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数学月間SGK通信 ［2017.11.14］ No.193
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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皆様お変わりありませんか．MRI(核磁気共鳴イメージング)の話です．
私は，今年は2回MRIの測定をし，9月末に手術をしましたが，今は絶好調です．
MRIを撮ったことのある方もおられることでしょう．あのカタカタだのビーだの
ほとんど冗談かと思うようなふざけた音がしますが，1.5T（テスラ）という強い磁場の中で
装置が動くためにあたかもスピーカーと同じように振動する装置の出す音です．
それにしてもなんとかならないものか，
振動しないように作るにも，今でも何トンという重量ですから無理でしょう．
一方，画像の分解能を良くすれば，測定時間は増えるのが常識ですが，
分解能を上げて，かつ，測定時間も短縮できる「圧縮センシング」という数学的な方法があります．
その前に，今日はMRIの装置の仕組みについてお話します．
■プロトン（水素の原子核）はスピンを持ち,磁石の性質（核磁気）があります．
強い静磁場下に置かれたプロトン核磁気は，磁場に沿ってだいたい向きが揃い，
歳差運動している状態です．歳差運動の周波数（ラーモア周波数という）は，
磁場が強いほど高く，MRI装置の静磁場は1.5T程度と超強力なので，
ラーモア周波数は６４ＭＨｚ（ラジオ電波の周波数領域）程度です．
静磁場下のプロトンに，このラーモア周波数の電波が照射されると吸収共鳴が起こり，
核磁気の歳差運動の振幅（周波数は変わらない）が増大しほとんど横倒しの状態で回転
（古典論的なイメージ）しています．
一方，歳差運動をしているプロトン核磁気からは同じ周波数の電波が放射されるので，
これを検出することができます．
■生体組織は，水をはじめ水素原子と結合したいろいろな組織です．
つまり，プロトン（水素の原子核）核磁気は組織の至る所に分布していて，
その水素の属する組織の環境（診断情報）がそのプロトン核磁気の性質に反映されています．
すなわち，核磁気の歳差運動の縦緩和，横緩和という現象に，そのプロトンが含まれる水素周囲の違いが出ます．
緩和というのは，電波の照射を止めると，励起されていた核磁気の歳差運動が定常状態に戻ることで，
静磁場方向の核磁気成分の復元緩和を「縦緩和」，静磁場に垂直面内の成分の減衰緩和を「横緩和」といいます．
組織の各点で，これらの緩和定数を測定し，マップに表示できれば，
診断に役立つ組織の特徴を反映したイメージングになります．
■さて，組織画像の位置情報はどのようにして得られるのでしょうか．
これがなければ画像として見ることができません．
断層測定をするには，検出器に到来する電波が，
１つのスライス平面から来るものだけ集める必要があります．
このためには，静磁場の他に傾斜磁場を印加します．
傾斜磁場はさきほどの静磁場とは別で，ペアのコイルによって発生する
（数十mT/m程度の強さ）もので，静磁場方向をｚ軸とするとz方向に沿って変化する傾斜磁場，
x方向に沿って変化する傾斜磁場，y方向に沿って変化する傾斜磁場の3種類があります．
傾斜磁場があると，空間内で磁場の大きさが一定になるのは平面になります．
例えば，静磁場方向と同じz方向の傾斜磁場を印加すると，磁場一定の平面はz軸に垂直な平面です．
プロトン核磁気のラーモア周波数は，磁場の強度に比例するので，
共鳴吸収する電波の周波数をスキャンすれば，
z軸に垂直な各断層平面に並ぶ核磁気からの電波を順次採取することができます．
次に，各断層面内の(x,y)位置情報はどのように得るかというと，
断層内のプロトンの歳差運動を励起した後に，x傾斜磁場，引き続きy傾斜磁場の印加を行います．
x傾斜磁場印加でx軸に沿って歳差運動の周波数が変化し，その場所から放射される電波のx座標情報
（周波数エンコーディング）が得られます．
ｘおよびｙ傾斜磁場の印加でy軸に沿って歳差運動の位相が変化し，
y座標情報（位相エンコーディング）が得られます．
傾斜磁場を印加して，空間の位置情報を得，画像化を可能にしたのは，
Lautergur（1972）の発明で，2003年のノーベル賞を受賞しました．
■緩和時間の測定は，歳差運動の励起後，照射電波を切って行うので，
立ち上がり時間も考慮した電波照射の複雑なパルスシークエンスになり，
256x256画素の測定でもかなりの時間を要します．高分解能画像を得るには，
正攻法ではさらに細分化した画素数の測定が必要になり膨大な測定時間になるでしょう．
これを解決し，MRIの高分解能かつ高速化を実現したのは，
以下で言及する予定の「圧縮センシング」という数学方法です．

MRI(核磁気共鳴イメージング)

■プロトン（水素の原子核）はスピンを持ち,磁石の性質（核磁気）があります．
強い静磁場下に置かれたプロトン核磁気は，向きは揃い，歳差運動している状態です．歳差運動の周波数（ラーモア周波数という）は，磁場が強いほど高く，MRI装置の静磁場は1.5T程度と超強力なので，ラーモア周波数は６４ＭＨｚ（ラジオ電波の周波数領域）程度です．静磁場下のプロトンに，このラーモア周波数の電波が照射されると吸収共鳴が起こり，歳差運動の振幅が増大し横倒しの状態で回転（古典論的なイメージ）しています．一方，歳差運動をしているプロトン核磁気からは同じ周波数の電波が放射されるので，これを検出することにします．
生体組織は，水をはじめ水素原子を含むいろいろな組織です．つまり，プロトン核磁気は組織の至る所に分布していて，その水素の属する組織の環境（診断情報）がそのプロトン核磁気の性質に反映されています．すなわち，核磁気の歳差運動の縦緩和，横緩和という現象に違いが出ます．照射電波を切ると，励起されていた核磁気の歳差運動が定常状態に戻る（緩和）のですが，静磁場方向の核磁気成分の復元緩和を「縦緩和」，静磁場に垂直面内の成分の減衰緩和を「横緩和」といいます．
組織の各点で，これらの緩和定数を測定し，マップに表示できれば，診断に役立つ組織の特徴を反映したイメージングになります．
■さて，画像の位置情報はどのようにして得られるのでしょうか．
このためには，静磁場の他に傾斜磁場を印加します．傾斜磁場はﾍﾟｱのコイルによって発生させ，数十mT/m程度の大きさです．静磁場方向をzとするとz方向に沿って強度が変化するz-傾斜磁場，x方向に沿って強度が変化するx-傾斜磁場，y方向に沿って変化するy-傾斜磁場の3種類があります．傾斜磁場の印加された空間内では磁場の大きさが一定になるのは１つの平面です．例えば，静磁場と同じ方向のz-傾斜磁場を印加すると，磁場一定の平面はz軸に垂直な平面です．プロトン核磁気のラーモア周波数は，その場の磁場強度に比例するので，もし，共鳴吸収する電波の周波数をスキャンすれば，各断層平面ごとの電波を順次採取することができます．
次に，各断層面上の(x,y)位置情報を得る仕組みの説明をします．断層上のプロトンの歳差運動を励起後に，y-傾斜磁場の印加と停止，その後続いて，x-傾斜磁場の印加を行います．まず，y-軸に沿って歳差運動の周波数が変わりますが，y-傾斜磁場が切られると，y-軸に沿って位相変化として残ります．続いてx-傾斜磁場が印加されるので，x-軸に沿った周波数変化ができます．結局，断層面上の点(x,y)から放射される電波は，x-座標に沿って周波数が変わり（周波数エンコーディング），y-座標に沿って位相が変わる（位相エンコーディング）ものが採取できます．
傾斜磁場を印加して，空間の位置情報を得，画像化を可能にしたのは，Lauterbur（1973）のNatureに載せた論文です．Lauterburらは2003年のノーベル賞を受賞しました．
■緩和時間の測定には，傾斜磁場や照射電波のON/OFFが必要で，傾斜磁場の立ち上がり時間も考慮した複雑なパルスシークエンスです．256x256画素の測定でもかなりの時間を要します．高分解能画像を得るには，正攻法ではさらに細分化した画素数の測定が必要になり膨大な測定時間になるでしょう．パラレルイメージングなどの手法に加えて，MRIの高分解能かつ高速化を実現したのは，別項目で言及した「圧縮センシング」という方法です．

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数学月間SGK通信 ［2017.11.07］ No.192
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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与えられた角の3等分は実在しますが，定規とコンパスだけでは，
一般には作図できないということは多分ご存知でしょう．
以下は，ギリシャの幾何学者達が熱心に研究した不可能作図問題です：
（１）与えられた正立方体の2倍の体積の正立方体を作れ
（２）与えられた円と同じ面積の正方形を作れ
（３）任意に与えられた角を3等分せよ
もちろんこのような図形は実在しますが，作図手段を，「定規とコンパスだけを有限回使って」
と制限されての作図ができるか？という問題です．

■長さa,bの２つの線分bが与えられたとき，直線定規とコンパスだけを用いて，
加法a+b，減法a-b，乗法a･b，除法a/b，開平√a
の作図が可能なことは，以下の図をご覧ください．
https://blogs.yahoo.co.jp/tanidr/GALLERY/show_image.html?id=18283150&no=2
https://blogs.yahoo.co.jp/tanidr/GALLERY/show_image.html?id=18283150&no=0

これ以外の作図（例えば，立方根の作図）は定規とコンパスでは出来ません（証明は難しいのでスキップ）．
（１）ではx^3＝2x（a^3）だから，２の立方根の作図が必要
（２）では，x^2＝π(r^2)だから，πという無理数の開平の作図が必要
（３）では，x^3-3x-a=0という角3等分の方程式の根であるxの作図が必要です．
［ただし，aは，与えられる角度Ω（cosΩ＝a/2）により決まる］
例えば，Ω=90°（a=0）のときは，ｘ＝√3の作図になり，これは可能です．
しかし，一般の角の場合，この3次式は有理数の解を持たず，作図は出来ません．
この角3等分の方程式の導出は以下の図をご覧ください．
https://blogs.yahoo.co.jp/tanidr/GALLERY/show_image.html?id=18283668&no=3

Ω＝60°（a=1）のときは，x^3-3x-1=0となり，有理数の解を持たないので，
角の3等分の作図は（定規とコンパスでは）できません．

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数学月間SGK通信 ［2018.10.23］ No.238
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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今日は，たいへん古典的だが，重要な証明問題を扱いましょう．
ギリシャの幾何学者達が研究した不可能作図とは
以下のものがあります．

（１）与えられた正立方体の2倍の体積の正立方体を作れ
（２）与えられた円と同じ面積の正方形を作れ
（３）任意に与えられた角を3等分せよ
これらは，定規とコンパスだけを有限回使って作図できるか？
ということです．

■なぜ作図できないか
（１）は，2の3乗根の作図が必要です．
（２）の円と同じ面積の正方形を作る方針を以下の図に示します．

どうしてこの作図ができないのかわかりますか？
与えられた円の半径をrとします．まず，円と同じ面積の長方形を作りましょう．
もし，縦r，横aの長方形が作れたら，r･a=x^2　となるxの作図は可能です．
問題は，円の面積と同じ縦 r，横 a=πｒの長方形を作るところで，
円周の半分の長さπrの線分を作図する方法が，定規とコンパスではないからです．
無理数πが作図できません．

■直線定規とコンパスだけを有限回繰り返し用いて作図できる長さは
２つの有理数の，加法，減法，乗法，除法，開平だけです．
作図方法は，以下をご覧ください．
条規とコンパスで作図
開平を繰り返せは，2のべき乗根（4乗根，8乗根，．．．）は作図できますが，
例えば，立方根は作図できません（この証明は難かしいのでスキップ）．

（３）任意の角度の3等分が作図できないわけ．
角度3等分の方程式は　x^3-3x-a=0　で，
例えば，与えられた角度が60°ならa=1の方程式です．
60°の3等分の方程式は，x^3-3x-1=0　となりますが，
この3次方程式は，p+q√r　（ただし，p,q,rは有理数）の型の解を持たないので
この角度の作図は，定規とコンパスでは不可能です．
もちろん，60°の3等分の20°は存在しますが，
定規とコンパスだけを使う方法では作図できないということです．
詳しくは，以下をご覧ください．

■円に点Bを通る2直線が交差しているときに，方冪の定理が成り立ちます．

■２つの長さの加法，減法は簡単です．以下の図をご覧ください：

■結局，直線定規とコンパスだけを有限回繰り返し用いて作図できる長さは
加法，減法，乗法，除法，開平です．
開平を繰り返せは，2のべき乗根（4乗根，8乗根，．．．）は作図できますが，
例えば，立方根は作図できません（この証明は難かしいのでスキップ）．

■円に点Bを通る2直線が交差しているときに，方冪の定理が成り立ちます．

■２つの長さの加法，減法は簡単です．以下の図をご覧ください：

■結局，直線定規とコンパスだけを有限回繰り返し用いて作図できる長さは
加法，減法，乗法，除法，開平です．
開平を繰り返せは，2のべき乗根（4乗根，8乗根，．．．）は作図できますが，
例えば，立方根は作図できません（この証明は難かしいのでスキップ）．

⇒円と同じ大きさの正方形の作図

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数学月間SGK通信 ［2017.10.31］ No.191
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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台風が来たり急に寒くなったりですが皆さまお変わりありませんか
私は風邪をひきそうでちょっと疲れが出てきました．皆様お気を付けください．
今日は，「数学文化」28号（2017.8）に掲載した私が書いた書評から一部抜粋し転載します．
ベルヌーイ家の遺した数学，松原望（東京図書）についてです．
この本は，数学も物理も一緒だった興味深い時代のベルヌーイ家が舞台です．場所はスイス，バーゼル．
今日は，物理学と数学は分離し，数学は高度に抽象化してしまったが，ベルヌーイ家の時代はそうでなかった．
物理の研究に必要な数学が，自分の手で次々に開発されていく時代でした．

■数学と物理の歴史で，血沸き肉躍るエポックメーキングな時代が２つある（私にはそう思える）．
一つは，この本のテーマの「ベルヌーイ家の時代」17c～18ｃ．
もう一つは「量子力学の誕生前夜」20c初頭～中葉である．
その時代の当該分野の研究者たちは，実に楽しかったろう．うらやましい限りだ．
後者の「量子力学の誕生前夜」，すなわち，前期量子論の幕開けは，
光電効果（アインシュタイン）や，原子のスペトルなどの現象が，
当時の物理のパラダイムでは説明できないことから始まった．
Ｘ線の発見（レントゲン）は20cの夜明に相応しく，
有名なラウエの実験やブラッグ父子による結晶の原子的内部構造の解明へと発展し，
「原子・量子」のパラダイムが出来上がった．この「原子・量子」の時代の到来は，
本書に登場するダニエル・ベルヌーイが先駆となる統計力学，気体運動論の後に続くものである．
「原子・量子」の幕開（20c）けに必要となる数学は，17c~19cに，すっかり準備されていたことは興味深い．
その中心が「ベルヌーイ家の遺した数学」である．

結晶空間群の数え上げは19c後期だが，17cにはアウイなどによる結晶面の有理指数の法則が知られ，
これは，結晶内部が単位胞の積み重なったデジタル空間であることに他ならない証拠である．
固有値問題を解くための行列論は19c中葉だが，18世紀初頭には，ヨハン・ベルヌーイとダニエル・ベルヌーイ，
ダランベールおよびオイラーらが，弦の運動で固有値問題を研究している．
量子力学で使われる波動方程式の一般解は，18cにダランベールにより研究されたが，
18c末に境界条件下の波動方程式の解法にダニエル・ベルヌーイがFourier級数を用いたことが本書に紹介されている．
Fourier解析は19c初頭にはフーリエが発明している（厳密な証明は後の時代を待つ）．
ニュートン力学を一般化し，どんな問題にも容易に適用できるようにした解析力学の誕生は，
ベルヌーイ家の大きな遺産と言えるだろう．
モーペルテュイは，始状態から終状態への運動経路には，作用と呼ばれる積分量が定義でき，
作用が最小となる経路が実現される．「これが物理学のみならず，万物の運命を決める原理である」
という着想ー”最小作用の原理”ーを得た．
正確には，「作用が停留値をとる経路が実現する」というのが正しいことが後に分かるのだが．
オイラーは，モーペルテュイの作用量の定義を積分に拡張し，さまざまな力学課題に適用できるようにし，
これを解く変分法を発明したのは若いラグランジュであった．
変分法で導かれる運動方程式が，オイラー＆ラグランジュ方程式という所以である．
変分法は，最速降下曲線を求めるというベルヌーイ家からでた問題に端を発したもので，
解析力学を生みその形式が量子力学にもつながることになる．
変分法は，ベルヌーイ家の最大の数学遺産といっても過言ではないと思う．

脱線ついでに，数学の歴史でエポックメーキングな時代は，私の好みでは，
「非ユークリッド幾何」の発見の時代（ガウス，ボヤイ，ロバチェフスキ，リーマン，ポアンカレ），
もう一つは，マンデルブロが開拓した「フラクタルの時代」だと思う．
カントール，コッホ，ペアノ，シェルピンスキーなどのフラクタル曲線は至る所ギザギザで微分できない．
これは，ヨハン・ベルヌーイ時代に，盛んに研究された曲線とは全く異なる範疇のものである．

■お知らせ
数学月間勉強会（第3回）
結晶空間群で数学と物理を学ぼう
12月12日，14:30－17:00
東大出版会，会議室（駒場留学生会館の敷地内の奥．東大構内ではありません）
詳細は，数学月間ブログなどに掲載しています．
問い合わせ先：sgktani@gmail.com

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数学月間SGK通信 ［2017.10.24］ No.190
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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10月21日，10:10-12:00，数教研の合同研究会（産業会館，新宿）で，
「万華鏡の不思議」という話をしました．万華鏡も作りました．
衆院選挙の前日，大型台風21号の上陸前日で，一日中冷たい雨が降っておりました．
意地悪なことに，まるでこの日に照準を合わせたようです．
私は，期日前投票を済ませて参加しました．忙しい時期にご参加いただいた皆様に感謝です．
改憲がちらつく選挙前日のことでもあり，雑談から入りました．
私の名前は，父が南方の戦地に行く前に準備し，もし男の子だっら＊＊と「勝」が入ったものでしたが，
届出のときに母が「克」に変えたのです．この名前，最近は流行りませんね．
「勝」は戦争中に流行った名前です．戦後の新宿の焼け跡や傷痍軍人の話，
小学校の2部授業，戦争の悲惨さを見，平和憲法を心から理解し，指導要領にしばられない授業がありました．
私が毎日書く日記に，毎日赤ペンでたくさん感想を書いてくれた先生のことなど思い出し話題にしました．
本題の「万華鏡の不思議」の内容は，ブログの別項目をご覧ください．
■鏡像の世界というのは不思議なものです．紙に書いた線対称の2つの図形（互いに鏡像）は，
紙面の上でどのように動かしても重ね合わせることはできません．
しかし，線対称の線で折り返せば２つの図形を重ね合わせることができます．
紙を折るという操作は，3次元の世界で出来ること．2次元（紙面）の世界に住むものには，想像できません．
同様に，右手と左手は3次元の世界で互いに鏡像ですが，
3次元の世界の中でどのように動かしても重ね合わせることはできません．
これらを重ね合わせることができるのは4次元の世界です．
大きな鏡が前にあるとします．鏡の前にある私たちの世界は，そっくり鏡像となって鏡の後ろにあります．
一方，その場所は，私たちの3次元の世界も実在します．不思議ですね．
太古の時代は，鏡の世界と私たちの世界は行き来ができる混沌としたものだったが，
黄帝が鏡の世界のものがこちらの世界に出てこられないように閉じ込めたという神話めいた話も信じたくなる気がします．
■(H29.4)全国学力テスト中学3年生．数学Bの１に万華鏡の問題が出題されています．正答率は低いとのことです．
図
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/83/18267783/img_0_m?1508769250
★図４は正3角形の鏡室の万華鏡ですが，観察される映像はどれでしょうか．
★図５は２つの菱形がありますが，どのような運動により重ね合わせることができますか．
この問題は，3回回転軸が図の中にどのように配置しているか書き込むとよいのです．
するとB点には3回回転軸があることがわかります．２つの菱形は，この3回回転軸により移ります．
★図６の映像を作る万華鏡はどれでしょうか．
この問題の解き方は，映像に鏡映対称面（線対称）を書き込むと自然にわかります．
赤い線で書き込んだものが鏡映対称面です．万華鏡は鏡で囲まれた部屋（鏡室）で出来ています．
どの鏡室の図が正しいでしょうか．

00014
東京おもちゃまつりで入手したバクウ・コマの動画をとりました．観察すればするほど大変興味深い．

おばんです＾＾/

中央の円のセンターがずれているので＾＾その振動で外側の駒が回るんですね！面白いです＾＾ｖ

動画を見せて下さって<(_ _)>ありがとうございます。 

[ 愛ニャンコマリアと家庭菜園 ]

2017/10/18(水) 午後 5:32

返信する

> 愛ニャンコマリアと家庭菜園さん
そうですね．動画を見ないとわかりにくいですね．振動により両側のコマに回転が起こります（互いに反対まわり）．振動を回転に変えるには軸受け穴に多少ガタがあるのがミソです． 

[ sgktani ]

2017/10/18(水) 午後 6:44

返信する

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数学月間SGK通信 ［2017.10.17］ No.189
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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<東京おもちゃまつり>が，東京おもちゃ美術館にて，10月14,15日に開催されました．
両日とも冷たい雨の降るあいにくの天気でしたが盛況でした．
私は10月15日に出かけ，バクウ研究所の富川義朗先生と佐藤芳弘先生にお会いしました．
いろいろな面白い「ばくうコマ」の展示があります．原理はなかなか奥が深い．
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/73/18258773/img_0_m?1508164222

■振動で廻す
富川先生たちは，振動を回転運動に変える超音波モータの発明者です．おもちゃのトントン・コマはその応用です．
ミラクル・ツインという「ばくうコマ」は，中央の偏心した回転子が発生する振動を，
左右に置いた円板の軸受け穴に伝え，軸芯に回転モーメントを発生させるのです．このとき左右円板の回転方向は反対になります．
これはジャイロ・モーメント・モータの原理と同じとのことです．
■錯視を起こさせる（４回対称模様が３回対称に見えたり，５回対称に見えたり）のは，
軸芯自身の回転（＝自転）に，軸芯が沿って転がる回転（＝公転）が，加算／減算されることが原因でしょうが，
1回転の内に回転速度が3回／あるいは5回遅くなるというようなことが起こるのでしょう
（もし均一に回転しているなら像が流れてしまい何角形かはっきり認識できないでしょう）．
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/73/18258773/img_2_m?1508164222
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お知らせ
10月21,22日に数教研の合同研究会が新宿であります．21日10:00-12:00は講演「万華鏡の不思議」で参加します．万華鏡も作ります．
詳細は以下をご覧ください．　http://www.sukyoken.jp/…/the…/wp-sukyoken/img/notice_sep.pdf
お近くの方どうぞご参加ください．

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数学月間SGK通信 ［2017.10.10］ No.188
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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前号で9月26日に実施した数学月間勉強会（第2回）の様子をご報告しました．第3回は12月12日の予定です．
次回の第3回は，このシリーズ「結晶空間群で数学と物理を学ぼう」のクライマックスです．
多くの方のご参加をお勧めします．
その後の9月末から，公私にわたり色々なことが起こりました．今日は衆院選の公示の日ですね．
私事の方からご報告します．9月29日（金）に入院・手術をし，予定通り，月曜日に退院しました．
土日を含む3泊です．用事が一段落するこの時期まで2年越しで延期していた前立腺肥大の手術です．
お陰様で予定通り順調に終わりました．この手術は，従来の電気メスでは2週間の入院が必要で躊躇していましたが，
ホルミウム・ヤグ・レーザーでは3日の入院で治りも早いのです．
ホルミウム・ヤグというのはレーザー光を発振させる結晶の名前です．
ホルミウム・ヤグ・レーザー光の波長は2.1μmの長波長赤外線で，水に吸収され組織到達深度は0.4mm．
出血もほとんどない素晴しい医学技術です．
手術時間は長時間かかりましたが，患者は頑張りません．お医者さんが頑張りました．
病院食は美味しく11食全部完食．看護師さんはきれいだし，天国の様．でも本当に天国に行かなくてよかった．

さて，私がインターネットもTVも見なかった3日間に，政局好きなマスコミの興味は政権交代ばかり煽っていました．
細川新党のときも2大政党とか言って小選挙区制を煽ったのはマスコミでした．
私たちは，安倍政権は当然総辞職くすべきと思いますが，希望の党に政権交代すればよいと思っていません．
その後，希望が出した踏み絵で皮肉にも民進党が分解してたいへんわかり易くなりました．
福袋のような政党では投票することができませんから良いことです．
この選挙の争点は，憲法を改正するか守るかです．雑音に惑わされないようにしましょう．

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数学月間SGK通信 ［2017.10.03］ No.187
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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9月26日，14:30から，数学月間勉強会（第2回）を開催しました．様子をご報告します．
第1回は，空間の周期でしたが，今回，第2回のテーマは，有限図形の対称性（点群）でした．
次回，第3回は，周期的な空間に点群を配置して，繰り返し模様の対称性（結晶空間群）を構築することになります．
鏡映面だけから生まれる対称性の例として色々な万華鏡と，
その万華鏡の映像が群を生成する場合としない場合の説明をしました．
参加者の三野さんは，ゾムツールで作った格子を展示しました．
■さて，今回考察する有限の対称図形の例は，皆さまの馴染み深いプラトンの正多面体5種類から始めました．
すなわち，正4面体｛3,3｝，正6面体｛4,3｝，正８面体｛3,4｝，正12面体｛5,3｝，正20面体です｛3,5｝．
ここで用いた｛p,q｝の記号は，シュレーフリの記号といい「正p角形が頂点でq個集まっている正多面体」を記述しています．
p,qを入れ替えた｛q,p｝の図形は，｛p,q｝と互いに双対と言います．p,qを入れ替えるというのは図形で言うと，
頂点を面に/面を頂点に替えた図形ということです．すなわち，｛4,3｝と｛3,4｝は双対，｛5,3｝と｛3,5｝は双対です．
互いに双対な図形の対称性（点群）はもちろん同一です．
ある正多面体や，互いに双対な正多面体を組み合わせて（混合して），
頂点を切る（切頂）操作で色々な半正多面体が得られますが，
生まれた半正多面体は，もとになった始めのプラトンの正多面体と対称性（点群）は変わりません．素性は隠せないのです．
周期的空間＝結晶空間で，可能な点群の回転対称には制限があります．
許される回転対称は，2回軸，3回軸，4回軸，6回軸だけです．
何故かというと，正5角形や正7角形のタイルでは隙間なく平面が張れないからです．
従って，正12面体（正20面体）の点群は結晶点群ではありません．3次元の結晶点群は32種類あります．
■今回の主題は，点群を２つの群の積に分解して，その群の構成を見る群論手法を説明です．
群Gの中に正規部分群Hを見つけると，「商群G/Hが作れて，G/Hはより小さい群（Gの部分群）G’に同型である」
という準同型定理を応用しています．群Gの要素で注目したある性質が同じとする基準で要素を束ねたものを考えると，
群Ｇはより小さな群Ｇ’に写像できるというわけです．記号で書くと，G/H＝G’
これは，群Gの正規部分群をH，部分群をG'として，これらの積で群Gが作れるということです．正確に言うと，
G＝H(x)G'，G=H(s)G'，G=H(･)G'(modH）のどれかのタイプの積で作られます．
(x)は直積，(s)は半直積，(･)は条件積と言います．［数学記号（環境依存文字）は，〇の中にxやsや・が入ったもの］
条件積が現れる最後の群では，G'(modH)は，Hの要素だけ異なるものは同値と思えという条件で群が成り立つという意味．
modは法としてと読みます（時計で13時と1時が同じなのは，mod12で数えるから)．
文章での説明は，ここまでにしますが，詳しくは私のブログをご覧ください．
勉強会では，ここで必要になる：正規部分群，準同型定理，直積，半直積の説明をしました．
条件積の具体的な例として，4回対称群４の分解結果を掲載しておきます；４＝2(･)4(mod２）
■次回第３回は，11月末あたりを予定していますが，まだ確定していません．
決まりましたらお知らせをします．

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数学月間SGK通信 ［2017.09.26］ No.186
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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本日は，数学月間勉強会があります．ご興味のある方ご参加ください．
「結晶空間群で，物理と数学を学ぼう」第2回
主催●日本数学協会，数学月間の会（SGK）
日時●9月26日，14:30-17:00，（開場14:00）
会場●東京大学出版会，会議室
最寄り駅●京王井の頭線「駒場東大前」
参加費●無料
問合せ・申し込み●sgktani@gmail.com，谷克彦（SGK世話人）
数学月間勉強会の特徴は，物理と数学の両視点から数学誕生を理解できるところで，
特に初心の若い方々にもお勧めします．
第2回テーマ●「美しい多面体と点群，結晶点群の鑑賞」
（注意）東京大学出版会は，線路沿いの留学生会館の敷地内です．東大構内ではありません．
ーーーーー

9月23日に開催された日本数学協会，第15回年次大会で，松浦昭洋（東京電機大学）氏の，
「数学的曲面が拓くジャグリングの世界」と題する講演と見事なパフォーマンスがありました．
数学的曲面とは，球内部，シリンダー内部，円錐内部などの2次曲面や，負曲率が付随する鞍部，
懸垂曲線（円弧で近似）などで，これら色々な曲面に沿って，
面白い運動をさせるジャグリングの披露がありました．
例として，シリンダー内部の面に沿ったボールの運動を，単純化した説明しましょう．

https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/88/18228588/img_1_m?1506338017

皆さん，A→Bと進んだボールの転がる方向は，次のどちらでしょうか？（１）上昇する／（２）落下する．
意外に見えるのがジャグリングの醍醐味/味噌ですよ．大雑把に言うと，
A点で速度vで転がりだした質量Mのボールは角運動量Ω＝MvRをもって，
シリンダー壁に沿って楕円軌道を描きます．従って，（１）が正解です．
松浦氏の正確な計算によると，運動は単振動のようで，上下方向の振動周期はT=√14π/Ω（Ωは定数），
1周期当たりの水平方向の回転数は1.87だそうです．2回転近くするので
楕円軌道が少し崩れて8の字のような軌道を描きます．
ホールインワンで確かにカップに入ったはずのボールが上昇して外に出て来ることがあるそうです．
それはこの現象のせいです．

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数学月間SGK通信 ［2017.09.19］ No.185
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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お知らせがあります．
数学月間勉強会ー「結晶空間群で，物理と数学を学ぼう」第2回
主催●日本数学協会，数学月間の会（SGK）
日時●9月26日，14:30-17:00，（開場14:00）
会場●東京大学出版会，会議室
最寄り駅●京王井の頭線「駒場東大前」
参加費●無料
問合せ・申し込み●sgktani@gmail.com，谷克彦（SGK世話人）
数学月間勉強会の特徴は，物理と数学の両視点から数学誕生を理解できるところで，
特に初心の若い方々にもお勧めします．
第2回テーマ●「美しい多面体と点群，結晶点群の鑑賞」
第1回は空間の周期でした．
周期的空間の代表は結晶内部の世界です．だから，周期的空間は結晶空間とも呼ばれます．
周期があれば，単位構造があるわけですから，結晶空間はデジタル化された空間です．
無限に広い平面を埋めるのに，繰り返し模様が使われます．
ポスターを繰り返して並べ大きなポスターにするのも，平面のデジタル化です．
数学月間勉強会（現在のシリーズ）では「デジタル化された空間」の対称性の数学をテーマにしています．
ーーーーーーーーーーー
■今回のメルマガは，平面のエッシャー風タイル張りの話題です．
サンディエゴの主婦マジョリー・ライスMarjorie Riceが，タイル張りの問題に出会ったのは，
1975年のScientific Americanのマーチン・ガードナーのコラムだった．これは，
古代ギリシア時代から数学者を魅了し続けてきた<<平面をタイル張りできる「タイル」の形
（一つのタイルで平面を分割するテッセレーション）>>の問題です．
私も関心のある問題で，ガードナーのこのコラムを載せたサイエンスは当時読んで手元にあります．
平面のタイル張りは，任意の3角形，任意の4角形タイルでできます．凸7角形以上のタイルでは不可能です．
凸6角形の場合は，タイル張りできるタイルの形が３タイプあることを，ラインハルトが学位論文で証明しました（1918）．
難しいのは凸5角形の場合です．1975年時点のガードナーのコラムには，11タイプ
（1967年にカーシュナーが発見した3タイプを含む）が掲載されています．
この問題では，タイプ分けの条件が，とても難しい．連続変形によりどちらのタイプにも属するものがあるし，
出来上がったパターンが全く違うように見えたりもするので，新しいタイプであるかどうかの判定はなかなか難しい．
ライスもこの点にずいぶん苦労したに違いない．
1975年のガードナーのコラムのを引用すると，ーーーーーーーーー
カーシュナーの論文には，平面を埋める凸多角形が他にないことの証明はでてこない．
その「最大の理由」は，編集者の「完全な証明は，かなり大きな本を必要とするだろう」
という序文から読みとられる．－－－－－－－－－
そして，実際にまだ新しいタイプがあったのだ．

■以下は，natalieの記事（Quantamagazine）による：
https://www.quantamagazine.org/marjorie-rices-secret-pentagons-20170711/
ライスが五角形タイリングに憑りつかれてから，家族はしばしば彼女が台所のカウンタートップの形を
ひそかにスケッチしているのを見ている．彼女の娘，キャシー・ライスは，「母は落書きしていると思った」と語った．
高等学校で1年しか数学を取らなかったライスは，
誰も知らなかった五角形のテッセレーションパターンの新しい族を発見していたのです．
ライスは，今年の7月2日94歳で亡くなりました．
認知症のため，五角形タイリングの物語がついに完結したのを彼女が知ることはなかったが，
ガードナーの提起から数十年が経過していた．
コンピュータ支援の新証明法で，フランスの数学者 Michaël Rao が，
ライスが発見した4つを含む15の凸型五角形が存在することを証明した．

■フロリダ州生まれのマージョリ・ジック（Marjorie Jeuck），結婚後ライスは，ワンルームカントリースクールに入り，
そこで2学年をスキップし，年長の子供たちと一緒に学びました．彼女は勉強好きでしたが，数学を学んだのは短期間だけです．
貧困と文化的規範のため，大学に進学するなど思いもよらない時代でした．
1945年，彼女は，敬虔なキリスト教徒のギルバート・ライスと結婚し，
ギルバートが軍の病院で働くワシントンD.C.に移りました．後にサンディエゴに移住しますが，
マージョリ・ライスは，幼少の息子と一緒に、その地で商業芸術家としてしばらく働きました．
その子供は亡くなりましたが，他の5人の子供がおります．
ライスにとって，数学は楽しみでした．
「聖書が重要のように，勉強も大切にした」，「他に勢力をつかい，時間を無駄にすることはなかった」
とキャッシーは語っています．息子のダビデは，
「彼女は黄金比とピラミッドに魅了され，膨大な図面と計算でそれらを研究していました」と述べています．
ライスは，子どもたちが学校に通っている間に自分も読めるようにと，
息子の一人にScientific Americanの定期購読を許可しました．
デービッド・スズキの「物の本質」に関するインタビューで，彼女はタイル張りについてのガードナーのコラムを読んだとき，
「誰も以前に見たことのないこれらの美しいものを，見つけられたら素敵と思った」と回想している．
彼女はこのテーマに魅了され，どのタイプのものが他と違うのかを理解しようと努めた．
数学的な背景がないので，独自の記法システムを開発し，数ヶ月で新しいタイプを発見したとも語っています．
発見して驚き喜んで，彼女は彼女の仕事をガードナーに送りました．
ガードナーはそれをペンシルバニア州のモラヴィアン・カレッジのタイリング問題の専門家である
ドリス・シャツシュナイダーに送ってくれました．ガードナーはちゃんと取り次いでくれたのです．良い話です．
一方，ライスは，自宅の誰にもこれの話をしませんでした．
「私のお父さんは，お母さんが何をしているか，発見のことなども全く知らなかった．
私たちの気を引くことが色々あるから，お父さんがパターンを見つけるのに何時間も費やす気持ちなど
全く思いもよらない」と娘は話しました．
一方，シャツシュナイダーSchattschneiderは，ライスの発見が正しいことを確認した．
ライスのアプローチは，マイケル・ラオが新しいコンピュータ支援の証明に取り入れたのと同じもので，
五角形の頂点がタイル張りの頂点で一緒になる可能性があるさまざまな方法を検討することでした．
シャッシュナイダーは雑誌の記事で次のように語っています．目的に合う五角形の角と辺の条件を決定し，
条件を満たす五角形を得ます．この方法で，
ライスは最終的に4つの新しい凸形五角形とほぼ60種類のテッセレーションを発見しました．
ライスは恥ずかしいと講演を断ったが，シャッシュナイダーの招待で，彼女と夫は大学の数学会に出席し，
彼女は聴衆に紹介された．彼女は1996年に "The Nature of Things"ドキュメンタリーでインタビューを受け，
ワシントンにある数学協会のロビーのタイルフロアに彼女の五角形テッセレーションの1つが展示され，
エッシャー風の絵画で彼女の五角形のパターンを記念している．

■この間，他のアマチュアも大きなタイル発見をしました．ソフトウェアエンジニアのRichard James IIIは，
ガードナーのコラムを読んだ後で，1975年に新たなタイプの五角形を発見しました．
2010年，オーストラリアのジョーン・テイラーは，1990年にペンローズのタイル張りを見てタイル張りに魅了され，
非周期のタイル張り（テッセレーション）する奇妙なマルチパートタイルを発見しました．
ライスの娘は「発見のためだけの発見だったが，認められて幸せだった」と語った．
彼女は他の数学者が探していた何かを見つけることができたのだ．

Natalie Wolchover　@nattyover
Senior writer for @QuantaMagazine covering physics and related things. I have a Klein bottle that contains the universe.

サンディエゴの主婦マジョリー・ライスMarjorie Riceが，タイル張りの問題に出会ったのは，1975年のScientific Americanのマーチン・ガードナーのコラムだった．これは，古代ギリシア時代から数学者を魅了し続けてきた<<平面をタイル張りできる「タイル」の形（一つのタイルで平面を分割するテッセレーション）>>の問題です．
私も関心のある問題で，ガードナーのこのコラムを載せたサイエンスは昔読んで手元にあります．平面のタイル張りは，任意の3角形，任意の4角形タイルでできます．凸7角形以上のタイルでは不可能です．凸6角形の場合は，タイル張りできるタイルの形が３タイプあることを，ラインハルトが学位論文で証明しました（1918）．難しいのは凸5角形の場合です．1975年時点のガードナーのコラムには，11タイプ（1967年にカーシュナーが発見した3タイプを含む）が掲載されています．この問題では，タイプ分けの条件が，とても難しい．連続変形によりどちらのタイプにも属するものがあるし，出来上がったパターンが全く違うように見えたりもするので，新しいタイプであるかどうかの判定はなかなか難しい．ライスもこの点にずいぶん苦労したに違いない．
1975年のガードナーのコラムの文章を引用すると，ーーーーーーーーー
カーシュナーの論文には，平面を埋める凸多角形が他にないことの証明はでてこない．その「最大の理由」は，編集者の「完全な証明は，かなり大きな本を必要とするだろう」という序文から読みとられる．－－－－－－－－－
そして，実際にまだ新しいタイプがあったのだ．

■以下は，natalieの記事（Quantamagazine）による：
https://www.quantamagazine.org/marjorie-rices-secret-pentagons-20170711/
ライスが五角形タイリングに憑りつかれてから，家族はしばしば彼女が台所のカウンタートップの形をひそかにスケッチしているのを見ている．彼女の娘，キャシー・ライスは，「母は落書きしていると思った」と語った．
高等学校で1年しか数学を取らなかったライスは，誰も知らなかった五角形のテッセレーションパターンの新しい族を発見していたのです．ライスは，今年の7月2日94歳で亡くなりました．認知症のため，五角形タイリングの物語がついに完結したのを彼女が知ることはなかったが，ガードナーの提起から数十年が経過していた．
コンピュータ支援の新証明法で，フランスの数学者 Michaël Rao が，ライスが発見した4つを含む15の凸型五角形が存在することを証明した．

■フロリダ州生まれのマージョリ・ジック（Marjorie Jeuck），結婚後ライスは，ワンルームカントリースクールに入り，そこで2学年をスキップし，年長の子供たちと一緒に学びました．彼女は勉強好きでしたが，数学を学んだのは短期間だけです．貧困と文化的規範のため，大学に進学するなど思いもよらない時代でした．1945年，彼女は，敬虔なキリスト教徒のギルバート・ライスと結婚し，ギルバートが軍の病院で働くワシントンD.C.に移りました．後にサンディエゴに移住しますが，マージョリ・ライスは，幼少の息子と一緒に、その地で商業芸術家としてしばらく働きました．その子供は亡くなりましたが，他の5人の子供がおります．
ライスにとって，数学は楽しみでした．「聖書が重要のように，勉強も大切にした」，「他に勢力をつかい，時間を無駄にすることはなかった」とキャッシーは語っています．息子のダビデは，「彼女は黄金比とピラミッドに魅了され，膨大な図面と計算でそれらを研究していました」と述べています．
ライスは，子どもたちが学校に通っている間に自分も読めるようにと，息子の一人にScientific Americanの定期購読を許可しました．
デービッド・スズキの「物の本質」に関するインタビューで，彼女はタイル張りについてのガードナーのコラムを読んだとき，「誰も以前に見たことのないこれらの美しいものを，見つけられたら素敵と思った」と回想している．彼女はこのテーマに魅了され，どのタイプのものが他と違うのかを理解しようと努めた．数学的な背景がないので，独自の記法システムを開発し，数ヶ月で新しいタイプを発見したとも語っています．
発見して驚き喜んで，彼女は彼女の仕事をガードナーに送りました．ガードナーはそれをペンシルバニア州のモラヴィアン・カレッジのタイリング問題の専門家であるドリス・シャツシュナイダーに送ってくれました．一方，ライスは，自宅の誰にもこれの話をしませんでした．「私のお父さんは，お母さんが何をしているか，発見のことなども全く知らなかった．私たちの気を引くことが色々あるけれど，お父さんがパターンを見つけるのに何時間も費やす気持ちなど全く思いもよらない」
シャツシュナイダーSchattschneiderは，ライスの発見が正しいことを確認した．ライスのアプローチは，マイケル・ラオが新しいコンピュータ支援の証明に取り入れたのと同じもので，五角形の頂点がタイル張りの頂点で一緒になる可能性があるさまざまな方法を検討することでした．シャッシュナイダーは雑誌の記事で次のように語っています．目的に合う五角形の角と辺の条件を決定し，条件を満たす五角形を得ます．この方法で，ライスは最終的に4つの新しい凸形五角形とほぼ60種類のテッセレーションを発見しました．
ライスは恥ずかしいと講演を断ったが，シャッシュナイダーの招待で，彼女と夫は大学の数学会に出席し，彼女は聴衆に紹介された．彼女は1996年に "The Nature of Things"ドキュメンタリーでインタビューを受け，ワシントンにある数学協会のロビーのタイルフロアに彼女の五角形テッセレーションの1つが展示され，彼女はエッシャー風の絵画で彼女の五角形のパターンを記念した．

■この間，他のアマチュアも大きなタイル発見をしました．ソフトウェアエンジニアのRichard James IIIは，ガードナーのコラムを読んだ後で，1975年に新たなタイプの五角形を発見しました． 2010年，オーストラリアのジョーン・テイラーは，1990年にペンローズのタイル張りを見てタイル張りに魅了され，非周期のタイル張り（テッセレーション）する奇妙なマルチパートタイルを発見しました．
ライスの娘は「発見のためだけの発見だったが，認められて幸せだった」と語った．彼女は他の数学者が探していた何かを見つけることができたのだ．

Natalie Wolchover　@nattyover
Senior writer for @QuantaMagazine covering physics and related things. I have a Klein bottle that contains the universe.

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数学月間SGK通信 ［2017.09.12］ No.184
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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とっとりサイエンスワールドin倉吉は，8月27日に開催されました．
1,250人の来訪者があり，例年のように盛況でした．万華鏡は120人作りました．
昨年は，鳥取サイエンスワールドの終わった直後，
翌々日に地震がありびっくりしました．多くの方が避難生活をし，
サイエンスワールドの会場だった梨っこ館もガラス天井が落ちたそうです．
隣のプールは7月20日になってやっと利用開始にこぎつけました．
白壁土蔵群，赤瓦館でも地震の被害がありました．
今年，その赤瓦二号館を訪れたとき，見つけた御殿まりの写真です．

これらはみんな一人の方が作ったものだそうです．お会いしたいものでしたが，
残念ながら不在でした．どれも良いできですね．
正6面体群（正8面体群）と正12面体群（正20面体群）が美しく目につきます．

Q1：さて私はどれを選んだでしょう？

私が選んだのは，前者の方でした．

これと同じ対称性の図形を掲載しましょう

これはともに，半正多面体［4,6.6］ですが，立方体のx,y,zの方向に，4回軸があり，
体対角線の方向に3回軸があります．2回軸のある方向も確認してください．
結局，これらは皆，球面正6面体｛4,3｝や正8面体｛3,4｝と同じ対称性（点群）になります．

Q2:　球面正12面体｛5,3｝や菱形30面体はどれとどれでしょう．

これらの対称性（点群）は，正12面体やその双対の正20面体と同じです．
菱形30面体は，12･20面体；あるいは半正多面体［3,5,3,5］の双対図形で，これら３つの対称性はすべて同じです．

Q3:　この他に半正多面体［6363］があります．探してみましょう．

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数学月間SGK通信 ［2017.09.05］ No.183
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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いつの間にか9月になってしまいました．
皆様，いかがお過ごしでしょうか．つまらぬ騒ぎばかりで，肝心のことは報道されない今日この頃です．
私は，8月20日，鳥取，8月27日，倉吉で，とっとりサイエンスワールドの万華鏡をやりました．
例年通りの多数の参加者がありました．9月に入って母の三回忌もやりました．
さて，今回は，先週に続いて，万華鏡の話です．

■昔，万華鏡の定理（一寸大げさですが）というのを，ブログに掲載したことがありました．
「万華鏡の映像には重なり合いもできないし，空白の隙間もできない」というものです．
ここでいう万華鏡とは，何枚鏡でも構いませんが，鏡で囲まれた筒（鏡筒）の中を覗くものです．
3角形の鏡室を単位タイルとして，映像平面がタイル張りされるのは，
平面がすきまなくタイル張りできる3種類（３角定規のセットにある形）のみで，
その他の鏡室（分数型の3角形と呼びました）では，タイル張りには鏡室タイルの分割されたものが必要になります．
これらは，なかなか複雑なタイル張りで，難しいタイル張りパターンなのですが，
タイル張りが複雑でも，寧率することがすぐ言えるのは，表題の万華鏡の定理です．

https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/84/18199784/img_0_m?1504490120

目の位置（覗き穴）をEとし，映像平面上の任意の点A3に注目しましょう．
EとA3を結んだ線分が鏡面をよぎる点をA3'とします．映像A3が何故見えるかというと，
A3'からEの方に光線がやって来るからで．この光線はどこから来たかと言えば，
万華鏡の鏡筒の中で反射を繰り返し，物体Aから出た光が到達するからです．
映像A1やA2に 関しても同様です．映像平面上の任意の点と目の位置Eとを結ぶと，
必ず鏡筒鏡面の1点をよぎります．
すなわち，映像と鏡面は1:1に対応しており，映像平面上の点で，
対応する鏡面上の点がないということは起こりません．よって，万華鏡の定理が証明されました．
ただし，対応した鏡面上の点で，たまたま，平面鏡のつなぎ目に当たるなど，現実には反射が起着ないこともあり得ます．
しかし理想的には，このつなぎ目は無限小の幅と考えれば，定理に影響を与えず隙間なく領域が飛び移ると推測できます．
さて，ついでに言及しますが，映像のもとになる鏡室の物体Aと映像面上の映像A1,A2,A3,....とは，
図からわかるように，1:（複数）の対応になります．

（注）反射率をr（0<r<r）とすると，n回反射を繰り返した高次の反射では，明るさがｒ^nになります．
高次の反射程暗くなり，これが万華鏡の視野地平線を決めます．

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数学月間SGK通信 ［2017.08.29］ No.182
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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今年の夏も，とっとりサイエンスワールド（11年目）は，鳥取県の西部，東部，中部地区と3か所で順に開催されました．
全体で3,000人規模の参加者がある県民に愛されるイベントです．
私は万華鏡で参加しており，毎年，鏡の組み合わせを変えたものを作ってきました．この日曜日は
中部会場でサイエンスワールドが行われ，1,250人の参加者がありました．私は，今戻ったばかりでこの報告を書いています．
万華鏡は，過去のブログに詳細に載せているのですが，この機会にそのエッセンスだけをまとめておきましょう．
■万華鏡の映像が私達の心をとらえるのは，空間の対称性だけではありません．
時間の流れとともに映し出される「千変万化だが一度切しか見られない」映像に生命を感じるからでもありましょう．
ワンド（試験管）の中を降りゆくガラス屑の運命は，運動方程式ですべて定まっているのですが，
時折カオスの起こる期待で目が離せません．万華鏡の魅力は，対称性（秩序）とカオス（乱れ）の混在にあります．
■合わせ鏡の不思議
合わせ鏡が生み出す完全な秩序は，無限に繰り返される「結晶世界」に入り込んだようでもあります．
平行に向かい合う2枚の合わせ鏡の間に物体を置くと，一直線上に物体の映像が繰り返し無限に並びます．
もし，合わせ鏡が平行でなくθの交差角とすると，映像は直線上でなく円周上に並びます．
円周上の反対側で両側から伸びて来た映像がぴったり重なる条件を考えましょう．1回の反射で出来る映像は裏返っていますが，2回反射を繰り返すと初めの向きに戻ります．結局，元の物体とその鏡映像のペアが繰り返すことになります．
つまり，交差角θの合わせ鏡の作る繰り返し単位の中心角は2θです．
従って，映像が円周の裏側でつながり，完全なn回回転対称ができる条件は，360°/2θ=n（整数）となり，
これは，物理学者ブリュースター興の特許(1817)に記載されています．
■今年作製している2枚鏡の万華鏡（ブリュースター型）の2枚鏡の交差角はθ＝15°です．n=360/2θ＝12ですから，その映像に，12回回転対称があることを確認してください．
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/86/18186486/img_0_m?1503932181

■3枚鏡の万華鏡
◆整数解の基本領域
平面をきれいに埋める万華鏡
https://rdsig.yahoo.co.jp/blog/article/titlelink/RV=1/RU=aHR0cHM6Ly9ibG9ncy55YWhvby5jby5qcC90YW5pZHIvMTcwNzc4ODcuaHRtbA--

https://rdsig.yahoo.co.jp/blog/article/titlelink/RV=1/RU=aHR0cHM6Ly9ibG9ncy55YWhvby5jby5qcC90YW5pZHIvMTcwNzgyNjQuaHRtbA--
◆分数解を許す基本領域
分数解の頂点のまわりに乱れのある万華鏡
https://rdsig.yahoo.co.jp/blog/article/titlelink/RV=1/RU=aHR0cHM6Ly9ibG9ncy55YWhvby5jby5qcC90YW5pZHIvMTcwODAzNjYuaHRtbA--

https://rdsig.yahoo.co.jp/blog/article/titlelink/RV=1/RU=aHR0cHM6Ly9ibG9ncy55YWhvby5jby5qcC90YW5pZHIvMTcwODA0MzkuaHRtbA--

https://rdsig.yahoo.co.jp/blog/article/titlelink/RV=1/RU=aHR0cHM6Ly9ibG9ncy55YWhvby5jby5qcC90YW5pZHIvMTcwODA0NzUuaHRtbA--

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数学月間SGK通信 ［2017.08.22］ No.181
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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8月も後半というのに，夏らしい日が戻るのでしょうか．待ち遠しいですね．
8月20日は鳥取，27日は倉吉でとっとりサイエンスワールドが開催されます．良い天気だと良いのですが．
私は，万華鏡作りで参加します．写真は，去年のワークショップの様子です．
https://www.facebook.com/TottoriSW/photos/pcb.1802505856693503/1802505710026851/?type=3
各地でこのような数学への関心を高めるイベントが盛んになることを願っています．

■8月8日は算盤の日でもありましたが．私は，夕方，神保町で開催された数学アート展に寄りました．
ここで取り上げた写真の作品は，三野一也さんの作品です．
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/35/18164535/img_0_m?1502278321
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/35/18164535/img_1_m?1502278321
左図は体心立方のデリクレ胞（切頂8面体｛4,6,6｝，あるいはケルビン立体とも呼ばれる）を隙間なく積み上げたところ．
右図は，準正多面体｛3,4,3,4｝を積み上げています．
準正多面体｛3,4,3,4｝も切頂8面体｛4,6,6｝も双対図形は，菱形12面体（これは，立方体心格子のデリクレ胞）です．
右図は菱形12面体の積み上げ（体心格子）そのものでなく，その逆空間に準正多面体｛3,4,3,4｝を積み上げた
（ただし，｛3,4,3,4｝はデリクレ胞ではないので正8面体の穴の残る構造）です．
準正多面体｛3,4,3,4｝は，正8面体と組み合わせて，空間を隙間なく充填できますが，
それらの個数比はいくつかわかりますか？
空間を充填する立体の組み合わせを，以下に図示したのでご覧ください：
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/83/18167283/img_0_m?1502409506
空間を隙間なく充填する多面体や，その対称性は，結晶学の中心課題でしたが，美しいアートにもなりますね．

■3次元の周期的な空間は，互いに独立な３つのベクトルの線形結合で表現できます（これが格子です）．
抽象的には整数環上の加群と言えばそれまでですが，結晶学では，格子を対称性の観点から分類しようとしています．
立方体と同じ対称性の格子は，３種類あり，立方単純格子，立方体心格子，立方面心格子です．
単純格子は単位胞に格子点を１つ含みますが，体心格子は単位胞の中に格子点を２つ，面心格子は格子点を４つ含みます．
単位胞の定義は，不統一に思われるでしょうが，これは単位胞の定義に，
対称性が満たされる最小の単位という条件があるからです．
さて，ベクトルa,b,cで定義される格子に対して，逆格子（a*,b*,c*で定義される）があり，
例えば，a,bで張られる面にC*ベクトルは垂直などです．つまり，格子と逆格子は互いに双対になります．
また，立方面心格子と立方体心格子は互いに双対です．
従って，立方面心のデリクレ胞（菱形12面体）と，立方体心格子のデリクレ胞（切頂8面体｛4,6,6｝，
あるいは，ケルビン立体とも呼ばれる）もまた互いに双対です．
例えば，シリコン結晶（ダイヤモンド構造）は面心格子で，
デリクレ胞（固体物理では，ウィグナー．ザイツ胞という）は，菱形12面体，
シリコンの逆格子のデリクレ胞（第１ブリルアンゾーンともいう）は，ケルビン立体です．

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数学月間SGK通信 ［2017.08.15］ No.180
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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お盆の最中です．皆様お元気でお過ごしでしょうか．
夏日ではないが天気が悪いこの頃です．今日はどうでしょうか．
私も墓参に行きますので，今回は予約発行です．

■星型正5角形の頂点Aから始めて，A→C→E→B→D→Aと辺をたどり元に戻ると，
1つの頂点で2×360°/5だけ辺が回転することがわかります．
この星型５角形を5/2と書くのは，2x360°/５＝360°/(5/2)だからです．
この星型５角形が頂点で5つづつ集まる｛5/2，5｝は，星型小12面体になります．

https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/585014/02/17957102/img_0?1491137213

https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/585014/02/17957102/img_1?1491137213

■さて，この星型小12面体｛5/2,5｝は，プラトンの正多面体（正12面体）を芯にして，
その正5角形の面に正5角錐を貼りつけた形です．
同様に，プラトンの正多面体（正20面体：正12面体に双対）を芯にして，
その正3角形の面に正3角錘（正4面体）を貼り付けてできる形は，
星型大12面体{5/2,3}と呼ばれます．これら2つの星型は，ケプラーの星型多面体とも呼ばれます．
序に，この2つの星型に双対な,{5,5/2}，{3,5/2}はポアソンの星型と呼ばれます．
■星型小12面体は，五芒星の面Fが12枚，稜の数Eが30，頂点の数Vが12ですので，
F-E+V=－6（我々の知っているオイラーの多面体定理では2）となります．
これは星型小12面体の空間が，球の位相と異なり，穴が4つ空いた浮輪と同じ位相であるためです.

■正多面体とは，多面体のすべての面が同じ正p多角形で，かつ，
すべての頂点の周りの状態は同じで，正ｐ多角形がq個集まっているものです．
このような正多面体をシュレーフリの記号で｛p,q｝と書きます．
凸の正多面体には，正4面体｛4,4｝，正6面体｛4,3｝，正8面体｛3,4｝，
正12面体｛5,3｝，正20面体｛3,5｝の5種類があり，プラトンの正多面体といわれます．
多面体の面を頂点に，頂点を面に換えた新しい多面体は，元の多面体と互いに双対とよばれます．
すなわち，｛p,q｝と｛q,p｝は互いに双対です．
凸の条件を外して正多面体を考えると，次の４つの星型正多面体があります．
｛5/2，5｝，｛5，5/2｝，｛5/2，3｝，｛３，5/2｝です．
前者２つは互いに双対，後者２つは互いに双対です．
正5/2角形の面とは，正5角形の頂点を１つ飛びに結んでできるいわゆる五芒星です
（五芒星の辺をたどると，辺の向きが2回転して五芒星が閉じる）．
頂点の周りに5/2個の正多角形が集まるとは，頂点に集まる5個が，
五芒星の辺のように2回転して初めの正多角形に戻るわけで，
入り組んだ凹部ができます．以下に4つの星型をリストアップします：
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星型正多面体，星型の芯になる正多面体，星型の頂点を結んだ枠が作る正多面体
｛5/2，5｝　　　　正12面体　　　　　　　正20面体
｛５，5/2｝　　　 正12面体 正20面体
｛5/2，3｝　　　　正12面体　　　　　　　正12面体
｛３，5/2｝　　　 正20面体　　　　　　　正20面体
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

■ブラックホールからは光は出て来ません．しかし，ブラックホールに荷電粒子が引き込まれるときに電波やX線が放出されているそうです（これらも光と同じ電磁波の仲間です）．ブラックホール穴の形は，そこから放出される電波を観測（電波干渉計という電波望遠鏡を用いるので，電波強度と位相がわかります）して，それらのデータをFourier変換すると見えてきます．Fourier変換に用いる観測値はブラックホールの周囲の大きな立体角内のものが必要なはずですが，電波望遠鏡のある地球上での観測なので，地球が宇宙空間で動いてはおりますが，非常に限られた観測点での観測データしかありません．
ブラックホールの穴画像（物体）をX，観測されたデータセットy　とすると
y＝Ax　です．行列Aが正則ならば，x＝A^-1 .y と簡単に解くことができるのですが，
yの次元Nは非常に小さく，xの次元Mは非常に大きい．行列AはNxM行列です．
（行列Aや，形式的な逆行列A^－１は線形演算子で，内容はFourier変換やその逆変換です）

多数（M個）の未知数のあるxを解くのに，式の数（N個）は少ないので，不定解（解に任意性が残る）です．そこで，解Xは，なるべくたくさんの0要素があるもの（スパース）にすると条件付きにして解を求めます．
この方法は，LASSO（Least Absolute Shrinkage and Selection Operator）と言います．何故，このようなスパースな解が，合理的なのかは難しいのですが，結果は現実によく合うようです．
■このような手法は，医学画像（MRIなど）解析で用いられており，高速で高解像度の画像が測定できる圧縮センシングとして役立っています．
この方法の心は，得られる画像の解像度を上げるには，観測空間でも細かくたくさんのデータを収集し，それらを用いてFourier変換を行うのが正攻法でしょう．しかし，実際には画像内で急峻な変化がある場所は少ない．大体がだらだら変わっている．だから観測空間で細かい分解能で測定するのは時間がかかり過ぎてもったいない．観測空間の少数の点だけのデータで十分である．求める画像で急峻な変化のある場所は少なく，だいたいは変化がだらだら変わっている（この考え方はjpgの圧縮と同じ）ので，得られる画像は至る所0（スパース）という仮定は，大胆であるが良い結果になるのだと思われます．
■数学的には，xがスパースであるという条件を，Σ|xi|が最小という条件にして，最小2乗法||y-Ax||^2を解くことである．これにはラグランジュの未定乗数法という手法が適用できます．

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数学月間SGK通信 ［2017.08.01］ No.178
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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皆様，お元気ですか．夏季は数学月間の季節．いよいよ8月で数学月間もたけなわです．
7月22日に実施した数学月間懇話会の報告が，あと２つ残っているのですが，
先ほど，私はとっとりサイエンスワールドin米子から帰ったばかりです．ですから，
ホットなうちに，今日は鳥取サイエンスワールドの話をしましょう．
7月30日（日）は，米子コンベンション・センターで，2017年とっとりサイエンスワールドが開催されました．
とっとりサイエンスワールドは，鳥取大学副学長の矢部先生が会長で始められ，
子ども達の科学や数学への関心育成を狙い，地域振興予算のうちの430万円（今年度）で，
鳥取県数学教育会に委嘱した事業です．
とっとりサイエンスワールドは9年目になり，毎年，米子，鳥取，倉吉の3か所で開催し，
3,000人の市民が参加する，市民に愛されるイベントに定着しました．
今年のサイエンスワールドは．7/30in米子，8/20in鳥取，8/27in倉吉の順で開催されます．

■7月30ーーこれは昨日のことです．私は，今(31日，夕)帰って来たばかりでこれを書いていますーー
米子で実施されたサイエンスワールドは，904人の来館者がありました．
私の担当した万華鏡は，30人のクラスを午前2回，午後2回，計4回の予定で120人用意しましたが，
多くの方が来られ予備の材料も提供し対応努力しましたが，
座席数が最大33人でしたので，座れず諦めた方も多く申し訳ない気持ちです．
私も立ちっぱなしで座れず，腰痛が酷くなり歩いて帰るのが大変でした．
鳥取では，30人クラスを5回やります．
さて，どんな万華鏡を作ったかといえば，これはすでにブログに載せています．
写真を再度引用しておきます．
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/81/18134981/img_0_m?1500360266
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/81/18134981/img_1_m?1500360266
これら２つの万華鏡画像を見て，鏡の組み合わせの違いが判りますか？
そうです．15°交差の2枚鏡に加えて，右の万華鏡には水平な鏡かあります．

■前日の7月29日（土）は，米子がいな祭りと重なりました．昼間は，がいな太鼓や踊りの練り歩きがありました．
夜の万燈のパレードは圧巻でした．ロウソクの灯ったたくさんの提灯を乗せた万燈を扱う曲芸が見世場です．
商都米子のメインの通りがパレードとお祭り屋台や人で埋め尽くされました．
これらの写真は，別途ブログに掲載しましょう．
がいなという方言は，ジャイアントやギガンティックのような巨大という雰囲気を感じますね．
30日（日）の夜は，大花火大会があったのですが，私は昼間のワークショップの立ち仕事で，
脊椎間狭窄の痛みが酷くなり歩けずホテルで寝ており，見物できませんでした．

■とっとりサイエンスワールド（7/30）
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■がいな祭り(7/29)
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7月30日（日）は，米子コンベンション・センターで，2017年とっとりサイエンスワールドが開催されました．金曜日夜から月曜日夜まで米子に出かけていてこちらを留守にしました．とっとりサイエンスワールドは，矢部先生（現・鳥取大学副学長）が会長で始まり今年で9年目です．子ども達の科学や数学への関心育成を狙い，地域振興予算のうちの430万円（今年度）で，鳥取県数学教育会に委嘱された事業です．毎年，米子，鳥取，倉吉の3か所で開催し，3,000人の県民が参加する，県民に愛されるイベントに定着しました．今年のサイエンスワールドは．7/30in米子，8/20in鳥取，8/27in倉吉の順で開催されます．
■7月30に米子で実施［私は今(31日，夕)帰って来たばかりで，このホットな報告を書いております］されたサイエンスワールドは，904人の来館者がありました．私の実施した万華鏡は，30人のクラスを午前に2回，午後に2回の計4回の実施を想定し，120人分用意しましたが，多くの方が来られ予備の材料も提供し対応しましたが，座席数が最大33人でしたので，座れず諦めた方も多数おられ，申し訳ない気持ちです．先生方や高校生ボランティアの協力を得て実施しましたが，私たちの場所も提供したので立ちっぱなしです．
さて，どんな万華鏡を作ったかといえば，これはすでにブログで予告済みです．
以下に写真を再度掲載しておきましょう．

これら２つの万華鏡画像を見て，鏡の組み合わせの違いが判りますか？
そうです．15°で交差する2枚鏡に加えて，右の万華鏡では水平な鏡かあります．

■前日の7月29日（土）は，米子がいな祭りと重なりました．昼間は，がいな太鼓や踊りの練り歩きがありました．夜の万燈のパレードは圧巻でした．ロウソクの灯ったたくさんの提灯を乗せた万燈を扱う曲芸が見世場です．商都米子のメインの通りがパレードとお祭り屋台や人で埋め尽くされました．がいなという方言は，ジャイアントやギガンティックのような巨大というイメージを感じますね．30日（日）の夜は，大花火大会があったのですが，私は昼間のワークショップの立ち仕事がたたり，脊椎間狭窄の痛みが酷くなり歩けずホテルで寝ており，見物できませんでした．

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数学月間SGK通信 ［2017.07.25］ No.177
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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今年も数学月間の初日（7月23日）は数学月間懇話会でした．今年の7月23日は土曜日です．
今年も40人を越す参加者で盛況でした．真夏の炎天の1日で，おいでいただいた皆さまに感謝いたします．
プログラムは，以下のようでした：
１．社会調査の実際，森本栄一（ビデオリサーチ）
２．ブラックホールを見る，池田思朗（統数研）
３．星型正多面体の体積比較（模型も作るよ！），小梁修（osa工房）

さて，以下は私の主観的な感想です（講演概要の議事録ではありません）．
■世論調査の感想
安倍内閣の支持率が26%になりました．皆さんはこの数値をどう思いますか．
私はこの数値はやっと正常値になった，今までがおかしかったと思います．
しかし，ある人は，今の支持率低下は世論誘導により作られたといいます．
今までの高支持率は世論誘導で維持されたとは思はないようです．
どちらが正しいのでしょうか．
支持率の変曲点に至るまでは支持率を維持しようとするメカニズムがあるが，
支持率が変曲点を越え（30%台）低下すると，雪崩をうって低下が加速するように私は思います．
世論調査の数値なんて不確かなもの，正しい値はあっても，
この数値自体に世論誘導の効果があり，数値を変化させます．
NHK，各新聞社，それぞれ自分が決めた方法で得たサンプル集合に，
それぞれ独特の設問で調査を行います．ビデオリサーチも決められた方法
（PMピープルメータという機械を配置）で調査を行います．
それぞれ調査し数値を出すのが業務ですが，得られた数値が，
実態を正しく反映したものかどうか誰も保証できないようです．
だいたい，サンプリングがランダムになされたかの検証は非常に難しい．
誤差の範囲もはっきりしない．さらに，統計学の問題に持ち込む以前に以下の問題がある．
設問文章の条件や聞き方などで，答えが左右されます．
設問の並べ方や，選択肢も重要です．あえて誘導尋問のように作ることもできます．
また聞き取り調査の難しさもあります．電話で複雑な設問が理解できるでしょうか．
このように，実態を正しくとらえた世論調査は非常に困難で，この分野は行詰っているようです．
発表された数値なんて絶対の信頼ができるものではありません．
これに誘導されることのないように注意しましょう．
この他，調査とは別の手法ですが，最近，ビッグデータを用いた解析が有力なようです．
たいへん不気味なことですが，当落予測などで実績が上がっているようです．

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数学月間SGK通信 ［2017.07.18］ No.176
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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7月は数学月間の季節です．お知らせがいくつかあります．
数学月間懇話会（第13回）
●日時：7月22日（土），13:50－17:20，開場：13;30
●場所：東京大学（駒場），数理科学研究科棟002号室
●参加費無料
直接会場にお出で下さい．
●主催：数学月間の会，日本数学協会
●問い合わせ：sgktani@gmail.com
●プログラム
１．社会調査の実際，森本栄一（ビデオリサーチ）
２．ブラックホールを見る，池田思朗（統数研）
３．星型正多面体の体積比較（模型も作るよ！），小梁修（osa工房）

17:30から，学内のイタリアントマトで懇親会をします（飲食は各人払い）
ーーーーーーーーーー
数学月間勉強会（第２回）は，7,8月はお休みし，9月27日に再開します．
ーーーーーーーーーー
とっとりサイエンスワールドは，
米子(7/30，鳥取（8/20），倉吉（8/27）です．お近くの方どうぞお出かけ下さい．
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IMAGINARY 数学アート展
◆ 日時 ◆2017年8月8日 14:30 ～ 22:30
◆ 場所 ◆東京都千代田区神田神保町 1-6 神保町サンビルディング 3F みらい研究所 (一部スペース)
開催場所について詳しくは、こちらをご覧ください。
http://mirai-lab.org/
◆ 料金 ◆600円 (みらい研究所1時間利用料)
IMAGINARY 数学アート展のイベント情報は、こちらをご覧ください。
https://imaginary.org/event/math-art-day-in-tokyo
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万華鏡のお話をしましょう．おっとりサイエンスワールドでは，私は万華鏡のワークショップをやります．
万華鏡の映像AとBがあります．どこが違うのでしょうか．
それぞれの万華鏡の鏡の構成はどのようなものと推測できますか？
　A　https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/81/18134981/img_0_m?1500302509　　　　　B　https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/81/18134981/img_1_m?1500302509

A,Bの映像ともに，芯（2枚の鏡の交差軸）の所に12回対称があります．
360°/12＝30°，従って2枚の鏡の交差角は　30°/2=15°であることがわかります．
AとBの違いは，水平な鏡が有るか無いかの違いです．
そこで，鏡の組み合わせは，以下のようであると推測できます：
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/81/18134981/img_3_m?1500302509
Bの万華鏡はスペーサーも鏡になり3枚鏡の筒です．
Aの万華鏡はスペーサーは鏡でないので図には省略しています．
2等辺3角形の頂角は15°で，頂点の周りは12回回転対称で頂点が集まり埋め尽くされます．
しかし，底角は82.5°で，底角の周りは規則正しい埋め尽くしにはなりません．
3枚鏡の万華鏡の映像は，平面全体に広がっていますが，Aの2枚鏡の万華鏡は円形の領域のみに映像は留まります．

万華鏡の作製は，私のブログhttps://blogs.yahoo.co.jp/tanidr/18134981.html
をご覧ください．

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数学月間SGK通信 ［2017.07.11］ No.175
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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皆様お変わりありませんか．暑い夏の7月，8月は数学月間の季節でもあります．
数学月間は，7/22～8/22です．この期間を中心に，数学的なイベントが
各地で盛んになるように応援しています．皆様のまわりで，数学的なイベントがありましたら
お知らせください．数学月間の会HPやFacebookなどで広報しています．
私たちも7/22には，数学月間懇話会の開催予定です．
ーーーー
数学月間懇話会（第13回）

●日時：7月22日（土），13:50－17:20，開場：13;30
●場所：東京大学（駒場），数理科学研究科棟002号室
●参加費無料
直接会場にお出で下さい．
●主催：数学月間の会，日本数学協会
●問い合わせ：sgktani@gmail.com

●プログラム
１．社会調査の実際，森本栄一（ビデオリサーチ）
２．ブラックホールを見る，池田思朗（統数研）
３．星型正多面体の体積比較（模型も作るよ！），小梁修（osa工房）

17:30から，学内のイタリアントマトで懇親会をします（飲食は各人払い）
ーーーーーーーーーー
6月28日には，数学月間勉強会（第1回）を実施しました．
こちらの内容は，メルマガでも何回かに分けて報告しようと思っています．
前号（7/４，17４号）でも一部紹介しましたが，画像のリンクがうまく開かないようです．
お詫びして，174号の内容を掲載している私のブログのwebsiteを以下に示します．
https://rdsig.yahoo.co.jp/blog/article/titlelink/RV=1/RU=aHR0cHM6Ly9ibG9ncy55YWhvby5jby5qcC90YW5pZHIvMTgxMTY5NjAuaHRtbA--
どうぞお読みいただけると幸いです．
さて，数学月間勉強会の第2回は，9月27日，2時からの予定です．
ーーーーーー
「空間群で数学と物理を学ぼう」，谷克彦
（全4回の内容）
［第１回］並進群
対称性の起源「鉱物学・結晶学」．空間の周期的デジタル化．格子と並進群．
逆空間と実空間のデリクレ胞．非周期のデジタル化．
［第２回］結晶点群
有限図形の対称性．なぜ結晶類と呼ぶか．共役類．結晶点群の分解．
［第３回］結晶空間群
結晶点群による並進群の拡大．準同型写像の核＝正規部分群．
［第４回］因果律の対称性
双対空間の因果律．
ーーーーーー
数学月間流では，数学の源泉となった物理の現場に立つ臨場感があります．
通俗解説書では何冊読んでもピンとこない（私もそうです）．
しかし，補題・定理の証明に終始する抽象数学は，何に使うのかわからないと思っている皆さん．
特に若い方にお勧めします．初心から専門の方まで広くご参加を歓迎します．
第1回は，6月28日に15人の参加を得て充実した勉強会になりました．
ーーーーーー
閑話休題．2重らせんの話に移りましょう．
数学月間勉強会（第1回）では，空間の周期に関して様々な視点から学習しました．
結晶構造は格子構造を持っており，この格子の基本ベクトルをa1,a2,a3とすると，
逆格子a1*,a2*.a3*が定義されて，この逆格子点は結晶によるＸ線回折が観測される点です．
格子と逆格子は，互いにFourier変換の関係にある双対空間です．
DNA結晶とその回折像もそのような関係にあります．回折像から結晶構造の推定ができます．
■Rosalind Franklin，ロザリンドは，ロンドン大学のキングス・カレッジに職を得て，
Ｘ線結晶学者としてDNA結晶の構造解析を行っていた．
DNAには水分含量の差によって2タイプ（A型とB型）があることを明らかにし，
それらを別々に結晶化し，X線回折写真撮影に成功した（1952年）．
写真を見れば，X線結晶学者なららせん構造であることはすぐわかる．
X線構造解析の定石は，回折像の逆Fourier計算し，DNAの詳しい構造を求めることである．
しかし，彼女のまとめた非公開研究データのレポートは，
予算権限を持つクリックの指導教官のマックス・ペルーツが入手し，クリックの手に渡った．
一方，ウイルキンスは，彼女が赴任する前からDNAの研究をしていたが，
ケンブリッジ大学キャベンディッシュ研究所のワトソンとクリックに彼女の撮影した写真を内緒で見せた．
ワトソンは，複製の能力のあるDNAのモデルを考えていたが，写真を見て2重らせん構造モデルを確信する．
ワトソン，クリックの論文は，Nature（1953.4.25）に掲載される．ロザリンド・フランクリンらの論文，
ウイルキンスらの論文，合わせて３篇とも同号に同時掲載の体裁をとっている．
ワトソン，クリック，ウイルキンスがノーベル賞を受賞したとき（1962），
フランクリンはその4年前に37歳で亡くなっていた．
ロザリンドの時代にはコンピュータはなく，Fourier合成の計算は，
数表Beevers-Lipson短冊を用いて行う手計算であった．
また，試料たんぱく質の結晶化も不十分で，回折像のスポットもぼんやりしている．
良い結晶を作製して，X線自動回折系で6,000個もの反射スポットを得て，
コンピュータで計算し精密な構造を得るのは1981年になってからである．
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/586975/66/18123166/img_0?1499584560

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数学月間SGK通信 ［2017.07.04］ No.174
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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表題の数学月間流勉強会を，6月28日，15:00－17:00に，東大出版会，会議室で開催しました．
今回［第1回］は，空間の「周期」がテーマでした．この分野の大家の先生方，デザイナーなど関連分野の方，
物理や結晶分野の方，数学愛好の方など15人の参加があり，椅子が足りなくなりご迷惑をおかけしましたが，
楽しく充実した勉強会でした．参加御礼申し上げます．ご興味おありの方の参加をお勧めします．
次回の日時が決まりましたらアナウンスいたします．
［第2回］は，有限図形の対称性（点群），［第3回］は，繰り返し模様の対称性（結晶空間群）と続く予定です．
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［第1回］周期
１．2次元平面のデジタル化
平面のデジタル化とは，1種類のタイルで平面をタイル張りすることです．
例えば，平行4辺形や平行6辺形のタイルは，対向する辺をピッタリ合わせて並べると
平面に隙間なく張り詰めることができます．
Q．平行8辺形以上は平面を敷き詰められないのは何故でしょうか？
以下の図を見て考えましょう．
イメージ 1
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/60/18116960/img_0_m?1499094865

平行に対向する辺を同じように変形して，図案のモチーフを作ります．
このようにすると，エッシャーの様な繰り返し模様の図が作れます．
上図は平行4辺形を変形して得たエッシャーによるモチーフ，
下図は平行６辺形を変形して私が作ったハロウィーン魔女です．
イメージ 2
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/60/18116960/img_1_m?1499094865

２．ユークリッド平面の正則分割
（正多角形によるユークリッド平面のタイル張り）
正p角形が頂点でq個集まっているようなタイル張りを(p,q)と書きます．
正p角形の1つの内角について，(p-2)π/p＝2π/q，つまり，1/p＋1/q＝1/2
p,qの整数解を求めると，(4,4)，(6,3)，(3,6)の3種類があります．
イメージ 3
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/60/18116960/img_2_m?1499094865

３．アルキメデスのタイル張り
2種類以上の正多角形を組み合わせて平面をタイル張り．
どの頂点の周りの状況も同じ（同一の順序でタイルが並んでいる）
ただし，右回りと左回りによる並び方の違いは同じものと見做す．
イメージ 4
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(1)３つの正多角形（正n1，n2，n3角形）の頂点が出会う場合
２/n1＋２/n2＋２/n3=1
(2)４つの正多角形の頂点が出会う場合
２/n1+２/n2+２/n3＋２/n4＝２
(3)５つの正多角形の頂点が出会う場合
2/n1+2/n2+2/n3＋2/n4＋2/n5＝3
(4)６つの正多角形の頂点が出会う場合は
この状態は，正3角形が６つの場合だけ

これらを解いて得られる整数解は，必要条件を満たすものです．
実際に作ることができるか確認すると，8種類のアルキメデスのタイル張りが得られます．
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数学月間SGK通信 ［2017.06.27］ No.173
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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表題の数学月間流勉強会を，6月28日，15:00－17:00に実施します．
お気軽にご参加ください．
会場は，東大出版会，会議室です．ちょっと静かなわかり難い場所なので
道順を説明しましょう．
駒場東大前駅下車西口改札を出て，右手に進み高架下をくぐり，線路を左手に見ながら進みます．
パン屋の付近の踏切（渡りません）あたりで，敷地内の様な裏道に入り，しばらく進みます．
駅から400mくらいの距離です．
東大構内ではありませんので，ご注意ください．
東京大学出版会　〒153-0041 東京都目黒区駒場4-5-29　
http://www.utp.or.jp/gaiyou/map_komaba.jpg
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今回の勉強会は，「繰り返し模様の対称性」（結晶空間群）の話です．
1832.5.29決闘で亡くなったガロアが作った群論という数学に係わります．
5次方程式の解は，代数計算を繰り返しても得られないことを証明するときに考えた抽象数学です．
同じ時代に，結晶学者は，単位胞が繰り返す結晶の内部構造の対称性を分類しました．
フェドロフは230種の空間群を数え上げたのです．
繰り返し模様の対称性は，無限に続く空間の周期性と単位胞の対称性（点群）の積と見做せます．
今回の第1回の6月28日は，「空間の周期」について色々話し合おうと思っています．
第２回は，有限図形の対称性（点群）．
第3回は，点群と周期（並進群）の積で空間群が作れることを学ぶ予定です．
第４回は因果律の対称性です．
さて，周期と言っても色々な話題があります．１つのブロック（単位胞）で空間をデジタル化する様式を，
対称性で分類したものがブラベー格子です．
だたし，空間をデジタル化すると必ず周期的になるかというとそうでもありません．
非周期の例にペンローズ・タイル張り（準結晶）があります．
そして，この非周期のタイル張りは，高次元の周期的空間から投影された影であることもわかります．
結晶の様な周期的な場にある電子の存在確率はブロッホ関数と呼ばれるFourier級数のような関数になっており，
結晶周期の対称性と同様に，逆格子と呼ばれるエネルギー空間の格子の対称性も重要です．
純粋数学では，補題や定理や系の証明に終始するのですが，数学月間流では，
概念の源泉たる結晶・鉱物や物理の現場に立ち返り，群論も学ぼうというものです．
ご期待ください．

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数学月間SGK通信 ［2017.06.20］ No.172
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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2次元のブラベー格子が5種類あることは既に学びましたが，3次元のブラベー格子が１４種類あることには，
まだ言及していませんでした．実際の結晶は3次元の物体ですから，3次元のブラベー格子は特に重要です．
14種類のブラベー格子をどのようにして数え上げるか表に従って説明します．
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/586541/03/18096603/img_0?1497878818

3次元ですから，3つの互いに独立なベクトルa,b,cがとれ，それらの組を対称性で分類すると
上段の7つの図（いわゆる晶系に対応している）が得られます．
例えばhexagonalでは，ベクトルaとbは周期が同じだから，a,a,cと書きました．
ベクトル間の交差角度は，対称性での分類の観点から，”90°，120°，および，3つの交差角度が互いに等しい”，
などが特別扱いされます．これらに基づき，図示した７つが，まずブラベー格子になります．
これら７つはすべて，P（primitive単純格子）－－格子の頂点のみに格子点がある（単位胞に1つの格子点が含まれる）ものです．
７つのP格子のそれぞれに，複格子；C（c-面心），I（体心），F（面心）が存在可能か調べます．
格子点を付加すると対称性が破れてしまう場合は，複格子の存在が許されない場合で，表中にx印がついています．
また，作った複格子は結局P格子と同じものである場合は，表中にPと書きました．
こうして生じる異なる型の格子（ブラベー格子）を数え上げると14種類であることがわかります．

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数学月間SGK通信 ［2017.06.13］ No.171
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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政治が国民のやる気をそいでいる今日この頃ですが，皆さまお変わりなくお過ごしでしょうか．
ここでは，周期的空間＝結晶空間について語ることが多いのですが，
まだミラー指数についてお話したことがなかったようです．
結晶を扱う固体物理では，必ず最初に学ぶことなのに，説明はとばしておりました．
ミラー指数は結晶面の記述に必要です．その原理（なぜ逆数をとるかなど）の理解に，
混乱する学生が多い所でもあります．疑問が解ける説明になるよう留意しつつ，今日ここで取り上げます．

結晶の内部構造（原子配列）の対称性は，結晶の外形にも現れるものです．
皆さんも，規則正しい面で囲まれた結晶の外形を見たことがあるでしょう．
水晶，蛍石，ザクロ石，黄鉄鉱，様々な結晶の写真をご覧ください．
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/82/18085782/img_2_m?1497280452

まず，結晶に座標軸(X-軸，Y-軸，Z-軸）を決めるのですが，
これは結晶の対称性を考慮して合理的に決めます．一般に，座標系は斜交座標軸です．
先の例で具体的に言うと，
水晶では，X-軸，Y-軸の交差角は120°，Z-軸は，X-Y平面に垂直．
蛍石，ザクロ石，黄鉄鉱，などでは，直交座標系です．

結晶は周期的な空間＝格子です．格子点を乗せている面が結晶面です．
（格子点は周期の表現であり，しいて言えば単位胞を点で代表していると考えてください．
ここに原子があるというわけではありません）
結晶構造中には，さまざまな結晶面が存在します．結晶の外形に現れる面も結晶面の１つであります．

ある結晶面が，X-軸，Y-軸，Z-軸を過る切片を，a/h, b/k, c/l　とすると，
この結晶面の平面の方程式は，hx/a+ky/b+lz/c=1　です．ここで，
a,b,cは，X-軸，Y-軸，Z-軸の周期（座標軸に沿って単位胞をとりますから，単位胞のサイズとも言えます），
h,k,lは整数です．結晶面が格子点を乗せているからには，h,k,lが無理数ではいけません．
これは，結晶空間が単位胞を並べてできているデジタル空間であることからの帰結で，
結晶面の有理指数の法則（アウイ，1778）と言います．
さて，この場合の結晶面のミラー指数は，（h,k,l）となります．
ミラー指数は，イギリスの鉱物（結晶）学者ミラーが，1839年に考案したものです．
2次元で，ミラー指数の実例を掲載してｐきます．
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/82/18085782/img_1_m?1497280452

ミラー指数(h,k)は，切片を(a/h，b/k)と書いた時のh,kであるから，
切片は（a/1，b/2)　と思っても良いし，（2a,1b)＝（a/(1/2)，b/(1/1)）として，
h:k=1/2:1/1＝1:2を求めても良い．．

x軸に平行な面の切片は，(∞a，b)＝（a/(1/∞)，b/(1/1)）として，
h:k＝0:1とする．

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数学月間SGK通信 ［2017.06.06］ No.170
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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久しぶりですが，今回は正多面体や菱形多面体の話題を取り上げます．
ユニット折り紙で，菱形多面体や星型多面体を作ったことがある方もおありでしょう．
まず，プラトンの正多面体は5種類であることを復習しましょう．
正p多角形の面が頂点でq個集まってできる正多角形は，シュレフリーの記法で｛p,q｝と記します．
プラトンの正多面体は，正4面体｛3,3｝，正6面体｛4,3｝，正8面体｛3,4｝，正12面体｛5,3｝，正20面体｛3,5｝です．
面を頂点に変えた図形同士は互いに双対な図形と言います．記号で言うと
{3,3}は自分自身と双対です．｛4,3｝と｛3,4｝は互いに双対．｛5,3｝と｛3,5｝は互いに双対です．
互いに双対の図形の対称性は同じです．

まず，Fig.2をご覧ください．
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/11/18073811/img_1_m?1496617471
左図は，互いに双対の図形，正6面体｛4,3｝と正8面体｛3,4｝の重ね合わせ．
双対の図形の対称性は同じですので，重ね合わせた図形も同じ対称性になります．
右図も同様で，正12面体と正20面体の重ね合わせの例です．

次にFig.1に移りましょう．
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/11/18073811/img_0_m?1496617471
6･8面体は，正6面体と正8面体の重ね合わせの共通部分です．同様に
12･20面体は，正12面体と正20面体の重ね合わせの共通部分です．
これらの多面体は正多面体ではありません（2種類の正多角形の面があるので，半正多面体）．

6･8面体の双対図形が菱形12面体，12･20面体の双対図形が菱形30面体です．
例えば，左側の系列で言うと，6･8面体の正方形の面を，菱形12面体の稜が4つ集まる頂点に，
正3角形の面を稜が３つ集まる頂点に対応させています．

互いに双対な多面体の対称性は同じですから，
左の系列
菱形12面体，6･8面体は，立方体（あるいは，正8面体）と同じ対称性．
右の系列
菱形30面体，12･20面体は，5角正12面体（あるいは，正20面体）と同じ対称性です．

菱形多面体は，面の形が菱形で正多角形ではありませんから，正多面体や半正多面体の仲間ではありません．
（注）半正多面体とは，複数種類の正多角形の面でできるものです．菱形は正多角形ではありません．

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数学月間SGK通信 ［2017.05.30］ No.169
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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今日は，数学の話題ではないのですが，福一原発事故で2011.3に環境に放出されたセシウムについて
測定したので，その話をします．半減期の定義は，ほんのちょっと数学に関係があります．
最近，IMADENさんの協力を得て，我々の研究会で新しいγ線測定器を作りました
そのテスト結果です．
この測定器のシンチレータはCsIで，前々回のものと変わりませんが，
検出にホトダイオードではなく，PMT（光電子増倍管）を使っています．
そのため，感度は大変よくなりました．
エネルギーの分解能はシンチレータで決まりますから，
前回の測定で使用したCZT結晶を用いたRAdAngel社のエネルギー分解能には及びません．

測定した西郷試料は，2012.10.17に採集した除染前屋根堆積物と栗です．
Fig2　2017.05.28の測定結果（CsI＋PMT）
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/45/18064145/img_0_m?1496061605

■
セシウムCs134の半減期は2年，Cs137の半減期は30年です．
Cs134もCs137も原子炉の中で作られたもので，2011.3の事故で放出されました．
ウラン235が核分裂すると，いろいろな核種が生まれます．
例えば，ヨウ素131とイットリウム103と中性子，セシウム137とルビジウム95と中性子 ，などです．
同様に核分裂で生じる核種にキセノン133があり，これが中性子を捕獲してセシウム134に変わります．
Cs134の生成には中性子の捕獲が必要ですので，原子炉の稼働時間が長いほど，燃料棒中たくさん生成されています．
今回の福一の場合は，放出された時点2011.3で，Cs137：Cs134の放射能量（ベクレル）比は1:1だったとのことです．
1 ベクレルというのは， 1 秒間に 1 回の割合で原子核が崩壊する放射能の量のことです．
Cs137は1回の原子崩壊で662keVのγ線が1つ出ますが，
Cs134の1回の原子崩壊では，605keVのγ線と796keVのγ線が1つづつ出ますので，
大雑把に言うと，同じ1ベクレルのCs137とCs134では，Cs134の方が2倍くらいγ線を出します．
■
2011.3に放出された試料を，新しく作った測定器で，再測定（2017.5）しました．
事故から6年ほど経っていますので，半減期30年と長いCs137はあまり減少しない(1割減程度)が，
半減期2年と短いCs134の強度は1/2.6に減少しているはずです．
計算は以下の半減期の定義を参照ください．
半減期Tの定義，tだけ経過後の残存原子比，N(t)/N(0)=(1/2)^(t/T)

保存した試料の測定ですので，このような結果になるはずです．
実際の環境中のセシウム分布状態は，このような自然減衰の他に，
拡散や移動により変化しています．下水や流水により川底や海低などに移動したものがあると思われます．
水の外からの測定では，水の遮蔽効果により測定できませんので，
この種の装置を水中に下し測定を行うべきですが，あまり測定は行われていません．

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数学月間SGK通信 ［2017.05.23］ No.168
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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■米国MAMの動向
現実世界の多くの課題を解くのに，数学と統計が重要な役割を演じています．
昨年度の米国MAMのテーマは，ずばり「予測の未来」でした．米国MAMでは，統計や予測に関するテーマが増加しています．
これまでのMAM数学月間（1986年4月のレーガン宣言で始まった）の呼称も，2017年から
MSAM(Mathematics and Statistics Awareness Month)数学・統計月間に変わりました．
この流れを作った背景には，コンピュータ利用とAI人工知能技術の発展があります．
嫌なことですが，スノーデンの告発で明らかになったように，個人情報，個人メールを含むあらゆるデータが，
米国NSAにより収集され（collect it all），解析に使うことができる監視社会になりました．
米国NSAによるデータ独り占めが，国家の独立性を危うくしたり，
不正な情報操作を許すことにならないように注意が必要です．
私たちの日本の数学月間では，世論調査がどれほど正しいのか疑問を持ち，この数年これを取り上げてきました．
しかし，その一方，大量のデータが，リアルタイムで収集できるのが現代です．
これをどのように解析・予測するかの数学手法は，興味深いことです．
社会と数学の架け橋を謳う「数学月間」としては，これらを取り上げないわけにはいきません．
今年7月22日の数学月間懇話会でも，昨年に続く世論調査のテーマと少ないデータからの推論を取り上げます．
詳細は数学月間ブログやSGKのウエブサイトをご覧ください．

■米国MSAMの「数学祭り」
今年の米国MSAMには，例年のMAM（毎年4月に実施）のような統一テーマがありませんでした．
ウエブサイトで目につくイベントは，「数学祭り」national math festivalの楽しい様子です．
これは，日本の「とっとりサイエンスワールド」（注）によく似ています．
（注）とっとりサイエンスワールドは，2007年にスタートした人気のある県民イベントです．
詳細は，数学月間ブログをご覧ください．
米国MSAMの「数学祭り」は，4月22日土曜日の10:00~１9:00,ワシントンDCのダウンタウンにある
ウォルター・E.・ワシントン・コンベンション・センターで実施（一般公開の無料イベント）されました．
講演，デモ，アート，映画，実演，パズル，ゲーム，児童書の読書などがあり，幼児からすべての年齢の成人が対象です．
ウエブサイトで見られるビデオの一つを紹介しましょう．
米英には，数学見世物師のような専門家が居り，なかなか見事なパフォーマンスが見られます．
例えば，Matt Parker のマジック・スクエアのデモはとても面白いものです．
以下の４ｘ４の数表をご覧ください．
A　　1 12 7
11 8 B 2
5 10 3 C
4 D 6 9

(1)縦列の4つの数字の総和，(2)横列の4つの数字の総和，(3)全体の4分割のそれぞれの部分の4つの数字の総和，
(4)中心部分の4つの数字の総和，(5)中心2列の上部分（下部分）の４つの数字の総和，
(6)表の4隅の数字の総和，(7)２つの対角線の4つの数字の総和．
これらがすべて同じ数字になるように，A,B,C,Dを求めます．
さて，総和の数字は，観客に勝手に言わせます．もし，48と言われたら，
A=28，B=27，C=30，D=29です．どんな総和の数字を言われてもすぐできて
とても不思議です．この種は，以下のようなものです．うまく実演してみましょう．
総和の数字をｎと言われたら，A=n-20，B=n-21，C=n-18，D=n-19と計算すればよいのです．

無限に広がる2次元の世界（平面）が，周期的であるとは，1枚のタイル（平行4辺形）を張り詰めて，平面のタイル張りがなされている状態です．
周期的な平面はタイル（単位胞）を単位としてデジタル化された平面といえます．
タイルの辺と辺を合わせてタイル張りをすると，平面は必ず周期的になります．
平行4辺形の2辺は，周期的な2次元世界を張る「基本並進ベクトル」a1,a2です．
（注）2次元だから，互いに独立なベクトルは2本あります．
平行6辺形でも平面のタイル張りができますが，
対向する２辺間の移動ベクトルを，a1,a2,a3とすると，互いに独立なベクトルは２つのみで，残りのベクトルは従属　a3＝a1+a2

a1,a2を基本並進ベクトルという．基本並進ベクトルa1,a2の1次結合ーつまり，任意の整数n1,n2に対して，T(n1,n2)=n1･a1+n2･a2　
となるベクトルT(n1,n2)も並進ベクトルで，並進ベクトルの集合は群をなします；
これを並進群といいます．並進ベクトルT(n1,n2)で移動する点はすべて同価で，格子点と言い，格子点の集合全体が格子です．格子は，並進群の具体的な表現とも言えましょう．　

（*注）
並進ベクトルの集合Γは，加法で閉じており，群をなすことは明らかでしょう．

・　T(n1,n2)，T(m1,m2)が並進群Γの元なら，
　　T(n1,n2)+T(m1,m2)＝T(n1+m1,n2＋m2)もΓに含まれる．
・　動かさない並進T(0,0)が存在し，これが群Γの単位元．
・　並進T(n1,n2)に対し，逆元T(-n1,-n2)が存在する．

基本並進ベクトルa1,a2の関係を，対称性で分類して５つのブラベー格子が出来ることは，前号の図をご覧ください．また，基本並進ベクトルが作る平行4辺形が単位胞で，単位胞と呼ばれる所以は，この面積の中に格子点が１つ含まれるからです．
ただし，面心格子のように複数の格子点（2次元の面心格子では２つ）を含む胞を単位胞（実は複格子点胞）と便宜上呼ぶこともあります．

本来，単位胞はすべて単格子点胞とすべきだが，複格子点胞も混じっている．それは，以下の便宜上の根拠による：
The smallest portion of a lattice with identipoints at its corners which still retains the same point-group symmetry as the entire lattice.
単位胞　　　　unit cell
単格子点胞　primitive unit cell　⇒　1-lattice point cell
複格子点胞　multiply primitive unit cell　⇒　n-lattice point cell

任意の並進ベクトルの和は，演算の順番によりません．そのような群は可換群（Abel群）と呼ばれます．
格子点を周期的に抜き取った粗い格子は，もとの格子の部分群です．1つの格子（並進群）には，たくさんの粗い超格子（部分群）がありますが，並進群は可換群ですから，並進群のすべての部分群は正規部分群になります．
例えば，（n1,n2）の偶数格子点だけを集めた粗い格子もできます．偶数格子点を「黒」，奇数格子点を「白」に塗り分ければ，黒白の2色格子ができます．

周期的平面を対称性で分類すると，図１に掲載するように５つのタイプ（ブラベー格子）になります．
平面ですから周期を決める互いに独立なベクトルは2種類で，そのベクトルの状態を図１の2段目に赤い矢印で示しました．やはり図の2段目には，この赤いベクトルを２辺とする平行4辺形（グレーに着色，平行4辺形の頂点には格子点がある）を図示しました．これは単位胞と呼ばれます．
図の3段目は，１つの格子点を中心とし，隣接格子点と結ぶ線の垂直2等分線で囲まれた図形を示しました．この図形はデリクレ胞（固体物理の方では，ウイグナー=ザイツ=W-Z胞）と呼ばれます．デリクレ胞の作り方から，”格子点にデリクレ胞を配置すれば平面が隙間なく埋められる”ことは明らかでしょう．それぞれのブラベー格子の対称性はデリクレ胞の対称性に帰着すると言っても良いでしょう．
図1

■5つの格子のタイプ（ブラベー格子という）の復習はここで終えましょう．
ブラベー格子の内の「一般格子」は，2回回転対称（格子なら自然に生じる）しかないので除外し，他の4つについて，実際の例を伝統模様で見てみましょう．
以下の図２を見て，どの文様がどのブラベー格子に所属するかご鑑賞ください．
図２
イメージ 1

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数学月間SGK通信 ［2017.05.02］ No.165
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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■モワレ縞
次の図をご覧ください．λ1の正方形目の格子と，λ2の正方形目の格子が，互いに平行のままで重なったときに生じるモアレ縞です，
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/61/18015761/img_0_m?1493248332

生じるモワレ縞の周期　Lは，1/L＝1/λ2－1/λ1　の関係で決まります．
子供の頃，織物検査器というのを玩具にしていました．布地の上に硝子板を乗せると，モワレ縞がはっきり表れ面白い．
この原理で1インチの中に何本糸があるか，織物の出来が均一かなどが，調べられる訳で，
ものさしの様なガラス板の中に，既知の間隔の線がたくさん引かれていました．

■周期的な平面（平面のタイル張り）
周期的な平面は，1種類のタイルでタイル張りされています．つまり，デジタル化された平面と言えましょう．
どんな形のタイルが，平行移動のみで平面をすきまなく埋め尽くすことができるかといえば，
（１）平行4辺形，あるいは，（２）平行6辺形のタイルです．
（１）平行4辺形とは下図の（A)のような形です．
これらは，向かい合った平行な辺どうしは同じ長さ．向かい合った辺どうしを突き合わせて平面を敷き詰めることができます．
向かい合った辺に同じような変形を加えて図案のモチーフを作ります．エッシャーの作品の2羽の鳥はこのようにして作られました．
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/568616/27/17239427/img_4_m?1493646655

（２）平行6辺形は平行な辺どうしが同じ長さの図形で，下図の（B),（C)のような形です．
これらは，向かい合った平行な辺（同じ色に着色）どうしを突き合わせて，平面を敷き詰めることができます．
向かい合った辺に同じような変形を加え，図案のモチーフを作るとエッシャーの様な繰り返す絵が作れます．
私は， ハロウイン魔女を作って見ました．
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/568616/27/17239427/img_5_m?1493646655

（３）平行8辺形以上は平面を敷き詰められないのは何故でしょうか
平面は2次元のために独立な平行移動の方向は２つだけで，3つ目の方向は決まってしまいます．
可能な並進方向は全部で３つで，4つ目の方向は存在できません．
従って，敷き詰め可能なのは平行6辺形までということになります．
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/568616/27/17239427/img_6_m?1493646655

■お知らせ
●数学月間勉強会
「結晶空間群で，物理と数学を学ぼう」，
谷　克彦（日本数学協会幹事）
●数学月間の会，日本数学協会

日本数学協会は，7/22～8/22を数学月間と定めました．
数学と社会の架け橋＝数学月間は今年で13回になります．
このたび，「数学月間勉強会」シリーズを始めます．
数学月間流勉強会の特徴は，テーマを，数学と社会（今回は，物理/芸術）の両面からとらえることです．
それは，完成した数学の学習ではなく，数学が生まれる現場に立ち会うようでもあります．
”通俗解説書は何冊読んでもピント来ない（私もそうです），一方，補題・定理の証明に終始する抽象数学は味気ない”
と思っている皆さん，とくに若い方々にお勧めします．初心から専門の方まで広くご参加を歓迎します。

●日時：6月28日，15:00～17:00
●場所：東京大学出版会，会議室
最寄り駅は，駒場東大前
●無料
●問い合せ・申し込み： sgktani@gmail.com
●第1回のテーマ：
「周期と空間のデジタル化」，繰り返し模様を鑑賞する　　　　　
第2回は，「結晶点群」と部分群を理解する
第3回は，並進群の結晶点群による拡大「結晶空間群」を作る
第4回は，因果律の対称性
の予定です．

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数学月間SGK通信 ［2016.04.25］ No.164
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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今日は，まず図をご覧ください．
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/79/18011279/img_0_m?1492957285

正方形の網目（格子点）の網（格子）を２枚重ねただけですが，
両方の網目が重なった位置の網目に新しい格子が見えて美しい．
もとの格子の２つの並進ベクトルをa，ｂとすると，もとの格子は，格子点 na+mb，（n,mは任意の整数）の集合です．
格子を２枚重ねて，新しい周期の２つの並進ベクトル x, yが生じているこの図の状態は，
x=2a+b，y=a+2b です．この基底の変換を行列で書き，行列式を求めると３ですので，
新しくできた格子はもとの格子と比べて面積で3倍粗くなっていることがわかります．
格子というのは，並進ベクトルの作る群＝並進群の”図的表現”ですが，
2枚の格子の干渉で生じた新しい格子の周期は，
もとの格子の粗いサンプリングになっていることがわかりますね．
だから，新しい格子はもとの格子の部分群になります．

格子が重なって，拡大された（粗い）格子が見える現象は，干渉（ビート）と同じことです．
実際に，２つの原子網面が重なって，このようなビートが見えることは，
電子顕微鏡で格子像の観察をするときにもよく起こります．
結晶は周期的な構造をしているので，周期的な空間は「結晶空間」とも呼ばれます．
エッシャーの繰り返し模様や，壁紙模様などで，周期的空間の実例をたくさん目にしていると思います．
次回は，周期的空間について，並進群を利用してもう少し詳しく調べていくことにします．

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数学月間SGK通信 ［2017.04.18］ No.163
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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先週は，ステレオ投影の原理を説明しました．
ステレオ投影は，角度を保存する（交差する線の角度を変えない）性質がありました．
この球表面から平面への投影法は，
地図を作るのにも利用されていますが，
結晶や多面体の対称性を記述するのに用いますので
先週の続きで応用例まで掲載しておきます．

■点群の表示に使われるステレオ投影図
・多面体を球の中心に置いて，球の中心から多面体の各面に下した垂線が，
球表面を過る点が，多面体の面の球表面への投影点とします．
・球表面の投影点（南半球）を，球の北極と結び，南極での接平面上に投影します．
こうして，多面体の面のステレオ投影像が作れます．
イメージ 1
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/09/18002609/img_0_m?1492443598

このステレオ投影の例で用いた多面体の見取り図を示します，
この多面体は立方体で，稜のに沿って2種類の面があるものです．
この多面体の対称要素の配置も見取り図に記入しました．
イメージ 3
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/585160/76/17100276/img_4_m?1491828971

作成した対称要素のステレオ投影図は以下のものです．
イメージ 2
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/09/18002609/img_1_m?1492443598

この多面体には，各面に垂直にさまざまな回転対称軸があります．
ステレオ投影により，これらの点群の対称要素の配置図を，平面の円内に得ることができます．
各面の対称軸の位置（■，▲など），および，鏡映面（赤い円弧），対称心などが

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数学月間SGK通信 ［2017.04.11］ No.162
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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桜が満開で，良い季節になりましたが，大変なことばかりがどんどん起きて，平気で過ぎ去っていきます．
今村復興大臣などあきれたもの．そんな大臣がぞろぞろ居ります．防衛大臣も，法務大臣も．
第一，首相自体が問題だらけで，展望のない状態だ．それなのに，NHKの世論調査（4/7～9に実施）によると，
内閣支持53％，不支持27%という．相変わらず信じられない数字だ．
今回の調査から，現状にあわせて固定電話だけでなく携帯も含めて，RDDを行ったそうで，
（私事ながら，固定電話を3月末で廃止しました）
2,219人に調査し，1,233人から回答を得た（回答率55.6％）という．
内閣支持の理由の選択肢が，相も変わらず，「ほかの内閣よりよさそう」，「実行力がある」，...云々．
これらは，死因は「心不全」というのと同じで，理由になっていない．
結局，調査項目間の因果関係を無視した矛盾した結論言いぱなしの調査になる．
答えようのない選択肢を並べられても回答に窮する．回答率が55.6%ということがそれを物語っているのではないか．
限定条件をつけなければ答えられないところだが，単純に反応した回答だけがサンプルに拾い上げられる．
これでは偏ったサンプルが集まっていると思える．
理由を明確にするには，具体的な施策・事実を列挙しておいて，その賛否を問うべきだと思う．
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■ステレオ投影
球面を平面に写像する方法の一つが，ステレオ投影です．球表面を平面に写像したとき，
面積，角度の両方を保存することは不可能です．ステレオ投影は，角度を保存するので，
”等角写像”です．ただし，投影円の中心付近の面積に比べて中心から離れた周囲では面積が小さくなります．
このような地図を，きっと見たことがあるでしょう．地図の他に，
多面体の面や，多面体の対称要素の配置の記述などに，ステレオ投影は欠くことができません．
さらに，双曲幾何のポアンカレの円盤モデルの理解のために，ステレオ投影は必要です．
今回は，ステレオ投影の作り方だけ，簡単に説明します．

https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/585160/76/17100276/img_6_m?1491828971

球の北極Nに視点をおき，球面上の点を南極Sでの接平面上に投影します．例えば，P→P'
赤道（青の大円）の投影像は基円．南半球の球面上の点は基円の内部に，
北半球の球面上の点は基円の外側に投影されます．

（注）投影面を赤道を含む面として，北半球の球面上の点は南極と結び，
南半球の球面上の点は北極と結び投影する流儀もあります．

■写像の性質
この写像は等角写像なので，円は円に写像されます．
（球面）⇔（平面）
　大円　⇔　基円上の直径両端を通る円弧
　小円　⇔　小円
等角写像なので角度は保存され，例えば，赤道に直交する小円（南半球球面上の部分，赤点線）は，
基円に直交する円（赤の円弧）に写像されます．

■反転の利用

反転の性質を使うと，パップスの定理の様な難しいものを簡単に証明できます．

このような図形はアルベロス
（靴屋のナイフ）といいます．
この中に面白い幾何学があります．

円弧αと円弧βに挟まれたア
ルベロスの領域に，互いに接す
るように円のチェーンω0, ω1,
ω2, … があるとき， 円ωnの
中心と直径ABとの距離は円ωn
の直径のn倍である．
（パップスの定理）

［以下の証明ができます］
円ω2の中心は，線分ABから円ω2の直径の2倍だけ離れていること．
① 点Aから円ω2へ接線を引く．両接点を通りAを中心とする円γは，円ω2
と直交します．（なぜなら，円の接線は接点での半径と直交するから）
② γを反転円にして，色々なものを反転してみましょう．
円ω2 は自分自身に．円α，β は，それぞれ 直線α’，β’に，
円ω1，ω0 は，それぞれ円ω1’，ω0’に，なります．
③ 円ω2，ω1’, ω0’の直径はすべて同じだから，パップスの定理が証明
された． （なぜなら，平行な直線α‘とβ’に挟まれているから）

■円による反転鏡映の性質
①反転円の円周上の点は，反転しても元の点と同じ位置．
②反転では，円は円に変換される（直線も半径∞の円の仲間）
下図に反転円（赤い円）による，反転鏡映の例を示します．
●図１・反転円Oと交差する円Cは，交差の２点を共有する円cに変換される．
●図２・反転円Oと直交する円Cは，自分の上に変換される．
円周に直交するような反転円で分断された円の２つの部分は，反転円によるそれ
ぞれの鏡像になる．
●図３・反転円Oの中心を通る円Aは，直線aに変換される．
特に，円Bが反転円Oと交差する場合は，交差する2点をよぎる直線ｂに変換される．
③反転円が直線なら，普通の鏡映像になります．
直線鏡の組み合わせで作られる映像は，良く知られた万華鏡です．
反転円を用いたアポロニウスの窓も拡張された万華鏡の映像と言えるでしょう．

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数学月間SGK通信 ［2017.04.03］ No.161
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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東京ジャーミイの玄関ホールの陳列棚に飾ってある美しい皿です．直径30cm程度です．
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/585013/91/17866691/img_0_m?1491141557

中心の花の周りに小さい花が6個配置され，中心に6回回転対称があります．
中心（花弁12枚）の大きな花の内部は12回対称［中心にある6回対称の絵は無視します］ですが，全域的には6回対称，周囲の６個の小さな花（花弁９枚）の内部は9回対称［中心にある5回対称の絵は無視します］ですが，全域的には3回対称です．
6回対称軸と6回対称軸の間，3回対称軸と3回対称軸の間には2回対称軸が生じます．
その他，図に実線で描いたように鏡映面があります．

https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/585013/91/17866691/img_2_m?1491141557

右側の図で水色に塗った部分が単位胞です．
この繰り返し模様は平面群P6mmの対称性で，この皿はこの繰り返し模様から，オレンジ色の円の内部だけを切り取ったものと解釈できます．

■それぞれの花の内部の局所的な対称性に言及しましょう．
中心の花の内部は，12回対称（その部分群としての6回対称は全域で通用），
周りの6個の花の内部は，それぞれ9回対称(その部分群としての3回対称は全域で通用）です．
繰り返し模様全域を支配する対称性で，12回対称や9回対称はあり得ませんので，
このような高い対称性が通用するのはそれぞれの花の内部だけですので，
あたかも，高次元宇宙からいろいろな宇宙の断面が2次元の皿の表面に投影されているようで，
不思議な魅力を感じます．

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数学月間SGK通信 ［2017.03.26］ No.160a
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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本日配信した160号の図が2つとも開かないようです．失礼しました．
本文の部分だけ，再度発行いたします．本文はこちらをご覧ください．
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このグラスのデザインは，こちら側の模様の円が凹レンズとして働き，
向こう側の模様の円を円内に縮小して映し出すので，アポロニウスの窓を思わせます．
（リュミナルク製グラス）
http://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/566714/34/17969934/img_0_m?1490653362

■アポロニウスの窓（円の中に円を詰め込んだフラクタル）
アポロニウス（ユークリッドと並ぶ紀元前3世紀のギリシャの幾何学者）は，
３つの互いに接する円があるとき，これらの3つの円に接する円が2つ存在することを発見しました．
互いに接する３つの円（そのうちの１つが，他の2円を内部に含む外周円の場合もある）に，
接するような円の作図を繰り返して，外周円の中に円を詰め込みフラクタル構造ができます．
これをアポロニウスの窓といいます．
http://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/566714/34/17969934/img_1_m?1490653362

■インドラの真珠とアポロニウスの窓
仏教では，「宇宙のすべてのものが,それぞれのものの原因になっていて，
どの一人にも，無限の過去からの無数の原因が反映されている」と考えます．
これはまさに複雑系の考え方です．
宮澤賢治の小品「インドラの網」は，宇宙に張りめぐらされたインドラの網目に置かれた珠玉が，
互いに映じ合い，かつ，自分自身も輝いているさまです.
インドラの網に置かれた真珠が互いに映じ合う光景を思い浮かべましょう．
自分自身に映り込む他の真珠の映像には，もちろん自分自身も映り込み，
さらにその自分の映像中にも世界全体が....．
球の中に球を詰め込みできる美しいフラクタル図形が，”インドラの真珠”（注）です．
この美しい図形は２次元では，「アポロニウスの窓」とも呼ばれます．
（注）”インドラの真珠”，D.マンフォード, C.シリーズ, D.ライト, 小森洋平 (翻訳)，日本評論社

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数学月間SGK通信 ［2017.03.28］ No.160
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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もうすぐ桜の花見ですね．こちらでは，だいぶ咲いているようですが，ときどき寒い日が戻ってきます．
どうぞお体にお気をつけください．
私の所の固定電話は，RDDの世論調査のためにあるようなもの（実際にかかって来たことはない），
あとは，オレオレ詐欺（これもかかって来たことはない）と宣伝が来るだけなので，
高額な光回線とともに本日廃止をしました．
実際に使っているのは，携帯とWiMAXです．
昨年の，数学月間懇話会では世論調査を取り上げましたが，固定電話だけから抽出するRDD方式では
サンプルの偏りが生じるのは当然でしょう．安倍内閣の驚くべき支持率の高さも現実とはかけ離れているようです．
■はじめに，お知らせですーーーーー
数学と社会の架け橋＝数学月間（7/22~8/22）
数学月間懇話会は，毎年数学月間の初日7/22に実施しています．
ことしの7/22は，土曜日です．7/22が土曜日になる確率は1/7です．
365/7（mod7）＝1ですから，毎年，曜日は１つづつずれます（去年は金曜日でした）．
（注）ただし，うるう年は考慮していません．
ことしは，幸運にも土曜日になりました（来年は，日曜日）．
例年ならお仕事などで参加できない方もどうぞお出かけ下さい．
ーーーーーー記ーーーーー
数学月間懇話会（第13回）
7月22日（土），13:50－17:20，開場：13;30
東京大学（駒場），数理科学研究科棟002号室
参加費無料，直接会場にお出で下さい．
プログラム
１．視聴率調査の実際，森本栄一（ビデオリサーチ）
２．ブラックホールを見る，池田思朗（統数研）
３．星型正多面体の体積比較（模型も作るよ！），小梁修（osa工房）
（演題は仮題です）
17:30から，学内のイタリアントマトで懇親会をします（飲食は各人払い）
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■これから，アポロニウスの窓（あるいは，インドラの真珠）について，3回に分けて取り上げようと思っています．
このグラスのデザインは，こちら側の模様の円が凹レンズとして働き，
向こう側の模様の円を円内に縮小して映し出すので，アポロニウスの窓を思わせます．
（リュミナルク製グラス）
http://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/34/17969934/img_0_m?1490618044

■アポロニウスの窓（円の中に円を詰め込んだフラクタル）
アポロニウス（ユークリッドと並ぶ紀元前3世紀のギリシャの幾何学者）は，
３つの互いに接する円があるとき，これらの3つの円に接する円が2つ存在することを発見しました．
互いに接する３つの円（そのうちの１つが，他の2円を内部に含む外周円の場合もある）に，
接するような円の作図を繰り返して，外周円の中に円を詰め込みフラクタル構造ができます．
これをアポロニウスの窓といいます．
http://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/34/17969934/img_1_m?1490618044

■インドラの真珠とアポロニウスの窓
仏教では，「宇宙のすべてのものが,それぞれのものの原因になっていて，どの一人にも，
無限の過去からの無数の原因が反映されている」と考えます．これはまさに複雑系の考え方です．
宮澤賢治の小品「インドラの網」は，宇宙に張りめぐらされたインドラの網目に置かれた珠玉が，
互いに映じ合い，かつ，自分自身も輝いているさまです.
インドラの網に置かれた真珠が互いに映じ合う光景を想像ください．
自分自身に映り込む他の真珠の映像には，もちろん自分自身も映り込み，さらにその自分の映像中にも世界全体が....．
「球の中に球を詰め込む」とできる美しいフラクタル図形が，”インドラの真珠”（注）です．
この美しい図形は２次元では，「アポロニウスの窓」とも呼ばれます．
（注）”インドラの真珠”，D.マンフォード, C.シリーズ, D.ライト, 小森洋平 (翻訳)，日本評論社

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数学月間SGK通信 ［2017.03.21］ No.159
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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ダ・ビンチの星型のうち，星型小12面体の話をしました．
これは，庭園美術館，朝香宮邸，姫宮の部屋の照明に使われている星型です．

もうすこし詳しく星型について，取り上げます．
http://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/566714/02/17957102/img_0_m?1489885670
左の図は五芒星で星型多角形，右の図は正5角形で凸多角形です．
左の星型は5/2角形，右の正多角形は5角形と記されますが何故でしょうか．

頂点Aから出発して，五芒星の辺をたどるとA→C→E→B→D→A，
星型が閉じるまでに，辺の向きが2回転します．
つまり五芒星では，１つの頂点での辺の向きの回転角は，2×360°/5　です．
比較のために，正五角形の場合は，1つの頂点で360°/5だけ回転することを思い出しましょう．
この星型多角形を5/2と書くのは，2x360°/５＝360°/(5/2)だからです．

http://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/566714/02/17957102/img_1_m?1489885670
この星型多角形が頂点で5つづつ集まる｛5/2，5｝は，星型小12面体になります．
この星型は正12面体をコア（芯）にして，各正5角形の面の上に正5角錐が乗った形です．
星型の頂点は12個あり，正12面体の面に対応しますから，12個の頂点を結んでできる正多面体は
正１２面体に双対な正20面体です．

■さて，この星型小12面体｛5/2,5｝は，プラトンの正多面体（正12面体）を芯にして，
その正5角形の面に正5角錐を貼りつけた形でした．
同様に，プラトンの正多面体（正20面体：正12面体に双対）を芯にして，
その正3角形の面に正3角錘（正4面体）を貼り付けてできる形は，星型大12面体{5/2,3}と呼ばれます．
これら2つの星型は，ケプラーの星型多面体とも呼ばれます．
序に，この2つの星型に双対な,{5,5/2}，{3,5/2}はポアソンの星型と呼ばれます．

■星型小12面体は，五芒星の面Fが12枚，稜の数Eが30，頂点の数Vが12ですので，
F-E+V=－6（我々の知っているオイラーの多面体定理では2となるべき）となります．
これは星型小12面体の空間が，球の位相と異なり，穴が4つ空いた浮袋と同じ位相であるためです．

■星型正5角形の頂点Aから始めて，A→C→E→B→D→Aと辺をたどり元に戻ると，1つの頂点で2×360°/5だけ辺が回転することがわかります．
この星型５角形を5/2と書くのは，2x360°/５＝360°/(5/2)だからです．
この星型５角形が頂点で5つづつ集まる｛5/2，5｝は，星型小12面体になります．

イメージ 1

イメージ 2

■さて，この星型小12面体｛5/2,5｝は，プラトンの正多面体（正12面体）を芯にして，その正5角形の面に正5角錐を貼りつけた形です．
同様に，プラトンの正多面体（正20面体：正12面体に双対）を芯にして，その正3角形の面に正3角錘（正4面体）を貼り付けてできる形は，星型大12面体{5/2,3}と呼ばれます．これら2つの星型は，ケプラーの星型多面体とも呼ばれます．
序に，この2つの星型に双対な,{5,5/2}，{3,5/2}はポアソンの星型と呼ばれます．
■星型小12面体は，五芒星の面Fが12枚，稜の数Eが30，頂点の数Vが12ですので，
F-E+V=－6（我々の知っているオイラーの多面体定理では2）となります．これは星型小12面体の空間が，球の位相と異なり，穴が4つ空いた浮輪と同じ位相であるためです．

➡星型正多面体

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数学月間SGK通信 ［2017.03.14］ No.158
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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マンデルブロ（仏の数学者）は，「フラクタル」という概念の創始者（1975）です．
私たちは，ニュートンの微積分の発明以来，至る所で接線の引ける曲線を扱っていました．
フラクタル曲線というのは，これらと全く異なる曲線で，以下の性質があります．
・曲線のどんな小さな部分を拡大しても，自分全体と同じ形が現れる曲線．
・至る所ギザギザで接線が引けない曲線．

■マンデルブロ集合というのは，ちょっと変わったフラクタルです．
複素平面上で，次の漸化式を定義します．
Z(n+1)＝｛Z(n)｝^2+c，　Z(0)=0
Z(n)やcは複素数で，cは定数，Z(0)は初期値といいます．

複素平面上の点cに対して，数列　Z(0)，Z(1)，Z(2)，････，Z(n)，･･･　を計算していきます．
n→∞　のとき，｜Z(n)｜→∞　にならない（発散しない）ような
複素数cの全体が作る集合（図の黒い部分）が，マンデルブロ集合です．
面白い形をしていますが，拡大しても拡大しても（解像度を上げても）同じ構造が見えるフラクタル性があります．
（注）ある定数cに対して，数列が発散しない初期値Z(0)の集合を充填ジュリア集合といいます．
http://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/568618/22/17112522/img_1_m?1487235969

発散しないということは，有限な値に収束するか，有限な範囲に振動するかです．
例えば，c=-1とすると，Z(0)=0，Z(1)＝-1，Z(2)＝０，Z(3)=-1，････は振動です．
c=-1+iとすると，Z(0)=０，Z(1)=-1+i，Z(2)=-1-i，Z(3)=-1+3i，Z(4)=-9-5i，････，これは発散です．
発散しなかったc=-1はマンデルブロ集合に入り，発散したｃ＝-1+iはマンデルブロ集合に入りません．
このようにして複素平面を塗り分けて，奇妙な形のマンデルブロ集合が出来上がります．

しかしながら，この判別が難しい，始めのうちは有限に見えたものが，nが大きくなると発散するかもしれません．
しかし，際限なく計算するわけにはいきません．現実的な判定は近似j的で，例えば，n=200まで計算して，
ある閾値を越えなければ，発散しないと判定するわけです．
そして，マンデルブロ集合（黒い部分）の協会部分は発散するのですが，
発散のスピードにより着色してみます．抽象芸術のような不思議なパターンをご覧になったことがあるでしょう．
これは，c　のわずかな差により，運命が劇的に変わるカオスと秩序が入り混じってフラクタルになっている世界です．
http://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/568618/22/17112522/img_0_m?1487235969

マンデルブロ集合をネット上でonlineで描かせるサイトが色々あります．
例えば，http://mandelbrot.ovh.org/　などを使ってみると面白いと思います．

（注）ここで載せた参照リンク先は，現在なくなっています．マンデルブロ集合の描画は，例えば，　http://e-mandelbrot.com/　などで試すことができます．

マンデルブロ（仏の数学者）は，「フラクタル」という概念の創始者（1975）です．私たちは，ニュートンの微積分の発明以来，至る所で接線の引ける曲線を扱っていました．フラクタル曲線というのは，これらと全く異なる曲線で，以下の性質があります．
・曲線のどんな小さな部分を拡大しても，自分全体と同じ形が現れる曲線．
・至る所ギザギザで接線が引けない曲線．

■マンデルブロ集合というのは，ちょっと変わったフラクタルです．
複素平面上で，次の漸化式で定義される数列を考えます．
Z(n+1)＝｛Z(n)｝^2+c，　Z(0)=0
Z(n)やcは複素数で，cは定数，Z(0)は初期値といいます．

複素平面上の点cに対して，数列　Z(0)，Z(1)，Z(2)，････，Z(n)，･･･　を計算していきます．n→∞　のとき，｜Z(n)｜→∞　にならない（発散しない）数列が作れる複素数cの全体が作る集合（図の黒い部分）が，マンデルブロ集合です．
面白い形をしていますが，拡大しても拡大しても（解像度を上げても）同じ構造が見えるフラクタル性があります．
（注）ある定数cに対して，数列が発散しない初期値Z(0)の集合を充填ジュリア集合といいます．
http://mandelbrot.ovh.org/image.php?antialias=on&func=1&a=4&x1=-2&point=on&y1=1&x2=1&y2=-1&repeats=100&xZ0=0&yZ0=0&r=2&gen=1

発散しないということは，有限な値に収束するか，有限な範囲に振動するかです．
例えば，c=-1とすると，Z(0)=0，Z(1)＝-1，Z(2)＝０，Z(3)=-1，････と数列は振動します．c=-1+iとすると，Z(0)=０，Z(1)=-1+i，Z(2)=-1-i，Z(3)=-1+3i，Z(4)=-9-5i，････，この数列は発散です．発散しなかったc=-1はマンデルブロ集合に入り，発散したｃ＝-1+iはマンデルブロ集合に入りません．このようにして複素平面を塗り分けて，奇妙な形のマンデルブロ集合が出来上がります．

しかしながら，実際はこの判別が難しい．始めのうちは有限に見えたものが，nが大きくなると突然発散するかもしれません．現実には際限なく計算するわけにはいきませんので，判定は近似j的で，例えば，n=200まで計算して，ある閾値を越えなければ，発散しないと判定するわけです．
そして，マンデルブロ集合（黒い部分）の境界外は発散するのですが，発散のスピードにより着色しています．このような抽象芸術のような不思議なパターンをご覧になったことがあるでしょう．これは，c　のわずかな差により，運命が劇的に変わるカオスと秩序が入り混じってフラクタルになっている世界です．
http://mandelbrot.ovh.org/image.php?antialias=1&func=1&a=4&x1=-1.15625&y1=0.25&x2=-0.40625&y2=-0.25&repeats=100&xZ0=0&yZ0=0&r=2&gen=1

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マンデルブロ集合をネット上でonlineで描かせるサイトが色々あります．
例えば，http://mandelbrot.ovh.org/　などを使ってみると面白いと思います．