2016年8月の記事一覧

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数学月間SGK通信 ［2016.08.30］ No.130
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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暑かった8月も終わろうとしています．学校の夏休みも終わりですね．
今日は図形のパズルです．難しい計算は必要ありません．
図形を見て考えるのみです．ユークリッド幾何の世界ですから
我々が身に着けた直観や常識で間に合い，特別な知識は要りません．
「錯角（平行線とこれに交わる直線があるときにできる角度）は等しい」
ことを使いますが，これも日常生活で身についている直観でしょう．
このように，図形の問題は特別な知識は必要ありません．
諦めずに図形を眺めていましょう．そのうちわかります．

小梁修（OSA工房）の黄金三角形パズルの一つを紹介します．
(1)正五角形の中を図のように分割して作った3種類の三角形があります．
Q1.これらはどれも2等辺三角形ですが，何故でしょうか．
ヒント：両底角が等しいと2等辺三角形になります．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/558900/82/16936782/img_3_m?1472477472

これらの3種類の三角形の面積に関して，以下の関係があります．
（水色の三角形）＋（黄緑色の三角形）＝（オレンジ色の三角形）
Q2.これを証明してください．
(補助線一本でわかります)
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/558900/82/16936782/img_0_m?1472477472

(2)水色と黄緑色とオレンジ色の三角形パーツを使って
色々な大きさの正五角形を作りました．
(1)の正五角形（基本正五角形と呼ぶ）の面積を１とすると
Q3.作った色々な大きさの正五角形の面積はいくらでしょうか．
（5a^2：c^2：a^2：b^2　の面積比になります）
ここには基本正五角形（辺長a）の他に，
5x基本正五角形(辺長√5a)，大正五角形（辺長c），小正五角形（辺長b）
が出てきます．
c^2＝a^2+b^2　の関係があることを証明してください．
（この関係は，これらの三角形の面積が S_c＝S_a+S_b であること
　［Q2でも証明している］から得られます）
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/558900/82/16936782/img_2_m?1472477472

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数学月間SGK通信 ［2016.08.23］ No.129
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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8月21日は，とっとりサイエンスワールドin鳥取です．
とっとりサイエンスワールドは，鳥取県と鳥取数学教育会が主催し今年で十年目．
すっかり市民に定着したイベントになりました．
このメルマガが皆様に配信される日は，数学月間最終日の翌日23日です．
数学月間は7/22～8/22：これは22/7=3.14･･･，22/8=2.７･･･にちなみます．
今年のとっとりサイエンスワールドは，この期間内に，西部と東部の2か所で
実施されました（さらに，9/11は中部で実施の計画があります）．
私はとっとりサイエンスワールドに参加するために鳥取に行き不在ですので，
今週のメルマガは予約発行です．
サイエンスワールドの様子は，後日のメルマガにご期待ください．

■さて，今回はランプシェードのデザインに利用される多面体の鑑賞です．
これは，球に近い多面体（いわゆるジオデシック構造）です．

www.creema.jpにある広告の写真を見て下さい．
これは,日球（https://www.creema.jp/c/hitamaya/item/onsale）さんの作品．
球面正20面体の面の細分で得られるジオデシック構造です．基礎となる球面正20面体の頂点は，
球面正3角形の頂点が５つ集まっている点の12個です．
20の面をそれぞれ細分化しジオデシック構造を作るには，各球面正3角形を4つに細分します．
全体で80個の球面三角形の面からなります．
https://d12ciics2fd1e.cloudfront.net/user/108977/exhibits/516682/1_c1e528919e76aed18f78765ae22229c698360adb_583x585.jpg

参考となる正20面体の形のランプシェードは，以下のところで見ることができます．
おりあるて（https://www.creema.jp/c/holiarte）さんの作品です．
https://d12ciics2fd1e.cloudfront.net/user/73358/exhibits/555659/1_f1e2caf473c660f6ddf04858aef8e7bdaf110412_583x585.jpg

■ジオデシック・ドームは建築家フラーが好んで作った建造物で，
炭素原子だけ60個で作るサッカー・ボールの様な構造の分子C60（フラーレン）
の語源になったものです．
バックミンスター・フラーのジオデシック・ドーム
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8c/Biosph%C3%A8re_Montr%C3%A9al.jpg/800px-Biosph%C3%A8re_Montr%C3%A9al.jpg
（wikipedia.orgより）
正20面体からスタートして，各面を細分化していくのですが，日球さんのランプシェードの形は，
正20面体の最初の細分化で得られ，正20面体の各面となる3角形の各辺の2等分点を球面に投影して作ります．
この細分化を何度も繰り返すとだんだん球に近い多面体（ジオデシック構造）になります．

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数学月間SGK通信 ［2016.08.16］ No.128
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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お元気でしょうか？皆様のところではお盆は如何お過ごしでしょうか．
このところ先週の猛暑は少しおさまり助かりますね．
私は，日曜日からお盆で田舎に来ております．
母の新盆は7月に済ませましたが，８月は田舎のお盆で，従兄の新盆や，義父母の墓参に来ています．
そして，17日は父の祥月命日ですので，田舎からとって返してこちらの墓参に行きます．
そうこうするうちに，とっとりサイエンスワールドin鳥取（8月21日）が迫ってきました（私は前夜の夜行バスで出かけます）．
17日には墓参に行く前に，材料を発送しないと....もうタイムリミットです．今週は全く余裕がありません．

■鳥取サイエンスワールドin鳥取（8/21，とりぎん会館）
お近くの方はぜひご参加ください．子供も大人も楽しめる数学祭りです．すっかり市民に定着したイベントになりました．鳥取県，鳥取数学教育会のスタートから11年の活動に敬意を表します．

私の万華鏡ワークショップは，30人のクラスを5回実施する計画でいます．
なかなか予定通り行きませんので，10人分ほど予備も準備します．
さて，今回作る万華鏡の映像写真をとりあえず掲載しておきます．
映像を見ると12回の回転対称性があり，点群の対称性は12mmです．
この対称性は2枚の交差する鏡で生成されるのですが，鏡の交差角は何度でしょう？（答え15度）．
万華鏡の映像写真↓
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/07/17616707/img_0_m?1471269173

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数学月間SGK通信 ［2016.08.09］ No.127
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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子供たちが楽しそうな夏休みの最中です．7月31日の鳥取サイエンスワールドin米子では
約800人の入場者があり，120人分用意した万華鏡は，3時で材料がなくなりました．
次回開催は，8月21日の鳥取です．お近くの方お寄りください．

■正多面体とは，1種類の正多角形の面で囲まれた立体で，どの頂点の周りも同じ状態になっている立体です．
正多面体は「プラトンの多面体」とも呼ばれ，3次元では5種類（正4面体，正6面体，正8面体，正12面体，正20面体）
しかないことが知られています．正多面体の記述には，シュレーフリの表記法が用いられます．
例えば，｛3,5｝という表記は，正3角形の面が，どの頂点でも５つ集まっている状態です．
これは正20面体で，もっとも球に近い正多面体です．
■もっと球に近い多面体（正多面体ではない）を作るにはどうしたらよいでしょう．
例えば，ゴルフボールのディンプルを思い浮かべてください．
均一にデインプルを配置するにはどうしたら良いか？1つのディンプルの正面から見て．
その点の周りが均一ということは，ディンプルを面に見立てて，その面が正多角形であること．
すべてのディンプルが同じということは，同じ正多角形で囲まれているということ．
つまり，正多面体になっていることと同じです．したがって，厳密に均一な対称性でディンプルを配置するということは，
プラトンの多面体に相当する5種類しかあり得ません．
■しかし，近似的には，例えば，正20面体から出発して，面を分割していくと，
多面体の面の数がどんどん増加し，形も球に近づけることができます．
ジオデシック・ドーム（フラーの設計した建築物．C60分子（フラーレン）の語源になった）は，
このような形です．ドームの壁は，すべて3角形でできたトラス構造です．
■さて，図を参照しながらその作り方を説明しましょう．
出発点となる正20面体（灰色の球内部に内接する青色の正20面体）（A)から出発します．
外接球の中心Oから，正20面体の正３角形面の辺の中点に向かって線を伸ばし，
外接球面をよぎる点を三角形面の分割点とします（B).
この操作により，1つの正３角形の面は４つの三角形の面に分割されます．
この分割で生じた小さな3角形は，正3角形ではありません．
こうしてできた4倍の面をもつ80面体の多面体を図(c)に示します．
さて，(C)をもう一度分割すると，320面体の多面体(E)が得られます．
このようにして，ますます球に近い多面体を作ることができます．
各3角形の面にディンプルを配置すれば，いくらでも多くのディンプルを，近似的に均一に配置できますが，
この作り方からわかるように，スタートとなった正20面体の対称性は変わりません．素性は隠せないのです．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/60/17605260/img_0_m?1470654264　←Fig

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数学月間SGK通信 ［2016.08.02］ No.126
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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今年も鳥取サイエンスワールド（10年目）の夏がやって来ました．
とっとりサイエンスワールドのFacebook　←（ここをクリック）
主催は，鳥取県，県数学教育会です．鳥取大学，地域教育学部が中心になり
小中学校の先生方や多くの高校生ボランティアが活躍します．　
7月31日（米子），8月21日（鳥取），9月11日（倉吉）です．
楽しいイベントがたくさんありますから．皆さんお寄りください．
私も万華鏡で参加します．万華鏡は1時間くらいで完成します．楽しいですよ．
今年作る万華鏡は，新型です．
予習になるように，万華鏡の仕組みを簡単にまとめておきます．
この記事は31日の米子に出かけるために事前に書き予約配信です．実際の配信は事後になります．

■万華鏡の原理
互いに平行に向かい合った「合わせ鏡」は，1列に無限に並ぶ像を作ります．
合わせ鏡に挟まれた部屋（緑色）を「鏡室」と呼んでおきます．
鏡室が鏡でひっくり返った鏡像は白いままの部屋にしました．
もう一回，鏡でひっくり返ると鏡室と同じ向きの映像になります．
詳しく言うと，緑（あるいは黄色）と白色の部屋が並んで市松模様ができます．
繰り返しの単位は，このペア（鏡室の2倍）です．
合わせ鏡が互いに平行でなく，交差角がθのときの図も合わせて掲載しました．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/77/17588477/img_0_m?1469773013

交差角がθのときは，1列に並ぶ像は円周上に並びます．円周上に並んだ像が，反対側でうまくつながる条件を考えると，
全円周角360°が，繰り返しの単位2θで割り切れることであることがわかるでしょう．つまり
360°／2θ＝n（整数）　このとき生じる万華鏡の映像には，n回回転対称性があります．
もちろん，この回転対称性の生じる原因になったのは，2枚の鏡です．

■今年，皆さんが作る万華鏡は，2枚の鏡の交差角が15°のものです．
これなら，360°／30°＝12 となり割り切れます．12回回転対称性が生じるはずですね．
以下のような映像が観察できるでしょう．この対称性をもたらした原因は2枚の鏡（赤と青）です．
この図形の対称性を点群の記号で書くと 12mm となります．
http://blogs.yahoo.co.jp/tanidr/GALLERY/show_image.html?id=17588477&no=1