対称性からわかること

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数学月間SGK通信 ［2018.03.13］ No.210
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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こちらでは，河津桜は咲きましたしすっかり春らしくなってきました．
皆様のところは如何でしょうか．
今月27日には，数学月間勉強会の第4回を開催予定です．
対称性の話を3回して，4回目の27日には対称性の応用も話そうと思います．
今日は，ちょっとその予告編です．
■対称性からわかることは色々あります.
例として,ルビーの赤い色の原因の説明に使ってみましょう．
ルビーの赤い色は，コランダムという鉱物の結晶構造に関係があります．
コランダムはAlアルミニウムとO酸素で出来ています（Al2O3）．
コランダムの構造は，大雑把に言うと
パチンコ玉（O酸素）を並べたシートを積み重ねたような構造で,
下３つ，上3つのOが作る正8面体の中心にAlがあります．
Alは周囲(下３つと上３つ)の6つのO（正8面体の頂点）と結合し，
各Oは，２つのAlと結合しています．
Alを囲むOの８面体は厳密には正8面体ではありませんが，
話を簡単にするため正８面体としておきます．
■ルビーの赤い色は，コランダムのAlの位置の2%程度を
Crクロムで置き換えたもので生じます．ついでに，
サファイアの青い色はFe鉄で置き換えたときに生じます．
■さて，ルビーの赤い色の説明に戻りましょう．
Alには３d軌道に電子がありませんが，Crには3d電子軌道に5つ，
4s軌道に１つ電子があります．
d電子軌道の５つは同じエネルギーですが，もし，正8面体の場に
d電子が置かれると，軌道のエネルギーは2種類に分離します．
そのため，光の吸収に関係のあるのは，エネルギー準位が分離したd電子で，
低いエネルギー状態を占めているd電子が，
緑~青の光を吸収し高いエネルギー状態に移ります．
結局，赤い光は吸収されないので，ルビーは赤く見えるのです．
■ここで，対称性の考え方が何処に使われているかと言えば，
5種類ある同じエネルギーのd軌道が，正8面体の場に置かれると，
どのように分離するかを予言するのに使えます．
■さて，ここから具体的な話をしなければなりません．
5つの3d軌道と，1つの4s軌道の計6つの関数を基底として
正8面体群の6次元の行列表現を作ります．あるいは，
正8面体の対称性の場ができればよいのだから，頂点6つに
単位電荷を基底とした表現行列から出発することもできます．
この表現を，正8面体群の既約表現に分解すればよいのです．
結果は，5つのd電子軌道は，３つのd軌道が属するT1uと2つのd軌道が属するEg，
それに，4s軌道の属する球対称のA1gに分解されます．
この計算は，行列表現の指標だけで行うことができますから，
理屈がわかれば案外簡単です．3月27日の数学月間勉強会でこの説明をします．
■ルビーの赤い色は，T1uからEgへd電子が遷移するときの光吸収の補色です．
T1uに属するd軌道が，Egに属するd軌道よりエネルギーが低いのは，
d軌道の電子雲が周りのO原子の電子雲を避けて納まっているからです．