が一意に確定します．従って，系のある状態から出発し一回りして戻る経路積分をすると積分値はゼロです．状態量として系の内部エネルギーを例にとると，∲dE=0．このような性質のdEを全微分といいます．
熱や仕事の流入がないとき内部エネルギーは保存（熱力学の第一法則）されます．
閉じた系の内部で何か変化が起きても，その系のエントロピーは増大することはあっても減少することはなく，可逆変化の時のみエントロピーは不変（熱力学の第２法則）です．
系の微視的状態の数はW＝N!/(n_1)!(n_2)!･･･(ｎ_m)!通りで，ここで，P_iを状態n_iをとる確率（n_i＝P_iN，Pi=1）とし，
スターリングの公式を用いlogWを近似すると logW=-(P_i)Nlog(P_i) が得られます．

情報エントロピーの定義もこれと同じ形になります．エントロピーを微視的な状態数の表現と解釈すれば，エントロピーが大きいと可能な状態数が多く，エントロピーが小さいとは予想がしやすいということです．

STEM教育（ステムきょういく）とは、"Science, Technology, Engineering and Mathematics" すなわち科学・技術・工学・数学の略語で，AIやArtも加えてSTEAM教育といわれる理数教科の統合教育であります．STEM教育は，米国で2003年ごろから始まりました．近年，日本でもSTEM教育の必要性が叫ばれるようになりました．これらの科目の中で統合的に数学を教える試みが重要ですが，まだ成功しているとはいえません．われわれが訴えている数学月間の視点は，STEM教育へも貢献できるものと思います．
数学はあらゆる文化・学術の基盤で，科学，工学，産業，芸術，医学，経済など，社会のあらゆる分野を数学が支えています．しかしながら，一般市民，特に，生徒・学生とその両親は，数学学習を敬遠する風潮にあり，これが数学力の低下をもたらしています．米国の「数学月間」MAM（Maths Awareness Month）は，議会上院が決議し、続くレーガン大統領の宣言（1986年4月17日）により国家的な行事として開始されて今日に至ります．米国MAMは，数学系の学協会が参加するJPBM（Joint Policy Boad for Maths）が，毎年，社会を反映した数学テーマを選定し，毎年4月に種々の数学イベントを展開し，国民からの事後評価も受けます．皆が知りたい時局の数学を，種々のレベルで学習できるウエブ・サイトが充実し，そこにエッセイや論文が集積され，そのテーマの数学を基礎から最先端まで，学生が独習できる優れたガイドになります．MAM期間には，一般から専門家まで，小学生から大学生まで，いろいろなレベルのイベントが全国で展開されます．レーガン宣言で国家的行事のMAMを決断した背景には，国民の数学力が低下し，米国の産業力も低下するとの焦りがあったといわれます．日本も同様な状況にあり，国家的行事の数学月間が望まれます．
社会のさまざまな分野と結び付けて数学を知るという数学月間はSTEM教育と精神は同じです．その活動も数学愛好者内にとどまっているのでは意味がなく，社会に横断的に呼びかけ活動し，「社会と数学の架け橋」になることが必要です．多くの方々が数学月間の会に参加されることを願っております．

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数学月間SGK通信 ［2018.11.13］ No.241
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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いろいろな多面体の見える万華鏡（立体万華鏡と仮に呼ぶことにします）を作っています．
アルミ板やプラスチックの鏡は像がきれいに映りますが
ミラー紙を用いても，ここで取り上げているような立体万華鏡は良好に作れますので．
チャレンジしてみてください．

球面正多面体は，アラブの数学者，アブル・ワーファ（1000頃）に始まります．
球面正多面体｛p,q｝は，球面正p角形が，頂点でq個集まっているもので，
球面正p角形の１つの内角は2π/qです（図D）．そして，球面p-多角形の辺はすべて大円であることに注意しましょう．
ここで例に取り上げるのは，正12面体に相当する球面正12面体＝球面｛5,3｝多面体です．

メビウスは多面体万華鏡を発明します（1850）が，これは，球面p-多角形を．
2p個の球面直角３角形に分割することを使います（図A）．
分割された3角形の角度は，π/p，π/q，π/2，このような直角3角形を(p,q,2)のように記述します
万華鏡は，３角形（赤く塗った）の各辺となる大円を鏡にすると得られます．
Aは，メビウス万華鏡になり，正5角形の面を10個の直角3角形に分割しています．
Bは，正5角形の面を5個の2等辺3角形に分割しています．Bには，Aに存在した鏡映対称面が１つ消えています．
Cの赤く練った正3角形の周囲の辺の大円を鏡に置き換えて万華鏡を作れば，正20面体の映像が見えます．
それぞれの映像写真は続きに

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数学月間SGK通信 ［2018.10.16］ No.237
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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フィボナッチ数列というのは，1,1,2,3,5,8,13,....のように続く数列です．
この数列のn項a(n)は，a(n)=a(n-1)+a(n-2)と再帰的に定義できます．
フィボナッチ数列は，様々な分野の思いがけないところで出現します．
この再帰的な機構が支配している現象が様々な分野にあるからです．

集合S(n)=｛1,2,3,....,n｝を考えます．この集合の上の置換を考えます．
置換の結果は，n個の文字の順列になりますから，n!個の置換があります．

さて，文字が始めの位置から移動しない，あるいは，たかだか隣への移動だけが許される
と制限してみます．つまり，どの文字も1つおいた隣以上の移動はしない置換だけを対象にします．
このような置換を，「距離１の置換」と呼ぶことにします．
具体例（次の図）を示すので，「距離１の置換」とは何かは理解できるでしょう．

 Qestion
S(n)上の「距離１の置換」の数をa(n)個とします．ｎ≧1に対してa(n)を求めなさい．
Answer
S(1)に対しては，a(1)=1
S(2)に対しては，a(2)=2
S(3)に対しては，a(3)=3
であることを，確認してください．
次は，a(n)=a(n-1)+a(n-2)が成立することを証明します．
・S(n)の最後のnを動かさない「距離１の置換」の数は，S(n-1)上の「距離1の置換」の数a(n-1)と同じ．
・S(n)で最後のnを動かすとすれば，nの行先はn-1で，空いたnの位置に来れるのはn-1しかありません．
従って，この場合の「距離１の置換」の数はS(n-2)上の「距離１の置換」の数a(n-2)と同じです．

さて，S(n)の最後のnが動くか/動かないかは互いに背反の事象ですから，
両者の和　a(n-1)+a(n-2)がa(n)に等しくなります．（証明終わり）

この式の形は，フィボナッチ数列の定義と同じ形ですから，
a(n)は，第1項が１,第2項が２から始まるフィボナッチ数列になります．

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数学月間SGK通信 ［2018.10.30］ No.239
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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フィボナッチ数列F(n)は，
1,1,2,3,5,8.13,21,34，.....のような数列です．
F(n)=F(n-1)+F(n-2)　と再帰的に定義されます．
このような数列は，いろいろな所に現れます．
得られた数列が，フィボナッチ数列であることを証明するには数学的帰納法を用います．
今回は，その典型的な例を取り上げましょう．

■抵抗ラダー回路

ラダーとは梯子のことで，梯子型に抵抗を並べた回路を，抵抗ラダー回路といいます．
例えば，次の図は3段のラダー回路です．

A-Bの端子（入力側）から見たインピーダンスをZ_i，
C-Dの端子（出力側）から見たインピーダンスをZ_oとします．
この3段のラダー回路は，A-B側（入力側）にR1の抵抗があるが，C-D側（出力側）にはないので，
左右対称ではありません．入力側から見たインピーダンスと出力側から見たインピーダンスの比から，
減衰率Z_i/Z_o≡Aが定義されるが，A>1なのでアッテネータ（減衰器）として使えます．
抵抗値をすべて同じR1=R2＝１とすると，
ラダーの段数mを増やしていくと，減衰率A(m)＝F(2m+1)/F(2m-1)は，2/1，5/2，13/5，34/13,...と
フィボナッチ数列が出てきます．
（参考）計算は以下をご覧ください．証明は数学的帰納法を使う練習になります．

■ラダー回路の応用例
ラダー回路は，アナログ信号が入力されたときに，そのアナログ信号の大きさを，瞬時に8水準に分類する（8ビットのデジタル化）回路（これを8ビットのAD変換といいます）に使われたりもします．
次の図をご覧ください．

コンパレータが7個並列に並んでいますね（カスケード結合）．
入力信号の大きさを８水準に分類するのは，
7個のコンパレータの働きで，
その境界値となる７段階の基準電位をそれぞれに供給します．
この７つの基準電位を発生するのが，
一番左の直列に並んだ抵抗ラダー回路です．
nビットのAD変換には(2^n）-1個のコンパレータと基準電位がいります．

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数学月間SGK通信 ［2017.11.07］ No.192
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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与えられた任意の角の3等分は実在しますが，定規とコンパスだけでは，
これを作図できないということは多分ご存知でしょう．
以下は，ギリシャの幾何学者達が熱心に研究した不可能作図問題です：
（１）与えられた正立方体の2倍の体積の正立方体を作れ
（２）与えられた円と同じ面積の正方形を作れ
（３）任意に与えられた角を3等分せよ
もちろんこのような図形は実在しますが，作図手段を，「定規とコンパスだけを有限回使って」と制限して作図ができるか？という問題です．

■長さa, bの２つの線分が与えられたとき，直線定規とコンパスだけを用いて，
加法a+b，減法a-b，乗法a･b，除法a/b，開平√a
の作図が可能なことは，以下の図をご覧ください．

⇒定規とコンパスで作図できる長さ

これ以外の作図（例えば，立方根の作図）は定規とコンパスでは出来ません
（証明は難しいのでスキップ）．

 （１）ではx³＝2(a³）だから，２の立方根の作図が必要
 （２）では，x²＝π(r²)だから，πという無理数の開平の作図が必要
 （３）では，x³-3x-a=0という角3等分の方程式の根であるxの作図が必要です．
［ただし，aは，与えられる角度Ω（cosΩ＝a/2）により決まる］
例えば，Ω=90°（a=0）のときは，ｘ＝√3の作図になり，これは可能です．
しかし，一般角の場合，この3次式の解には3乗根が入ってきますので，作図は出来ません．
注）この角3等分の方程式の導出は以下の図をご覧ください．

⇒任意の角度の3等分方程式

例として，Ω＝60°（a=1）のときは，x³-3x-1=0となり，
p+q√r (p,q,rは有理数)の形の解を持たないので，
角の3等分の作図は（定規とコンパスでは）できません．

ある折り紙の本に正5角形の作り方がありました．
複雑な手順なので整理して原理だけ説明しましょう．
正5角形の中心角72度を作るミソは，以下のようです．
これで，Θは72°になることを証明できますか？

答，72°になりません．
約71.56...°です．

この折り紙手順で作れる角度は，72°に非常に近いので
実際の折り紙工作では非常に良い方法といえるでしょう．
でも，幾何の命題としては正しくないのです．

話は別になりますが，
正5角形を，コンパスと直線定規で作図できます；
例えば　http://www.natubunko.net/zukei/png/penta03.png
ここから図を引用しましょう．

さてそれでは，この作図を
折り紙の手順で追いかけてみましょう．
折り紙の手法で，「円を描く」というのは，可能でしょうか？

コンパスの使い方には２通りあます；
１）所定の長さを所定の方向にとる．
２）２つの円の交点を求める
（与えられた2点から，それぞれ与えられた距離だけ離れた点を求める）．
このうち，1)は折り紙手順で可能ですが，2)は折り紙手順では不可能です．

折り紙の手順で，正5角形の作図を追いかけてみると，(4)の段階で，２つの円の交点を求めることが必要になります．折り紙ではここができません．

でも，全く違う折り紙手順があり，正5角形が作れたりしないでしょうか？
皆様，挑戦されて，発見したら教えてください．

例えば，定幅紙（帯）を用いて，図のような折り紙を折ることができます．
どうしてこのように折り紙で正5角形が作れるのかを解析する必要があります．試みてください．

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数学月間SGK通信 ［2018.07.02］ No.226
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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暑い日が続きます．皆様お変わりありませんか．
夏休みは数学月間（7/22－8/22）の季節です．毎年，月間初日の7/22に
数学月間懇話会を実施して来ましたが，今年は1月遅れの8/22に実施します．
どうぞお気軽にご参加ください．
■7月の予定
このメルマガの届く7月2日朝は，娘のボトルシップの個展を見にイギリス，サンダーランドに出発の日です．
https://www.facebook.com/photo.php?fbid=10216317238867252&set=a.1776604738559.2105958.1342581912&type=3&theater

サンダーランドでは帆船レースもあります．

その後，イギリス国内を旅行します．そのため，インターネットのアクセスポイントが確保できない場合もあり，7月のメルマガ残り4回は発行できないかも知れません．その時はお許しください．
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■今年のとっとりサイエンスワールドは：鳥取(7/29)，米子(8/5)，倉吉(9/2)です．7/29，8/5の材料は発送しましたが，私が参加できるのは9/2の回です．
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■数学月間懇話会（第14回）のお知らせ
●場所：東大駒場キャンバス，数理科学研究科・002号教室
●日時：2018年8月22日，14:00-17:00
●参加費無料.直接会場にお出で下さい．
●主催：数学月間の会，日本数学協会
●問い合わせ：sgktani@gmail.com
●プログラム：
１．企業での数学活用の実際，渡邉好夫（リコーICT研究所AI応用研究センター，技術顧問）
２．エントロピーと対数，対称性，宮原恒昱（首都大学東京名誉教授･客員教授）
３．パズル玩具と数学の接点-「解ければ終わり」ではもったいない，秋山久義（数学遊戯研究家）
●17:30より構内カフェテリアにて懇親会（飲食は各自払い）
皆さんのご参加をお待ちします．
今年は，例年（7月22日）とちがい8月22日です．ご注意ください！

■口上（企画意図）
(1)googleやamazonなどが典型ですが，色々なデータが収集され予測に使われているのは，皆さんも実感されていることでしょう．このビッグデータの時代に，企業もデータサイエンスに無関心ではいられません．
その一方，機器の設計では，動作原理のシミュレーションなどで物理に立脚した数学モデルが企業でも活躍します．数学が技術を支えているのが具体的に実感できるでしょう．

(2)天才ボルツマン（オーストリアの物理学者）の墓碑には，S=k・log(W)と刻まれているそうです．Sはエントロピー，Wは状態のとり得る”場合の数”，log(W)は”場合の数”の対数をとること，
kはボルツマン定数です．対数をとると，log(A･B)＝log(A)＋log(B)　のように，積が和になり，”場合の数”の積は，エントロピーの和に対応させられます．
だからここに対数がでてくるのですね．ボルツマンは1906年自殺しました．
分子の実在も証明されない時代に，気体分子運動論，統計力学を築いた天才は受け入れられませんでした．あと1年頑張っていればよかったのですがね．

(3)パズルやマジックの多くは，数学に深いかかわりがあります．
試行錯誤して，答えが見つかればそれで終わりとするのが普通です．
でもそれでは勿体無い．正解が発見でき，本質に肉薄した所にいるのだから，
その奥にある数学原理が発見できるでしょう．2010年没のマーチン・ガードナーの著作が懐かしいですね，おいでになれば，珍しいパズルグッズにも触れることができます

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数学月間SGK通信 ［2018.08.07］ No.227
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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暑いです．皆様お元気でしょうか．
このひと月に日本では色々なことが起こりました．
皆様の方では豪雨被害や台風被害は大丈夫だったでしょうか．
7月は私はひと月間お休みをいただきましたが，
お休み前のメルマガで予定をお話したように，
イギリス，サンダーランドの国立ガラスセンターで開催された，
ボトルシップ（ガラスの中のガラスの船）の綾子の個展と講演を聞きました．
アン王女もボトルシップの個展に訪問されましたので，
私はパパラッチのように写真を撮りました．
帆船レースは54隻が参加し，サンダーランドからデンマークまでの
レース１では，MIR（ミール＝平和丸，ロシア）が1番だったようです．
およそ3日で横断します．
これらの詳細は，私のブログのイギリス旅行記３－６に書きました．
https://rdsig.yahoo.co.jp/blog/article/titlelink/RV=1/RU=aHR0cHM6Ly9ibG9ncy55YWhvby5jby5qcC90YW5pZHIvMTg2MTA0MjUuaHRtbA--
その後，イギリス各地を見学して回りましたので，
詳細はブログのイギリス旅行記の続編をご覧ください．
■お知らせ
とっとりサイエンスワールドは，9月2日のin倉吉を残すのみとなりました（私は参加します）．
数学月間懇話会（第14回）は，8月22日，14時から東大駒場で実施します．
興味深い講演が３つあります．お気軽にご参加ください．
■

写真はイギリスで見聞した面白い形，セパタクロウのボールの形です．
このおもちゃは，サンダーランド博物館で売っていました．
6色のリングが組み合わさってできています．
リングを切ってばらして再組み立て直してみました．
思ったより樹脂が固くて編み難く扱いにくいです．
テープを編んでセパタクロウのボールを作った方が楽でした．
さて，このボールは，正5角形と正3角形からできており，
頂点のまわりに，3角形，５角形，3角形，５角形の順に集まっていますから
シュレフリ記号で［3,5,3,5］半正多面体です．この多面体には対称心があります．
点群は正12面体群の対称性です．
この模型自体が5回対称軸による色が保存される軌道からなり．正12面体には6本の5回軸がありますから，６色の軌道が組み合わさってできています．
5回回転軸は5色の循環と1色の保存と結び付き，３回回転軸は３色づつ2組の循環と結び付きます．

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数学月間SGK通信 ［2018.08.14］ No.228
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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今回は，クラッグサイド城での見聞を紹介します．
クラッグサイドCragsideというのは，Nothunberland 国立公園内, Newcastleから北北西50kmの付近にあります．
アームストロングWilliamArmstrongの居城．アームストロング（1810-1900）はニューカッスル出身の発明家でアームストロング社を設立しました．
水力を動力とする回転機，クレーンの発明．アームストロング砲や戦艦造船事業です．
日露戦争時の戦艦，三笠など皆アームストロング社製です．金剛などの主砲もアームストロング社製．
日本は，弩級戦艦（ドレッドノート型）の造艦をイギリスから学ぶが，その後，超弩級の大和などを作るようになる．
日本の建艦技術の先生である．購入した戦艦の改装は何度か行われたが，装甲板にドリルの歯がたたず鋼材の硬さに舌を巻いたという話をどこかで読んだ記憶がある．

Cragside城の内部は，リフトを始め調理装置まで，さまざまな器具の動力に水力による回転が伝達されている．
自己の開発したメカ技術の実用化テスト場のようでもある．
クレーンで成功したのだが，建物にも動滑車を使ったメカが使われている．

アルキメデス螺旋（写真）は，水路の落差で螺旋軸を回転し水力発電機を回す．
あるいは螺旋軸を電力で逆転すれは揚水もできる．
実験室の展示には静電気発電や不思議な実験装置の展示があり面白い．

■クラッグサイドCragsideで見たモザイク模様
これら（５つ）はすべて同じ対称性(P4mm)に分類されます．一般に壁紙模様の対称性（平面群）は17種類ありますが，クラッグサイドでは．P4mmの模様ばかりが使われていました．

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■訃報
数学月間設立に尽力された片瀬豊氏が，8月8日に亡くなりました．
通夜：8月18日，6時から
告別式：8月19日，11時から
いづれも，横浜港南台，くらしの友にて
（くらしの友の住所は）
神奈川県横浜市港南区港南台４丁目２４－１０

なお，8月22日の「数学月間懇話会（第14回）」は故人の遺志を引き継ぎ予定通り実施します．
場所：東大駒場キャンバス，数理科学研究科・002号教室
日時：2018年8月22日，14:00-17:00
参加費無料
１．企業での数学活用の実際，渡邉好夫（リコーICT研究所AI応用研究センター，技術顧問）
２．エントロピーと対数，対称性，宮原恒昱（首都大学東京名誉教授・客員教授）
３．パズル玩具と数学の接点-「解ければ終わり」ではもったいない，秋山久義（数学遊戯研究家）
いずれも問い合わせ先：sgktani@gmail.com

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数学月間SGK通信 ［2018.08.21］ No.229
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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参考

９月2日は，とっとりサイエンスワールドin倉吉（未来中心にて）に行きます．
今年の万華鏡は，去年のものより少し高級になり3枚鏡です．
きれいですよ．お近くの方どうぞご参加ください．

今日の話題は，多面体の見える万華鏡です．

 reciprocalという言葉があります．経済などでは，互恵的とか対等とかいう意味で使われます．
結晶学では，結晶格子crystal latticeに対して，逆格子のことをreciprocal latticeといいます．
両者の関係は，多面体でいうと，面を頂点に，頂点を面に変換した多面体
（これを双対dualな多面体という）の関係と同じです．

例えば，シリコンの結晶格子は面心格子で，ディリクレ胞を描くと菱形12面体です．
シリコンの逆格子は体心格子で，ディリクレ胞を描くと｛6,6,4｝半正多面体，いわゆるケルビン立体です．
結晶格子中のデリクレ胞と逆格子中のデリクレ胞は，このように互いに双対です．
格子に対して逆格子reciprocal latticeとはうまく名付けたものです．
もちろん，対称性はどちらも同じ，正6面体の対称性です．
作製した万華鏡は，左から覗くと菱形12面体が，右から覗くとケルビン立体が観察され，両者の対称性は同じであることを理解するのに役立ちます．

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数学月間SGK通信 ［2018.08.28］ No.230
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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今年の夏は特別暑いですね．皆様お元気でしょうか．
７,８月は超過密なスケジュールでしたが，何とか乗り切れそうです．
8月22日の数学月間懇話会（第14回）は，お陰様で無事実施できました．
残るは9月2日のとっとりサイエンスワールドin倉吉（未来中心）です．
お近くの方，ぜひご参加ください．私は万華鏡で参加します．
今年の万華鏡は，ちょっと見ると昨年と同じと思う人もいそうですが，
実は3枚鏡に進化しているのです．今年の万華鏡を作れば，昨年より
ずいぶんきれいな映像であることがわかるでしょう．
このようなタイプ（ブリュースタ）の万華鏡は，これでゴールです．
来年の万華鏡からは，多面体万華鏡のシリーズに変えたいと思っています．
ぜひ，今年の万華鏡を作りに来てください．

ひまわりの花の中心の種の部分や，松ぼっくりを裏から見ると
時計回りの螺旋と反時計回りの螺旋が見えるでしょう．
それらの螺旋の数は，隣り合うフィボナッチ数であることが知られています．
今日は，フィボナッチ数の話です．

オスのミツバチは未受精卵から生まれ，メスのミツバチは受精卵から生まれるそうです．だから，オスのミツバチには母親しかいません．メスのミツバチには母親と父親がいます．
いま，１つのオスのミツバチに注目して，このミツバチの祖先が何匹になるか，
世代ごとに遡ってみましょう．
原点になるオスのミツバチを世代１とします．
遡って，世代nのミツバチの数を（a(n)，b(n)，t(n)）と表記しましょう．
a(n)はメスのミツバチ数，b(n）はオスのミツバチ数，t(n）はミツバチ総数です．
世代１では，オスのミツバチ１匹なので，
（a(1)=0，b(1)＝１，t(1)=1）です．
オスのミツバチには母親しかいませんから
親の世代（世代2）では，（a(2)=1, b(2)=0, t（2）=1）になり，
さらに遡り祖父母の世代（世代3）で，メスのミツバチ1匹が生れたのだから，
（a(3)=1，b(3）=1，t(3)=2）　です．
この調子で遡っていきます：
いつも次の関係が成り立つことがわかるでしょう．
a(n-1)＝b(n)
a(n-1)＋b(n-1)＝a(n)
t(n)＝a(n)+b(n)

これらの関係を整理して，
a(n-1)+b(n-1)=a(n-1)+a(n-2)=a(n)
t(n)＝a(n)+b(n)＝a(n)＋a(n-1)=a(n+1)
が得られます．
これは，メスのミツバチの数は，世代を遡るとフィボナッチ数列で増大する
ことを示しています．
n世代のミツバチ数は，一つ遡ったn+1世代のメスのミツバチ数と同じとも言えます．

1世代から遡って8世代まで，ミツバチ総数t(n)を並べて見ましょう．
　1,1,2,3,5,8,13,21,....
これはフィボナッチ数列です．

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数学月間SGK通信 ［2018.09.04］ No.231
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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9月2日はとっとりサイエンスワールドin倉吉（未来中心）でした．
7月は私は不在だったので，参加するのは今年は倉吉だけでした．
他会場は，材料のみの提供で，先生方やボランティアの高校生にお願いしました．
前夜の20時50分発のバスで出発し，当日の朝7時に倉吉到着です．
会場の倉吉，未来中心（なしっこ館）で，8時過ぎから準備に入り，
いよいよ10時開場です．良い天気の日になりました．
2日（当日）の来場者は1,226人との発表です．
倉吉会場の万華鏡は100人を予定しましたが，3回目のクラスで使い切り，
その後の4,5回は，予備の材料をかき集めて対応しました．
結局，150人（約30人クラスを5回）を超す盛況でしたが，
4,5回目は混雑しすぎて指導の声が届かず困りました．
材料切れでお断りした方々には申し訳ありません．

左側は今年(2018年）の万華鏡の映像．右側は昨年(2017年）の万華鏡の映像です．
万華鏡の外観はほとんど同じなのですが，覗くと，映像はずいぶん違うでしょう．
今年の万華鏡で，頂角が15度の２等辺３角形の３枚鏡の万華鏡のゴールです．
ちなみに，昨年の万華鏡は２枚鏡の万華鏡でした．
　　　　　去年の万華鏡　　　　　　　　　今年の万華鏡

来年の万華鏡は多面体の見える万華鏡も含めて，いろいろ考慮中です．
ご希望などお寄せください．

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数学月間SGK通信 ［2018.09.11］ No.232
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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参考
ロンドンの記事
多面体の6角形の面

関西では台風大雨の被害，北海道では地震の被害と，重なりなした．
皆様いかがでしょうか．お見舞い申し上げます．
北海道の地震では，泊原発が停止していたのは不幸中の幸いでした．
もし稼働中だったら制御棒が挿入でき停止できたとしても，
燃料の冷却には非常用電源だけでは持ちません．福一の再現になるところでした．
今年は異常に暑い夏でした．私の家に来ていたシジュウカラさんたちは全く姿を現さなくなっていたのですが，9月8日になってまた戻ってきました．暑い夏はどこか山の方にでも避難していたのでしょう．無事で良かった．

今回はイギリス旅行で見たものの話です．
ロンドンに寄ったのは，7月16,17日の2日だけ．16日（月曜日）の昼にロンドン着．ブリティッシ・ライブラリーと大英博物館見学．あまり見学時間はありません．
館内も非常に暑い．その後トラファルガーまで2階建てバスに乗る．
16日はKings crossに泊まる．
マルクスは大英博物館の読書室で毎日過ごしたそうだ．記録が残っている．
■
地下鉄の通路のバイオリニスト．サウンドオブミュージックの演奏ですが，上手いので募金しました．上手いわけですここで演奏できるのはオーデションに合格した人だけだそうです．私も下手なバイオリンを奏くので，この方に関心をもちました．なぜここで演奏しているのか質問したかった．伴奏もなくただ一人．こんなところでバイオリンに出会うとは意外でした．

17日（火曜日）は，V&A(Victoria & Albert)Museum(今日も非常に暑い日であるが，5階は天井ガラスでまるで温室)．その後，自然史博物館見学．
東日本大震災のコーナーがありました．床が横揺れする地震の体験ができます．
地震を体験したことがあるかを問うアンケートの投票ボタンがありましたが，この地の人の7割が地震の体験がないようです．

■さて，街を歩いていて面白い建物を見つけました．
黄金比だらけのペンローズタイリングや面白い多面体のオブジェです．
この建物はよくわかりませんがロンドン大学と関係ありそうです．この多面体の形は，なかなか面白い．正5角形が12個と6角形（正ではない）が30個でできています．
正5角形が12面でできている「正12面体」の各面（正5角形）に厚みを持たせて，
側面が台形で囲まれた「厚みのある正5角形の面」で正12面体を作り，側面の台形は隣の面の台形とつないで平面上の6角形にします．なかなか美しく面白い多面体ですが，３つの6角形が出会う頂点があります．もし，6角形が正6角形なら3つ出会う頂点は平坦になってしまいますから，この図形の6角形は正6角形ではありません．

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数学月間SGK通信 ［2018.10.09］ No.236
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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今年の数学月間懇話会の講演の１つは，パズル玩具と数学の接点-「解ければ終わり」ではもったいない-秋山久義氏でした．
この講演で取り上げたパズルの１つに「クロスバー・パズル」があります．秋山氏のプレゼンを引用し，
このパズルを紹介しましょう．
クロスバー・パズルというのは，8枚の板よりなり，
板には５の溝が切ってある櫛形をしています：
５つの溝のうち1つは深く，１つは浅い．残りの３つの溝は中間（半分）の深さです．
8枚の板は，シリンダー錠のように，溝の配列が全部異なります.

この８枚の板を縦/横に組み合わせ，完成図のような形に組み上げて下さい．
縦/横（直交）に組み合うときに，深い溝には浅い溝を組み合わせなければできません．
中間の深さのもの同士が組み合わなければやはり行き詰ります．
全部組み上げるのはとても難しいです．ご挑戦ください．
［ヒント］
ラテン方陣というのは，5つの数字を並べて．縦/横のどの列にも，同じ数字が出てこないような並べ方です．
クロスバー・パズルでは，深い溝と浅い溝が，縦/横の列に1つずつあるのが必要条件です．
ラテン方陣とクロスバー・パズル，この両者は似ていると思いませんか！

このラテン方陣から出る解は，ここに示したグラフの解（４つ）以外にもあるし，
ラテン方陣は，この他にもまだあります．従って，解はこの4つ以外にたくさん（多分，24通り）あります．

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数学月間SGK通信 ［2018.09.25］ No.234
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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フィボナッチ数はいろいろな所に現れます．
230号に続きThomas Koshyの著書からの引用です．
今回はフィボナッチ数と音楽の関係です．
フィボナッチ数は次のように定義される
F(n)=F(n-1)+F(n-2)．F(1)=1，F(2)＝１として数列を作ると
１，１，２，３，５，８，13，.......が得られる．
ピアノの鍵盤は，フィボナッチ数と音楽のつながりを魅惑的に可視化している．
鍵盤上で１オクターブは，２音の間の音程で，高音の周波数は低音の2倍になっている．鍵盤でいうと，1オクターブは，５つの黒鍵と８つの白鍵，合わせて13の鍵で構成される；図．この5つの黒鍵は2つのグループをなしている；一方は2鍵よりなるグループ，他方は3鍵よりなるグループ．

1オクターブに入る13の音は，西洋音楽で最も一般的な音階であるクロマチック音階(半音階)を作る．クロマチック音階に先行して，2つの他の音階；5音からなるペンタトニック音階と8音からなるダイアトニック音階があった． お馴染みの"Mary had a Little Lamb” と “Amazing Grace” は，ペンタトニック音階を使い演奏できる．また， “Row, Row, Row Your Boat” のメロディーはダイアトニック音階を使い演奏できる．
長6度と短6度（それぞれ，6つ離れた音，および5+1/2離れた音）は，耳を最も喜ばす2つの音程である．長６度は，例えば，音CとAから成る：それぞれの音は，1秒当たり264と440の振動数である；図．264/440 = 3/5は，フィボナッチ比であるに注目しよう．
短6度は，例えば，1秒当たりの振動数330と528の音であるEとCから構成される． それらの比もフィボナッチ比である：　330/528 = 5/8.
［自音の音程は1度という．1オクターブの音程は8度である．］

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数学月間SGK通信 ［2018.09.18］ No.233
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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皆様お変わりありませんか．
AI人工知能，ビッグデータ解析という分野がどんどん人間に近づいていて，
気持ちが悪いですね．基礎になる”ベイズ確率”は，別途言及しようと思っています．

「千倍変わると世の中が変わる（新しいパラダイムになる）」というのが，放射光の高輝度化を推進する根拠に，千川純一先生がよく言われていた．いろいろの技術でこの裏付けがなされる．肉眼→光学顕微鏡→電子顕微鏡．光学顕微鏡で初めて細菌が見えるようになった．電子顕微鏡で初めてウイルスが見えるようになった．光学顕微鏡でウイルスを見ようとしたって無駄なことだった．濾過性病原菌という言葉が生きていた過去の時代のことだ．人→ジェット機→？，トランジスタ→IC（微細化のスピードはムーアの法則に乗って進んだ），コンピュータの速度もどんどん速くなっている．千倍の技術革新で全く新しいパラダイムに突入するが，千倍を達成するのは容易いことではない．計算速度が速くなればAIもどんどん人間に近づいて行くのは間違いない．

機械は絶対に人間の心がわからないという人もいるが，人間だって自分をわかっているとは言えない．少なくとも，村上春樹程度の小説は，AIが書くようになると私は思います．

そして，行着くところはシンギュラリティなのか？そこまで行着けないのか？
人間が誰もいなくなっても，今と同じ世界が続いているなら，私という存在はいったい何なのだろうか．これは，選挙のたびに私が感じることです．私たちの投票が開票されていないのに，結果が分かっているとは何と理不尽なことか．

ロンドンの街で面白い建物を見つけました．
黄金比だらけのペンローズタイリングや面白い多面体のオブジェです．

この建物はロンドン大学と関係ありそうな建物です．右の多面体の形は，なかなか面白い．正5角形の12面でできている「正12面体」の各面（正5角形）に厚みを持たせて側面が台形で囲まれた「厚みのある正5角形の面」で正12面体の面を置き換えるとできます．側面の台形は隣の面の台形とつないで平面上の6角形にします．なかなか美しく面白い多面体ですね．
この多面体は，正5角形12個と6角形30個でできていて，頂点周りがすべて均一ではなく，6角形が３つ集まる頂点と，正5角形と２つの6角形が集まる頂点の2種類があります．もし，6角形が正6角形とすると3つ集まると平面になるので立体になりません．6角形は平面でないかあるいは角度が歪まざるを得ません．
 

7月17日，ロンドンへの追加写真
◆地下鉄の通路のバイオリニスト．サウンドオブミュージックの演奏ですが上手いので募金しました．上手いわけですここで演奏できるのはオーデションに合格した人だけだそうです．

https://www.facebook.com/photo.php?fbid=1879354988819079&set=pcb.1879355662152345&type=3&__tn__=HH-R&eid=ARDb6uZOH_1M4r3zwHQK2EQT1rgSBNNtVoX97_DQY0CCfVSAVOLlB1BRss2YOTrsj896OQLqlrWBaqiC

◆黄金比だらけのペンローズタイリングや面白い多面体のオブジェです．ロンドン大学と関係ありそうな建物です．

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数学月間SGK通信 ［2018.06.26］ No.225
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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球面正12面体像の見えるメビウス万華鏡を作って見ましょう．
まず，完成した2つの万華鏡像をご鑑賞ください．
(A）左の万華鏡像
球面正12面体の1つの面(球面正5角形)の1/10が非対称領域にある（万華鏡内の）物体です．正12面体全体の1/120が非対称領域です．
(B）右の万華鏡像
球面正12面体の1つの面(球面正5角形)の1/5が非対称領域にある（万華鏡内の）物体）です．正12面体全体の1/60が非対称領域です．
両万華鏡ともに，球面正12面体の映像が見えますが，それぞれの球面正5角形の面の分割数を観察すると異なることがわります．
左の万華鏡(A)は，右の万華鏡(B)の半分です．

続き⇒正12面体像の見える万華鏡を作ろう

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数学月間SGK通信 ［2018.06.19］ No.224
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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正12面体や球面正12面体は，正５角形（あるいは，球面正５角形）の面12枚が囲んでできる立体です．
3枚鏡の組み合わせで万華鏡を作り，正12面体や球面正12面体が見える万華鏡を作りましょう．
正12面体の点群（対称性）を生成元する3枚の鏡に，次のものを選びます．
（Aタイプ）１つの正5角形の面を10個の直角3角形に分割し，
その領域を中心から見込む3角錘が作る万華鏡．
（Bタイプ）１つの正5角形の面を５つの2等辺3角形に分割し，
その領域を中心から見込む3角錘が作る万華鏡．

      　　             （A)　           　　　　　　　　　　　　（B)

作製したそれぞれの万華鏡で見られる映像を対応させて掲載します．
正12面体映像の正5角形の面を比較観察してください．
Aの映像では直角3角形10個が正5角形面を作っていますが，Bの映像では2等辺三角形5個が正５角形の面を作っているのがわかります．
■正12面体および球面正12面体の見える万華鏡（Aタイプ）の作り方

 ミラー紙（厚さ0.25mm以上が良い）に次の展開図を描きます．青色の部分を使います（赤線に沿って光の窓を作ります）．赤線の円は球面正12面体像が見える窓，赤線の直線は正12面体像が見える窓で，どちらかを選びます．辺OHがつながるように3角錐（鏡面は三角錐の内側）を組み立てます．完成した万華鏡は△KAHから覗きます．

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数学月間SGK通信 ［2018.06.05］ No.222
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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夏を思わせる日があったと思うと寒い日もあります．
梅雨入りもまじかでしょう，皆様どうぞご自愛ください．
今日は，対数について実用上の役割を見てみましょう．
関数としての対数の微積分は，数学では避けられませんが
常用対数表や計算尺はコンピュータ時代に影が薄くなりました．
しかし，対数は数字の桁を表示することなので，色々な現象のスケールの定義が
対数を用いてなされます．社会や科学の色々な分野で対数が係わることになります．
■対数の発明
ネイピア（スコットランド）は，1614年の著書で対数を提唱しました．
大きな数字の間の乗算は面倒です．
対数を用いれば，掛け合わせるそれぞれの数の対数をとり，それらを加算し，
対数表の中にこの数を探しだし，対数をとる前の数を求めればよい．
積の対数は，それぞれの数の対数の和になるから，乗算が加算に変る．
log(A･B)＝log(A)+log(B)
コンピュータのない時代の科学技術計算に，対数表は不可欠だった．
16cの天文学者は対数表で大いに助かったことだろう．
あのニュートンも対数表を用いて計算したに相違ない．
ビュルギ（スイス）も，ネイピアとほとんど同時期に対数を用いているらしい．
計算尺の発明は，ウイリアム・オートレッド（英）1621年と言われる．

対数をとると，乗算が加算に変わる原理は，次のようなことです．
例えば，16や32を2のべき乗で表すと，16=2^4， 32=2^5なので，
16x32＝512の計算は，つまり，2^4ｘ2^5＝2^9　は，
4+5=9のように，べき乗の可算になります（指数法則）．
２を底とする対数をとると，log16＝4，log32=5，log512＝9であるので
べき乗の可算4+5=9から，log16＋log32＝log512となります．
このように，対数を仲介することで，積を和に変えることができます．
ここでは，２を対数の底として説明しましたが，対数表の完備しているのは底10の
常用対数です．常用対数は，10進法に相当しています．
注）底は1でない正数．対数が定義できるのは真数が正数のとき定義される．
■対数の応用
対数は科学の様々な分野のスケールに用いられる．例えば，エントロピー．ペーハーpH，
デシベルdB，地震マグニチュード，恒星の等級，...等々．
人間の感覚感度は，べき乗スケールで変わった方が自然なようです．
例えば，
・エントロピーSと，状態のとり得る場合の数Wは，
　S=k･log(W)，kはボルツマン定数．
・ペーハーpHは，水溶液の水素イオン濃度の対数です．
純水の水素イオン濃度は10^-7なので，中性のpH＝-log（10^-7）＝7
・デシベルdBは，ゲイン（増幅率）の対数をベルBと言い，その10倍をデシベルdBと言います．
100倍のゲインならlog100=2B＝20dB．
・地震のマグニチュードMは，地震のエネルギーの対数です．
マグニチュードが1段階変わればエネルギーは約32倍になります．
・恒星の等級には，実視等級と絶対等級があります．実視等級は，一番明るい星たちを1等星，
肉眼でやっと見える星たちを6等星に区分したことに始まります．
1等星と6等星では明るさが100倍違いましたので，結局1等級違えば明るさは100^(1/5)＝2.51･･倍違います．
絶対等級というのは，恒星までの距離を考慮し，恒星がすべて10パーセク(32.6光年)の距離にあるとして，
実視等級を換算し直し，地球からの距離にはよらぬ恒星本来の明るさを表します．
この換算には，明るさは距離の2乗に反比例することを使います．

ハワイ島には３つの主な火山があり，北がマウナケア，中央がマウナロア，南東がキラウエアです．5月に噴火しているのはキラウエアの東端ブナ地区の一部です．ホットスポットからマグマが上がり，地殻プレートは西に移動していますので，活動はだんだん東に移ります*注．
注）
ハワイが乗っている太平洋プレートは，東太平洋海嶺（アメリカ大陸の西側に沿ってある）から生まれて，日本海溝で沈みます．海嶺はマントル対流の上昇箇所にできる山で，ここを中心に，東西にプレートが送り出されます．東に送り出されたプレートは米国大陸の下に潜り込み(サンアンドレアス断層＝地震の巣)，西に送り出されたプレートは日本海溝で沈みます．マグマの発生源は上部マントルのホットスポットにあり，移動するプレート（地殻）を通り抜けてマグマが上がって来ます．プレートが西に動いているので，火山の活発な場所は，地上で見ると東に動くように見えます．
マウナケア，マウナロアは4,000mを越す山ですが，キラウエアは活動中で標高もまだ1,000mちょとです．マントル上部からマグマが上昇して来ますが，海洋底の地殻は薄いので，マグマだまりで地殻成分を融かす暇がなく，ケイ酸塩成分の少ない流動性の高い玄武岩質のまま穏やかに噴火し溶岩流となります．セントへレンズ山や富士山の様な内陸部では，マグマのケイ酸塩成分が少し増えますから粘性が上がり爆発的な噴火があります．写真（玄武岩basalt）は，私が昔採集したマウナケアのKapa'ahu溶岩です．溶岩流の筋跡が見えます．白っぽく見えるのは，リューサイトKAlSi2O6の小さい結晶です．この溶岩は気泡が抜けて穴だらけ状態（アア溶岩）とは違い，かつ，リューサイトも結晶化しているので，溶岩流の内部でゆっくり固まったものと思います．

hawaiicountygis.maps.arcgis.com
噴火地図

モーリーの定理：「３角形の各内角の3等分線の交点（最初に出会う３点）が作る3角形は，常に正3角形である」
1899年にフランク・モーリーによって発見されたこの定理の証明はとても難解です．一般角の3等分自体が，定規とコンパスで作図不可能ですから，この定理の証明も困難そうです．この定理の背景に不可能作図の角度の3等分があるので，この定理は盲点だったのでしょう．ユークリッドの時代に発見されても良さそうな初等幾何の定理なのに，発見は最近百年の出来事です．

■Frank Morlay（1860年英国生まれ．ケンブリッジ卒業．1887年より米国定住）学生時代から始まるThe Edcational Timesへの数学問題（主として幾何学）掲載は，50年にわり，60題を越す．1900年，ジョンズ・ホプキンス大，数学教授
米数学協会Bulletinの編集，ジョンズ・ホプキンス大では the American Journal of Mathematicsの編集を30年間務めた．

http://jwilson.coe.uga.edu/EMT668/EMAT6680.F99/Estes/morley/morley.html

■モーリーの定理の証明は，モーリー後も，いろいろな人が，さまざまな方法で証明しました．三角関数を使ってM. Satyanarayana，初等幾何学的にN. Naranjengar(1909), Alain Connes(1998), John Conway などなど...．
数学では，定理を発見し証明するのは価値がありますが，すでに証明されている定理でも，別の方法で証明することは重要です．特に，その証明法が飾りを削ぎ落し定理の本質を暴き出すものであれば非常に価値が高い．皆様もこの定理に挑戦ください．

■ Taylor and Marr（1914）は、2つの幾何学的証明と1つの三角関数を使った証明を提示しました．
この定理を広げて，さらに美しい驚くべき結果も得られています．内部の正３角形に加えて、外部に4つの追加の正３角形があります（Wells 1991）．

http://mathworld.wolfram.com/MorleysTheorem.html

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数学月間SGK通信 ［2018.06.12］ No.223
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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練習問題
（左図）直角３角形の各辺上に半円形が描いてあります．これらの面積に以下の関係があります．青い半円＋黄緑の半円＝オレンジの半円
ピタゴラス（3平方）の定理，a^2+b^2=c^2 (a,bｃは直角3角形の辺長で，cは斜辺)が成立するのだから，当然ですね．
（右図）青い月形＋黄緑の月形＝三角形の面積（ピンク）を証明しなさい．

■解説

 

直角3角形で成り立つピタゴラスの定理はa^2+b^2＝c^2（ただし，cは斜辺の長さ）．この関係を面積で表現すると，それぞれの辺を1辺として描いた正方形の面積の関係であることはご存知でしょう．今度は，それぞれの辺を直径とする半円を描いたものが左の図です．それぞれの半円の面積は，piを円周率とし，（pi/8)･a^2，（pi/8)･b^2，（pi/8)･c^2ですから，ピタゴラスの定理を各辺を直径とする半円の面歳の関係だと言ってもよいのです．ピタゴラスの定理は2乗和の関係で，2乗と言えば面積ですから，例えば，それぞれの辺の上に正3角形を描いて，それらの面積の間に成り立つのがピタゴラスの定理ということもできます．
さて，ピタゴラスの定理から，左図の半円の面積に関して，
青い半円＋緑の半円＝黄色の半円
が成立します．
右図をご覧ください．左図の黄色の半円は，右図でｃは白い円の直径ですから，じっと見ると，ピンクの直角3角形が，この白い半円に入っていることがわかるでしょう．面積の関係は，青い半円＋緑の半円＝白い半円　です．
結局，青い半円と緑の半円と白い半円の巨通部分を減じると，
青い三日月＋緑の三日月＝ピンクの直角3角形
の関係が得られます．

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数学月間SGK通信 ［2018.05.08］ No.218
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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■皆様，連休をどのようにお過ごしでしたか．私は，数学月間のHPの改装を進めています．
当分は，現状HPの方　http://sgk2005.sakura.ne.jp/　を訪問ください．
5月5日は，友人の出るハーモニカの発表会を聞きに行きました．
ファミリー和谷クロマティック・ハーモニカ発表会（ルーテル市ヶ谷センター）です．．
オルガン，手風琴のようでもあり，オーボエ，フルートのようにも，時にはバイオリンのようにも聞こえる音色．
ジプシー風，タンゴ風の曲想に似合いながら，四重奏も合奏も協奏曲もこなせる凄いポテンシャルのある楽器です．
フルートでも難しい速いパッセージの超絶技巧に感動．和谷奏扶先生はハーモニカ音楽の開拓者．
目からうろこの発表会でした．

■数学月間懇話会（第14回）のお知らせ
●場所：東大駒場キャンバス，数理科学研究科・002号教室
●日時：2018年8月22日，14:00-17:00
●参加費無料
直接会場にお出で下さい．
●主催：数学月間の会，日本数学協会
●問い合わせ：sgktani@gmail.com
●プログラム：
１．企業での数学活用の実際，渡邉好夫（リコーICT研究所AI応用研究センター，技術顧問）
２．エントロピーと対数，対称性，宮原恒昱（首都大学東京名誉教授・客員教授）
３．パズル玩具と数学の接点-「解ければ終わり」ではもったいない，秋山久義（数学遊戯研究家）
●17:30より構内カフェテリアにて懇親会（飲食は各自払い）
皆さんのご参加をお待ちします．
今年は，例年（7月22日）とちがい8月22日ですご注意ください！

■企画意図の口上
(1)googleやamazonなどが典型ですが，色々なデータが収集され予測に使われています．
皆さんも日ごろ実感されていることでしょう．このビッグデータの時代に，
企業もデータサイエンスに無関心ではいられません．しかし，ビッグデータの以前から，
機器の設計にあたっては動作原理のシミュレーションなどの数学モデルが企業でも使われておりました．
数学が色々な分野で技術を支えているのが具体的に実感できるでしょう．

(2)天才ボルツマン（オーストリアの物理学者）の墓碑には，S=k・ln(W)と刻まれているそうです．Sはエントロピー，
Wは状態のとり得る”場合の数”，ln(W)は”場合の数”の自然対数をとること，kはボルツマン定数です．
対数をとると，ln(A・B)＝ln(A)＋ln(B)　のように，積が和になりますので，
”場合の数”の積は，エントロピーの和に対応します．だからここに対数がでてくるのですね．
ボルツマンは1906年自殺しました．分子の実在も証明されない時代に，
気体分子運動論，統計力学を主張した天才は学会に受け入れられませんでした．
あと1年頑張っていればよかったのですがね．

(3)パズルやマジックの多くは，数学に深いかかわりがあります．
試行錯誤して，答えが見つかればそれで終わりとするのが普通です．
でもそれでは勿体無い．正解が発見でき，本質に肉薄した所にいるのだから，
その手順を整理してみると，その奥にある数学原理が発見できるでしょう．
2010年没のマーチン・ガードナーの著作が懐かしいですね，
おいでになれば，珍しいパズルグッズにも触れることができます．

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数学月間SGK通信 ［2018.05.01］ No.217
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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皆様，ゴールデンウイーク（この頃あまり使われないようですが）の真っただ中
良い休日をお過ごしでしょうか．私は数学月間の会のウエブサイトの改装の準備中です．
公開までにまだ日にちがかります．
桜が咲き始める3月末から，顔見知りのシジュウカラさん達が姿を現さなくなりました．
しじゅう来ていたのにぱったり来なくなり心配になりますが，これは毎年のことです．
林の奥の方ではシジュウカラさん達の良い鳴き声がさかんに聞こえます．巣にいて
きっと忙しいのでしょうね．
シジュウカラさん達がまた来る日までに，百日紅の葉はすっかり茂っているでしょう．

◆前号でフィボナッチ数列と対数螺旋の話をしましたが，図を示しておきます．
フィボナッチ数列を1辺とする正方形で平面を埋めていくと，螺旋ができます．
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/91/18506991/img_0_m?1525098033

◆互いに隣り合うフィボナッチ数は互いに素です．
［F（n+1)，F(n)］でF(n+1)とF(n)の最大公約数を表示することにします．
[F(n+1)，F(n)]＝[F(n)+F(n-1)，F(n)]＝[F(n-1)，F(n)]
この関係はn=1のでも成り立ち[1,1]=1ですから，隣り合うフィボナッチ数はいつも互いに素です．

◆話は変わりますが，合同式についてちょっと触れます．
a=b(mod n) と書いて，aはnを法としてbに等しい(合同)と読みます．
つまり，a-bはnで割り切れるということです．
この関係を使うと整数全体をnで割った時の余りが，0,1,2,･･･,n-1のn個のグループに分類できます．

例えば，(mod 3)の時には，すべての整数を3で割った時の余りで３つのグループに分類できます．
余りが0，1，2のグループ（集合）です．集合の名前を余りで表記し，
それぞれ0,1,2としますと，次の性質があることがわかります．
0+0=0，0+1=1，0+2=2，1+1=2，1+2=0，2+2=1
３つのグループ0,1,2は，加法で群を作るようです．

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数学月間SGK通信 ［2018.04.24］ No.216
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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下の写真は，先日紹介したロマネスコです．

以下の動画も参照ください．
https://www.facebook.com/scifri/videos/10154643456998403/?t=0

向日葵の花の芯やロマネスクを見てると螺旋が見えてくると思います．
右回りの螺旋が見えたり，左回りの螺旋が見えたりします．
目がちらちらしますが，それぞれの螺旋の数を数えて見ましょう．
多分，ロマネスコでは，左回りの螺旋が13，右回りの螺旋が21見えてきたりします．
向日葵でも同様です．1,1,2,3,5,8,13,21,34,...はフィボナッチ数列で，
向日葵の花の芯，ロマネスコ，松ぼっくり，パイナップルなどなどで見られる
螺旋の数は，13,21などのフィボナッチ数です．
このような配列が成長により生まれる仕組みは次のようなものです．
中心で一定の時間間隔で次々に島が生まれるとして，
生まれた島は植物の成長と共に一定の速度で周辺方向に広がりながら押し出されて行きます．
ただし，島を押し出す方向が，360°/φだけ回転します（φ＝1.6180･･･の黄金比）．
円周を黄金比で分割しながら，その方向に向きを変えて生まれた島を押し出していく仕組みです．
このようにすると島の配列に螺旋が生じ，螺旋は対数螺旋になります．
なぜ円周を黄金分割しながらその方向に島を押し出すのかわかりませんが，
混み具合が均等になるので，成長の自然の原理でしょう．
植物が数学をしているわけではありません．

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数学月間SGK通信 ［2018.04.17］ No.215
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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内閣支持率が30%を切るところです．30%を切ると一気に崩壊に向かったり，
サンゴ礁の環境保全臨界量（自己組織化臨界）があったり，このような現象は良く知られています．
俗にいう，「泥船から逃げる」と「勝ち馬に乗る」のせめぎ合いのバランスです．
このような二者択一の転換点(tipping point)の数学モデルが，米国数学祭り
（4月19日のオンラインQ&Aで）取り上げられるようです．
文化や環境などのシステムの定常状態が急激に変わる点が転換点です．
復元しようとする力と変えようとする力のバランスで方向が決まります．
米国の国民行事，数学祭のニュース（2018年4月）の情報です．
ワシントンDCで，2019年開催されるNational Math Festivalまであと1年！
4月19日（木）午後2-3時（東部時間）に，以下のオンラインQ&Aがあります．
「何でも聞いてください：Tipping Point 転換点と惑星地球」，
Dr. Mary Lou Zeeman (Bowdoin College）
https://www.facebook.com/nationalmathfestival/

さて，4月は新年度でいろいろ行事があります．皆様の方でニュースがありましたらご連絡ください．
今年の数学月間懇話会（第14回）は，8月22日の開催で企画しています．以下は数学と離れ私の近況です．

◆4月14日は，合同大施餓鬼会に参加しました．法話は古河の一向寺の峯崎住職がされました．人生の意味についてです．
「人の存在は他者から与えられる」当たり前の事が当たり前でなくなるのを自明性の崩壊という．
今まで何とも思わなかったことが，幸せだったなと気づくのは，自明性の崩壊によりその存在に気づいたからだ．
ミラーニューロンとよばれる脳神経細胞は，他者の行動を見たり，声を聞いたりしたことを，
自分自身がまるで同じ体験をしているように感じるという．
「他者との関わりがあって自分が存在する」のです．仏となった死者からの視線については，
次回お話されるそうです．

◆4月16日は，市村清新技術財団の50周年記念式典がありました．
たくさんの懐かしいOBの方にお会いできました．今年の産業賞7件，学術賞7件の表彰がありました．
どれも興味深い技術成果ですが，例えば，学術賞の功績賞で，全身透明化による全細胞解析の実現，
上田泰己（東大）には，ギョッとしてしまいました．透明人間ならぬマウス一匹を透明化です．
死んでいるマウス（もちろん生きてはいません）を漬けておいて透明にする処理液の技術です．
この目的が部外者には始めは良くわからなかったのですが，透明化すると，
細胞１つ１つの積み重ねが解析でき，がんが細胞をどのように伝わるかなど病理現象の研究に役立つそうです．
観察は蛍光顕微鏡によるようで，横からシート状の励起光を照射し，
照射された断面からの蛍光を顕微鏡で観測します．断層の3D画像も容易です．
サンプルが透明でなければシート状の励起光照射ができませんからね．
私はこの観察の道具に用いたシート顕微鏡の方に興味があります．
昔，走査型軟X線分光顕微鏡STXMで，化学状態のマッピングをした（3D像も得た）ことを思い出しました．
ちょっと似ている所があります．

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数学月間SGK通信 ［2018.04.10］ No.214
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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フラクタルとフィボナッチ数列についての以下のビデオをご覧ください．
https://www.facebook.com/scifri/videos/10154643456998403/?t=0
ここに出て来る野菜のロマネスコの写真を以下に載せておきましょう．
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/73/18482473/img_1_m?1523272964
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/73/18482473/img_0_m?1523272964
不思議な形ができていますね．この形の成長の基になるフィボナッチ数列についての説明をしましょう．
フィボナッチ数列の定義は
F(n+2)=F(n+1)+F(n)，　F(1)=1，F(2)＝1　です．
等比数列の型F(n)=r^nの一般項を求めてみましょう．
　r^(n+2)=r^（n+1)+r^(n)
すなわち，　r^2-r-1=0　を満たすものが解です．
この解は　α＝(1+√5)/2　，　β＝(1-√5)/2
一般項は　F(n)＝cα^n+dβ^n　となります．
この解をF(1)，F(2)に代入し，次の連立方程式が得られます．
cα＋ｄβ=1＝F(1)
cα^2+dβ^2=1=F(2)

一方，α，βは2次方程式の解だから
α^2-α-1=0
β^2-β-1=0
を用いると，連立方程式は
cα+dβ=1
c(α+1)+d(β+1)=1
となり，c+d=0　を得ます．そして，ｃ＝1/(α-β)＝1/√5
つまり，一般項は　F(n)=c(α^n-β^n)＝(α^n-β^n)/√5　が答えです．

さて，|β|=0.618･･･<1なので，n→∞でβ^n→0
従って，ｎ→∞で，F(n)＝α^n/√5に最も近い整数です．なぜなら．F(n)は整数だからです．
隣り合うフィボナッチ数の比は，n→∞のときα＝(1+√5)/2=1.6180･･･
（αは黄金数）になります．

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数学月間SGK通信 ［2018.04.03］ No.213
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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すっかり暖かになり桜も咲きました．
皆様も良いお花見を満喫されたでしょうか．
毎日，私の所にやって来たシジュウカラさん達もこの良い陽気に忙しいらしく
このところ無沙汰がちになりました．
さた，3月27日の数学月間勉強会，結晶空間群で物理と数学を学ぼう（第4回）は
15名の参加で，無事完結しました．
このシリーズのメインイベントは，第3回の結晶平面群（結晶空間群）の数学でしょう．

周期的な空間（＝結晶空間）の数学の復習をしておきましょう．

第1回では周期を扱い，第2回では有限図形の対称性=点群を扱い，
第3回では繰り返し模様（周期的な空間）の対称性ー空間群ーを扱いました．
有限図形の対称性に比べて周期的な空間の対称性はなじみのない人が多いようです．
しかし，周期的な空間はとても重要です．結晶の中は無限に繰り返す世界です．
第4回は，点群から空間群への拡大に言及しました．
2次元の繰り返し模様（＝壁紙模様）は，エッシャー〈1944頃）の作品に見られます．
(1)格子
2次元空間では，互いに独立な2つの基本並進ベクトルa1,a2がとれ，
a1,a2の整数係数の1次結合をすべて集めたT={h･a1+k･a2丨h,kは整数｝を，
この平面の格子点の集合（あるいは単に“格子”）といいます.
集合Tは無限集合になりますが， 群の条件を満たしており，Tを並進群とも呼びます．
ブラべ格子とは，結晶点群の対称性を基準に，格子のタイプ分類をしたものです．（図１）

(2)点群一有限図形の対称性一
1点の周りの対称操作（点群の対称操作）を考察しましよう．
回転対称軸には,１， 2，3，4，5，6，･･･，∞回（回転対称）軸があり得ます [何もしないのは1回軸]．
n回軸Cnとは，360°/nだけの時計回りの回転操作で，n回続けるとCn^n=360°=0°(mod 360°)，
これは恒等操作1です．回転操作Cnからは，回転群Cn={Cn，Cn^2，…，Cn^n＝1}が生成されます．
その他の2次元点群で見られる対称操作には，鏡映m [対称心-1は，2次元空間では2回軸と同じ]があります．
鏡映操作mが生成する鏡映群はm={m,m^2=1}
（注）mod360°とは360°回転したら同じものとする［360°を法として同値］という意味です．
別の例では，時計の文字盤があります．我々は13時のことを1時とも言いますが，
これは，mod12［12を法として同値］を用いた結果です．

(3)結晶点群一格子と両立できる点群一
結晶では，点群の回転対称性と並進群（格子）の対称性とが両立しなければなりません．
2，3，4, 6回軸は，それぞれに両立できる格子 がありますが，5回軸の場合はどうでしょう．
1つの5回軸が支配する局所的な作用域として正5角形タイルを描きます．
平面に周期があり複数の5回軸が配列している状態を考えると，
各5回軸は自分の局所的な作用域（正5角形タイル）内でのみ有効なのではなく，全域でも有効です．
各5回軸の局所的な作用域は，互いに他の5 回軸により変換し合い，全体として不変な配置となるべきです．
これは2次元平面を正5角形タイルで隙間なく張り詰めることと同じで，そのようなタイル張りは実現不可能です．
したがって，5回軸と両立する格子はあり得ません．7回以上の回転対称軸に関しても同様で，
結局，格子と両立できる（＝結晶空間で許される）回転対称は，2， 3，4，6回軸に限られることになります
[ただし，2次元，3次元空間 での話]．

(4)空間群の作り方〈2次元の場合）
2次元空間では，10種の結晶点群G：1，m，2=-1，2mm， 3，3m，4，4mm，6，6mm，
および，5つのブラべ格子T：clino-P (斜交単純格子)，ortho-P（直交単純格子)，ortho-C (直交C面心格子)，
tetra-P(正方単純格子)，hexa-P(六方単純格子）が数え上げられます．

周期的な空間での対称操作が作る群が結晶空間群で，結晶空間群Φの要素は，
結晶点群Gの要素と並進群Tの要素との積（結合）です．Φ＝G×T

壁紙模様の平面群17種の構成を見てみましょう．
壁紙模様は，1つの“モチーフ”（＝単位胞の中身）を無限にある格子点の上に配置して構成されています．
格子点は無限にあり，どの格子点にいても常に世界の真ん中ですから，
「格子点距離の倍数だけ移動した点はすべて同価」との見方をします．
これを“格子を法として（mod T)同値”と言います．
無限に繰り返す“モチーフ”の分布を，単位胞内の１つの “モチーフ”に還元できます．
［準同型写像で，Φ/T=G のように表現します．ただし，並進群TはΦの正規部分群であることを用いています］
この見方をさらに進めると，“モチーフ”内部の対称性を記述する結晶点群G自体も，
格子を法として(mod T)閉じればよく，G(mod T)と拡張でき，
拡張された結晶点群G(mod T)と並進群Tとの積で作られる空間群もあります．
このような夕イプの空間群には, 映進面（鏡映 ＋ 鏡面に平行に格子距離/2の並進)，
n回螺旋軸(360°/nの回転 十 軸方向に格子距離/nの並進）などの操作があります．
ただし，螺旋軸が現れるのは3次元以上の空間で，平面群にはありません．
例として，平面群P2mm, P2mg, P2ggの作り方を図示します
(注）頭のPは格子を表し，続く2mmなどが結晶点群の対称要素です．後者の2つ平面群には，映進面gが現れます．
イメージ 1
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イメージ 2
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数学月間SGK通信 ［2018.03.27］ No.212
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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今日，3月27日は，数学月間勉強会，結晶空間群で物理と数学を学ぼう（第4回）をやります．
14:30から，東大出版会，会議室です．ご興味おありの方はご参加ください．
群の表現とその応用例を，一気にやってしまいますので，一寸無謀です．
そこで，メリハリをつけて，基本的な考え方を理解することに全力を使うことにします．
応用例は３つ示そうと思っていますが，残り時間を見ながら消化できる程度に留めます．
用意している応用例は，以下の３つです：

（１）水分子の振動モード，
（２）シクロブタジエン分子の分子軌道エネルギー準位，
（３）ルビーの赤い色の原因の結晶場

■（１）水分子の振動モード

水分子H2Oの形は，O原子を中心に両側にH原子が結合していて，「く」の字型（ブーメランの様な形）をしています．
その形の対称性はO原子を通過する2回回転対称軸$$2_{z}$$，分子全体を載せる鏡映面$$m_{y}$$（これは，$$z-x$$平面），この鏡映面に垂直な鏡映面$$ｍ_{x}$$（これは，$$z-y$$平面）からなります．点群の記号で書けば$$2mm$$です．

$$2_z$$は$$z$$軸を回転軸とする2回軸，$$m_y$$は$$y$$軸方向の符号を変える鏡映面（$$z−x$$面），$$m_x$$は$$x$$軸方向の符号を変える鏡映面($$z-y$$面)です．

この分子の内部自由度は３（O-Hの長さが２つとH-O-Hの角度が１つ）なので，分子振動のモードは3種類あるはずです．
分子の形から，この分子振動の３つのモードは次の３つであることがわかります．

すなわち，非対称モードのB1,対称モードA1の２つです．

表の見出し行は，水分子の対称性（点群）$$2mm$$と，その対称要素｛$$1, 2_{z}，m_{y}，m_{x}$$｝です．
$$2_{z}$$は$$z$$軸を回転軸とする2回軸，$$m_{y}$$は$$y$$軸方向の符号を変える鏡映面（$$x-z$$面），
$$m_{x}$$は$$x$$軸方向の符号を変える鏡映面です．
水分子を$$x-z$$面上に置いてあるとして，それぞれの対称操作を行った時に，
各振動モードで原子の変位を示すベクトルが向きを変えるか変えないかを調べましょう．
上の表で$$A_1$$と$$B_1$$の行の符号を見ると，$$B_1$$の$$2_{z}$$，$$m_{x}$$の場合に-1となっていますが，
$$B_{1}$$と記した分子の変位が，$$2_{z}$$と$$m_{x}$$の対称操作をすると逆向きになることがわかるでしょう．
$$A_1,B_1$$は点群$$2mm$$の既約表現です．点群$$2mm$$の既約表現はこのほかに$$A_2,
B_2$$の計4つがあります．点群$$2mm$$の対称操作（対称要素）は４つあり，
この群はAbel群ですので類の数も４つ．異なる既約表現の数は類の数に等しいので４つです．
この表は，既約表現の指数を記入した表です．
さて表の$$N$$は，各対称操作で動かない（対称操作が通過する）原子数です．
その次の$$χ$$の行は，３つの原子（H,O,H）×３つ（$$x,y,z$$）の変位＝９次元の変位ベクトルを基底として，
各対称操作の行列表現を作り，その指標を記入しました．
9次元の変位の中には，分子全体としての移動や回転の自由度があり，その指標が$$χ^0$$です．
分子内振動に関与する指標は$$χーχ^0$$で，この中にそれぞれの既約表現がどれだけ含まれるかを調べます．
これは既約表現の直交性という性質を使うと容易に計算でき，$$χ-χ^0＝2A_1＋B_1$$となります．
こうして，分子の形（原子数と対称性）がわかると，どのような振動モードがあるか知ることができます．

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数学月間SGK通信 ［2018.03.20］ No.211
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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来週27日は，数学月間流勉強会，第4回です．
東大出版会，会議室にて，14:00-17:00
お気軽に参加ください．
この勉強会（第4回）のテーマは，群の行列表現と現象の対称性です．
先週のメルマガで，ルビーの赤色の補色をCrのd電子が吸収する話をしました．
正8面体の場に置かれたCrのd電子軌道５つは，縮退が解けてエネルギー準位が２つに分かれて存在し，
これらの準位間を電子が遷移するときに光エネルギーの吸収が起こるのでした．
さて，ここで正8面体場による準位の分裂を知るには，群の行列表現の手法を使います．
数式を使わず言葉ですべて説明したいと思っていますが，このメルマガ発行時点ではまだ不十分です．
読者の方からのご意見ご質問を歓迎します．
大体，群の行列表現には，色々な定理を使い難しく面倒です．言葉で説明した授業も本も聞いたことがありません．
でも，その心は言葉で説明できるはずだと私は思っています．
専門書は完全ですが，数式も定理も段階を踏んでたくさん勉強しなければなりません．
入門書は易しいですが，読んでも結局何の役にも立ちません．
私は，よくある入門書のように言葉でごまかすのではなく，
あるいは，数式を書き連ねてすますのではなく，数式が主張しているその心を普通の言葉で表現したいのです．
残念ながらまだ企ての途中なので，今日はまだ半端に数式が出て読みにくいものです．ご勘弁のほどを．
有限群Gの各元（成分）gに，n次正則行列D(g)を対応させ，群Gの演算構造を行列の集合D={D(g)}の中で再現することを，
群の表列表現と言います．つまり，群Gの任意の2元gi, gjに対し，集合Dでも，D(gi･gj)=D(gi)･D(gj)が成立すれば，
集合Dは群Gと準同型な群をなします．極端な例は，Gの異なる元もDの同じ元1に対応させてしまう対応も，群Gの表現です．
異なるgi, gj∈Gに対して，D(gi), D(gj)∈Dも異なれば，GとDは（1:1対応）同型な群です．
f次元行列表現を得るには，互いに独立なf個の基底関数が必要です．
f個の基底関数に，群の対称操作giが作用すると，これらの線形結合に変換されます．
この変換はfxf次元の行列D(gi)で，対称操作gi∈Gの行列表現と言います．
このようにして，群Gを行列の集合Dに対応させると，群Gの構造は群Dに反映され，
行列を扱う問題になり，固有値・固有関数などの行列の理論が使えるようになります．
行列の対角成分の和χ(gi)＝Tr[D(gi)]を指標と言い，行列を指標に対応させるのも準同型写像で，
行列の群を扱わずに，指標の群を扱うことでとても簡単なります．
位数gの群の正則表現というのはg個の基底関数を用いて作りますが，
群の対称操作で基底関数が不変なのは恒等操作eだけで，他の対称操作giを作用すると，
どの基底関数も別の基底関数に変換されてしまいます．したがって，指標で言うとχ(e)=g，χ(gi)＝０です．

任意のn次複素正方行列Aは，ユニタリー行列Pによる相似変換(P^-1)APで
固有値が対角上に並んだ上三角行列に変形できます．
相似変換（座標変換による基底関数の変換に相当）は，同値律を満たすので，
互いに相似変換にある行列は同値，固有値は同じです．
群の表現行列に戻れば，群の元（成分）giの共役類とは，
（g^-1)･gi･g　(for g∈G)なので，同じ類の元の同じ指標になります．

さて，ここで既約表現の定義をしましょう．
既約表現というのは，相似変換で行列を対角化しようとしてもできない行列表現のことです．
可約表現とは，相似変換により，ブロック行列が対角上に並んだ型に変形可能な行列表現で，
ブロックには既約表現が並びます．
与えられた群の行列表現があったときに，その行列表現を相似変換により，
対角ブロックに既約表現が並ぶようにし，その行列表現の中に
どういう既約表現が何個あるか知るのを，表現の簡約と言います．
これは，既約指標の直交関係を使うと容易にできます．
この手法を用いて，ルビーの正8面体場に置かれたCrのd電子の縮退準位の分離を知りました．

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数学月間SGK通信 ［2018.03.13］ No.210
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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こちらでは，河津桜は咲きましたしすっかり春らしくなってきました．
皆様のところは如何でしょうか．
今月27日には，数学月間勉強会の第4回を開催予定です．
対称性の話を3回して，4回目の27日には対称性の応用も話そうと思います．
今日は，ちょっとその予告編です．
■対称性からわかることは色々あります.
例として,ルビーの赤い色の原因の説明に使ってみましょう．
ルビーの赤い色は，コランダムという鉱物の結晶構造に関係があります．
コランダムはAlアルミニウムとO酸素で出来ています（Al2O3）．
コランダムの構造は，大雑把に言うと
パチンコ玉（O酸素）を並べたシートを積み重ねたような構造で,
下３つ，上3つのOが作る正8面体の中心にAlがあります．
Alは周囲(下３つと上３つ)の6つのO（正8面体の頂点）と結合し，
各Oは，２つのAlと結合しています．
Alを囲むOの８面体は厳密には正8面体ではありませんが，
話を簡単にするため正８面体としておきます．
■ルビーの赤い色は，コランダムのAlの位置の2%程度を
Crクロムで置き換えたもので生じます．ついでに，
サファイアの青い色はFe鉄で置き換えたときに生じます．
■さて，ルビーの赤い色の説明に戻りましょう．
Alには３d軌道に電子がありませんが，Crには3d電子軌道に5つ，
4s軌道に１つ電子があります．
d電子軌道の５つは同じエネルギーですが，もし，正8面体の場に
d電子が置かれると，軌道のエネルギーは2種類に分離します．
そのため，光の吸収に関係のあるのは，エネルギー準位が分離したd電子で，
低いエネルギー状態を占めているd電子が，
緑~青の光を吸収し高いエネルギー状態に移ります．
結局，赤い光は吸収されないので，ルビーは赤く見えるのです．
■ここで，対称性の考え方が何処に使われているかと言えば，
5種類ある同じエネルギーのd軌道が，正8面体の場に置かれると，
どのように分離するかを予言するのに使えます．
■さて，ここから具体的な話をしなければなりません．
5つの3d軌道と，1つの4s軌道の計6つの関数を基底として
正8面体群の6次元の行列表現を作ります．あるいは，
正8面体の対称性の場ができればよいのだから，頂点6つに
単位電荷を基底とした表現行列から出発することもできます．
この表現を，正8面体群の既約表現に分解すればよいのです．
結果は，5つのd電子軌道は，３つのd軌道が属するT1uと2つのd軌道が属するEg，
それに，4s軌道の属する球対称のA1gに分解されます．
この計算は，行列表現の指標だけで行うことができますから，
理屈がわかれば案外簡単です．3月27日の数学月間勉強会でこの説明をします．
■ルビーの赤い色は，T1uからEgへd電子が遷移するときの光吸収の補色です．
T1uに属するd軌道が，Egに属するd軌道よりエネルギーが低いのは，
d軌道の電子雲が周りのO原子の電子雲を避けて納まっているからです．

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数学月間SGK通信 ［2018.03.06］ No.209
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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前号で述べた平面のデジタル化の2つの様式について，図を掲載しておきます．
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/70/18435170/img_0_m?1519856943
左図は，正6角形のタイル張りで，デジタル化された平面の対称性は正6角形と同じ．
右図は，正4角形のタイル張りで，デジタル化された平面の対称性は正４角形と同じ．
これらの例のように，デジタル化され（タイル張りされ）た平面は，もはや連続でも等方でもなくなります．
それぞれの単位タイルのより，それぞれの周期と異方性が生じているのがわかるでしょう．

■数学月間勉強会（第4回，3月29日）予告
さて，206号の復習に戻りましょう．
色々な電子デバイスは，結晶という舞台で起こる電子や光子のパフォーマンスを利用しています．
結晶という舞台で観測される現象の対称性には，それが起きた舞台＝結晶の対称性が反映されているはずです．
この因果律は，Pierre Curieの原理（19894）と呼ばれます．
”特性の対称性（点群）をG_{p}，結晶の対称性（点群）をG_{cryst}とすると，
G_{p}⊃G_{cryst}である”というのがこの因果律です．
原因となる場＝結晶の対称性は，すべて，結果＝特性に反映されなければならないが，
原因以上の対称性が結果に生じることは妨げないということです．
実際に場＝舞台である結晶の対称性より，その結晶で観測される特性の対称性か高いことは，
色々な現象で観測されています．例えば，結晶で起こるX線回折像の点群G_{X}は，
結晶構造の点群G_{cryst}と対称心Iとの直積G_{X}=G_{cryst}×I（Friedel則）になり，
結晶構造に対称心がない場合でもX線回折像の点群には必ず対称心があります．
さらに，このFriedel則以上にX線回折像の対称性が上昇する特殊な結晶構造があることも知られています．
まず，現象の対称性が舞台と同じ対称性であるG_{p}=G_{cryst}として，
色々な現象の対称性分類に群論を適用してみましょう．
その道具として群を行列で表現することが必要になります．
群の表現は，分子の形対称性から，分子の内部振動モードや，
分子軌道の電子エネルギー状態などを知ることに応用できます．

数学月間勉強会（第4回，来たる3月27日14;30開催）は，群の表現を扱います
ご参加お勧めします．

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数学月間SGK通信 ［2018.02.27］ No.208
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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2月24日，新宿ルノアールで日本数学協会の読書会があり，日本テセレーションデザイン協会の荒木義明氏が講演しました．
馴染みのない方もおられるでしょうが，普通はテッセレーションと書き，平面を分割する意味です．
コンピュータグラフィックスで立体や平面を三角網やポリゴンで表したりしますね．
あのようなメッシュを作る平面分割がテッセレーションです．
私たちは，平面のタイル張り問題といいますが，平面をタイルで埋め尽くすことを．
小学校3年生から扱うことが指導要領に載っているそうです．
敷き詰めの扱い方は，パズルと同様で親しみやすく子供たちも興味を持つでしょう．
美しい模様を作ろうとし，組み合わせの多様さや，持続的により良い価値を求めることになるそうです．
一方，このパズルをより深く追求すれば，ペンローズの非周期のタイル張りに導くことも可能です．

閑話休題．しかしながら，平面タイル張りの本質的な重要さは，周期的なタイル張りにあります．
タイル張りをやるなら，ぜひ周期性に触れてほしいと私は思います．エッシャーのタイル張り作品を見ても，
すべて周期的ではありませんか．私たちの周りには周期的な平面や空間で溢れています．
結晶の内部構造は，角砂糖を積み上げたようなブロック細工です．周期的空間は「結晶空間」とも呼ばれる所以です．
角砂糖のブロック1個が単位胞で，結晶空間は単位胞が10^20も積み重なっています．
平面の例で言ったら，正6角形を，蜂の巣のように無限に並べて，無限に広い平面を作ることができます．
このような平面は，正6角形でデジタル化された平面です．
このデジタル化された平面の対称性は，もとの正6角形１つの対称性と同じです．
同様に，正方形を並べた無限に広い平面（正方形でデジタル化された平面）の対称性は正方形の対称性と同じです．
無限に広い空間も，デジタル化するととても扱いやすくなります．
平面のタイル張りは，無限に広い平面のデジタル化に結びつくところが非常に役に立ち面白いのです．
この数学課題を美しさにつなげようとする意図は私は賛同できません．

2月13-16日にRIMS研究集会「教育数学」に参加しました．4日間にわたり討論が行われ，種々の側面から考えるべきことがらが提起されました．今日の数学の暗い状況や明るい側面などさまざまです．これからよく考えてみなければなりません．
■以下は私の感想の一部ですーーー
数学教育については，エリート教育よりも底辺全体の学力アップが重要です．
ともかく，数学を勉強することは，将来何をやるにしても無駄ではない．習った数学がそのまま役に立つというのではなく，習ってから使う時が来るまでに長期間経過していることが多く，数学は役に立たないと言う人を増やしてしまう．
国語教育とは異なる日本語教育が最重要である．クリティカル・リーディングというのは，国語教育のように記述から感情を問うのではなく，内容を問うもので，そのような日本語教育が必要とされる状況である．国会まで論理が噛み合わない（故意に，はぐらかすのもある）社会になってしまった．
共通一次試験のように多数の問いに答を当てはめるスピード対応のテストではなく，考えるテストをしたいものだ．解けることと理解する（わかる）こととは違う．わかったときの大きな喜びは，誰しも経験したことがあるだろう．子供たちにその喜びを味合わせたいものて，真の学力になる．
さて，現代はsociety5.0といわれるビッグデータ・データサイエンスの時代です．対応できる新しい数学が必要です．旧来の統計数学は役にたたず，統計の背景分野の理解やセンスの養成が必要です．

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数学月間SGK通信 ［2018.02.13］ No.206
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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大雪にならなければよいですね．日本海側の地域にお住いの方お大事に．
私は，今日から京都大学数理解析研究所の研究集会に参加します．
雪にならずに帰れるとよいですが，ちょっと心配です．
さて，数学月間勉強会の第4回を3月末実施の計画を進めています．確定しましたらアナウンスします．
4回目の内容は，群論の応用に関係のある群の表現の話です．
今日は，その入り口をちょと覗いて見ましょう（入口だけですので後日続編を載せます）．
色々な電子デバイスは，結晶という舞台で起こる電子や光子のパフォーマンスを利用しています．
結晶という舞台で観測される色々な現象の対称性には，それが起こった舞台「結晶」の対称性が反映されているはずです．
この因果律は，Pierre Curieの原理（19894）と呼ばれます．
特性の対称性（点群）Gproperty　，結晶の対称性（点群）Gcrystal　とすると，
　Gproperty⊃Gcrystal
因果律の心は，原因となる場（結晶）の対称性は，すべて結果（特性）に反映されなければならないが，
原因以上の対称性が結果に生じることは妨げないということです．実際に場（舞台）である結晶の対称性より，
その結晶で観測される特性の対称性か高いことは，色々な現象で観測されています．
例えば，結晶で起こるX線回折像の点群は，結晶構造の点群と対称心の直積になることはFriedel則として知られます．
さらに，このFriedel則以上にX線回折像の対称性が上昇する特殊な結晶構造があることも知られています．

■群の表現
有限群G＝｛a,b,c,････,z｝の各元aに，複素数を成分とするn次正則行列D(a)を対応させ，
群Gの演算構造を行列の集合D＝｛D(a),D(b),･･･，D(z)｝の中で再現することを，群の表現と言います．
つまり，群Gの任意の2元a, bに対し，集合Dでも，D(ab)=D(a)D(b)が成立すれば，集合Dは群Gと準同型な群をなします．
異なるa,b∈Gに対して，D(a),D(b)∈Dも異なれば，GとDは（1:1対応）同型な群です．
異なるa,bも同じD(a)に対応させる（例えば，すべて１に対応させる）ような対応（準同型）でも，
D(ab)＝D(a)D(b)が成立しますので群Gの表現です．
◆表現の基底
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/87/18415987/img_0_m?1518439242

ψ_iはf次元の列ベクトルの成分です．ψ_iに対称操作G_aが作用すると，
ψ_iの1次結合に変換されます．ここに現れるf×f次元行列Dを対称操作G_aの
行列表現と言い，列ベクトルψを表現の基底と言います．
このようにすると，群Gを行列の集合Dに対応させることができ，群Gは
行列を元とする群Dを扱う問題に変えることができます．
行列表現を，どの様にして何に使うかは，第4回勉強会のテーマですが，近いうちに続編掲載します．

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数学月間SGK通信 ［2018.02.06］ No.205
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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私は，来週2月13~16日の京大，数理科学研究所の研究集会に参加します．4年前の研究集会のときは大雪でした．
京都でも大雪でしたが，こちらに帰ってきた夜は東京も大雪でした．今年も雪にならなければよいのですが，
なんだか悪い予感がします．この研究集会は公開ですからどなも聴講できます．
そのとき発表する内容からの抜粋を以下に転載します（省いた部分も機会があれば披露しましょう）．
抜粋はしたものの，今回は長文が続きます．お読みいただけたら幸いです．
気分転換に，今年，子供たちが作る万華鏡の映像動画をリンクしておきます　https://youtu.be/v9xVnCQ64Po

■数学月間流数学から教育数学への提言
私たちの数学月間は，社会が数学を知ると同時に，数学が社会を知る双方向活動であるべきだと思います．
数学研究会や同好会であれば，数学だけを論じればよいが，数学月間では数学が働きかける場に立ち数学を見ます．
抽象数学であってもそれが使われる場（対象）と連携した数学の話ならば，数学周辺の人々の共感を得ることでしょう．
数学周辺から数学をとらえる必要があるのだが，数学者はその必要性を感じていないし，
数学周辺に付随したものに気を散らすことは好まない．しかし，歴史的にも数学の発生起源は，
科学技術や社会課題にあり，その数学概念の発見にも現場の科学者たちが寄与しています．
現在でも種々分野の実験結果や法則の中に新しい数学の萌芽があるに違いありません．
教育数学においても，数学の作用する場（対象）からの数学概念の導入が望ましいと考えます．
■今年から始めた数学月間勉強会の目指すもの
（１）米国MAMは，今年から，「数学及び統計学月間」MSAM（Maths and Statistics Awareness Month)となりました．
統計学が強調されたのです．複雑系，画像識別，ビッグデータ解析，レイティングやランキングの予測などが
主要テーマとして登場するようになった背景には，圧倒的なコンピュータ利用と人工知能AIの発展があります．
現代は，衛星からスマートフォンまで大小のソースから，データがリアルタイムで集められます．
予測解析法の革新が期待でき，数学，コンピュータ・サイエンス，データ科学，統計学には実り多い時期です．
Google, Yahoo, Amazon, Facebook, Twitter等々で，私たちのさまざまな情報が蓄積され，
携帯電話も私たちの位置情報を送信しています．嫌なことですが，スノーデンの告発で明らかになったように，
個人情報，個人メールを含むあらゆる通信情報が，米国NSAにより収集（collect it all）され，
進歩したAI技術で検索や解析ができる監視社会になりました．それはともあれ，検索，解析，予測での数学の役割は重要です．
データ解析の基本は評価関数に対する最小二乗法にあり，例えば，材料中の化学状態分布図を得るには，
単成分のスペクトルを基底に1次結合を作り，最小二乗法で混合状態のスペクトルを決定（特異値分解を使う）します．
大規模行列であるがランク落ちのため不定解となる画像の推定は，至る所スパースな解という条件下で最小二乗法に持ち込み，
少ない観測点数でサンプリング定理を超越する驚くほど高解像の解が得られています．
天文学や医用画像などで適用され，MRI撮影の高速化にも寄与しています．実際，画像は大部分の領域でだらだら変化し，
急峻な変化する箇所は少ない（スパース）ので，このような圧縮センシングや画像圧縮jpgが成功しています．
離散数学はコンピュータと相性が良いわけですが，教育数学においても重要性が高いと思います．

ロマネスコの見事なフラクタル．フィボナッチでもある．これが入っている料理の写真はmossanのロール白菜でとても美味しい．
イメージ 1
イメージ 2
イメージ 3

円錐突起の数は数えてはいませんが，対数螺旋の形が見えます．各対数螺旋にそって配列する円錐突起の面積はフィボナッチ数列になっているようです．
さらに各円錐突起の中に，また，対数螺旋の構造が見えて，･･･････というような入れ子構造です．このような入れ子が無限に繰り返されるとフラクタルと呼ばれます

▼対数螺旋の性質は，螺旋に沿って中心点へ進むとき，進行方向（接線）と中心を見込む角度が常に一定です．
▼1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,･･･のように続く2つの数を加えると，次に続く数になる数列がフィボナッチです

フラクタルでは，拡大しても拡大しても，いつも同じような形が見えるのです．
例えば，木の枝の伸び方とか，雲の輪郭とか，海岸線などの形です．
対数螺旋やフィボナッチ数列は，成長する形で見受けられます．
例えば，パイナップルや松ぼっくりの鱗の重なり方，向日葵の種の配列，
貝殻の成長した形などです．

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数学月間SGK通信 ［2018.01.23］ No.203
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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たいへん雪が積もりました．皆様のところは如何でしょうか．
私が顔見知りのシジュウカラさんたちも雪の明日は餌が食べられなくて大変です．
ヒマワリの種が見えるようにしてあげましょう．
今回は，出題ミスといわれて騒がれている物理の問題です．
問題
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/37/18386837/img_0_m?1516633230

問４を解いて見ましょう．
この設問では，議論の分かれる２つのポイントがあります．
(1)音叉から発せられる音波は，y軸の負方向(壁の報告）とy軸の正の方向では，同位相か逆位相か？
(2)壁での音波の反射は固定端か自由端か？
私の解答
(1)に関しては，A-Iの問いでは，音叉の振動が前後に対称である図があり，
音源を中心に前後で同位相の音波がでると解答させます．素直に解くならば，
問４でも音源からの音波は同位相と思うべきでしょう．
しかし，現実には，逆位相の音波も出ます（両者の音波の重ね合わせもでます）．
ここで，逆位相を採用するのは，へそ曲がりだと思うのですが，間違いではありませんので，
逆位相の解答も正解としなければならず，想定した正解だけではなくなりました．

(2)音波は空気が疎密疎密・・・と繰り返される縦波です．
疎の部分は分子数は少ないが分子の運動速度は大きい．定在波ができているときは，固定端が節となり，
節と節の中央が腹です．結局，腹と腹の間隔（＝節と節の間隔）が半波長λ/2です．
壁の所では分子の速度はゼロになるので，定在波の節．従って，壁は固定端です．
音源では分子の運動速度は大きいので定在波の腹です．

問４の答えは，2ｄ＝(n-1/2)λ　となります．
この答えは，大学が当初想定したもので，素直な解答であると思います．
正解に加えざるを得なくなった解答は，2d=nλですが，
これは，音源の前後にでる音波を逆位相とした場合に可能です．
問５の答えは，2回の実験で測定された波長は，62cm，68cmで，平均値は65cm．
用いた音叉の周波数は500Hzと与えられているので，
音速325m/s（有効数字2桁にすると330m/s）が得られます．

■有効数字は，工学で数値計算するときとても重要です．
演算に使った数値のそれぞれの有効数字（信用できる桁数）の小さい方に合わせてきまります．
だから，普通は計算に用いるすべての数値の有効数字は揃えて計算します．
カラオケバトルで，98.716などの点か平気でつきますが，いったい有効数字はどうなんだ．
0.001の差がそんな精度の意味があるのかと思います．

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数学月間SGK通信 ［2018.01.16］ No.202
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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大変寒い日が続きます．風邪も流行っているようです．
皆さまにとって今日も良い日でありますように．

今日の話題の懸垂曲線にでて来るの石橋の写真は通潤橋です．
この写真を撮影したのは，12年以上前のことです．
石積の橋で，水を台地に持ち上げて運ぶために，サイフォンの原理を使うなど
優れた石工の技術に感心しました．
熊本地震でも残った堅牢さにも感心していますが
現在，石の配管の修理中と聞きます．
■インボリュート曲線
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/556225/47/16380447/img_2_m?1516025270
右図をご覧ください．青い円が糸巻きで，この糸巻きに巻いてある糸を（黒い線）
ほどいているときに糸の先端が描く曲線（赤色）をインボリュートといいます．
ほどく糸の巻き始めは，青い糸巻き表面のインボリュート曲線の出発点です．
糸が引っ張られる方向は，いつもインボリュート曲線に垂直であることに注目してください．
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/556225/47/16380447/img_1_m?1516025270
インボリュート曲線は歯車の歯の形に利用されます．
左図のように，青い歯車と黄色い歯車がかみ合っている状態を考えて見て下さい．
歯車の形がインボリュートならば，
これらの歯は回転中いつも互いに垂直に押し合っていて理想的な歯車になります．
インボリュート曲線の方程式の作り方を，下の図に示しました．

■懸垂曲線
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/556225/63/16380663/img_0?1516024764
両端で固定された密度一定のひもが垂れ下がった時の形です(下左図）．
石積の橋が描くアーチもこれ（懸垂曲線の上下を逆にしたもの）
右図は円柱を5つ積んでつり合いを保っている状態．
テーブル上の左右のブロックは，一番下の円柱を両側から押しています．
円柱間は点での接触ですのでバランスをとって積むのは非常に難しいが落ち着いてやればできます．
この形は石橋と同じ懸垂曲線です

■ダイヤモンドの価値は，4C［Carat重量，Color色，Cralityキズ，Cutカット］で評価されます．ここでは，数学的に興味のあるカットのプロポーションについて述べました．ラウンド・ブリリアン・カットのダイヤモンドが最も輝くようにしたプロポーションを理想カットといいます．理想カットは1919年にベルギーのMarcel Tolkowsky(数学者でダイヤモンドのカッター)が計算しました．今なら，コンピュータもあるし，光線追跡のソフトウエアもある時代で，理想カットの形（プロポーション）を見つけることは容易でしょうが．1919年にどのように計算したのか，興味深いことです．多分，閉じ込められた光線が全反射を繰り返す光路に注目したのでしょう．

 （左図）ダイヤモンドのブリリアン・カットの各部の名称を図に記載してあります．正面の平らな面をテーブル面，上半分をクラウン，下半分をパビリオンと呼びます．真ん中のガードル面に対してクラウン斜面のなす角度をβ，パビリオン斜面のなす角度をαとしました．
（右図）テーブル面の左隅Aに入った光線（赤色）が,ダイヤモンド内部を進み，後方の左パビリオン斜面で全反射され，次に，右パビリオン斜面で全反射され，テーブル面右隅Bに戻り，前方に出て行く光線もありますが，テーブル面右隅Bで一部は反射され内部に戻る光線（青色）になります．この光線は全反射を繰り返し内部に閉じ込められることになります（青色）．
この図で追跡した光線は，テーブル面の左隅Aから出て，テーブル面の右隅Bに達する左右対称の光路です．ダイヤモンドの屈折率n≒2.417を用いて，この光路のテーブル面での入射角φ，屈折角γに対する屈折の式，sinφ＝n･sinγ　から，左右対称になる入射角φ（テーブル面の垂線と入射光線のなす角）を求めると，21°になります．というのは，左右のパビリオン間でテーブル面と平行になる光路ですから，左のパビリオン斜面での反射の法則（反射角αはパビリオン角αに等しい）から，γ＝90°ー2α＝8.5°となることが決まるからです．ここで，パビリオン角α＝40.75°を用いました．

■屈折率の高い媒質中に光が閉じ込められるのは，全反射を起こし易いからで，ダイヤモンドの全反射の臨界角θ（入射角でいうと）は，sinθ=1/nだから，θ＝24.4°（反射面から測った反射角で言うと，65.6°）です．
テーブル面の出口で反射されて内部に戻った一部の光線は，パビリオン面とクラウン面で全反射を繰り返し内部に閉じ込められます．パビリオン角α＝40.75°，クラウン角β＝34.50°というのは実によくできた設計です．
全反射によりブリリアン・カット内に閉じ込められた光線の経路は，一周すると，これに平行な経路に戻ることを証明するために，次の作図をしてみました．BC(赤色)の直線はダイヤモンド内部で全反射を繰り返す光線（青色）を外に引き伸ばしたものです．その代わりに，ダイヤモンドも反射面を共通にしてつないで並べました．結局，全反射を4回繰り返すと光線が平行になるということは，このように配置したダイヤモンドが４つで回転角が0に戻る（初めの向きと同じ）ことからわかります．　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

■カットの形を評価するには，そのカットの形を磨き直して理想カットにするとしたら，重量がどれだけ減るか（カット減点%）で表します．カット減点5%までは理想カットと見做されます．さて最後になりましたが，トルコフスキーの理想カットのプロポーションを表紙の図に示しました．トルコフスキーはガードル厚には言及せず，ナイフ・エッヂだったそうですが，現実にはナイフ・エッヂは作れず，ガードル厚は必要です．

■（注）ラウンド・ブリリアン・カットとは，58のファセット面を磨き上げた形（キューレットも1面と数えます）です．ダイヤモンドは立方晶系の結晶ですから，複屈折はありません．また，光の分散もそれほど強くなく上品です．虹色にぎらぎらするようならキュービック・ジルコニアなどの疑いがあります．
クラウン面の高さや，パビリオンの深さが最適でないと，テーブル面の中が暗くなります．

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数学月間SGK通信 ［2018.01.02］ No.200
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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新年おめでとうございます．良い年でありますように．
皆様は良い新年をお迎えでしょうか．
お陰様でこのメルマガも本号で200号になりました．
本年も宜しくお願い致します．
数学月間懇話会（通常は毎年7月22日に実施）は今年が第14回になりますが，
今年に限り，7月は私の都合が悪いので，8月22日に変更したいと思っています．
決まりましたらご案内を致しますのでご参加ください．
その他，いくつか私の参加するイベント予定があります，興味おありの方はご参加ください．
2月13-16日，京都大学数理解析研究所，RIMS教育数学研究集会
3月上旬，東大出版会，数学月間勉強会，第4回

さて，前号「数学月間とは何か1」の続きです．

２．数学と社会の架け橋＝数学月間
数学月間活動がボランティア・ベースである以上，本意ではありませんが活動のメニューを絞らざるを得ません．
数学月間の核心を考察してみましょう．数学月間活動は，数学者のための活動（数学界を応援する）ではありますが，
数学者のための活動（数学内輪の同好会）ではありません．つまり，数学を取り巻く周辺への働きかけです．
国民の数学への関心を高めれば，畢竟，数学者のためになるのだが，現実は，
数学者たちの偏狭さと自由思考のため，献身的な協力は得られていません．

2012年から始まったフランスの数学啓蒙活動（数学週間）を見てみましょう．
数学週間は，国民教育省の企画の下，“現在の活き活きとした魅力ある数学の提示”，
“数学が日常生活で果たしている重要性の提示”などの５つの目的を掲げ，
パートナーと呼ばれる20数団体が参加して，毎年3月中旬に行われます．
毎年，統一テーマが決められます．また，“数学カンガルー”，
“国内数学オリンピック大会”なども同時開催されます．

他分野の例も比較してみましょう．日本化学会など化学4団体が，10月23日を「化学の日」，
この日を含む月曜から日曜までを「化学週間」と2013年に制定しました．
10月23日としたのは何故か？　高校の化学を思い出すと，なるほどと思い当たることでしょう．
化学週間には，全国一斉のオープンキャンパスなどがあり，意匠登録されたロゴマークを，
すべての化学啓発活動に付してビジビリティの向上を目指しています．
提案４団体だけではなく，経産省や文科省，マスコミ，企業など，
産官学一体となった本格的な活動が立ち上がっています．
化学の日イベントは，各地の高校や大学，研究所などで実施され，
月刊誌「ニュートン」，「化学」，「現代化学」，「子供の科学」などへのPR記事の掲載があります．

数学研究は孤高で周辺分野との架け橋は必要ないとの見方もありますが，
数学の影響は社会のあらゆる分野に広がり，化学の比ではありません．
数学月間活動の呼びかけは数学の外周へ向けた広い視野の横断的な活動でなければなりません．
それにもかかわらず，数学者は，抽象化されたものを洗練することに熱中し，
自ら手を染め現実から数学を抽出しようとしたがりません．物理，化学，工学，医学，社会科学，．．
のどの分野であろうと形而下には関心がないようです，抽出された数学は美しいに決まっているが，
数学者はその美しさに自己陶酔し，その源泉である周辺分野への配慮がほとんどないので，
国民レベルから数学への共感を得るに至っていません．

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数学月間SGK通信 ［2017.12.26］ No.199
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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みなさま2017も残りわずか，やらなければならないことを山と抱えて焦っています．
どうぞ風邪など召しませんように．NHK始め大手メディアの報道姿勢には腹が立つことばかり
「輝く太陽青空を再び戦火で乱すな」国際学連の歌（1949）としみじみ思います．
それにしても，この歌の翻訳は，忠実にして簡潔，実に名訳です．
チーストイネィーバ　イ　ヤールカエソンッエ
の意味は，清々しい空と明るい太陽，まさに，輝く太陽青空　．
ディーモンパジャロフ　ザクリーチ　ネェダジム　の意味は，戦火の煙で閉ざしてはならぬ
ここを，再び戦火で乱すな　と訳したのはうまい．
2番，３番の歌詞も素晴らしい．今こそこの歌が必要なときです．
これを共産党の歌だなどと言っているネトウヨの方，歌詞の意味をじっくり味わって欲しい．
メルマガの読者の方にはネトウヨはいないと思いますが．

お陰様で，メルマガが199になりました．来年1月2日で200号です．
メルマガの表題になった「数学月間」について語ることはほとんどなかったと思うので
この機会に（本号と次号に分けて）初心に戻って，数学月間を語ります．
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１．数学月間活動とは何か
日本の数学月間は，片瀬豊の提案で2005年に日本数学協会が7/22-8/22を数学月間と定めたことに始まります．
数学啓蒙活動をこの時期に集中し，数学の重要性を社会にアピールする狙いです．
この活動は，片瀬豊が小林昭七からの情報で長年にわたりウォッチングして来た米国MAM
（Maths Awareness Month：1986年4月17日のレーガン宣言により米国の国家的な行事として開始され今日に至る）
に影響されたものです．日本の数学月間をこの期間に定めたのは，山崎圭次郎の発案によるもので，
22/7≒π，22/8≒eに因みます．小林昭七によると，時期限定のMAMのほかに，
米国では数学サークルという日常活動があるそうで，これもぜひ手本したいものです．
国家的な行事の米国MAMは，数学系学協会が参加するJPBM（Joint Policy Board for Maths）が，
毎年，社会を反映した数学のテーマを選定し，この期間（毎年４月）に種々のイベントが展開され，
国民からの事後評価も受けます．皆が知りたいと思う時局の数学を．種々のレベルで学習できるウエブサイトは充実し，
エッセイや論文が集積され，そのテーマの数学を基礎から最先端まで，学生が独習できる優れたガイドになります．
MAM期間には，一般から専門家まで，小学生から大学生まで，色々なレベルのイベントが全国で展開されます．
レーガン宣言で国家的な行事MAMを決断した背景には，国民の数学力が低下し，
米国の産業力も低下するとの焦りがあったと思われますが，日本も同様な状況にあり，
国家的な行事の数学月間が望まれます．数学月間発足当時は，
片瀬豊らが中心に文科省にも働きかけを行いましたが具体的な進展はなく，
大学や研究所などの主催するそれぞれのオープンハウスや講演会などが個別に行われているのが現状です．
ボランティア・ベースの数学月間の会SGKの活動は，7月23日の数学月間懇話会の主催や，
他の団体の主催する数学祭り（とっとりサイエンスワールドなど）に協力しています．

→2018/01/02の200号に続く．良い年をお迎えください！

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数学月間SGK通信 ［2017.12.19］ No.198
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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数学月間勉強会（第3回），12月12日は，楽しく有意義に実施されました．
ご参加のみなさまに感謝いたします．次回は来年3月頭の予定です．
決まりましたら掲示しますのでご参加ください．
■群の考え方は色々な数学分野に現れるし，群論が適用される対象も様々です．
群論を作ったのはガロア，代数方程式の解法にかかわって生まれました．
2次方程式，3次方程式，4次方程式は，解法が発見されていましたが，
5次方程式の解法はどうしても見つからなか時代です．
f(x)=x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+eという5次式は，連続なグラフで，
xが負で絶対値が大きければ，f(x)＜０，xが正で絶対値が大きければ．ｆ(x)>0になるので，
f(x)=0という5次方程式は，どこかでx軸を過るので必ず解xが存在し，
そのxは係数で表されるはずだと誰もが思っていました．しかし，
係数の加減乗除と冪根で表せる解は存在しなかったのです．
根の対称性に注目し，群の理論を作り，ガロワがその証明をしたのは200年前のことでした．
これに至るまでには，ラグランジュ（1770），コーシー，アーベル，ガロア（1832）が関わっています．
■群論が生まれて活躍したのは，方程式の解法に関するものですが，
群の概念は，正多面体の対称性（シンメトリー）でも使われます．結晶の舞台でその活躍を見てみましょう．
水晶のいろいろな面の大きさは個体ごとに違うが，「対応する面どうしのなす角度を測ると，
どの水晶でも同じ値だ」ということを発見したのはステノ（1669）．
この現象を，多くの鉱物で調べて「面角一定の法則」としたのは，ロメデリル(1772)です．
この法則は，「結晶の内部構造から生じている」と洞察したのがアウイ(1783)で，
彼は「結晶には単位胞が存在し．この単位胞が繰り返し並ぶブロック細工が結晶だ」と推論しました．
19世紀に入ると，結晶に座標軸（結晶軸）を導入し，結晶面に指数をつける方法が種々定義されました．
それらの方法のうち，ミラー (1801～1880〉によるミラー指数が，今日，最も広く用いられています．
「その結晶の単位胞に合った座標軸をとると，すべての結晶面のミラー指数は，
簡単な整数で表せる」＝結晶面の有理指数の法則といいます．
これは，アウイの述べた「結晶＝ブロック細工説」を裏付けることになります．
この時期には， 結晶面の方位（＝結晶内部の原点から，各結晶面へ垂線を立てて，
結晶を中心とする単位球表面に投影した点）を，2次元平面へ写像する種々の等角投影法（ステレオ投影など）
も生まれています．
3次元の結晶点群は32種(ヘッセル，1830〉，
3次元の空間格子（結晶格子）のタイプ＝ブラべ格子(1848)は14種が数え上げられ，
続いて，3次元の空間群の夕イプが230種であることが,フェドロフ，シェンフ リーズ，バーロー(1885～1894〉により，
互いに独立に数え上げられました．これは，すべてX線の発見以前の純粋な数学的業績であるのが興味深い．
結晶を応用の場にしての群論を具体的に学習をすることができます．
空間群をΦとすると，並進群（格子）Tは，空間群Φに正規部分群として含まれるので，
並進を法とした群Φ/Tは，点群Gに同型です．結晶（周期構造，デジタル化された空間）は，
群論をさまざまに適用できる良い場（舞台）です

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数学月間SGK通信 ［2017.12.12］ No.197
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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いよいよ本日は，数学月間勉強会（第3回）
ー「結晶空間群で，物理と数学を学ぼう」です．
予定通り実施します．どうぞご参加ください．
主催●日本数学協会，数学月間の会（SGK）
日時●12月12日，14:30-17:00
会場●東京大学出版会，会議室
線路沿いの留学生会館などのある敷地内の一番奥の建物です．
東大構内ではありませんからご注意ください．
最寄り駅●京王井の頭線「駒場東大前」
参加費●無料
問合せ・申し込み●sgktani@gmail.com，谷克彦（SGK世話人）
第3回テーマ●「結晶空間群の作り方」
数学月間勉強会の特徴は，物理と数学の両視点から数学誕生を理解できるところで，
特に初心の若い方々にもお勧めします．
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繰り返し模様（壁紙）の対称性は，平面群（17種あります）で記述されます．
平面群（あるいは空間群）Φは，周期性を表す並進群Tと点群Gを部分群として含みます．
特に，並進群Tは常に正規部分群として含まれます．
しかし，点群Gは必ずしも正規部分群であるとは限りません．
平面群の対称操作は，並進操作と点群の対称操作からなりますから，
Φ＝TxGのように２つの群の積で表せます．正確に言うと，
並進群を点群で拡大すると空間群が得られます．
今回の勉強会では，２つの群の積について図解して説明します．
結晶は単位胞がほとんど無限に繰り返す内部構造ですから，
格子の並進分だけ違う点は同一と見做します．
これは，並進と点群の対称操作を結合した対称操作（映進，らせん）が空間群には存在します．
並進で格子だけ移動しても同値ということは，空間群を点群に対応（準同型写像）させることができます．
点群から空間群を作る仕組みは，準同型定理の応用で，
具体的に結晶をモデルに数学を学びます．
今回の勉強会では，簡単な点群2mmを例として，
３つの結晶平面群P2mm, P2gm, P2ggを作ります．
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/15/18333515/img_0_m?1513002259

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数学月間SGK通信 ［2017.12.05］ No.196
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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見えない人・見えにくい人と見える人
Jazzと数学体験で交流
中島さち子・Wolfy佐野
12月3日（日）午後1時，マックス・キャロット（目白）は盛況でした．
見えない方でいっぱいです．みんな楽しんでいました．
私も隣にすわった目の見えない方の補助をしました．
間髪を入れず大きな声でリアクションするとても陽気な方でした．
私にこのイベント情報を知らせてくれた三野さんが司会をされ，
東大，数理科学研究科の中島さち子（数学者でピアノも弾く）さんや大学院の学生さん，
視覚情報支援ボランティアの方々がスタッフでした．企画責任者は三崎吉剛さんのようです．
出演の皆さんの気楽なトークに，私の隣に座り合わせた一般の参加者（見えない方)の元気なリアクションに，
まるで吉本新喜劇のようです．なごやかな雰囲気になりました．
サックスのWolfy佐野（見えない方）さんのトークも面白い．
2枚目写真のソプラノ歌手は塩谷靖子さん（見えない方）です．
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/22/18324422/img_0_m?1512396191

https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/22/18324422/img_1_m?1512396191

すばらしい埴生の宿とマイウエイの歌が聞けました．
音楽と数学の係りは，どんなことかと推測したとおり，色々なリズムやオクターブ音程，和音の話はありました．
しかし，根本的ことは，音楽も数学も目では見えないものが見えるという点であるということを実感しました．
その他にも今回気がついたことが色々あります．見えない方の記憶力にも感心しました．
そして，盲目の音楽家も数学者も多数いることを思い出しました．
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お知らせ
数学月間勉強会ー「結晶空間群で，物理と数学を学ぼう」
第3回が近づきました．日程が形の科学会と続きますが，
予定通り実施します．どうぞご参加ください．
主催●日本数学協会，数学月間の会（SGK）
日時●12月12日，14:30-17:00
会場●東京大学出版会，会議室
線路沿いの留学生会館などのある敷地内の一番奥の建物です．
東大構内ではありませんからご注意ください．
最寄り駅●京王井の頭線「駒場東大前」
参加費●無料
問合せ・申し込み●sgktani@gmail.com，谷克彦（SGK世話人）
第3回テーマ●「結晶空間群の作り方」
数学月間勉強会の特徴は，物理と数学の両視点から数学誕生を理解できるところで，
特に初心の若い方々にもお勧めします．

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数学月間SGK通信 ［2017.11.28］ No.195
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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12月12日，数学月間勉強会（第3回）が近づきました．
気軽にご参加ください．
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主催●日本数学協会，数学月間の会（SGK）
日時●12月12日，14:30-17:00
会場●東京大学出版会，会議室
線路沿いの留学生会館などのある敷地内の一番奥の建物です．
東大構内ではありませんからご注意ください．
最寄り駅　　
●京王井の頭線「駒場東大前」
参加費●無料
問合せ・申し込み●sgktani@gmail.com，谷克彦（SGK世話人）
第3回テーマ●「結晶空間群の作り方」
数学月間勉強会の特徴は，物理と数学の両視点から数学誕生を理解できるところで，
特に初心の若い方々にもお勧めします．
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今回のテーマは，「結晶空間群の作り方」で，このシリーズのクライマックスになります．
難しそうだと思われる恐れがあるので，きょうは，
「このテーマは我々が良く使う考え方で特殊なものではない」と感じられる予告編になります．
登場する数学は，群論でいう「準同型定理」という大変重要な考え方です．
しかし，ご安心ください．数学月間の数学では，大学の数学のように証明を長々やる野暮なことはしません．

結晶空間というのは周期的な空間のことです．繰り返し模様は，結晶空間の代表例です．
今回は，繰り返し模様の成り立ち（対称性）を調べる数学「結晶空間群」です．
繰り返し模様は，モチーフとなるタイルを張り詰めてできていますから，
繰り返し（並進）て平面を張り詰めているタイルをみんなはがして，
1枚のタイルの上の全部重ねてしまいましょう．
これで，平面全体を１つのタイルに対応させることが出来ました．
有限図形である１つのタイルの対称性は「結晶点群」で記述できます．
このように，空間（対称性は空間群で記述）を有限図形（点群で記述）に縮小するのが
「準同型定理」の働きです．もっと簡単な例を挙げると，時計です．
時間は無限に増えるのですが，時計は12時間たったらもとの位置にもどります．
12時間だけ違う時間は，同じものと見做せというルールを作れば，無限の時間を，
12時間の中に写像できます．これが「準同型定理」の心です．たとえ話だけではいけませんから，
最後に，歩道のタイルの平面（空間）群の作り方の解説図を掲載しておきます．
この説明は当日行います．
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/83/18316883/img_0_m?1511795897

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数学月間SGK通信 ［2017.11.21］ No.194
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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今日は，数学はでません（メンデルの法則は一寸数学ですが）．日本の，米・麦．大豆を守って来た「種子法」についてです．
安倍政権は，TPPの一環で，種子法廃止を2017.4に成立させてしまいました．来年3月施行です．
何事も規制改革会議に決定させ，国会の審議はろくにしない仕組みは止めてもらいたいものです．

■種子法は，1952年以来，日本の米・麦・大豆を守って来ました．稲は各地で長年改良され，300の多品種があり，
その地の風土に合った優良品種を栽培奨励しているといいます．
種子法は，多国籍企業の種子ビジネスに障害になるので廃止されました．これからは
農家の種採り，交換，保存も禁止され，例えば，モンサントの限定品種に制覇される時代になるようです．
多様性が種々の原因による不作危機の保証になっているのに馬鹿なことです．
種子・化学肥料・農薬のセットビジネスが狙いです．
無精子（雄性不稔）の株を使い開発したF1品種や，遺伝子組み換え品種が蔓延る未来を止めねばなりません．
［山田正彦氏（元農水大臣，日本の種子を守る会）のIWJインタビューより］

■F1品種の作り方［たねのうた　http://tanenouta.com/pleasure/879/　より］
雄性不稔とは，おしべに問題があってうまく受精できない植物個体．
雄性不稔の株を母株として利用すると，その花粉には受粉能力がないわけですから，
別の品種の父株と交互に植えておけば，間違いなく別々品種を両親とする子が生まれます．
この雄性不稔の遺伝子は，玉ねぎの突然変異から見つかり，人参やナス，とうもろこし，
そして，これまで自家不和合成を利用していたアブラナ科でも実用化されているようです．
私たちは突然変異から見つかった遺伝的におかしい野菜を食べていることになります．
ミツバチの不妊もこの花粉に原因があるという説もあるようです．

■味のよい「コシヒカリ」と収量の多い「インデカ種」のかけ合わせで生まれるF1品種のメリットは，
1年目は，両親の良いとこ取りだが，次年のその子F2は，劣勢遺伝が出るのでそれぞれの先祖の悪い所が出ます．
農家は，毎年新しい種子を買う必要がある（メーカー指定の肥料，農薬のセットを使う契約をさせられるようです）．
遺伝子組み換えは危ないですが，危なそうなF1品種の安全性は30年先にならないとわからないでしょう．
昔ながらの品種改良で生まれた種子は長い歴史があり，F1品種とは違い安全で，無農薬栽培などの工夫は農家の自由です．

■日本の野菜は，種子法の適用外だったため，すでにF1品種で海外多国籍企業に90％制覇されているそうです．
日本各地の原種の苗を「手苗」というそうで，昔の農家は，これらの種を採り「自家採種」代々引き継いで栽培しました．
私は，ブログ友にもらった「ぷよ姫」さんというミニトマトを育てています．
育て始めるのが遅かったので，11月16日になって完熟した始めの1粒を食べたばかりです．
トマトはナス科で自家受粉，交雑率が低いそうです．
食べた実から種採りをしました．小さい白い種です．来年この種を撒くつもりです．

完熟したぷよ姫さん初めの1粒いただきました．種採りも教えていただき，愛ニャンコマリアさん有難うございました．白い小さな種ですね．種子はとても重要なものだということを実感できました．

■今日は，数学はでません（メンデルの法則は一寸数学ですが）．
日本の，米・麦．大豆を守って来た「種子法」についてです．
安倍政権は，TPPの一環で，種子法廃止を2017.4に成立させてしまいました．来年3月施行です．何事も規制改革会議に決定させ，国会の審議はろくにしない仕組みは止めてもらいたいものです．

■種子法は，1952年以来，日本の米・麦・大豆を守って来ました．稲は各地で長年改良され，300の多品種があり，その地の風土に合った優良品種を栽培奨励しているといいます．種子法は，多国籍企業の種子ビジネスに障害になるので廃止されました．これからは農家の種採り，交換，保存も禁止され，例えば，モンサントの限定品種に制覇される時代になるようです．多様性が種々の原因による不作危機の保証になっているのに馬鹿なことです．種子・化学肥料・農薬のセットビジネスが狙いです．
無精子（雄性不稔）の株を使い開発したF1品種や，遺伝子組み換え品種が蔓延る未来を止めねばなりません．
［山田正彦氏（元農水大臣，日本の種子を守る会）のIWJインタビューより］

■F1品種の作り方［たねのうた　http://tanenouta.com/pleasure/879/　より］
雄性不稔とは，おしべに問題があってうまく受精できない植物個体．
雄性不稔の株を母株として利用すると，その花粉には受粉能力がないわけですから，
別の品種の父株と交互に植えておけば，間違いなく別々品種を両親とする子が生まれます．この雄性不稔の遺伝子は，玉ねぎの突然変異から見つかり，人参やナス，とうもろこし，そして，これまで自家不和合成を利用していたアブラナ科でも実用化されているようです．
私たちは突然変異から見つかった遺伝的におかしい野菜を食べていることになります．ミツバチの不妊もこの花粉に原因があるという説もあるようです．

■味のよい「コシヒカリ」と収量の多い「インデカ種」のかけ合わせで生まれるF1品種のメリットは，1年目は，両親の良いとこ取りだが，次年のその子F2は，劣勢遺伝が出るのでそれぞれの先祖の悪い所が出ます．
農家は，毎年新しい種子を買う必要がある（メーカー指定の肥料，農薬のセットを使う契約をさせられるようです）．
遺伝子組み換えは危ないですが，危なそうなF1品種の安全性は30年先にならないとわからないでしょう．昔ながらの品種改良で生まれた種子は長い歴史があり，F1品種とは違い安全で，無農薬栽培などの工夫は農家の自由です．

■日本の野菜は，種子法の適用外だったため，すでにF1品種で海外多国籍企業に90％制覇されているそうです．日本各地の原種の苗を「手苗」というそうで，昔の農家は，これらの種を採り「自家採種」代々引き継いで栽培しました．
私は，ブログ友にもらった「ぷよ姫」さんというミニトマトを育てています．
育て始めるのが遅かったので，11月16日になって完熟した始めの1粒を食べたばかりです．トマトはナス科で自家受粉，交雑率が低いそうです．
食べた実から種採りをしました．小さい白い種です．来年この種を撒くつもりです．