対数とスケールの定義

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数学月間SGK通信 ［2018.06.05］ No.222
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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夏を思わせる日があったと思うと寒い日もあります．
梅雨入りもまじかでしょう，皆様どうぞご自愛ください．
今日は，対数について実用上の役割を見てみましょう．
関数としての対数の微積分は，数学では避けられませんが
常用対数表や計算尺はコンピュータ時代に影が薄くなりました．
しかし，対数は数字の桁を表示することなので，色々な現象のスケールの定義が
対数を用いてなされます．社会や科学の色々な分野で対数が係わることになります．
■対数の発明
ネイピア（スコットランド）は，1614年の著書で対数を提唱しました．
大きな数字の間の乗算は面倒です．
対数を用いれば，掛け合わせるそれぞれの数の対数をとり，それらを加算し，
対数表の中にこの数を探しだし，対数をとる前の数を求めればよい．
積の対数は，それぞれの数の対数の和になるから，乗算が加算に変る．
log(A･B)＝log(A)+log(B)
コンピュータのない時代の科学技術計算に，対数表は不可欠だった．
16cの天文学者は対数表で大いに助かったことだろう．
あのニュートンも対数表を用いて計算したに相違ない．
ビュルギ（スイス）も，ネイピアとほとんど同時期に対数を用いているらしい．
計算尺の発明は，ウイリアム・オートレッド（英）1621年と言われる．

対数をとると，乗算が加算に変わる原理は，次のようなことです．
例えば，16や32を2のべき乗で表すと，16=2^4， 32=2^5なので，
16x32＝512の計算は，つまり，2^4ｘ2^5＝2^9　は，
4+5=9のように，べき乗の可算になります（指数法則）．
２を底とする対数をとると，log16＝4，log32=5，log512＝9であるので
べき乗の可算4+5=9から，log16＋log32＝log512となります．
このように，対数を仲介することで，積を和に変えることができます．
ここでは，２を対数の底として説明しましたが，対数表の完備しているのは底10の
常用対数です．常用対数は，10進法に相当しています．
注）底は1でない正数．対数が定義できるのは真数が正数のとき定義される．
■対数の応用
対数は科学の様々な分野のスケールに用いられる．例えば，エントロピー．ペーハーpH，
デシベルdB，地震マグニチュード，恒星の等級，...等々．
人間の感覚感度は，べき乗スケールで変わった方が自然なようです．
例えば，
・エントロピーSと，状態のとり得る場合の数Wは，
　S=k･log(W)，kはボルツマン定数．
・ペーハーpHは，水溶液の水素イオン濃度の対数です．
純水の水素イオン濃度は10^-7なので，中性のpH＝-log（10^-7）＝7
・デシベルdBは，ゲイン（増幅率）の対数をベルBと言い，その10倍をデシベルdBと言います．
100倍のゲインならlog100=2B＝20dB．
・地震のマグニチュードMは，地震のエネルギーの対数です．
マグニチュードが1段階変わればエネルギーは約32倍になります．
・恒星の等級には，実視等級と絶対等級があります．実視等級は，一番明るい星たちを1等星，
肉眼でやっと見える星たちを6等星に区分したことに始まります．
1等星と6等星では明るさが100倍違いましたので，結局1等級違えば明るさは100^(1/5)＝2.51･･倍違います．
絶対等級というのは，恒星までの距離を考慮し，恒星がすべて10パーセク(32.6光年)の距離にあるとして，
実視等級を換算し直し，地球からの距離にはよらぬ恒星本来の明るさを表します．
この換算には，明るさは距離の2乗に反比例することを使います．