ブログ倉庫

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
数学月間SGK通信 ［2014.07.08］ No.019a
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
◆HTLM形式は数式や図があるものには便利なのですが．
読みやすかったでしょうか？読みにくい場合は
http://blogs.yahoo.co.jp/tanidr/folder/545271.html
に掲載していますから．こちらでご覧ください．

今号のメルマガは，再度txt形式に戻します．
これもプラスマガジン42号からの紹介です．
感想などお寄せ下さい．
ーーーーーーーー

■完全なる建物：モダーン建築術を支える数学
http://plus.maths.org/issue42/features/foster/index.html
Marianne Freiberger

建築術は，過去に，幾何学に対し素晴らしい業績を残した．
自分の住む土地を測る必要性と共に，建物を建てる必要性から，
形態と形の理論の研究が起こった．
エジプトでの偉大なピラミッド建設から4500年がたった今日，
数学は建築術に何ができるだろうか？　昨年［*2006年］の
数学と芸術・デザインの連携を探る架け橋会議（Bridges　conference）で，
プラスは， Foster ＋ パートナー専門家モデリンググループの二人の建築家
Brady PetersとXavier De Kestlierに出会っつた．彼らの作品を数学的視点から見る．

http://plus.maths.org/issue42/features/foster/LCH_web.jpg
テームス川にかかるロンドンシティホール．内部の巨大な螺旋階段ケースに注目．
映像©Foster + Partners

Foster+パートナーは，Norman Foster とシニアーパートナーグループ
が指導する国際的に著名な建築スタジオである．
ロンドンの30St Mary Axe (ガーキンGherkinとして知られる)や，
ロンドンシティホール，大英博物館の大広場のようなランドマークを作った．
進行中のプロジェクトには地上最大建設の一つワシントンDCのスミソニアン研究所の中庭，
ロンドンのウエンブリースタジアム，北京国際空港がある．
Foster+パートナープロジェクトには共通な一点がある：
巨大．これは，環境に最大限の影響を与えることを意味する．
このような巨悪のデザインは，微妙なバランスの技である．
建造物は構造的に健全で，美的に快いものであるだけでなく，
設計規制，工費の制約，目的に良く合うこと，エネルギー効率の極大化
などを遵守しなければならない．デザイン過程は，複雑な最適化問題に要約される．
この問題を解く方法が，モダーン建築術と古代エジプトの建築術とで異なる：
先進的なデジタルツールが，制約の膨大な配列を分析統合し，最適解を見出す．
数学は建設される構造の形，知っておかなければならない物理的特徴を記述する．
数学はコンピュータの言語で，モデリングのすべての段階の基礎になっている．

◆専門家モデリンググループ
Foster+パートナー専門家モデリンググループ（SMG）は，De KestelierとPetersが
メンバーになっており，1997年に設立された．SMGの仕事は，建築家を助けて，
プロジェクトのバーチャルモデルを創造することだ．
”通常，チームは概念を持って我々のもとにやって来る”と，De Kestelierは語る．
”スケッチか何かから，より発展させたものまで．そこで我々は，
CADツールを用いるかツールを開発し，モデル作りで彼らを助ける．”

http://plus.maths.org/issue42/features/foster/populated_surfaces.jpg
パネルを収めた数学的表面．映像提供 ΕBradyPeters

コンピュータの助けを借り，その物理から外観まで，建物のほぼすべての様相を
設計することができる．コンピュータ モデルで，建物の周囲を風が流れる様や，
建物内部の音波の反響をシミュレートできる．グラフィックプログラムで，
異なった数学的な表面を探究し，それらに異なった柄のパネルをはめてみることができる．
そして，これらのモデルから手に入る情報のすべては，近年の建築 CAD ツールで
最も重要な発明であるパラメトリックモデリングに連動できる

http://plus.maths.org/issue42/features/foster/gherkin_model.jpg
30St Mary Axeの建築モデル.
映像 © Foster + Partners.

パラメトリックモデリングは，１９６０年代からあった．しかし，
建築家がその力をフルに利用できるようになったのはついこの頃である．
モデルは,諸君が建物に加えた変化により影響を受ける他の特徴を再計算せずに，
建物のある特定の特徴をいじることを可能にする．
これはたいへん強力なデザインツールである．左に示されているガーキンを例にとろう．
もし，建物をもっとスリムにしようと思うなら，他の何らかの特徴が犠牲になるだろう．
外側ライニングカーブやダイヤモンド型の角度など再計算が必要となる．
これはまったくたいへんな仕事量で，もしなされたとしても，手書きであれ
再プログラミングであれ，新しいスケッチを描きなおさねばならない．
パラメトリックモデルはこれらのすべてを諸君のためにやってくれる．
変えないようにしようと決めた特性は固定されたままで，幾何学的特徴を
色々変えることができる．モデルはスプレッドシートのような働きで，
建物の特徴を変えることは， スプレッドシートの項目を変えるようなものだ．
変化に応じ，ソフトウエアは先に決めた関係を保ちつつ，モデルを再度生成する．
丁度スプレッドシートがそのすべての項目を再計算するようにSMG によって
提供されたデジタルのツールが装備され，デザインチームは，
短期間のうちにデザインオプションの莫大な範囲を探検することができる．
チームは建物の幾何学的な特徴を変えて，変化がどのように，－例えば，
気流，あるいは音響特性に－影響を与えるかを見ることができる．
建てるのが難しいようなどのような複雑な形でも，探究することができ，
単純な形へと分解することもできる．必要な材料はどれほどで，
コストはいくらかもすばやく見積ることができる．
複雑な形がほとんど建設不可能であったためと，
最良な環境への適合に科学を充分使いこなせなかったため，
数十年前には実現不可能であった建物が建設できるようになった．

◆ガーキン　［＊ガーキンとは”キュウリ”のこと］
http://plus.maths.org/issue42/features/foster/gherkin_wind_web.jpg
ガーキンの周囲の気流のモデル．映像 © Foster + Partners.

ガーキン、は SMG が関与したプロジェクトの１つで，形がどのように制約を満足
させるように選ばれたかの主要な例である．３０St mary Axe の公式名称で，
高さ180m，ナイアガラの滝の3倍の高さ．他の高層建築に比べて，３つの際立った特徴がある：
方形でなくむしろ丸い．膨らむ中央と先細るトップ．螺旋のデザインに基づいている．
これらすべてが，純粋に審美的特徴となることに容易に気づく．だがそれだけでなく，
これらは特定の制約を満足させる．
ガーキンサイズの建物の主要な課題は，周囲を吹き抜ける気流だ．
ベースから旋風がまきおこり，近隣地域を不快な地にする． この問題を扱うために，
SMG は建築家に，乱気流の数学に基づき，建物の空気力学特性を
シミュレートするコンピュータモデルを使うように助言した．
モデルは円筒状が方形のものより空気の流れへの応答が良く，旋風を減らすことを示した．
中央が太く１６階で最大直径に達するものが，スリムなものより風の低減の助けになる
ということもわかった．
強風でくちゃくちゃにならないとしても，高層ビルの隣に立つのは恐ろしい．
それは諸君を小さく見せ，低い建物の輝きを奪い，日光を奪い取る．
これらの効果を最小に抑えるのは，ガーキンの特有な形である．
膨らんだ中央と先細のトップは，下からトップが見えないようにする．
かくして諸君を小さいとは感じさせない．太陽と他の景観は底から覗き込める可能性がある．

http://plus.maths.org/issue42/features/foster/gherkin_floorplan.jpg
ガーキンの床面プラン. 映像 © Foster + Partners.

最初に決定されたこと，ガーキンが可能な限り持続可能な建物であるべきということだ．
そしてこれは，自然な換気（エアコンの節約のため）と自然の日光照射（光熱費の節約）
を最大にする形の選択を意味する．６つの三角形のくさび形を，
建物の内部に貫入するように各フロアの円形プランから切り取る．これらは光の井戸の役をする．
それらが作る光線は，自然の喚気を促進する．しかしながら，
くさび形はお互いの直上には位置していない．空気力学のモデリングは，
１つの床のプランが下の床のに対して数度回転していると，換気が最大になることを示した．
それで， くさび形が作るシャフトは建物を昇る螺旋を作り，
建物の外形により起こる空気の流れと，最適に相互作用する．
くさび形のファサドの窓が自動的に開いて，新鮮な空気を建物に引き込む．
慎重に選んだ幾何学の結果として，この建物は，同程度の他の建物に比べて，
エネルギーが50%削減されたという．

http://plus.maths.org/issue42/features/foster/gherkin_inside.jpg
ガーキンの内部．三角形のくさび形は，床面プランから切り取られる．
それらは，光の井戸の役をするし，喚気も促進する．映像 © Foster + Partners.

（次号に続く）→

◆3Dへ
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/plaque.jpg
Broone橋にある記念プレート，
Hamiltonが４元数を発明したときこの橋の下を散歩していた．
数学者William Rowan Hamilton卿はDublinのTrinity学寮の最も著名な息子であろう．
彼は最後の20年，複素数が２次元の回転を表すのと同様な
３次元の回転の表現を捜し求めた．
人生の最後にHamiltonは，4元数という答えを見出した．
q=a₀+a₁i+a₂j+a₃k
ここで，i 2
=j 2
=k 2
=ijk=-1， a 0
, a 1
, a 2
, a 3
は実数．
複素数でしたように，４元数を幾何学的に記述し，回転の表現に用いよう．
今度は2次元でなく３次元の回転だ．
i, j, kは，3次元内の基本平面：iはyz平面，jはxz平面，kはxy平面で,
外側向き法線はそれぞれ x，-y，z方向である．
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/planes_web.jpg

i, j, kは，３次元空間の基本平面という幾何学的解釈ができる．
点a=(a 1
,a 2
,a 3
)を，角βだけ原点を通るb=(b 1
,b 2
,b 3
)軸の回りに
回転してみよう．２つの４元数q 1
,q 2
をb, β から作る．
q 1
=cos(β/2)+sin(β/2)(b 1
i+b 2
j+b 3
k)
q 2
=cos(β/2)-sin(β/2)(b 1
i+b 2
j+b 3
k)
a (x,y,z方向の単位ベクトルの線形結合)に，これら２つの４元数を乗じて
a'=q 1
aq 2
この積で得られる点a'は，aを与えられた軸の回りに角度βだけ
回転したものだ．
複素数は平面内の回転記述，４元数は３次元空間内の
回転記述に用いられる．
ダブリンの橋の下を通りかかったとき，Hamiltonのひらめきは，
３次元で物体を回転させる最も効率の良い方法であることがわかった．
だが彼の新しい乗法で，だれも幸福にならなかった．
物理学者Kelvin卿は４元数のことを：”....美しく巧妙だが，とにかく，
これに触れるものには，純粋邪悪である...と評した．
とりわけ厄介なのは，２つの4元数を掛け合わせるとき，
答えがかける順番で変わることだ．この特性を非可換という．
Hamiltonの積則をみれば，ij=k, ji=-kが示せる．
もし，i, j, kを単位平面のように扱えば，Kelvinや彼の同時代の
人々を困らせた特性は，直接導ける．
◆映像を生活へ
Ｈａｍｉｌｔｏｎの発明はいまや多数の物体を動かしたり，
運動の創出へのｸﾞﾗﾌｨｯｸ応用に使われる．コンピュータグラフィックで
最も重要なツールの２つは，変形と補間である．
補間とキーフレーミング技術は，物体の初めと終わりの形と位置の特定と，
その間の様子をコンピュータに計算させることだ．以下に示す映像のように：
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/teapots_web.jpg
一連のフレームにわたって徐々に変形するティーポットの形
諸君は，未発達のへびのアニメーション（Richard Wareham製作）を
見ることができる．
ここではへび全体が，いくつかの特定な点の運動から，
補間を用いてコンピュータで作られた．
[訳注：ファイルのダウンロード先は略]
変形は単純なものから複雑なものを作り出す方法だ．
下の映像のように，変形球を覆っている布は，
普通の球面で起こる同じ光景を数学的な変形をして得られる．
変形も補間も速くて安定な数学的技術を必要とし，
４元数関連の手法がこれを提供する．
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/sphere.png
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/deformed_sphere.png
◆ガーラムを信じさせる
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/motioncapture1.jpg
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/dots.jpg
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/skeleton.jpg
データは体の色々な部分に付属しているリフレクターの運動から
キャプチャーされる．....
....骨格は，データに数学的にフィットさせる．
上で記述したテクニークは古典的なアニメーションでも基本的なツールである．
漫画キャラクターでは，我々はその結果が信じられるのはとても幸せだ．
しかし，人間のアニメーションでは，たちまち偽者とわかってしまう．
現実味ある動きを作り出すにはモーションキャプチャーが必要になる．
ロードオブザリングズのフィルムバーションから，ガーラムのような
多数のキャラクターを作るにはモーションキャプチャーによる．
これらは，身体，頭，肩，ひじ，ひざなどの回転点に，本当の人の
リフレクターを付加して作られる．それぞれは，多重のカメラによって
フィルム化されリフレクターの位置の変化をコンピュータに記録する．
骨格は３次元データでフィットされる．
最後に，上に記述された技術はすべて，骨格上に具体化し，
生活し，呼吸し，動くキャラクターを作り出す．
もしまだ諸君がタイトルロールを完全に見るために留まっているなら，
首尾よい映画作製で使われた種々の製作タレントに気づくだろう．
作者，ディレクタ，俳優，衣装デザィナー，プロップビルダー，．．．．
これらのクレジットリストが続々流れる．
しかし一つの名前がしばしばタイトルロールから忘れられている－数学だ．
今日の映画の多くは，光線追跡の幾何学，
４元数による空間内の回転なくしてはできない．
次回は，あなたの映画シートで，CGスペクタクルを楽しむために，
数学に対してポップコーンを掲げよう．ショーの隠れたスターへ．
（訳：谷 克彦）
-----------------------
著者
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/jl_small.jpg
Joan Lasenbyはケンブリッジ，トリニティカレッジで数学を専攻し,
電波天文学グループ物理学科のPhDをとった．
マルコーニの企業で短期間働いた後に，大学に戻り，現在，
ケンブリッジ大学工学部の信号処理グループの講師や
トリニティカレッジの研究のディレクター，研究員である．
彼女の興味は，コンピュータビジョン，コンピュータグラフィックス，
画像処理，モーションキャプチャと幾何代数の分野にある．

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
数学月間SGK通信 ［2014.07.01］ No.018
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
今回も，MMP,plusマガジン42号の翻訳です．
(2007年の数学月間懇話会で配布したものです）
017号のHTML形式が正しく表示されなかったので，
018号で再度掲載します．
まだ正しく表示されない場合は，以下のホームページをご覧ください．
http://sgk2005.sakura.ne.jp/htdocs/index.php?key=jo5i1xzi0-37#_37
数学が映画に入る
http://www.plus.maths.org/issue42/features/lasenby/index.html
Joan Lasenby
ポップコーンは手に入れたか？よい席は選んだか？座り心地は良いか？
それではタイトルロール....
◆数学が誇らしげにプレゼント....
映画の中の信じられないほど真に迫ったコンピュータで作られた映像に
皆な驚く．ジュラシック・パークの恐竜，ロード・オブ・ザ・リングズの不思議 --
-- 特に，ガーラムの出演者 --- は，数学なしではできなかったということを
知らない人が何と多いことか．
どのようにして，これらの驚くべき映像が作られるのだろう？
コンピュータ・グラフィックス，コンピュータ・ビションは大きな課題だ．
この記事では，完成作品に使われる数学のいくつかを簡単に概観する．
最初に映画の世界を創造し，次にそれを生活へ持ち来たそう．
◆場面を作る
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/trianglesurface_web.jpg
最初の対象物は，三角形のような単純多角形よりなる針金骨格
として作られる．
コンピュータ生成映画を作る第一ステップは，物語中のキャラクターや，
それらが棲む世界を創造することだ．これら対象物のそれぞれは，
接続された多角形（通常は三角形）で構成された表面として作られる．
各三角形の頂点は， コンピュータメモリにストアされる．
どの三角形のどちらの面が，物体やキャラクターの外側であるかを
知ることは重要だ．
この情報は， ストアされている頂点の順番として，
右ネジの規則に従い記号化される．これで，どちらが外か一意に決まる．
［頂点の順番に従い，三角形の周りを右手の指を
人差し指，中指，．．と回したとき］
諸君の親指が向いているのが三角形の外側だ．例でやってみよう．
三角形（A,B,C）の外側方向（外側法線）は，三角形（A,C,B）の外側方向と
反対であることがわかるだろう．
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/rhrule_web.jpg
右ネジ規則で定義された（A,B,C)の外側法線は(A,C,B)とは反対方向
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/rayfacet.jpg
諸君の視点からファセット面までの光線を追跡しよう．
光線は反射して光源を通過するか？
いまや対象物の表面は三角形の針金網で，
網のコンポーネントのそれぞれを彩色する準備ができた．
我々がモデル化している光景のライティングを，
実際と同じにすることが重要である．
これは光線追跡と呼ばれるプロセスを用いなされる．
視点から物体へと遡り光線追跡し，反射させる．もし，
目から出た光線がファセット面（針金網三角形の中の一つ）で反射され，
光源を通過するなら，そのファセット面は光源に照らされ明るい色，もし，
反射された光線が，光源を通過しないなら，
そのファセット面は暗い色の影付をする．
光線を特定のファセット面まで追跡するには，表面を数学的に記述し，
光線とファセット面の平面とが係わる幾何学方程式を解くことが必要になる．
これはベクトルを用いなされる．光景の３次元座標系に，
視点となる原点(0,0,0)を加える．
ベクトルv=(a, b, c)は，原点から発し座標 a, b, cで終わる矢である．
例えば，vにスカラー2を乗ずるのは，
規則 2v=2(a,b,c)=(2a,2b,2c)のように行う．
2vはvと同じ方向で２倍長い矢だ．
表現λvを見よう．λは変数（言い換えれば，任意の実数）．
これはもはや，ある長さの矢ではない． 長さが変数になったのだから，
矢の方向だけを表している．別の言葉でいえば，
この表現はベクトルvを含む直線を表す．
それは我々の視点からベクトルvの方向に発する光線を記述する．
三角形のファセット面で定義される平面は，３つの情報で表現される：
３頂点のうちの１つの位置頂点a 1
と，a 1
からa 2
へのベクトルと，
a 1
からa 3
へのベクトルである．
下の囲みの中に，目とファセットで決定される面から発する一本の光線の
方程式を与えた．光線がファセットをよぎるか否か，何処でよぎるかを知り，
反射された光線の方程式を計算するには，これらの2式を解かねばならぬ．
------------------------------------------
光線の表現 r=λv
頂点 a 1
, a 2
, a 3
のファセットが定義する平面の式
r=a 1
+μ 1
(a 2
-a 1
)+μ 2
(a 3
-a 1
)
-------------------------------------------
（光線追跡の数学の詳細は，Turner Whittedの革新的な論文
”影付け表示のための改良された照明モデル”，
Communication of the ACM,Vol.23,Isuue6に見ることができる．）
光線追跡は現実味ある光景を作り出すことができるが，たいへん遅い．
これはコンピュータが作る映画の製作には用いることができるが，
コンピュータゲームのようにリアルタイムで照明を変化させることが
必要な場合問題である．
影や火線束（コースティク）［収差による回り込みでできる光像］，
多重反射のような複雑な現象は，モデル化が困難で，動的あるいは
もっと巧妙な数学的な手法，事前計算放射輝度伝搬（PRT)や
ラジオシティ（R)が使われる．
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/doom3_web.jpg
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/neverwinter_web.jpg
コンピュータゲームDOOM3，Neverwinter nights は
ダイナミックライティングが必要だ．
◆必要なのは若干の想像力
光景，照明が出来てしまえば，監督が”アクション！”と叫び，
キャラクターが動き出すのを待っばかりだ．
いまや，数学がイメージに命を吹き込むのを確かめよう．
最も基本的な物体の動きの一つは，
与えられた軸の回りの与えられた角度の回転である．
座標幾何学は，回転後の物体各点各点の位置を計算するツールを提供する．
だがこれらのツールは効率的で高速であることが重要だ．
これらのツールを見るにあたり，数学授業に一寸立ち寄って見る．．．．
［訳注：この後に，複素平面のこと，複素数に虚数 i を乗じると反時計回りの
90度回転になること，などの説明が続くのだが略］．．．．．．．．
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/complexplane.gif
1806年にアマチュア数学者Jean Ribert Argandは複素数と i に
幾何学的な解釈を与えた．
複素数を乗ずることは，幾何学的には回転を表す．

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
数学月間SGK通信 ［2014.06.26］ No.017
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

今回は2回目のHTML形式です．うまく表示されない場合は
http://sgk2005.sakura.ne.jpでご覧ください．
今回も，MMP,plusマガジン42号の翻訳です（2回に分けて掲載）．
(2007年の数学月間懇話会で配布したものです）
数学が映画に入る
http://www.plus.maths.org/issue42/features/lasenby/index.html
Joan Lasenby
ポップコーンは手に入れたか？よい席は選んだか？座り心地は良いか？
それではタイトルロール....
数学が誇らしげにプレゼント....
映画の中の信じられないほど真に迫ったコンピュータで作られた映像に，
皆な驚く．ジュラシック・パークの恐竜，ロード・オブ・ザ・リングズの不思議 ----
--- 特に，ガーラムの出演者 --- は，数学なしではできなかった
ということを知らない人が何と多いことか．
どのようにして，これらの驚くべき映像が作られるのだろう？
コンピュータ・グラフィックス，コンピュータ・ビションは大きな課題だ．
この記事では，完成作品に使われる数学のいくつかを簡単に概観する．
最初に映画の世界を創造し，次にそれを生活へ持ち来たそう．
場面を作る
pblk0001.png
最初の対象物は，三角形のような単純多角形よりなる針金骨格として作られる．
コンピュータ生成映画を作る第一ステップは，物語中のキャラクターや，
それらが棲む世界を創造することだ．これら対象物のそれぞれは，
接続された多角形（通常は三角形）で構成された表面として作られる．
各三角形の頂点は， コンピュータメモリにストアされる．
どの三角形のどちらの面が，物体やキャラクターの外側であるかを知ることは重要だ．
この情報は， ストアされている頂点の順番として，右ネジの規則に従い記号化される．
これで，どちらが外か一意に決まる．
［頂点の順番に従い，三角形の周りを右手の指を人差し指，中指，．．と回したとき］
諸君の親指が向いているのが三角形の外側だ．例でやってみよう．
三角形（A,B,C）の外側方向（外側法線）は，三角形（A,C,B）の外側方向と
反対であることがわかるだろう．
pblk0002.png
右ネジ規則で定義された（A,B,C)の外側法線は(A,C,B)とは反対方向
pblk0003.png
諸君の視点からファセット面までの光線を追跡しよう．光線は反射して光源を通過するか？
いまや対象物の表面は三角形の針金網だ．網のコンポーネントのそれぞれを彩色する準備ができた．
我々がモデル化している光景のライティングを，実際と同じにすることが重要である．
これは光線追跡と呼ばれるプロセスを用いなされる．視点から物体へと遡り光線追跡し，
反射させる．もし，目から出た光線がファセット面（針金網三角形の中の一つ）で反射され，
光源を通過するなら，そのファセット面は光源に照らされ明るい色，もし，
反射された光線が，光源を通過しないなら，そのファセット面は暗い色の影付をする．
光線を特定のファセット面まで追跡するには，表面を数学的に記述し，
光線とファセット面の平面とが係わる幾何学方程式を解くことが必要になる．
これはベクトルを用いなされる．光景の３次元座標系に，視点となる原点(0,0,0)を加える．
ベクトル v =( a, b, c ) は，原点から発し座標 a, b, c で終わる矢である．
例えば， v にスカラー2を乗ずるのは，規則 2 v =2( a,b,c )=(2 a, 2 b, 2 c ) に従い行う．
2 v は v と同じ方向で２倍長い矢だ．
表現 λ v を見よう． λ は変数（言い換えれば，任意の実数）．
これはもはや，ある長さの矢ではない．長さが変数になったのだから．
矢の方向だけを表している．別の言葉でいえば，この表現はベクトル v を含む直線を表す．
それは我々の視点からベクトル v の方向に発する光線を記述する．
三角形のファセット面で定義される平面は，３つの情報で表現される：
３頂点のうちの１つの位置頂点 a₁と， a₁から a₂へのベクトルと， a₁から a₃へのベクトルである．
下の囲みの中に，目とファセットで決定される面から発する一本の光線の方程式を与える．
光線がファセットをよぎるか否か，何処でよぎるかを知り，
反射された光線の方程式を計算するには，
これらの2式を解かねばならぬ．
------------------------------------------
光線の表現 r = λ v
頂点 a₁, a₂, a₃のファセットが定義する平面の式
r = a₁+ m₁( a₂- a₁)+ m₂( a₃- a₁)
-------------------------------------------
（光線追跡の数学の詳細は，Turner Whittedの革新的な論文
”影付け表示のための改良された照明モデル”，
Communication of the ACM,Vol.23,Isuue6に見ることができる．）
光線追跡は現実味ある光景を作り出すことができるが，たいへん遅い．
これはコンピュータが作る映画の製作には用いることができるが，
コンピュータゲームのようにリアルタイムで照明を変化させることが必要な場合問題である．
影や火線束（コースティク）［収差による回り込みでできる光像］，
多重反射のような複雑な現象は，モデル化が困難で，動的あるいは
もっと巧妙な数学的な手法，事前計算放射輝度伝搬（PRT)や
ラジオシティ（R)が使われる．
pblk0004.png

コンピュータゲームDOOM3，Neverwinter nights はダイナミックライティングが必要だ．
必要なのは若干の想像力
光景，照明が出来てしまえば，監督が”アクション！”と叫び，キャラクターが動き出すのを待っばかりだ．いまや，数学がイメージに命を吹き込むのを確かめよう．
最も基本的な物体の動きの一つは，与えられた軸の回りの与えられた角度の回転である．
座標幾何学は，回転後の物体各点各点の位置を計算するツールを提供する．
だがこれらのツールは効率的で高速であることが重要だ．
これらのツールを見るにあたり，数学授業に一寸立ち寄って見る．．．．
［この後，複素平面のこと，複素数に虚数iを乗じると反時計回りの90度回転になること，
などの説明があるが略］．．．．．．．．
1806年にアマチュア数学者Jean Ribert Argandは複素数とiに幾何学的な解釈を与えた．
複素数を乗ずることは，幾何学的には回転を表す．
3Dへ
pblk0006.png

Broone橋にある記念プレート，Hamiltonが４元数を発明したときこの橋の下を散歩していた．
数学者William Rowan Hamilton卿はDublinのTrinity学寮の最も著名な息子であろう．
彼は最後の20年，複素数が２次元の回転を表すのと同様な，
３次元の回転の表現を捜し求めた．人生の最後にHamiltonは，4元数という答えを見出した．
⇒次号に続く

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
数学月間SGK通信 ［2014.06.24］ No.016
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
■plusマガジンの記事について
2号に分けてplusマガジンの翻訳を掲載してみました．如何でしたでしょうか．
全体，海外のマガジンは冗長と思います．でも，わかりやすく親切な所もあります．
今回の14&15号に掲載した論文がplusマガジンにでた頃，
翻訳配布について問い合わせたことがあります．
全文をこのまま翻訳するなら良いと言う返事でした．

■数学は「事のなりたちの本質を見極める」
次のようなジョークがあります..................
天文学者、物理学者、そして数学者がスコットランドを走る列車に乗っている。
天文学者は窓の外を眺め、一頭の黒い羊が牧場に立っているのを見て、
「なんと奇妙な。スコットランドの羊はみんな黒いのか」と言った。
すると物理学者はそれに答えて「だから君たち天文学者はいいかげんだと馬鹿にされるんだ。
正しくは『スコットランドには黒い羊が少なくとも一頭いる』だろう」と言う。
しかし最後に数学者は「だから君たち物理学者はいいかげんだと馬鹿にされるんだ。
正しくは『スコットランドに少なくとも一頭、少なくとも片側が黒く見える羊がいる』だ」と言った。
.........
なるほどと感心するジョークではあります．
おそらく，私たち一般に近いのは物理学者（工学者）の感覚でしょう．
数学とは，厳密で正確だという所を強調したのがこのジョークの趣旨です．
なるほど，そのようなつき合い難い性格の数学者も多いことでしょう．
しかし，重箱の隅を突っつくような厳密さが数学ではありません．
事（あるいは現象）の成り立ちを支配する本質はなにかを追求するところにあります．
事を飾っているあらゆる装飾を取り去り，事の因果関係だけを顕にする．
こうして得た本質は，無駄の一切ない抽象的な命題となります．
別の言い方をすれば，数学の練習問題には色々な解き方があって，
論理が正解ならばどれでも正しいわけですが，
一番美しい解き方は，回り道がなく本質にズバリと迫るものです．
（補助線一本で謎がすべて氷解するというのがその例です）
これは，数学に限ったことではない．求められているのは何かを
的確に判断し，話をそらさずに誠実に対応することにつながります．

■複雑系は不確かな世界．確率の2値化は我々の意思で！
社会の色々な現象は非常に複雑で多くの因果関係が絡み合っています．
一人の人間でも望む理想とその行動とが首尾一貫していないようですし，
その集合としての社会の動きはとても危うい．
論理を重要視しない社会に正義や公正はありません．
専門家が科学的に結論を出せると思うのは大きな間違いです．
学識経験者などという定義のわからないものもありますし，
複雑系は不確かな世界で，yes/noの答えを望んでも存在しないものですから．
数学（統計）で得られるのは確率までで，これをyes/noの2値化をするのは
国民の一人一人で，科学で決定できない「トランス・サイエンス」の領域になります．

■統計学は恣意的に利用されることが多い．
統計学自体は数学的に正しいのですが，集めたデータに問題があることが多いようです．
選択肢の論理がおかしいものや答えようもないアンケートから，
いったいどのような結論が引き出されるでしょうか？
結論に合うような都合の良いデータの母集団を恣意的に用いたりもします．
このような利用のされ方をすると，統計学や数学の信用を落とすことになります．
私たちは，処理された数値やグラフを見ても，その欠点を見抜くことは困難です．

■■お知らせ
7月22日～8月22日は数学月間です．
この期間は，数学の基礎定数 π(22/7=3.142..) とe(22/8=2.7..) に因んでいます．
（予告）......
講演１は，私たちが知っておくべき統計学の話です．
講演２は，変わった表題ですが，スパゲティを砕くと破片の分布はポアソン分布
クラッカーを砕くと破片の分布はべき乗則に従うという実験の話です．
講演３で私は今年の米国MAMの話題をとり上げます．

■数学月間懇話会（第10回）
日時●７月２２日，14:00-17:10
プログラム●
1.人口の集合関数としての「民力指数」
松原望（東京大学名誉教授，聖学院大学）
2.スパゲッテイを巡る旅，
中西達夫（株・モーション）
3.数学月間の狙と効用，今年の米国MAM
片瀬豊，谷克彦（日本数学協会）
ーーーー
会場●東京大学（駒場）数理科学研究科棟，002号室
最寄り駅●京王井の頭線「駒場東大前」
参加費●無料
問合せ先●日本数学協会，数学月間の会（SGK）
sgktani@gmail.com，谷克彦（SGK世話人）
開場13:30，直接会場においでください．ご参加お待ちしています．
17:30より構内で各自払いの懇親会も予定しています．