星型小12面体(ケプラーの星型)

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数学月間SGK通信 ［2017.03.21］ No.159
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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ダ・ビンチの星型のうち，星型小12面体の話をしました．
これは，庭園美術館，朝香宮邸，姫宮の部屋の照明に使われている星型です．

もうすこし詳しく星型について，取り上げます．
http://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/566714/02/17957102/img_0_m?1489885670
左の図は五芒星で星型多角形，右の図は正5角形で凸多角形です．
左の星型は5/2角形，右の正多角形は5角形と記されますが何故でしょうか．

頂点Aから出発して，五芒星の辺をたどるとA→C→E→B→D→A，
星型が閉じるまでに，辺の向きが2回転します．
つまり五芒星では，１つの頂点での辺の向きの回転角は，2×360°/5　です．
比較のために，正五角形の場合は，1つの頂点で360°/5だけ回転することを思い出しましょう．
この星型多角形を5/2と書くのは，2x360°/５＝360°/(5/2)だからです．

http://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/566714/02/17957102/img_1_m?1489885670
この星型多角形が頂点で5つづつ集まる｛5/2，5｝は，星型小12面体になります．
この星型は正12面体をコア（芯）にして，各正5角形の面の上に正5角錐が乗った形です．
星型の頂点は12個あり，正12面体の面に対応しますから，12個の頂点を結んでできる正多面体は
正１２面体に双対な正20面体です．

■さて，この星型小12面体｛5/2,5｝は，プラトンの正多面体（正12面体）を芯にして，
その正5角形の面に正5角錐を貼りつけた形でした．
同様に，プラトンの正多面体（正20面体：正12面体に双対）を芯にして，
その正3角形の面に正3角錘（正4面体）を貼り付けてできる形は，星型大12面体{5/2,3}と呼ばれます．
これら2つの星型は，ケプラーの星型多面体とも呼ばれます．
序に，この2つの星型に双対な,{5,5/2}，{3,5/2}はポアソンの星型と呼ばれます．

■星型小12面体は，五芒星の面Fが12枚，稜の数Eが30，頂点の数Vが12ですので，
F-E+V=－6（我々の知っているオイラーの多面体定理では2となるべき）となります．
これは星型小12面体の空間が，球の位相と異なり，穴が4つ空いた浮袋と同じ位相であるためです．