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数学月間SGK通信 ［2014.09.09］ No.028
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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◆プラトンの正多面体は5種類あります．
これら5種類の正多面体の対称性を考慮して
方位を合わせ重ね合わせた図が以下のものです．
この図のように２つの正多面体を重ね合わせると
それぞれの多面体の対称性で共通なもの（共通部分群）が残ります．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/30/16103930/img_0?1410092475

◆黄鉄鉱FeS2の結晶は，色々な外形（晶相）のものが見られます．
黄鉄鉱は愚者の金とも言われ金色できれいです．
私は，川底に金色の砂がキラキラ光って貯まっているのを見つけて
採集したことがあります．1mm程度の結晶粒ですが
皆整った多面体の形をしていました．
結晶の外形は，正6面体，正8面体，正5角12面体が基本で，
ミラー指数で言うと，正6面体は結晶面(100)面，
正8面体は(111)面，正5角12面体は(210)面で囲まれています．
このほかに，これら正多面体の切頂多面体も見られ，
また，他の指数の面(211)，(321)が加わった複雑な多面体もあります．
多面体の形が連続的に変化することを示す良い自然の手本です．
黄鉄鉱の結晶は立方対称の内部構造（原子の配列）ですが，
結晶粒の外形は，どの指数の面が大きく成長するかによって変わります．

◆そこで，昔読んだ記憶のある砂川一郎の論文（1957）を
再度見てみました．奈良県や島根県にある絹雲母の鉱床や凝灰岩の
母岩中に晶出した黄鉄鉱の結晶粒の大きさと形の統計を述べています：
「小さい結晶粒では正6面体，大きい結晶粒では5角12面体の外形が多い」
晶相の変化を起こす機構は大変複雑で一概に言えませんが，
黄鉄鉱結晶の成長に伴って大きく成長する面が，
正6面体の面（100）→正8面体の面（111）→5角12面体の面（210）
と変化し晶相が変る．これは結晶面の性質と母岩（絹雲母化）との
化学的反応がかかわっているらしい．
◆今回，砂川一郎の論文中の図が，
Tシャツとして博物館グッズになっていることを知りました．
http://ameblo.jp/hakubutufes-sub/image-11876822744-12970852035.html

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数学月間SGK通信 ［2014.09.02］ No.027
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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「とっとりサイエンスワールド」in鳥取市（8月31日）に参加しました．
とっとりサイエンスワールドは今年で8年目になり，小さい子供から
お年寄りまで楽しめる市民イベントとしてすっかり定着しました．
学生ボランティア54人（短大・高45人，中9人）を含む先生方150人のスタッフで
運営され，大変さまざまなワークショップがあります．
私は万華鏡のワークショップで参加しました．
1時間のクラスを5回実施し，160人が自分の万華鏡を作りました．
イメージ 1,2
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/03/16089803/img_0?1409575636
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/03/16089803/img_1?1409575636

◆今年，鳥取市で作ったものは，3枚鏡が作る3角形の角が，90°ー36°ー54°のものです．
交差する2枚の鏡が反射を繰り返し生じる結果が群をなすのは
2枚の鏡の交差角が360°を偶数で割り切る角度のときです．
通常の万華鏡はそのような鏡の交差角に設定されます：
例えば，60°(360/60＝６）．36°（360/36=10）などです．
これは，1817年のブリュースターの万華鏡の特許にも記載されています．
群をなすときには生じる映像は規則正しく美しく見えます．
しかし，今回作成した万華鏡は，3角形の１つの角の交差角だけが
54°（360/54＝6.666）と偶数で割り切れません．
このような角度に対応する所はどのような映像が見られるでしょうか？
数学では3周回ってもとに戻る（360°×3）ような空間を想像しても良く，
そのときは10回回転対称が完成するのですが，
実際の物理的な空間の光はそのようには回ってくれません．
他の2つの角の所では規則正しい映像になるのですが，
この角度の所だけ秩序が乱れることになります．
昨年のサイエンスワールドから，このようなシリーズの万華鏡を作っています．

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数学月間SGK通信 ［2014.08.26］ No.026
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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この所，正多面体による空間の充填などを見てきました．
今回は，最密充填構造の話です．以下の本が参考になります：
ケプラー予想，ジョージ・G・スピーロ（青木薫訳）新潮社

◆ケプラー予想とは：
「3次元空間で最も高密度に同じ大きさの球を充填した状態は，
１つの球のまわりを12個の球が取り囲む状態で，
その空間充填率は74.04％である」というものです．
これは，結晶学では最密充填構造として常識になっていることがらです．
立方最密充填(=立方面心格子)，６方最密充填，および，両者の混合のポリタイプは
無数にありすべて同じ充填率74.04％です．この起源は1883年，結晶学者ウィリアム・バーロウが
６方および立方の最密充填の２つの最密充填構造をネイチャーに掲載したことにあります．
バーロウは結晶空間群の数え上げ（フェドロフ，シェンフリーズもそれぞれ独立に数え上げた）でも有名です．

注：スピーロの著書p.23でバーロウの図に言及し，立方最密充填は6方最密充填とまったく同じ配置なのだ！」
と言っているのは，数学と結晶学との見解の相違．
111面（切断）が同一であるのは当たり前で，その積層様式に結晶学的違いがあるのだ．

◆ケプラー予想は多くの人が挑戦しましたが，どうやってもこれより稠密な充填構造はつくれません．
これより充填密度の高い構造はないという証明はとても難しいのです．このケプラー予想をヒルベルトは，
1900年8月，第2回国際数学者会議の講演で，未解決の23の問題（ケプラー予想は第18問題）として提起しました．
周期的に規則正しく並べる（結晶）という条件では，ケプラー予想は証明できるのですが，
不規則な並べ方まで含めてこれが最密であるということの証明はとても困難です．
正4面体でも正8面体でも正12面体でも正20面体でも，単一では空間の充填ができません．
前号で正4面体と正8面体を2:1で混ぜると周期的に空間が充填できることを示しましたが，
それは面心立方の最密充填構造にほかなりません．さらに高密度な様式はないのだろうか？
例えば，立方最密充填では1つの球の周りに6個の球が囲み，上の段，下の段に3個づつ球が接します．
上下の3角形が点対称であるような配置が立方最密充填，
上下の3角形が周りを囲む6角形を鏡として鏡映対称であるような配置が6方最密充填です．
このような１つの球のまわりに12個の球が配置する構造と言っても，次のようなものがあります．
中心球の赤道面の上側から5個の球，下側から5個の球が接し，上下の正5角形が点対称に配置し，
さらに，中心球の上下に球が1個づつ配置するのも12個配置です．これは正20面体配置と呼ばれます．
しかし，この配置は局所的には充填密度が高いが，正20面体だけでは空間の充填ができません．
どうも数学的にエレガントな証明は無理なようです．

◆ケプラー予想の証明は，トマス・ヘールズ（ミシガン大学）によってコンピュータを用いた
しらみつぶし法で完成したということです．ケプラー予想（1611年「六角形の雪について」
という友人向けの小冊子にあるという）から400年近く経過した1998年のことです．
ヘールズはドロネーの四面体分割を基礎に，シンプレックス法で計算されました．
評価関数を導入して，密度の低い配置は減点，密度の高い配置は加点を繰り返すものです．
300ページもあるヘールズの論文は，トート（Toth）ら審査員12人が4年かかってチェックしましたが
最後まで詰められず99%正しいと報告されました．
そこで，2003年にヘールズ自身が証明支援ツール（HOL Light，Isabelleなど）を使い
チェックを始めやっと証明できたと言います．コンピュータを用いる証明は「4色問題」の時にもありました．

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数学月間SGK通信 ［2014.08.19］ No.025
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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お盆休みも終わりました．皆様お元気でお過ごしのことと存じます．
お知らせがあります．今までバックナンバーをまぐまぐにすべて公開していましたが，
お盆休み中に，公開は最新号のみに変更しました．
バックナンバーをご覧になる場合には，
ブログ：http://blogs.yahoo.co.jp/tanidr/　あるいは，
公式HP: http://sgk2005.sakura.ne.jp/　で
メルマガ倉庫の項目をご覧ください．

◆今回は，空間を隙間なく充填できる正多面体についての話です．
正６面体（角砂糖の形）が隙間なく積み重ねられ空間を充填する
ことはご存知でしょう．
◆それでは，正４面体，正８面体はどうでしょうか？
どちらもそれだけでは隙間なく空間を充填することはできません．
しかし，正8面体と正4面体を1:2の比率で混ぜると
周期的に空間を隙間なく充填できます．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/78/16052778/img_1?1408372931

http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/78/16052778/img_2?1408372931
このパズルは,osa工房，小梁さんが販売しています．
さて，幾何学的にこのようなうまい構造を思いつくのは
特殊なことなのですが，
自然界でこのような空間充填構造はたくさんあります．
結晶学では，ダイヤモンドがこのような構造であることは
古くから知られています．半導体で知られるシリコンも
ダイヤモンド型結晶構造です．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/78/16052778/img_3?1408372931

他の例では，ペロブスカイトと言う鉱物があり，
常温超伝導などの多くの有用な材料がペロブスカイト型の結晶構造です．
正8面体が骨組みを作っています．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/78/16052778/img_4?1408372931

◆菱形12面体はこれだけで空間の充填ができる多面体です．
菱形12面体は，面心格子のウイグナー-ザイツ胞であるので
空間を充填できることは明らかです．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/62/16035662/img_3?1407801148

切頂正8面体は，体心格子のウイグナー-ザイツ胞であり
もちろんこの多面体も空間を充填できます．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/78/16052778/img_0?1408372931

面心格子の格子点に原子を配置した結晶構造は，銅やアルミニウムなど
多くの金属の結晶構造で知られています．
また，体心格子構造は，鉄，タングステン，セシウムなど
多くの結晶構造で知られています．

◆今回の話の眼目は，純粋に数学的に空間充填構造を導くのは
とても大変なことですが，結晶学などでは昔から知られていたということです．
自然科学の分野から数学への多くの貢献がなされてきました．
結晶点群や空間群なども化学や鉱物学で発展し数学に貢献した例です．

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数学月間SGK通信 ［2014.08.12］ No.024
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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お盆休みの時期ですが，皆様いかがお過ごしですか．
今回のメルマガは，No.023に続き多面体に関してです．

（１）多面体の分類を整理しておきます．
■正多面体
1種類の正多角形で囲まれた凸多面体です．
頂点のまわりに集まっている多角形の状態は，すべての頂点で同じです．
もちろん，辺のまわりの状態もすべての辺で同じです．
プラトンの正多面体とよばれる5種類があります．
■半正多面体
２種類以上の正多角形で囲まれた凸多面体です．
頂点のまわりに集まっている多角形の状態は，すべての頂点で同じです．
しかし，辺のまわりの状態は，すべての辺で同じとは限りません．
アルキメデスの半正多面体といい13種類あります．
（右回りと左回りを区別するなら15種類）
特に，辺のまわりの状態が．すべての辺で同じものは，準正多面体と言います．
■準正多面体（半正多面体に含まれる）
立方８面体と12･20面体の2種類があります．

（２）菱形12面体と菱形30面体について
これらの多面体は，準正多面体の双対として得られます．

http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/62/16035662/img_0?1407764464

■菱形12面体と菱形30面体を万華鏡で作ろう

http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/62/16035662/img_1?1407764464

http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/62/16035662/img_2?1407764464

■菱形12面体は空間を充填できる
実は，菱形12面体は，立方面心格子のウィグナー=ザイツ
（あるいはデリクレ）胞に他なりません．

http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/62/16035662/img_3?1407764464