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数学月間SGK通信 ［2015.03.10］ No.054
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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今回はホットなニュースです．
■錯視のシンポジウム
http://cmma.mims.meiji.ac.jp/…/jointrese…/demosillusion.html
International Symposium on Psychological vs Mathematical Approaches to Optical Illusion
が，明治大学中野キャンバスで，2015年3月4-6日に開催されました．
興味があるテーマでしたので多くのセッションを聞きたかったのですが，
私の時間の許す5日の14:00~17:20のセッションだけ参加しました．
https://www.facebook.com/sgk2014?fref=nf
注）
3月12-14日に明治大学駿河台キャンバスでサテライトミーティングがあるようです
http://www.mims.meiji.ac.jp/seminars/another/2011/20120313.html
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聴講したセッションの座長はYasushi Yamaguchi,
講演は次の3件；
Masanori Idesawa, A model for explaining tha anomalous motion illusion.
Akiyoshi Kitaoka, Color-dependent motion illusion in stationary images:
What causes illusory motion?
Stuart Anstis, Illusion of motion perception.
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会場は，明治大学中野キャンバス，5Fの新しい楕円型の階段ホール．
参加者は若者が多く４０人程度であった．この国際シンポジウムのオーガナイザーは，
Kokichi Sugihara(明治大学), Akiyoshi Kitaoka(立命館大学)です．
注）
明治大学は，2008年度，「現象数理学の形成と発展」グローバルCEOプログラムに採用された．
数学系では，東京大学，京都大学，九州大学，明治大学が採択されている．
大学院先端数理科学研究科，現象数理学専攻は2011年に開設，2013年に中野キャンバスがオープンした．
明治大学には錯視美術館（大学と少し離れた淡路町）があり，毎週土曜日だけ開館している．
博士前期課程では，学生1人に対し正副3人の指導教員が広がりを持った研究指導を行う．
後期課程では，学生の研究テーマに応じて，モデリング，シミュレーション，
数理解析の3分野から1人づつ計3人の指導教員がチームを組んで多角的な研究指導を行うという．
現象数理学は，微分方程式のモデルで定量的に記述し，コンピュータでシミュレーション．
分岐理論でなぜ違いが生じるのかを理解する．金融工学，進化ゲーム理論，錯視の仕組みなどが，
数理モデリングを通じて理解ができる．修了後の進路は，
ビッグデータを扱うIT系企業，金融機関，教員など．米国の例では，
投薬タイミングなどを分析して医師らにアドバイスする病院ポストなどまで広範である．

2006年の文科省科学技術政策研究所「忘れられた科学－数学」で
数学と他分野との共同研究実施に向けた体制整備が叫ばれた．
数学と諸科学の連携研究は，米国MAMでも盛んに報じられており，
活発化している数学の分野である．これが純粋な数学と呼べるかの疑問はさておき，
高性能のコンピュータと数値計算の発展により可能となった新しい分野である．
エネルギー散逸のない系を記述するオイラー=ラグランジュ方程式は存在するが，
その大部分は解けない（関数で書けない．非可積分という）．
学生時代に教科書で扱ったのはごく特殊なケースなのだ．
これらをコンピュータを用いて数値的に解くことになる．
安定軌道がなくカオス的で分岐が生じる現象が注目される．
同様にビッグデータを解析する統計学でもコンピュータが活躍する．
日本数学協会が，６月7日午後に予定している講演会（於大東文化大学）
「ヒトとモノづくり数学－10年目の数学月間」でも，
数学月間の経緯と並べて錯視を取り上げることになっている．
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■静止画なのに動きを生じる錯視
見ているのは静止画なのに動きが出る（なぜ時間の要素が入る）のか？
と不思議に思うでしょう．見る側に原因があります．目の空間認識は，
TVのようなラスタースキャンではないが，サッケード運動，ドリフト，
中心視と周辺視の切り替わり，網膜の周期的なリセット，等々により，
これらは時間の関数だからです．私は形の認識の仕組みに興味があります．
図形の対称性を見て快いと感じるのは，単純なサッケードになるからだろうと考えていました．
そして今回，これは錯視と表裏一体の現象であると気付きました．図形の認識にかかわる
測度量で時間の関数であるものが，動きのある錯視を生む原因になるようです．
動きを生む錯視にも色々あります．北岡の回転する蛇に見るように，
黒/暗灰/白/明灰/黒/･･･の明暗のストライプで，白から黒の方向に動くように見える現象が，
色相のストライプでも起こり，周囲が明るいときと暗いときでは動く方法が逆になる．
このようなデザインは処々で活用されています．
http://www.ritsumei.ac.jp/~akitaoka/rotate.html
同じものを見ていても，全域的回転を認識するか局所的回転を認識するというように
注目現象が異なることがあります．どちらかを認識すると他方は見えないのです．
これは亜群の集合で核となる部分集合をどれに定義するかの問題と類似しています．
■青・黒ドレスの色が変わる
動きは生じない錯視の例として，青・黒の横縞のドレスが白・金の横縞に変わるのが，
このシンポジウムの紹介を兼ねて3月4日の夕方のTVニュースで取り上げられました．
youtube動画やtwitterなどで，この原因が，右脳，左脳による個人差だというような
説が流れていますがそれは嘘です．周囲の明るさに依存して変化するのです．
色相変化ではγ特性が効いています．
宮澤賢治が注文の多い料理店序文で「はたけや森の中で、ひどいぼろぼろのきものが、
いちばんすばらしいびろうどや 羅紗 や、宝石いりのきものに、
かわつているのをたびたび見ました」と言いましたが，これは錯視ではありません．
でも黄昏の光できものの模様が変わって見える錯視はあることでしょう．
フィルタリングや非線形γ特性などは，画像処理で日常使われているものですが，
これらも錯視を生む場合があります．
Stuart Anstis(University of California)は，動きを生む錯視の原理が理解できる例を
以下に掲載しています．http://anstislab.ucsd.edu/illusions/

■2重振り子（振幅の大きいとき）

微小な振幅であるならば，解析的な解があり，あまり複雑でない周期的な運動になることを前回に学習しました．
しかし，振幅が大きくなると，ラグランジュ関数 L の近似ができませんので，ラグランジュ方程式は解けません．
しかし，将来，誰かが巧妙な方法で解くのではないかと期待し，最悪そのような解析的な解は存在しないとしても，
振動範囲が小な場合と本質的に大差はないのではないかと想像するのが自然なことでした．
系のラグランジュ関数 L は全く正しいし，ラグランジュ方程式も正しいのですから，
解析的に解けないと言っても心配ないのではと思うでしょう．

しかし，実験ではとんでもない現象が見られました．
コンピュータを用いた計算が高度になり，力ずくで動きのシミュレーションがなされるようになりました．
正しい方程式は実在するのですから，関数による軌道記述は出来なくても，動きは逐一決定されるはずです．
しかし，初期条件（初期値）により，予想もつかない挙動が見られます（カオス）．

◆第１の動画は実験
スタートする初期値によって運動の様子は異なります：

◆第２の動画はシミュレーション
Double Pendulum Chaos Light Writing (computer simulation) 1

■2重振り子（振幅の小さいとき）

図のような2重振り子の運動です．今回は物理演習のようになりましたが，
数式に囚われる必要はありません．重要なのは，振幅が小さい範囲なら
運動は線形の微分方程式に近似できるので，2種類の周波数の振動が重畳
された運動になる．つまり，関数で記述できる安定な周期的な運動になる
という事です．そして，これに対比される次に話題になる振幅の大きい
2重振り子運動では，運動は関数で記述できず，予想もつかない
とんでもない運動をするということです．

◆それでは，振幅の小さいときの2重振り子の学習をしましょう．
ここでは，ラグランジュ関数やラグランジュ方程式を説明せずに用いています．
これらを学習したい方は，EMANの物理学などが参考になります．

 

 

 

 

 

 

 

 

m1の座標は

 

 

これは，Oから釣り下がる長さ l の糸と
mから釣り下がる長さ l₁ の糸の和であるからだ．

この2重振り子のラグランジュ関数Lは

 

 

 

 

Tは系全体の運動エネルギー，Uは系全体の位置エネルギー
解Φ，ψ を求めるには，次のラグランジュ方程式を解かねばならないのだが

 

 

 

 

解析的には解けない（関数で記述できる解がない）ので，
Φ，ψ の振動範囲を微小に制限して（Φ，ψの2次までを残す近似），

 

 

 

この近似した L=T-U を用いて，ラグランジュ方程式を解く．
これは解けるのだが物理の演習問題なので（参考）に示し，結論だけ述べる．
結論
Φ, ψ は，以下の2つの固有ベクトル（基準振動）の重畳（線形結合）で表せる．　

 

 

 

微小振動の範囲では，Φ，ψは，それぞれ２つの固有振動の重ね合わせであるということは，
それほど複雑な振動ではない．いずれにしろ周期的な振動である．
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
（参考）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

続く⇒　振幅の大きい場合

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数学月間SGK通信 ［2015.03.03］ No.053
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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3月になりました．皆様，お元気にお過ごしでしょうか．
母が救急車で入院した1月には，硬い芽のようだった病院の梅も，
今はすっかり咲いてしまいました．白梅でした．
病院は遠方なのですが，見舞いにほぼ毎日通っています．
ここの梅の花の咲くのが見られるとは思っていませんでした．
でも，お陰様で無事に日々が過ぎています．

無限に繰り返す周期的な空間を結晶空間といいます．
このような空間を，正多面体（あるいは半正多面体）を組み合わせて，
すきまなく充填する様式を観賞しましょう．
これは立体パズルとしては難しいものですが，自然界ではめずらしくありません．
美しい鉱物結晶の構造として，結晶学の常識になっています．
空間分割の対称性，空間群の研究は，数学者ではなく
フェドロフなどの結晶学者や鉱山技師が偉大な業績を残しています．

■立方体（1種類）を積み重ねた周期空間から始めましょう．
Fig.1の4列目の最上行（右上隅）にあります．
http://blogs.yahoo.co.jp/tanidr/GALLERY/show_image.html?id=16535749&no=1
（これらの図はPOV-Ray，v3.7を用いて作成しています）

1列目の図は，立方体と正8面体を重ねて表示したものです．
これらの2つの正多面体は互いに双対*の関係にあります．
（*立方体の面を頂点に，頂点を面に変えたものが正8面体）
立方体のサイズを固定して，正8面体のサイズを連続的に変化してみましょう．
第1列の上から下へ，正8面体のサイズを徐々に小さくしています．
そのとき，立方体と正8面体の共通部分として得られる半正多面体が第2列．
これら半正多面体の名前をシュレーフリ記号*で書くと，
第2列の上から順に［3,8,8］,［3,4,3,4］,［4,6,6］です．

*)記号の見方：例えば［3,8,8］は，頂点のまわりが，
正3角形，正8角形，正8角形で囲まれているという状態です

■第3列は，それぞれの多面体を2次元に配列させて作ったシート．
第3列の上段図には小さい正8面体，中段図には大きな正8面体を立てる穴が，
下段図では，正８面体ではなく同じ半正多面体［4,6,6］用の穴ができます．

■第4列に，空間を隙間なく埋め尽くす正多面体の組み合わせを示します．
第4列の最上段図は，立方体のみでできる配列．
立方体だけで隙間なく空間を充填した構造は単純格子といいます．
第２，第３の行に，正8面体の穴に正8面体を詰めて空間を充填する様式を示します．
これらも格子としては単純格子と同じです．
第４の行は，多面体［4,6,6］のみで空間を充填できることを示します．
このとき出来上がる構造は体心格子と呼ばれます．

■ペロブスカイト（CaTiO3）構造
Fig.1の下から2行目の配列構造を見てください．
正8面体と［3,4,3,4］多面体の組み合わせで，空間が充填されています．

Fig.2
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/79/16539279/img_3_m?1425130572
正8面体の中心にTi原子，［3,4,3,4］多面体の中心にCa原子，
各多面体の頂点にはO原子を配置すると，ペロブスカイトの結晶構造が得られます．

余談ですが，この構造は，強誘電体や超伝導物質と係わりがありますし，
地球マントルの高密度物質の構造とも係わりがあります．

■ダイヤモンド構造
Fig.3
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/07/16541407/img_0_m?1425310851
こんどは，正8面体の稜を共通にして，平面シート状に並べます．
もちろん，正8面体だけでは空間の充填は出来ませんので，
正4面体の隙間がたくさんできます．正4面体の隙間はFig.3の緑のシートが
積み重なったようになり，頂点で８つの正4面体がつながり（シートが重なるため），
正4面体と正8面体の比率は2:1です．
空間の充填パズルはこれで正解なのですが，ついでにダイヤモンド構造を作ってみます．
Fig.4
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/07/16541407/img_1_m?1425310851
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/07/16541407/img_2_m?1425310851
正8面体（間隙）を取り囲む緑の正4面体の半分だけ使い，
各頂点で４つの正4面体がつながるようにします．
ダイヤモンドの結晶構造は， このような正4面体の配列が繰り返し，
青い正4面体の中心と頂点の位置に炭素原子を配置した構造*です．

*)正4面体の中心にある炭素原子から，4つの頂点方向に4本の結合が伸びています．
正四面体のどの頂点も4つの正4面体と規則正しくつながつているので，
正4面体の頂点の炭素原子からは，周りの４つの正4面体の中心にある炭素原子に向かって，
同様に4本の結合が伸びています．

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数学月間SGK通信 ［2015.02.24］ No.052
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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球表面を平面に投影するステレオ投影
地球儀を2次元平面の地図に

■性質1:　円は円として写像される
ステレオ投影というのは，球表面の点 Z(ξ，η，ζ)を，
北極 Nと結んで，南極 Sでの接平面 Π上の点 z=x+iyに投影することです．
N(0,0,1)，S(0,0,0)を直径とする球面の式は，ξ^2＋η^2+ζ^2=ζ　であり，
この球面はリーマン球と呼ばれます．
Z(ξ，η，ζ)は, (0,0,1）と（x,y,0）を結ぶ直線上にあるので，
ξ=x(1-ζ), η=y(1-ζ), これらを球の式に代入すると，ζ＝r^2/(1+r^2）となる.
ただし， r^2=x^2+y^2 である．　まとめると；
ξ＝x/(1+r^2) ，η＝y/(1+r^2)，ζ＝r^2/(1+r^2）
逆に解くと，x=ξ/(1-ζ)，y=η/(1-ζ)，r^2＝ζ(1+r^2）
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/95/16518295/img_2_m?1424438241
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/95/16518295/img_3_m?1424438241

平面上の任意の円の方程式は　a(x^2+y^2)+bx+cy+d=0　である．
この円の方程式の x, yに，上記の表式を代入し，
ξ^2+μ^2＝ζ(1-ζ)を用い整理すると
(a-d)ζ+bξ+cη+d=0　が得られる．
この１次式は平面を表し，球表面との交線は円となる．従って，
「平面上の円は球面上の円から投影され」この逆も成立することがわかる．
以上で証明は終わりですが，直観的な説明を補足します．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/95/16518295/img_4_m?1424438241

リーマン球上の円は平面Ωで球を切った切り口で，PQはこの円の直径です．
△NPQおよび△Nqpは，直径NSを含み，円の直径PQおよびpqを含む平面です．
図に示すように両三角形でα，βは互いに等しく，両三角形は互いに相似です．
PQを直径とする円に相似な円が，平面Π上にqpを直径として投影されるでしょう．

■性質2:　ステレオ投影は等角写像
複素関数 f が，複素平面領域 D のあらゆる点で微分可能*なら，Dで正則といいます．
*微分可能とは，どの方向からその点に近づいても同一の微分係数が確定することで，
微分係数が０や∞になる点は特異点といいます．
正則関数による写像は等角写像*です．
*写像された像が歪んでも，微小部分の角度は元の像の角度と変わらない．
ステレオ投影(複素平面からリーマン球面への写像 f )は，正則関数なので，
任意の点z0で交差する曲線の投影結果も，
それらの交差角度が保存されたまま投影されます（等角写像）．
（f(z1)-f(z0))/(f(z2)-f(z0))=(df/dz)(z1-z0)/(df/dz)(z2-z0)=(z1-z0)/(z2-z0)
ただし，z1,z2→z0 で成立．
lim arg(f(z1)-f(z2))=lim arg(z1-z2))
偏角について成立するこの式は，微小領域で写像による角度が保存されることを示す．
Fig.1に示した横倒しの地球儀のステレオ投影の様子を見ると
平面に投影した地球の下側半分の子午線は，大変歪んでいるが
互いに直交している状態は変わっていないことがわかる．

■諸科学への応用
等角写像は工学の色々な分野で利用されている．
色々な境界条件に合うようにする等角写像は，流体力学で活躍している．
何度でも微分可能であるという複素関数の性質も
我々の身の回りの現象を記述する方程式で頻繁に利用されている．

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