べき乗則と地震

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数学月間SGK通信 ［2014.09.30］ No.031
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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地震に関心が高まっていますが，地震は地殻の破壊現象ですから
いつポッキリ折れるか予言できないように文字通りの予知はできません．

◆地震の規模（マグニチュード）M
まず，地震のマグニチュードMとは何でしょうか？
これは地震のエネルギーEの対数です．
大体，地震のエネルギーの大きさの桁と思ってよいでしょう．
リヒターが当初発案したマグニチュードの定義は，
震央から100kmに設置したと仮想した，特定な型の地震計で
観測される最大振幅の対数でした．しかし，現在では
もっと理屈に合ったモーメント・マグニチュード
（あるいは気象庁マグニチュード）が採用されています．

◆可能な最大地震
地震で解放されるエネルギーは，生じた断層面の面積と
その平均変位とその付近の地殻の剛性の積です
（大雑把にいえば生じた断層の長さに比例します）．
地殻に溜まった歪エネルギーが地震で解放されるわけですが，
断層の長さが長い方が解放されるエネルギーは大きいし，
地殻の剛性が大きいほど大きな歪エネルギーが蓄えられます．
これらから起こりうる地震の最大エネルギーを見積もると
M9.5程度と考えられています
（1960年のチリ地震ではM9.5が観測されている）．

◆べき乗則
地震の規模（マグニチュード）Mと発生頻度（回/年）ｎ
の間に　n=10^(a-bM)　の関係があります．
これはグテンベルクとリヒターが発見しました．
a,bはその地域の地殻の特性を表す定数でが，b≒1ですので
地震のマグにチューﾄﾞが1つ大きくなるごとに，地震の回数は1/10に減ります．
だからこれをべき乗則と言います．

地震の規模Mには最も発生しやすい典型というのがありません
（釣鐘型の正規分布ではありません）．
大きな地震は少なくなりますが，M=9あたりも起こり得るし，
そんな巨大な地震に見舞われると壊滅的なダメージです．
従って，頻度は小さいけれど致命邸なダメージとなる巨大地震が起きても
被害が最小となるように備える必要があります．原発は止めましょう．

クリーン・ルームのチリのサイズ分布もべき乗則だと言われています．
もし正規分布のように頻度の高いサイズがあるなら
そのサイズのチリの発生に注目した対策ができるのですが
べき乗則では特別な対策は困難です．

◆分布関数を求める実験
凍ったジャガイモを投げて砕き，破片のサイズ分布を調べた人が居ます
（南デンマーク大，1993年）．ここでもべき乗則が確認されました．
スパゲッティやクラッカーを砕くとどのようなサイズ分布になるか
実験した話が今年の数学月間懇話会で中西達夫さんからありました．