ブログ倉庫

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
数学月間SGK通信 ［2014.10.14］ No.033
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
大阪大学理学部数学教室は，
現代数学の様相と数学研究の実際，自然科学や社会科学に及ぼす数学の影響，
文化としての数学の在り方などについて，多角的な視点から易しく解説する公開講座を，
高校生を対象に夏休みのこの時期に開催しています（ オープンキャンパスも同日実施されます）．
まさに数学月間の模範になるイベントで，毎年，杉田洋教授より情報を頂きSGKのwebに掲載しています．
今年のテーマは，“多面体の不思議”でした．
2014年8月12日（火），10:00～12:00
会場：大阪大学豊中キャンパス　理学研究科 D棟 D307教室
講師：村井 聡（情報科学研究科情報基礎数学専攻　准教授）
毎年，興味深いテーマが選ばれ，私も参加したいと思いつつまだ参加できずにおります．
今回のイベントでは受講生が殺到し,準備した教室に定員の2倍近い人（約100人）が
集まり，来年は教室の選択を考える必要がありそうと伺っております．
（以下は私の勝手な解説ですみません）．
-----
多面体はとても古くから考えらてきた図形で、紀元前のギリシャ時代には既にその性質が調べられていました．
多面体で基本的な定理は，オイラーの定理V+F-E=2（３次元）が有名です．
これを使うとプラトンの正多面体（凸多面体）が５つというのがすぐ証明できます．
正多面体というのは，面が１種類の正多面体でできており，どの頂点のまわりの状態も同一なものです．
正多面体の記述は，定義の本質を捉えているシュレーフリの記号を用います．
正p角形が頂点にq個集まっている（同じことだが辺がq個集まっている）状態は，{p,q}と記述されます．
３次元の多面体は，面が３個以上集まらないと作れませんし，面が正３角形の場合には，
６個集まると平面になってしまいますので，正3角形の面をもつ凸多面体は，{3,q}，q=3,4,5しかありません．
q=3の場合は正4面体，q=4の場合は正８面体，q=5の場合は正20面体です．

全ての面が合同な正3角形であるが正多面体でないものまで数えると8種類になり
これらをまとめてデルタ多面体と呼びます．
1種類で空間を隙間なく充填できる正多面体は立方体だけですが，
2種類の組み合わせで空間を充填できる正多面体は，正4面体と正8面体です．
結晶学では良く知られていることですが，面心格子と体心格子というのも立方体と同じ対称性を持ち，
それぞれのウイグナー-ザイツ胞（デリクレ胞とも言う）は，それぞれ菱形12面体，切頂正8面体になります．
数学と諸科学［科学や造形］の関わり合いで現れる多面体の性質は，非常に興味を惹く話題です．

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
数学月間SGK通信 ［2014.10.07］ No.032
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
「化学の日」10月23日は，化学4団体（日本化学会，化学工学会，日本化学工業協会，新化学技術推進協会）が
昨年制定しました．その日を含む月曜日から日曜日までの1週間が「化学週間」です．
もちろんこれはアボガドロ数6.02×10^23に因んでいます．
これも米国が先でNational Mole Foundationが10月23日をMole Dayと定め，
10月23日6時02分にイベントを行うなど色々な活動が盛んだそうです．

日本の「化学の日」初年度の今年は産官学一体となって，化学の普及活動が国民亭イベントとなるように
呼びかけています．我々の「数学月間」もこのような取り組みが必要で，「化学の日」の経緯は手本になります．

*****以下は，化学と工業,Vol67-9,2014,玉尾皓平氏（日本化学会前会長）の記事からの抜粋です*****
◆2年前の会長就任時に提案した2つの具体的提案を紹介します。
「全国一斉オープンキャンパス」：これが 「化学の日」と直結する提案です。
各大学. 研究機関や化学企業で独自に行っているオープンキャンパスやオープンファクトリーを，
「化学の日」「化学週間」にできるだけ 曰程を合わせて一斉に実施いただくことで，
国民的イベントとして認知度を高めようとの取組みです。
「『夢・化学-21』の全国統一ブランド化」： 「夢・化学-21」キャンペーンの強化策として，
そのロゴマークを意匠登録し，上で述ベたようなこれまでのすべての化学啓発活動にロゴマークを付して
ビジビリティの向上を目指すものです。

いずれもいわば全国区の活動ですが，期間限定型で集中的に盛り上げる企画と，
通年活動型で全国津々浦々いつでも「夢・化学-21」ロゴマーク付きのイベントが行わ れている，
という性格の異なる活動を2つ準備し，足並みをそろえて最大の効果を狙おうとする点が特徴です。
提案4団体だけではなく，経済産業省や文部科学省，さらにはマスコミ関係者の賛同も得ており，
産学官一体となった初めての本格的な取組みで，化学の啓発活動，
市民権獲得にとっての決め手となるものと期待しています。

◆「化学の日」「化学週間」のイベントは？
「化学の日」を長く定着させるためには. 活動現場に新たなロードを課さないことが 重要と考えます。
新たに企画するのではな くて，現在行われているイベントの開催日 をできるだけ「化学の日」「化学週間」
の日程に合わせていただくことで.最大の効 果を上げようとの考えです。
すでに，各支 部や産業界に対して，日程調整のご協力を お願いしています。
ただ，初年度の今年は，「化学の日@開成学園」「化学週間@東京大 学」「子ども実験ショー@近畿」
などのキックオフイベントを企画中です。
また，各種一般紙や月刊誌「ニュートン」「化学」「現代化学」「子供の科学」などへの
PR記事掲載の企画も進んでいます。

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
数学月間SGK通信 ［2014.09.30］ No.031
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
地震に関心が高まっていますが，地震は地殻の破壊現象ですから
いつポッキリ折れるか予言できないように文字通りの予知はできません．

◆地震の規模（マグニチュード）M
まず，地震のマグニチュードMとは何でしょうか？
これは地震のエネルギーEの対数です．
大体，地震のエネルギーの大きさの桁と思ってよいでしょう．
リヒターが当初発案したマグニチュードの定義は，
震央から100kmに設置したと仮想した，特定な型の地震計で
観測される最大振幅の対数でした．しかし，現在では
もっと理屈に合ったモーメント・マグニチュード
（あるいは気象庁マグニチュード）が採用されています．

◆可能な最大地震
地震で解放されるエネルギーは，生じた断層面の面積と
その平均変位とその付近の地殻の剛性の積です
（大雑把にいえば生じた断層の長さに比例します）．
地殻に溜まった歪エネルギーが地震で解放されるわけですが，
断層の長さが長い方が解放されるエネルギーは大きいし，
地殻の剛性が大きいほど大きな歪エネルギーが蓄えられます．
これらから起こりうる地震の最大エネルギーを見積もると
M9.5程度と考えられています
（1960年のチリ地震ではM9.5が観測されている）．

◆べき乗則
地震の規模（マグニチュード）Mと発生頻度（回/年）ｎ
の間に　n=10^(a-bM)　の関係があります．
これはグテンベルクとリヒターが発見しました．
a,bはその地域の地殻の特性を表す定数でが，b≒1ですので
地震のマグにチューﾄﾞが1つ大きくなるごとに，地震の回数は1/10に減ります．
だからこれをべき乗則と言います．

地震の規模Mには最も発生しやすい典型というのがありません
（釣鐘型の正規分布ではありません）．
大きな地震は少なくなりますが，M=9あたりも起こり得るし，
そんな巨大な地震に見舞われると壊滅的なダメージです．
従って，頻度は小さいけれど致命邸なダメージとなる巨大地震が起きても
被害が最小となるように備える必要があります．原発は止めましょう．

クリーン・ルームのチリのサイズ分布もべき乗則だと言われています．
もし正規分布のように頻度の高いサイズがあるなら
そのサイズのチリの発生に注目した対策ができるのですが
べき乗則では特別な対策は困難です．

◆分布関数を求める実験
凍ったジャガイモを投げて砕き，破片のサイズ分布を調べた人が居ます
（南デンマーク大，1993年）．ここでもべき乗則が確認されました．
スパゲッティやクラッカーを砕くとどのようなサイズ分布になるか
実験した話が今年の数学月間懇話会で中西達夫さんからありました．

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
数学月間SGK通信 ［2014.09.23］ No.030
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
◆今年のとっとりサイエンスワールド2014（矢部敏昭会長）が
9月21日（中部，倉吉）で無事終わりました．例年のように
8月31日（東部，鳥取），8月2日（西武，米子）の計3回開催され
各回,1000人に達する参加者が集まりました．
スタッフも先生方100人＋高校生ボランティア60人の規模です．
8年目ですが，小さい子供から，両親，お年寄りまで，楽しみに集まる
算数イベントに定着しました．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/81/16147181/img_0?1411477332

◆万華鏡は，各会場でそれぞれ異なる3角形の鏡の組み合わせを作りました．
西部110人，東部160人，中部110人用意しました．
鳥取でやったけれど倉吉にまた来たという小さい小学生もいたり，
彼女はすっかり内容を理解していてもうベテランです．大したものだ．
鏡の組み合わせが作る3角形が変われば，違うタイル張り模様が見られることを
知ることが眼目なので，色々な鏡の組み合わせの万華鏡や，
多面体が立体的に見える万華鏡などの展示物も用意して行きます．
これらの内で，2枚鏡の万華鏡の人気が高く
来年のリクエストとして聞いておきました．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/81/16147181/img_2?1411477822
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/81/16147181/img_3?1411477822

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
数学月間SGK通信 ［2014.09.16］ No.029
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
読者の皆様へ．
8月19日（025号）からまぐまぐの遅配が続いています．
特に，026号，027号はまだ配送されていない方があるようです．
届かない方がありましたら，ご一報ください．
これらの号では多面体に関する話を続けています．
メルマガ更新は毎火曜日の朝7:00に行っておりますので，
以下のサイトでもご覧になれます．
http://blogs.yahoo.co.jp/tanidr/folder/545271.html　あるいは
http://sgk2005.sakura.ne.jp/htdocs/?page_id=32
－－－－－－－－－－

◆4次元の正多面体は6種あるのですが，
3次元以上が見えない私たちには理解が困難です．
色々な図や説明が種々の本やwebで見られますが，どれもしっくりしません．
結局，4次元の正多胞体6種を最初に見つけたシュレーフリの説明が
最もわかり易いようです．（コクセター［幾何学入門］や
ヒルベルト，コーン・フォッセン［直観幾何学］に載っています）．
さて，このようなものを記述するシュレーフリの記号というのは
大変良くできています．この記号の仕組みを理解することが結局
4次元の理解に直結します．シュレーフリの記号を単純な図形で見てみましょう．

◆3次元の正多面体の例
面（2次元）が頂点（0次元）で3つ以上集まらないと立体（3次元）はできません．
シュレーフリの記号は以下のようです．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/41/16122741/img_0?1410817831
（１）正4面体　　　　　　　　　{3,3}←シュレーフリ記号
正3角形の面（2次元）が頂点（0次元）で３つ集まっている．
（２）正6面体（立方体）　　　　{4,3}←シュレーフリ記号
正４角形の面（2次元）が頂点（0次元）で3つ集まっている．

正多面体が記述の対象ですから，どの頂点まわりの状態も同じです．

◆4次元の正多面体の例
胞（3次元の多面体）が辺（2次元）で３つ以上集まらないと
4次元の立体はできません．
シュレーフリの記号は以下のようです．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/41/16122741/img_1?1410817831
（１）正5胞体　　　　　　　｛3,3,3｝
3次元正4面体｛3,3｝が辺（2次元）で３つ集まっている．
（２）正8胞体　　　　　　　｛4,3,3｝
3次元正6面体｛4,3｝が辺（2次元）で３つ集まっている．

正多胞体なので，どの辺まわりの状態も同じです．

（参考）　　｛4,3,4｝　というのはどのようなものでしょうか？
これは，3次元正6面体が辺のまわりに４つ集まっている状態ですから
角砂糖を頂点を合わせて無限に積み重ねたような状態．
これは3次元空間の中で無限に続く立方格子です（３次元で納まってしまいます）．

◆双対図形について
3次元の正多面体｛p,q｝の双対図形は｛q,p｝です．
｛p,q｝：正p角形の面が頂点でq個（辺がq本）集まっている．
この図形で面を頂点に変えた図形は，｛q,p｝となります．
同様に，｛p,q,r｝の双対図形は｛r,q,p｝になります．

◆4次元のイメージの万華鏡
雰囲気だけです（色々工夫していますが残念ながら困難なようです）．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/41/16122741/img_2?1410817831
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/41/16122741/img_3?1410817831