4次元の万華鏡

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数学月間SGK通信 ［2014.09.16］ No.029
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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読者の皆様へ．
8月19日（025号）からまぐまぐの遅配が続いています．
特に，026号，027号はまだ配送されていない方があるようです．
届かない方がありましたら，ご一報ください．
これらの号では多面体に関する話を続けています．
メルマガ更新は毎火曜日の朝7:00に行っておりますので，
以下のサイトでもご覧になれます．
http://blogs.yahoo.co.jp/tanidr/folder/545271.html　あるいは
http://sgk2005.sakura.ne.jp/htdocs/?page_id=32
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◆4次元の正多面体は6種あるのですが，
3次元以上が見えない私たちには理解が困難です．
色々な図や説明が種々の本やwebで見られますが，どれもしっくりしません．
結局，4次元の正多胞体6種を最初に見つけたシュレーフリの説明が
最もわかり易いようです．（コクセター［幾何学入門］や
ヒルベルト，コーン・フォッセン［直観幾何学］に載っています）．
さて，このようなものを記述するシュレーフリの記号というのは
大変良くできています．この記号の仕組みを理解することが結局
4次元の理解に直結します．シュレーフリの記号を単純な図形で見てみましょう．

◆3次元の正多面体の例
面（2次元）が頂点（0次元）で3つ以上集まらないと立体（3次元）はできません．
シュレーフリの記号は以下のようです．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/41/16122741/img_0?1410817831
（１）正4面体　　　　　　　　　{3,3}←シュレーフリ記号
正3角形の面（2次元）が頂点（0次元）で３つ集まっている．
（２）正6面体（立方体）　　　　{4,3}←シュレーフリ記号
正４角形の面（2次元）が頂点（0次元）で3つ集まっている．

正多面体が記述の対象ですから，どの頂点まわりの状態も同じです．

◆4次元の正多面体の例
胞（3次元の多面体）が辺（2次元）で３つ以上集まらないと
4次元の立体はできません．
シュレーフリの記号は以下のようです．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/41/16122741/img_1?1410817831
（１）正5胞体　　　　　　　｛3,3,3｝
3次元正4面体｛3,3｝が辺（2次元）で３つ集まっている．
（２）正8胞体　　　　　　　｛4,3,3｝
3次元正6面体｛4,3｝が辺（2次元）で３つ集まっている．

正多胞体なので，どの辺まわりの状態も同じです．

（参考）　　｛4,3,4｝　というのはどのようなものでしょうか？
これは，3次元正6面体が辺のまわりに４つ集まっている状態ですから
角砂糖を頂点を合わせて無限に積み重ねたような状態．
これは3次元空間の中で無限に続く立方格子です（３次元で納まってしまいます）．

◆双対図形について
3次元の正多面体｛p,q｝の双対図形は｛q,p｝です．
｛p,q｝：正p角形の面が頂点でq個（辺がq本）集まっている．
この図形で面を頂点に変えた図形は，｛q,p｝となります．
同様に，｛p,q,r｝の双対図形は｛r,q,p｝になります．

◆4次元のイメージの万華鏡
雰囲気だけです（色々工夫していますが残念ながら困難なようです）．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/41/16122741/img_2?1410817831
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/41/16122741/img_3?1410817831