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数学月間SGK通信 ［2014.08.05］ No.023
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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皆さま如何お過ごしでしょうか？書中お見舞い申し上げます！
現在，数学月間(7/22～8/22)の期間中です．暑い最中ですが
数学月間懇話会(7/22)，とっとりサイエンスワールドin米子
も無事終了しました．

■プラトンの正多面体

正多面体とは，次の（１），（２）を満たすもので，
特に凸多面体がプラトン正多面体と呼ばれる：
（１）すべての面が同一の正多角形でできている
（２）すべての頂点まわりの状態は同一である
従って，正p多角形が頂点まわりでq個集まっている正多面体は
{p,q}と表記できる．これを正多面体のシュレーフリの記号という．

http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/27/16014627/img_0?1407156023

■５つのプラトン正多面体を万華鏡で作る

上図の各多面体には鏡映対称面がたくさんあります
（煩雑になるので記入していません）．
各多面体で3つの鏡映面を選び，これを鏡とする万華鏡を作れば
それぞれの多面体の映像が見られるでしょう．
ここでは，幾つかの多面体に共通な鏡映対称面を利用して
まとめてプラトンの正多面体の映像を生成してみましょう．

http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/27/16014627/img_1?1407156023

http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/27/16014627/img_2?1407156023

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数学月間SGK通信 ［2014.07.29］ No.022
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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8月2日（土）は「とっとりサイエンスワールドin米子」です．
2014年度〔西部in 米子〕は，日本数学教育学会第96回全国算数・数学教育研究（鳥取）大会
とコラボで実施されるので，会場が例年の児童文化会館とは異なるようです．
米子コンベンションセンターにて（12：00～16：00）　

私も万華鏡で参加します．
米子では110人分用意しました．分数型の万華鏡を作製します．
以下に画像を掲載します：
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/37/15996337/img_0?1406563191

http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/37/15996337/img_1?1406563191

http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/18/15996418/img_0?1406562991

http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/18/15996418/img_1?1406562991

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数学月間SGK通信 ［2014.07.22］ No.021
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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本日は数学月間（7/22-8/22）の初日です．
22/7＝3.14....＝π　，22/8＝2.7...＝e
数学に興味を集めるようなイベントが
各地で盛んになることを応援しています．
まず初日は数学月間懇話会です．
◆数学月間懇話会（第10回）
日時●７月２２日，14:00-17:10
1.人口の集合関数としての「民力指数」
　松原望（東京大学名誉教授，聖学院大学）
　14:10-15:10
2.スパゲッテイを巡る旅，
　中西達夫（株・モーション）
　15:20-16:20
3.数学月間の狙と効用，今年の米国MAM
　片瀬豊，谷克彦（日本数学協会）
　16:30-17:10
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会場●東京大学（駒場）数理科学研究科棟，002号室
最寄り駅●京王井の頭線「駒場東大前」
参加費●無料
問合せ先●日本数学協会，数学月間の会（SGK）
sgktani@gmail.com，谷克彦（SGK世話人）
直接会場においでください（開場13:30）．ご参加お待ちしています．
17:30より構内で各自払いの懇親会も予定しています．

◆幾何学的な消滅
さて，メルマガ020に掲載した　幾何学的な消滅　のその後の記事です．
メルマガ020の図面のように作製してみましたが，
断層を挟んだ行だけが明らかに（目立って）小さくなるのです．そこで，
初期状態のこの行だけ目立たない程度大き目に作ろうかと考えていたところ，
以下の動画を発見しました．
http://youtu.be/QbpfjM0NP7Q
さすがマジシャンもうひとひねりあったのです．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/497823/11/15935811/img_2?1405950272
パーツ２は表面が（A)で裏面が（B)です．
従ってこのパーツの断面形状は台形です

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数学月間SGK通信 ［2014.07.15］ No.020
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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幾何学的な消滅

◆7×9の板で1コマが幾何学的に消滅する
これは今年の米国MAMで取り上げられたマジックです．
http://www.mathaware.org/mam/2014/calendar/areapuzzles.html

まずは，アルゼンチンのマジシャン，ノルベルトジャンセンによるプレゼンを
ご覧ください．　http://youtu.be/3PszMaZ5Ipk
7x9のエリアにタイル片が配置されています，断層に沿って滑らせ
上部の左3コラム分と右4コラム分を入れ替えると，不思議なことにタイルが１つ減ります．
この操作を繰り返すたびにタイルが1つづつ減り３つまで減らせます．
タイルが1つ減っても，2つ減っても，3つ減っても，
元通りの7x9枠内にタイルはきちんと配置され変わらないように見えます．
これは不思議ですね．どうしてタイルが１つづつ余るのでしょうか？

ビデオを観察していると，タイルが消滅する原理がだんだんわかってきます．
原理理解を助ける図を以下に作成しました．
青色の面積がだんだん減じているのがわかります．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/497823/11/15935811/img_1?1405218032

このおもちゃを作製して見ようとする方は，この原理図を参考にしてください．
数学マジシャンの使っているタイルのパーツは目地が太いですね
私の原理図には，目地はありませんが，作製するときは目地の効果も考慮すべきでしょう．
結局，断層をはさんだある行だけ，1コマ縦の長さが1/7だけ縮むので，
7コラムあるから面積としては1コマ分取り出せることになります．

◆なぜタイルが１コマ減るのか
左のコラムと右の3列を入れ替えると，１コマ減る．
１コマの高さをbとすると，断層を挟んでb/4だけ縮みます．
ただし，右端のコラムの断層ではコマ間の目地が消えるのが残念！
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/497823/96/15937596/img_3?1405215030

◆真ん中を取り除いたお札が再現できる
http://youtu.be/-h0AXeLIHqQ
お札の中心を取り除いて，裏向きにして並べると
完全な1枚が再現できたように見えます．
真ん中が消えるとは，あり得ないことが起ったように見えます．
数学マジシャンの使っているおさつの裏面には
再配列したときに完成するようなお札の裏面の絵が描いてあるので
お札が再現したように錯覚します．以下の原理図を参考に作製してください．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/497823/96/15937596/img_0?1405215030

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数学月間SGK通信 ［2014.07.12］ No.019b
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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ロンドンシティホール
ロンドンシティホールは，ロンドン市長，ロンドン議会，大ロンドン当局を収容する．
ガラスの使用と内部の巨大ならせん階段が，
透明性と民主的プロセスへの近づき易さを象徴しているようである．
外部から見たとき，最も印象的なことは，建物の奇妙な形である．

http://plus.maths.org/issue42/features/foster/egg.jpg
テムズ川にかかるロンドンシティホール．

テムズ川の土手の上に置かれて，建物は，川原の小石を思わせる．
そのまるみが再び民主的な理想を思わせる．けれども，ガーキンと同じように，
形が決められたのは，単に形のためだけではなく，エネルギー効率を最大化するためでもある．
これを実現する１つの方法は，建物の表面積を最小にすることである．
それにより，望まない熱の損失と流入を防ぐことができる． 諸君の中の数学者は，
あらゆる形の中で，体積を基準にすると，球形が最も表面積が小さいことを知つている．
これが，ロンドンシティホールが球に近い形をしている理由だ．
建物の不均衡も同じくエネルギー効率に貢献する：南面のオーバーハングが，
ここの窓を上階の床で陰にして，夏季の冷房需要を低下させる．ガーキンでと同じく，
コンピュータモデリングが，建物の中で気流が如何動くか示し，
自然の換気が最大になるように建物内の形が選ばれた．実際，建物は冷房を必要としない．
同程度のオフィススペースのエネルギーに比べ，たつた1/4と伝えられる．
螺旋階段さえ，単に審美的理由で選ばれたのではない．それらの分析の一部として，
ロビーの音響効果，人々の声が適切に聞こえるような建物をSMGは設計した．
初めは音響効果は，広いホール内をエコーが跳ねるという状態でひどく，
何らかの対策が必要だった．Foster＋パートナーの過去のプロジェクトの１つが手がかりを提供した：
ベルリンの Reichstag は大きいホールを含むが，大きい螺旋の傾斜路があり反響が起きない．
SMG はロンドンのシティホールに同様な螺旋階段のモデルを作り，
Arup Acoustics会社がこの新モデルの音響効果を分析した．諸君は，
以下のアニメーションで，音が階段後ろに閉じ込められ，エコーが減じるのを見ることができる．
このアイデアは最終設計に採用された． (アニメーション © Arup Acoustics.)

ロンドンシティホール
http://plus.maths.org/issue42/features/foster/gherkin_outside_web.jpg
ガーキンの全貌．平面パネルが曲面を近似していることに注意．映像 © Foster + Partners

ガーキン，ロンドンシティホール，他の多くのFoster+パートナー作品がたいへんモダーンに見えるのは，
外側が曲面であるためだ． これらは，名うての困難さで，建設費が高くなる．
そこで幾何学者のチャレンジがある：単純な形から作る一番良い方法は何か？
” これは我々の主たるチャレンジの一つだ，”De Kestelierは語る，
”我々のプロジェクトの実に99％は，いかなる曲面も使っていない．
例えばガーキン，1種類の曲面パネルはトップにあるレンズのみ．
建物が曲面という印象は，多数の多角形の平面パネルで曲面を近似的に作ることで生じる．
パネルが多いほど錯視も真実味をおびる．
複雑な表面を記述するこのような平面パネル解を見いだすことで，
SMG は専門家になった．De Kestelier が説明するように，幾何学［その形]は，
しばしば経済により決定される：”我々は矩形に近いパネルを使う傾向がある．
なぜならそれはいっそう経済的であるからだ．資材をカットするとき安くなる．
三角形では，多くの材料ロスがあるが，矩形に近いとロスが少ない．
矩形に近いと構造が少ないので，視覚的にもさらによい．”これは，
表面が完全に矩形から成り立っているロンドンシティホールで例証される．
実際、ロンドンシテイホールは，理想的な幾何学形と建設容易さのバランスをとる必要性を
よく例証している：　扱い難い丸い形はスライスに切ることで扱われた．スライス一つ一つは，
僅かに傾いたコーンで，容易に数学的に記述でき，平面パネルでの近似も容易である．

合理的な設計
数学的な方程式で記述されるコーンのスライス，トーラス，球などの表面は，
しばしば，SMGデザインの基礎となる． これらを，バーチャルモデル創造に使うときに，
数学的に生成される表面はコンピュータ上で容易に表現できるので，たいへん利点がある．
多くの個別座標を蓄え記述する構造ではなく，方程式を蓄えるだけでよい．
表面の正確な形は方程式のパラメータを変じて制御できる（例として下図を見よ）．
平面解はやはり比較的容易に設計できる：ソフトウェアはオリジナルの表面の
ノードポイント集合に直線を引くようにする．

http://plus.maths.org/issue42/features/foster/surfaces_web.jpg
これらの表面は，関数z=e^-a(x^2-y^2) のグラフである．ここで，
３次元座標系は，ｘ，ｙと垂直ｚ軸である． a は表面の形を決める．
第一の表面はa=1 ，第二の表面はa=5 ，第三の表面はa=7 ．

数学的に定義された要素の集合からなる複雑な構造を考えるのは，
バーチャル世界では有用ではない：実際にどのようにそれを建設するべきかを，
建物モデルの建設の一歩一歩のガイドにつくる．合理化のこのプロセスは，
もう一つの SMG の仕事の重要な部分だ．前と同じように，数学的な完全性は，
実用性のために道を明渡さなければならない:"２～３週間前に，
誰かが楕円の一部である壁のプランのことで私のところに来た”De Kestelierは語る．”
もちろん楕円は数学的には描くのは易しい．それをさらに合理化することをなぜ望むのか？さて，
私は楕円のこの部分を３つの円弧に合理化することを決めた．
理由は，壁の建設で，コンクリート壁用の型が要るためだ．これは全体の形を建設するのに
多くの型パネルを使ってなされる．もし諸君が楕円にしたいなら，
すべての型パネルは異なっていなければならない：楕円の周囲を進むと，
楕円の曲率はたえず変化しつづけるのだから． もし楕円をやめて３つの弧にするなら，
諸君が必要とするのは，3セットのパネルだけで，各セットのパネルは同じである．
これはずっと簡単になる．" 数学者に理想的なものは常に建築家に理想的であるわけではない．”

http://plus.maths.org/issue42/features/foster/museum.jpg
英国博物館の屋根．設計Foster+パートナー

博才の人
SMG が，建物の外見と気流・音響のような物理現象の双方をモデル化するには，
コンピュータプログラミングを使う．幾何学［形］の理解は，デザインと建設プロセスに直結する．
建築家でなく数理科学の専門家なのか？SMGメンバーの8人中７人が，プロの建築家だが，
専門的知識は，複雑な幾何学，環境シミュレーションからパラメトリックなデザイン，
コンピュータプログラミングにまで及んでいる．
グループの８番目のメンバーはエンジニアで，主プログラマーである．
こみいった数学に基づき，物理的特徴をモデリングするとなれば，
チームはしばしば専門コンサルタントを使う．”チーム内で予備的な解析を行う．
もしさらに知りたければ，別の解析を行う．我々は，専門コンサルタントとデザイナー間の接点となる，
”Petersは説明する．純粋数学，幾何学は如何？ どれぐらい複雑なのか？
"オフィスに１Ａレベルの本がある． ” とDe Kestelierが語る．結局のところ，
それはすべて建設可能な構造を作ることに関わり，古典幾何学を越えるものはここでは用いない．
SMG の大部分の活動には数学が付随しているのだが，彼らのデザインとは，
仕事に対して制限を与えるものであるとPetersとDe Kestlierは主張する．
"悟るべき重要なことは，我々はアーキテクチャで働くプログラマーではなく，
プログラミングをするアーキテクトだということだ，”De Kestlierは語る．
Ptersは同意する：”我々の主な仕事はモデリングではない．
プロジェクトのパラメータは何かを理解し，噛み砕き定義できる規則にする．
我々は，何処に適応性があり何処に制限があるかを理解できるようにする．
”制限の最適化と建設可能な物体の創造．もちろん，建築家はいつもそうしてきたし，
PetersとDe Kesteierも建築の仕事は本質的には変わっていないと思っている．
現代のデジタルツールにより，今日の建築家は，
過去の世代には夢であったデザインオプションの領域も探索できるようになっただけだ．
形と模様，科学とコンピュータの言語として，これらのツールを譲渡処分にしたのは数学だ．
数学は，確かにその料金を取り戻している． （訳：谷克彦）
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http://plus.maths.org/issue42/features/foster/xavier_brady.jpg
Xavier(左)とBrady（右）はFoster+Partnersのモデリング専門家メンバーである．
プラスは，ロンドンの数学と芸術ブリッジ会議（2006年）で，二人に出会った．
ブリッジ会議の詳細はウエブサイトにある．
著者：Marianne Freiberger（プラス編集者）

◆編集後記
019号はa,bで完結です．ところで，
ガーキンに良く似た超高層ビルが新宿にあります．2008年に完成した
東京モード学園が入っているコクーンタワーです．コクーンとは繭のことですが
どちらかというとセミに似ているビルです．設計は丹下都市建築設計です．
新宿で大変目立つビルです．写真は以下のブログにあります．