星型正多面体

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数学月間SGK通信 ［2017.08.15］ No.180
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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お盆の最中です．皆様お元気でお過ごしでしょうか．
夏日ではないが天気が悪いこの頃です．今日はどうでしょうか．
私も墓参に行きますので，今回は予約発行です．

■星型正5角形の頂点Aから始めて，A→C→E→B→D→Aと辺をたどり元に戻ると，
1つの頂点で2×360°/5だけ辺が回転することがわかります．
この星型５角形を5/2と書くのは，2x360°/５＝360°/(5/2)だからです．
この星型５角形が頂点で5つづつ集まる｛5/2，5｝は，星型小12面体になります．

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■さて，この星型小12面体｛5/2,5｝は，プラトンの正多面体（正12面体）を芯にして，
その正5角形の面に正5角錐を貼りつけた形です．
同様に，プラトンの正多面体（正20面体：正12面体に双対）を芯にして，
その正3角形の面に正3角錘（正4面体）を貼り付けてできる形は，
星型大12面体{5/2,3}と呼ばれます．これら2つの星型は，ケプラーの星型多面体とも呼ばれます．
序に，この2つの星型に双対な,{5,5/2}，{3,5/2}はポアソンの星型と呼ばれます．
■星型小12面体は，五芒星の面Fが12枚，稜の数Eが30，頂点の数Vが12ですので，
F-E+V=－6（我々の知っているオイラーの多面体定理では2）となります．
これは星型小12面体の空間が，球の位相と異なり，穴が4つ空いた浮輪と同じ位相であるためです.

■正多面体とは，多面体のすべての面が同じ正p多角形で，かつ，
すべての頂点の周りの状態は同じで，正ｐ多角形がq個集まっているものです．
このような正多面体をシュレーフリの記号で｛p,q｝と書きます．
凸の正多面体には，正4面体｛4,4｝，正6面体｛4,3｝，正8面体｛3,4｝，
正12面体｛5,3｝，正20面体｛3,5｝の5種類があり，プラトンの正多面体といわれます．
多面体の面を頂点に，頂点を面に換えた新しい多面体は，元の多面体と互いに双対とよばれます．
すなわち，｛p,q｝と｛q,p｝は互いに双対です．
凸の条件を外して正多面体を考えると，次の４つの星型正多面体があります．
｛5/2，5｝，｛5，5/2｝，｛5/2，3｝，｛３，5/2｝です．
前者２つは互いに双対，後者２つは互いに双対です．
正5/2角形の面とは，正5角形の頂点を１つ飛びに結んでできるいわゆる五芒星です
（五芒星の辺をたどると，辺の向きが2回転して五芒星が閉じる）．
頂点の周りに5/2個の正多角形が集まるとは，頂点に集まる5個が，
五芒星の辺のように2回転して初めの正多角形に戻るわけで，
入り組んだ凹部ができます．以下に4つの星型をリストアップします：
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星型正多面体，星型の芯になる正多面体，星型の頂点を結んだ枠が作る正多面体
｛5/2，5｝　　　　正12面体　　　　　　　正20面体
｛５，5/2｝　　　 正12面体 正20面体
｛5/2，3｝　　　　正12面体　　　　　　　正12面体
｛３，5/2｝　　　 正20面体　　　　　　　正20面体
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