活躍する曲線

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数学月間SGK通信 ［2018.01.16］ No.202
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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大変寒い日が続きます．風邪も流行っているようです．
皆さまにとって今日も良い日でありますように．

今日の話題の懸垂曲線にでて来るの石橋の写真は通潤橋です．
この写真を撮影したのは，12年以上前のことです．
石積の橋で，水を台地に持ち上げて運ぶために，サイフォンの原理を使うなど
優れた石工の技術に感心しました．
熊本地震でも残った堅牢さにも感心していますが
現在，石の配管の修理中と聞きます．
■インボリュート曲線
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/556225/47/16380447/img_2_m?1516025270
右図をご覧ください．青い円が糸巻きで，この糸巻きに巻いてある糸を（黒い線）
ほどいているときに糸の先端が描く曲線（赤色）をインボリュートといいます．
ほどく糸の巻き始めは，青い糸巻き表面のインボリュート曲線の出発点です．
糸が引っ張られる方向は，いつもインボリュート曲線に垂直であることに注目してください．
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/556225/47/16380447/img_1_m?1516025270
インボリュート曲線は歯車の歯の形に利用されます．
左図のように，青い歯車と黄色い歯車がかみ合っている状態を考えて見て下さい．
歯車の形がインボリュートならば，
これらの歯は回転中いつも互いに垂直に押し合っていて理想的な歯車になります．
インボリュート曲線の方程式の作り方を，下の図に示しました．

■懸垂曲線
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/556225/63/16380663/img_0?1516024764
両端で固定された密度一定のひもが垂れ下がった時の形です(下左図）．
石積の橋が描くアーチもこれ（懸垂曲線の上下を逆にしたもの）
右図は円柱を5つ積んでつり合いを保っている状態．
テーブル上の左右のブロックは，一番下の円柱を両側から押しています．
円柱間は点での接触ですのでバランスをとって積むのは非常に難しいが落ち着いてやればできます．
この形は石橋と同じ懸垂曲線です