約数の系統的な構造を示すグラフ（亀井図）

■まず210の約数の構造を例に，亀井図の性質を調べてみましょう．
210の約数の系統的な構造は，4次元の超立方体と同じ構造です．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

210は4つの互いに素な素数の積210=2･3･5･7から出来ているので，4次元超立方体と同じ構造です．
頂点１のレベルには1個，頂点２のレベルには，4つの素数で4個．頂点６のレベルには，２つの素数の積で，4C2=6個．頂点30のレベルには，３つの素数の積で，4C３=4個．頂点210のレベルは，4つの素数の積で，1個です．4次元の超立方体には対象心があり，互いに点対称な頂点の積は210になることも理解できます．
4次元の超立方体の１つの次元（例えば，素数2の方向）を消すと，3次元の立方体の２つに分離します．同様なことを，それぞれの3次元立方体で考え，例えば，素数7の方向の次元を消すと，3次元の立方体は2次元の面（例えば1-3-15-5）に分離します．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

このような性質を利用して，さらに高次元の6次元や7次元の超立方体を，同様に作れます．

■こんどは，5次元の超立方体を調べます．2310を素因数分解すると,2310=2･3･5･7･11ですから，2310は5次元の約数構造を持つ最小の数であるはずです．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

この5次元の超立方体は，素数２の方向の次元を消し去ることで，4次元の超立方体1155と2310の2つに分離することはお判りでしょう．
5次元空間は，1次元空間と互いに直交する4次元空間の直積で表現できるからです．
あるいは，互いに直交する2次元空間と3次元空間の直積ともみなすことができます．
例えば，2次元空間の代表を1-2-6-3とし，3次元空間の代表を385とすると，
385，770，2310，1155　の４つの３次元の立方体を見ることができるでしょう．

続く⇒亀井図を素数のべき乗が作る1次元格子で拡張する