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日刊ベリタに紹介された記事の要旨をご覧ください．

この図鑑（「美しい幾何学」技術評論社）には美しい図形や不思議な図形がたくさん出てきます。そのような図形の仕組みを「見ているだけで理解できるように」したいのです。数式を使えば正確な説明が楽にできますが，そのためには，たくさんの数学準備の回り道があり，焦点がぼけてしまいます。小学生から大学生まで，本書の図を眺めているうちに，図形に隠された仕組みが自ずとわかることを狙いました。普通の数学書のように抽象的な記述だけで終始しません。
内容には大学の専門課程レベルのものもあり，初めはわからないこともあるでしょうが，何度も図を見ていると，不思議なことに理解できる時がきっと訪れるはずです。

実はこの本の各章は，万華鏡で繋がっているのです．1,2章は有限図形，3,4章は周期的な空間，5章は万華鏡，6章は円による反転という数学的な鏡，7章はフラクタル操作という数学的な鏡，8章はイスラミック・デザインの特徴を鑑賞します．それは，黄金比が多く，かつ，局所的に高い対称性がちりばめられた周期平面なので，あたかも我々の住む3次元に高次元宇宙が投影されているような不思議さが魅力です．数式は極力減らしたので，楽しめると思います．

0と1だけが並んでいる語を考えます．そのようなn桁の語をn-bit語と呼びます．
連続して1を含まないn-bit語はいくつあるでしょうか．
(1)n=1のとき，そのような語は，0,　1,ですから，計2個あります．
これをa(1)=2と書きます．
(2)n=2のとき，そのような語は，00,　01,　10で，a(2)=3個です．
11は1が連続するので条件に合いません．
(3)n=3のとき，そのような語は，
n=2のときの語の末尾に0を付加した，000,　010,　100，のa(2)個，
および，n=2のときの末尾に1を付加したものと言いたいところですが，
１の連続を避けるために，n=1のときの語に01を付加し，001,　101のa(1)個で，
互いに背反するこの両ケースを合わせて，a(3)=a(2)+a(1)=5です．

連続した1のない語の数の数列a(n)は，このような手順（一般のnで成立）で作れ，
2,3,5,･････と続き，a(n)=a(n-1)＋a(n-2)が得られます．
これはフィボナッチ数列の再帰的な定義そのものです．
フィボナッチ数列F(n)は，1,1,2,3,5,･････ですから，
a(n)は3項目から始まるフィボナッチ数列です．a(n)=F(n+2)

それでは，連続した111を含まないn-bit語の数はいくつでしょうか．
これも同様な議論で，a(n)=a(n-1)+a(n-2)+a(n-3)　となることが証明できます．

（問題）n個のコインを順番に投げて，連続して表がでない確率を求めよ．
（解）連続して表の出ないに相当する語の数はa(n)=F(n+2)でした．
n個のコインを順番に投げて実現する状態数は2ⁿですから，求める確率はF(n+2)/2ⁿとなります．

今年のとっとりサイエンスワールドの3回目（in倉吉）は8月25日の日曜日でした．
in米子7月30日（参加者891人）では，万華鏡は30人x4回，in鳥取8月4日（参加者1086人）では，万華鏡は30人x5回，in倉吉8月25日（参加者1090人）では，万華鏡は30人x5回を実施しました．
いずれの会場でも晴天に恵まれ暑い中，皆頑張りました．小さい子供達も一生懸命作って，
出来上がるととても喜んで見せに来ます．誰もがみんな達成感が味わえて満足でき，楽しい経験になるでしょう．このようなことで数学や理科に興味を持つ子が増えることを願っています．

万華鏡で説明すべきことはいくつかあります．（１）合わせ鏡：１対の平行な合わせ鏡が，直線上に並ぶ像を作り出すこと．（２）像の配列は市松模様（正像と反射像が交互に繰り返す）．（３）交差する鏡の作り出す映像の配列は円上に並ぶこと．（４）鏡の交差角θの2倍が市松模様のペアに対応し，円周上で映像が規則正しくつながるための条件は．360/(2θ）＝整数［割り切れること］．
4番目の理解には，1点のまわりは360°ということを知っている必要があり，この知識は4年生で学びます．

作業には，自然に身に着いた物質を扱う手先の感覚が必要なのです．これは大人（学問のあるなしとは関係ないようです．表面張力とか粘性とか知識はあるのですが）でもできない人が多いし，小さな子供でもうまく扱える人もいる．粘性のある液体を壁伝いに流し込み試験管の底まで導き，詰め込んだガラスくずの中の空気と入れ替えることが，なかなか難しいらしい．
昔の私たちは子供の頃，毎日水遊びや泥んこ遊びをしていて，これらの物質の性質や力加減は，すっかり身についています．あたかも熟練の職人がやるように試験管を回転させながらとか臨機応変な手で簡単にできるのですが．このようなことが身についていないと職人にはなれません．
そういう意味で，数学だけを勉強するのは本当はあまりお勧めしません．

数学では，√3　などと答えるのが正しいのですが，もの作りでは1.732などと少数で答える必要があります．これらの数値で四則演算するので，工学部の学生には，有効数字という概念を，まず徹底する必要があります．そうでないと，無駄な計算を際限なくやることになります．
このようなことも，学問以前の生活で身に着けるべきことではないかと思っています．

■サイエンスワールド（8月25日）の前日に倉吉に着きましたから，以前から行きたいと思っていた三徳山三佛寺に行って来ました。絶壁の中に建つ投入堂は役行者が法力で作ったという，日本一危険な国宝です．ハイキングではなく修験道の山ですから危険な箇所ばかりで，単独行は禁止されてます．知り合いになったシニアと4人のパーティができました．私以外の3人は山のベテランでしたので幸運でした．鎖で登るのも難所でしたが，下りはもっと難しいです．しかし，皆様の指導がよく無事生還できました．私は足のしびれがあるので足が攣ったときつらかったが，なんとか持ちこたえました．筋肉痛ですが翌日のイベントも盛況に終わりホッとしています．

投込堂や危険なコースのことは，後日項を改めます．

数理資本主義の時代だそうだ．この経産省の調査報告の表題には違和感はあるが，
　GAFA（Google，Amazon，Facebook，Apple）と言われるIT企業の繁栄を見れば，
ビッグデータを解析する数学が国富の源泉である（気に入らない表現だが）という主張にも一理ある．
米国では，ビッグデータの時代を迎えて，市民への数学啓発の「数学月間」も「数学統計学月間」に衣替えしている．
日本は米国に20年は遅れているといわざるを得ない．
経産省はあせっているようだが，ことさらに利用できる数学をそのように強調し，
強者になるための道具にすることには違和感がある．
高い年収が得られるとのキャンペーンに動かされて数学を職業とするのでは本末転倒，底が浅いと言わざるを得ない．

これまで，電気電子，計測などの工学部が応用数学の研究と教育を担っていたが，
コンピュータの発展により，数学能力が低下したのは事実と思う．
例えば，理論を何も知らずとも優れたコンピュータ・ソフトを操り，
良い結果を得る状況はしばしば目撃してきた．
しかし，これからのAI（ディープラーニングなど）は，コンピュータ・ソフトを使いこなしてもダメで，
データ・サイエンスの基礎となる数学（確率，統計，情報理論，グラフなどの離散数学，
線形代数，離散Fourier，トポロジーなど）は何でも総動員する．
近年，日本でも工学部にデータ・サイエンス部門が新設され始めている．
データ・サイエンスの基礎となる数学を扱うカリキュラムを作り出す工夫が最も重要であろう．

私は「数学では物は作れない」という意見も正しいと思う．
データ・サイエンスもデジタル制御も強力なコンピュータがあって初めて出来る．
そして，コンピュータが扱うのは数値（解析や予測）のみである．
工学は具体的に物や反応に働きかけねばならない．コンピュータ全盛前には
アナログ制御も工学が応用数学を発展させすばらしい成果を出しているではないか．
これまでの応用数学に敬意を払おう．
「コンピュータは役に立つが数学は役に立たない」とは誰も思ってはいないはずだ．

■2次元，3次元の格子点に配置された約数構造
左図の2次元格子｛2ⁿ･5^m｝は，素数２および５が生成する２つの1次元格子｛2ⁿ｝と｛5^m｝の直積で生まれる．10の2次元約数構造が，それぞれ格子点に配置されたものとみなせる．

右図の3次元格子｛2^p･5^q･3^r｝は，３つの素数2,5,3がそれぞれ生成する1次元格子｛2^p｝，｛5^q｝，｛3^r}　の直積で生まれる．これは，30の立方体約数構造が，3次元格子点に配置された構造とみなせる．

■4次元約数構造を，新設した1次元格子の格子点に配置してできる4次元＋1次元格子の約数構造で，この格子点は37037（右端の4次元超立方体）の約数構造と，新設した素数3の1次元格子｛3ⁿ｝との直積で得られる．

■まず210の約数の構造を例に，亀井図の性質を調べてみましょう．
210の約数の系統的な構造は，4次元の超立方体と同じ構造です．

210は4つの互いに素な素数の積210=2･3･5･7から出来ているので，4次元超立方体と同じ構造です．
頂点１のレベルには1個，頂点２のレベルには，4つの素数で4個．頂点６のレベルには，２つの素数の積で，4C2=6個．頂点30のレベルには，３つの素数の積で，4C３=4個．頂点210のレベルは，4つの素数の積で，1個です．4次元の超立方体には対象心があり，互いに点対称な頂点の積は210になることも理解できます．
4次元の超立方体の１つの次元（例えば，素数2の方向）を消すと，3次元の立方体の２つに分離します．同様なことを，それぞれの3次元立方体で考え，例えば，素数7の方向の次元を消すと，3次元の立方体は2次元の面（例えば1-3-15-5）に分離します．

このような性質を利用して，さらに高次元の6次元や7次元の超立方体を，同様に作れます．

■こんどは，5次元の超立方体を調べます．2310を素因数分解すると,2310=2･3･5･7･11ですから，2310は5次元の約数構造を持つ最小の数であるはずです．

この5次元の超立方体は，素数２の方向の次元を消し去ることで，4次元の超立方体1155と2310の2つに分離することはお判りでしょう．
5次元空間は，1次元空間と互いに直交する4次元空間の直積で表現できるからです．
あるいは，互いに直交する2次元空間と3次元空間の直積ともみなすことができます．
例えば，2次元空間の代表を1-2-6-3とし，3次元空間の代表を385とすると，
385，770，2310，1155　の４つの３次元の立方体を見ることができるでしょう．

続く⇒亀井図を素数のべき乗が作る1次元格子で拡張する

今日は広島原爆の日です．7月22日の数学月間懇話会では，秋葉忠利（前広島市長）さんの講演がありました．私も，秋葉さんの著書「数学書として憲法を読む」を今読んでいます．
憲法の明文規定を公理として読むと，いくつかの定理が導けるというものです．
そのような定理の１つに，改正してはいけない条項の存在があります．例えば9条や11条はそのような条項で，改正すると自己矛盾を起こします．

8月4日は，とっとりサイエンスワールドin鳥取市でした．多くの高校生，中学生ボランティアの参加がありました．全参加者は，1,086人ということです．万華鏡は5クラス実施し120人が万華鏡を作りました．

■約数の構造をわかり易く表示するグラフ（亀井図）について取り上げましょう．この詳細は，
亀井喜久男；1992年数理科学，1992年1月号，p68-73によります．

このようなグラフには数学のいろいろな分野で出会うことがありますから，その性質や応用をじっくり考えてみると面白いでしょう．数学月間の会でも，このようなグラフ（亀井図）について学ぶ機会を企画したいと思っています．

約数の構造に関しては，数学Aの研究課題として高校生にもなじみやすいものであるし，
高次元立体の解釈にも発展できるので興味深いものです．亀井氏は多元構造図とも呼んでいます．

 ■まず実例を示しますので慣れましょう：

（１）30の約数の構造．30=2･3･5

(2)　210の約数の構造．210=2･3･5･7

(3)　2310の約数の構造．2310=2･3･5･7･11

今回ここで見た30，210，2310の約数の構造は，それぞれ3次元，4次元，5次元の超立方体と同じ構造のグラフとなりました．大変興味深いことです．

7月28日（日）はとっとりサイエンスワールドin米子でした．891人の参加者があり，万華鏡は30人クラスを4回で120人が作りました．前日の27日（土）は米子がいな祭りで街は大変な賑わいでした．

さて，米子にあるとっとり花回廊で，期間限定の鏡の迷路をやっていることを知りました．どんなものかちょっとでも見たかったので，帰りに寄ることにしました．オープンが10時で帰りのシャトルバスが10時30分ですから，歩く時間を入れると迷路に居たのは数分でした．急ぐほど迷い込んでしまいますから，速く脱出出来て良かったのですが，もう少しゆっくり楽しみたかったです．

鏡の迷路は正3角形のタイル張りの世界を鏡で作っています．セルが正3角形だと隣のセルへの通路が３つですが，どれを選ぶか迷います．もしセルが正6角形で蜂の巣様だったら通路は6つあり，ものすごく面倒な迷路になるでしょう．作ってみたいものだと思いました．2列に並んだ正6角形セルの帯の上で，１つのセルから逆戻りしない条件で，ハチが移動するとして，n番目のセルにたどり着く異なる道の数はフィボナッチ数列1,2,3,5,8,･･･で増加することが証明されています．セルの数が増えればものすごく面倒な迷路が作れるでしょう．
■肝心の万華鏡のワークショップの様子レポートは，次の写真をご覧ください．

本日7/22は，先の号でお知らせした数学月間懇話会を開催しました．
たいへん楽しい会で懇親会も盛り上がりました．
プログラムは以下の様でした．
１．片瀬豊さんと数学月間，谷克彦
２．教育数学と高大接続，岡本和夫
３．数学書として憲法をよむ，秋葉忠利

今回のメルマガでは３の内容の一部だけのホットな速報です．
秋葉忠利（前広島市長）氏の講演は，同名の書籍の発売に合わせタイムリーです．
都合に合わせた解釈や改憲がまかり通るようではなりません．
この時期に特に国会議員は心して読むべきでしょう．
憲法の全体は，無矛盾，自己完結するとして，文字通り憲法を公理の集まりと見て
素直に読んでみます．すると，論理的にいくつかの結論（定理）を導くことができます．
まず面白いのは，
憲法改正の手続き規定である96条の対象にならない「改正不可条項」があることが示されます．
改憲禁止の条項があるとは明示されてはいないが，論理的にそのような結論になる条文は
かなりの数（8か条）あることを論理的に導いています．改正不可能な条文もいれて，
改正の対象にならない条文は30か条を超えるそうです．また，96条は改憲のための必要条件に過ぎないそうです．
義務という言葉は素直に法的義務と読むべきなのですが，
都合の悪いところは道義的要請とよむ「憲法マジック」が通用しているそうです．
99条に対してそのような曲解がなされています．
「国民の総意」というのは大事な文言ですがその意味するところは深いですね．
多数とは違い総意なのです．ゆっくり読んでみましょう．

以下の写真はオーボールという赤ちゃんのおもちゃです．

球の表面は互いに接する大きい円20個と小さい円12個でできています．
円を正多角形にすれば，いわゆるサッカーボールの形で，正6角形20個と，正5角形12個です．
正12面体と正20面体は互いに双対な多面体で，
オーボールの小さい円は正12面体の面，大きい円は正20面体の面に対応しています．
オーボールの大きい円は正12面体の頂点，小さい円は正20面体の頂点になり，
両者の頂点32個でできるサッカーボールに双対な多面体は菱形30面体です．

菱形面の対角線比は黄金比です．
さて，大きい円と小さい円の半径の比はいくらでしょうか？
（解答）これはC60（フラーレン分子）と同じ形なので，
正5角形の1辺も正6角形の1辺も同じ長さ（C-C結合のボンド長）ですから，
オーボールの大きい円と小さい円の半径の比は，
辺の長さの等しい正5角形と正6角形の外接円（あるいは内接円）の半径比となります．

■不特定市民を対象に数学への共感を呼びかけるMSAM
米国の数学月間MathsAwarenessMonthは1986年のレーガン宣言により始まりました．
1989年には昭和が終わり，1991年はベルリンの壁崩壊，ソ連邦解体と続きます．1990年には日本の製造業（例えば半導体）は世界一位になります．レーガン宣言は「数学は万学の基礎であり，国力（産業）の基礎である」と謳い，工業力の基の数学力の低下の危機をくい止めようとの政策でした．こうした背景下で，1986年に創始された数学月間MAMは，毎年その年の統一テーマ（1994数学と医学，1995数学と対称性，etc.）を決めて，大学などを拠点に，毎年4月に全国各地で展開されます．統一テーマの変遷をみると公平に見て非常に納得のいくものです．数学関連4学協会が協力したJPBM(Joint Policy Board for Mathematics)が次年のテーマを決め実施します．
日本では，米国のように社会と数学は無縁でないことを啓蒙する動きは弱く，小林昭七教授から米国MAM情報を聞き監視していた片瀬さんが，見かねて日本の数学月間を提唱（2005年），私たちのボランティア活動が始まりました．米国に20年遅れていますし，その規模は比較にもなりません．
■90年代は，世界的な生産の空洞化の始まりです．それ以前から起きていた理数科離れは，これによりさらに加速されます．80年代は，サンシャイン計画，超LSI技術研究組合など，官民共同の技術開発が隆盛で，私たちもアモルファスシリコンの研究をしました．成果が出て技術が完成しても，商品とならないことを，このとき私も経験しました．製造コストで中国に負け生産の空洞化の連鎖が続きます．研究費削減，技術者集団の解散冷遇の社会が，理数科離れのもとになったと思っています．1990年に世界の頂点に達した日本の半導体技術も，その後は衰退の一途でした．
空洞化はグローバル企業による属国化を進め，ラチェット原則による規制撤廃，労働者の流動化，などは，国家の主権を守れず民主主義の危機に陥っています．
■90年代は日本では理数科離れとゆとり教育の時代でした．米国も同様に理数科離れはあったのですが，米国の数学月間MAMは，数学と社会のかかわりを数学の入門から先端まであらゆるレベルで学習できる非常に優れた指標を与えました．
2017年からMAMは統計学Statisticsを加えてMSAMになりましたが，これもGAFAで象徴される大量情報の状況に対応したものです．STEM教育という科学技術工学数理の融合重点教育も米国で始まったものです．
市民に対して数学への共感を惹起する，米国のMAMやMSAMのような活動が日本でも重要です．

■生徒を対象に豊かな数学を体験させるNMF
米国国民数学祭りNationalMathsFestivalは，MSRI(Mathematical Sciences Research Institute) がMoMathなどと協力し,毎年5月［今年は4日（土）］に，ワシントンDCと40州の科学博物館で実施しています．あらゆる年齢層の2万人の参加者があります．もう少し地道に，学校カリキュラムや試験準備でない豊かな数学能力を育てる活動が，米国の「数学サークル」や「数学の月曜日」です．学校カリキュラムと併用するので，能力別教育により個性を伸ばすことができます．
日本のゆとり教育は，意欲のある生徒と有能な教師にとっては有効であったが，画一的な教育では時間の浪費になりました．
•数学サークル（月1，地域の大学に実施）
•数学の月曜（週1の昼食時，ゲームなどの教材がある）

■ゆとり教育は2002年から実施され2008年に終わりました．学力低下の弊害などが指摘されています．しかし，その理念は競争社会へのアンチテーゼであり，望ましいことでした．「総合的な学習の時間」が作られ，豊かな学習プログラムが可能になり，私なども全国各地の学校に行き万華鏡の授業をしました．子供達には楽しいイベントになり，ほんの少しは数学に興味を持ったでしょう．面白いところだけやる一回きりの授業ですから，毎日授業をしている先生方にはずいぶん迷惑をかけたのではないかと思います．
■ゆとり教育では，少数点以下１位の数までしか使わないとか，円周率は３にするとかがよく例にされます．これは，計算を簡単にして，主題の問題に思考を集中するためなのでしょうが，数字の概念を歪めてしまう欠点があります．数直線上の点は連続で，実数に対応します．「実数」という述語はまだ使わないとしても，将来出会う概念の準備をしたい．「整数」は「実数」のうちの特別なもの．「実数」には分数で記述できる有理数と，分数では記述できない無理数があること．円周率は無理数であることに気づくときがいずれ来ます．自分の知っていた数が属する広い数の世界の体系に感動するでしょう．円周率が整数であるかのような単純化は有害です．

ゆとり教育が終わり，新指導要領とのことですが，分数は分母が2の冪乗のものと，その他の数の場合とは，別々の年度で教えるそうです．2の冪乗は丸いピザの分割で説明しやすいというのがその理由だそうです．しかし，分数の定義では何等分でも一貫したやり方が，概念の把握を明確にします．わかり易くしようとして，数学概念をゆがめるのは有害です．
■さて，ゆとり教育の始まる以前の80年代から，理数科離れと学力低下は始まっていたようです．このような社会風潮は，90年代に始まる産業の空洞化と無縁ではないと思います．報われない技術者と社会の数学軽視の風潮，両親の数学軽視は子供の理数科離れを生み，産業の空洞化はさらにその傾向を加速する負のスパイラルになりました．1990年に世界1位になった日本の半導体技術の凋落ぶりは今や見る影もありません．グローバル企業による属国化，規制撤廃は民主主義の破壊へと向かっています．⇒理数科離れと産業空洞化

■1989年のレーガン宣言ではじまった米国の数学月間活動MAMは，万学の基礎である数学へ関心をもち，産業力の低下を防ぐことを国民に呼びかけます．2017年から，大量データの時代に適応して

数学統計学月間MSAMになりました．学校のカリキュラムと異なる豊かな数学を楽しむ国民数学祭NMFや，数学サークル活動，これを補完する数学の月曜日活動もあります．これらの活動の併用により，能力別数学教育（日本のゆとり教育の欠点は，画一的な実施にあったと思います）の効果が出ているようです．

球の表面積は，球の半径をRとすると４πR²となることは，知っていると思います．

 球の表面を円周が2πRsinθ，幅がRdθの円環に細分し，これを0≦θ≦πで積分して球の全表面積4πR²が得られます．
$$\displaystyle \int_{0}^{\pi}2\pi Rsin\theta \cdot Rd\theta =4\pi R^{2}$$

πR²は，半径Rの球を射影した影（半径Rの円）の面積ですが，球の表面積は，なぜ影の4倍になるのでしょうか．

球表面の円環を球の断面円(赤道の断面)に射影すると，円環の円周の長さ2πRsinθは変わりませんが，幅はRcosθdθになります．上半球の円環をすべて断面円内に射影すると面積πR²の円を埋めます．πR²sin2θdθを0≦θ≦π/2で積分したπR²が得られます．$$\displaystyle \int_{0}^{\pi /2}\pi R^{2}sin2\theta d\theta =\pi R^{2}$$
確かに，球の表面積は，自分の影の4倍であることが計算されます．

■これは，球を包むシリンダーをスクリーンにして，下図のような射影しても説明できます．

球の表面の微小な面積（緯線と経線で囲まれた矩形）を，球を包むシリンダーのスクリーンに，地軸に垂直平面に沿って射影すると，投影された矩形の縦横の比は変わりますが，面積は変わりません．このことから，半径Rの球の表面積は，幅2R，周囲2πRの長方形（シリンダーの展開図）になり，その面積は4πR²になることがわかります．

 一般に，正多面体の表面積と影面積（方位平均をとったもの）の比は4のようです．正多面体の極限としての球の場合は，表面積と影面積の比が正確に4になります．

詳しくは3Blue1Brownをご覧ください．　https://youtu.be/GNcFjFmqEc8

Fairfax Math Circle（FMC）は，探求と問題解決に焦点を当てた数学を豊かにするプログラムです．やる気のある学生に，数学への理解を深める機会を提供することを目的とします．数学とは何か，数学者になるとは何か，ということの生徒の認識を広げようとしています．
より深く数学と遊べる道具と，新規なやりがいの探求に快適な環境を学生に提供します．FMCは，伝統的な学校カリキュラムでは扱わないような数学概念に彼らをさらすように努めています．FMCがやるのは，補修，テスト準備，競技の数学ではありません．非標準のトピックスや，伝統的なトピックスでもさまざまな観点から深く見ていきます．学生は多くのことを学び，あらゆる種類の数学の意欲的で効率的な学習者になりますが，標準的な数学カリキュラムを加速するわけではありません．

サークルのリーダーは通常プロの数学者（大学教授または大学院生）で，家族のボランティアも受け入れます．
6-12年生のDCメトロエリアに住んでいるすべて意欲のある生徒は資格があり，２つのグループがあります：
グループπ：代数1を修了した中学生のためのもの
グループe：代数2を修了した高校生のためのもの
すべてのセッションは George Mason大学で行われます．会費は家族1人あたり100ドル．2018/19学年度は、秋に9回、春に9回、合計18回のセッションがあります（日曜日に実施されるらしい）．
http://www.fairfax-mathcircle.org/

3Blue1Brownのyoutube動画をご覧ください．

コーヒーカップの表面に，3つの家と３つのソース（ガス，電気，水）があり，
パイプラインが交差しないように，３つのソースと3つの家を繋ぎます．
いくら頑張っても交差箇所が1つできてしまいます．

 頂点の数V，辺の数E，面の数Fとすると，V-E+F=2　がオイラーの多面体定理ですが，
図のように面（領域）の数は４つ（黒い地の部分も１つと数えます）で，
6－８＋４＝２とオイラーの定理が成立しています．
３つの家はそれぞれ３つのソースに結ばれるわけですから，辺（パイプライン）の数は９本ありますが，頂点６と面の数４ですから，最後のパイプラインはどうしても繋げません．

さてここで，コーヒーカップで実験をしている理由がわかります．
コーヒーカップの取っ手の部分をうまく使うのです．取っ手の中を通り抜けるパイプラインと取っ手の上を這わせるパイプラインで立体交差になります．

コーヒーカップは，穴が１つある浮袋のような位相表面です．先のオイラーの多面体定理は穴のない位相表面に対する表現なので，穴の開いている位相表面では定理が少し変わります．
注）トーラスでは，面の数が2つ減り，頂点の数が3つ減り，辺の数が３つ減るので，V-E+F=0　が成り立ちます）

このような教育グッズがたくさんあり提供されるようすが，国民数学祭NMFのサイトで見ることができます．

60÷5(7-5)＝？
この答えは24ですか6ですか
60÷5x2＝？と聞かれれば，24と迷わず答えられる人が，なぜ6と答えたくなるのでしょうか．これは５と()の間にxが書かれていないことが心理的に影響すると思います．
5(7-5)は文字式のような錯覚に陥り,ひとまとめにして数値を出したくなります．
÷とxの演算が並んだ式は，前から順番に演算するのが決まりです．

割り算を使わず掛け算だけで書き直すこともできます．例えば，

60÷5x2＝60x(1/5)x2　のようにです．

60÷5(7-5)＝を，分数で書いてみましょう．しかし，

5だけが分母に来るのか，5(7-5)が分母に来るのか不明確です．
(60/5)(7-5)のことなのか，60/(5(7-5))のことなのか，かっこを1組追加すれば明確になります．

逆ポーランド式に，二項に対する演算の繰り返しとして計算手順のグラフを書くと，
解釈の異なるそれぞれの計算手順は以下のようになります．

■さて，文字式の場合は係数と文字の間のx記号は省略されるのが普通です．

9a²÷3a＝の答えは，3a か，3a³のどちらが正しいのでしょうか？

雰囲気的には3aですが，式の機械的な記述は曖昧です．

このような曖昧さを避けるために，()を用いて明確にすべきです．

9a²÷(3a)＝3a　あるいは，(9a²÷3)a＝3a³のようにはっきりさせましょう．

数学月間SGK通信 ［2019.06.04］ No.269
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
2019年の国民数学祭（National Math Festival）は，5月4日（日曜日）に
ワシントンDCと40州の科学博物館で実施されました．
数学のなかを旅し，発見し，ゲームをし，コミュニティのなかで数学の無限の力と喜びを祝いました．
数理科学研究所（MSRI），および高等研究所（IAS）と国立数学博物館（MoMath）の共同研究者は，
この日の素晴らしい成功をもたらした皆様の支援と貢献に感謝します．
ソーシャルメディアであなたの写真を私たちと共有してくださいとのメッセージがあります．
楽しい数月祭りの様子の多くの写真が公開され，雰囲気を知ることができます．
ワシントンDCと各地の科学博物館に，あらゆる年齢の2万人の数学愛好者を惹きつけたものは何でしょうか．

数学の月曜日（Math Monday）という動きがあります．以下にその特徴を述べます．
■楽しい： 子供たちに数学を楽しんでもらいたいので，自分の遊びたいものを選びます．
■無料：ゲーム費用を除いて，始めるのに何もかかりません．
■簡単：始めるのに少数の人々ででき，運営は週に数時間です．
■ボランティアが運営：両親を含み，教師には負担をかけません．
■すべての子供が対象：すでに数学を楽しんでいる数学の弱者だけでなく，すべての能力の子供たちのために．
■ソーシャル：私たちのゲームは子供たちが一緒に遊んで学ぶことを奨励しています．
■毎週（数学月曜日）：数学サークルのような毎月のイベントを補完します．

数学の月曜日（MathMonday）をあなたの学校や家庭で始めましょうと呼びかけています．
数学の月曜日はとても良いことで，これは日本の小学校のカリキュラムと全く逆の動きです．
数学の月曜日のやり方は：
- 時間と場所を決めましょう．学生が誰でも来れるような多目的室や図書館のような広い公共スペースで，
昼食時に毎週実施することをお勧めします．
- 保護者のボランティアを参加させ，校長，学校，PTAの支援を受けます．
数学の月曜日で使える無料で提供できるいろいろなゲームがあります．
例えば，
1. ブロックス（プレーヤー４人）
テトリスのようなピースをボードに置き,領土を主張します.
空間的思考力を養います.
2. セット（プレーヤー2～6人）
色，形，数，模様を見て，セットを構成する3枚のカードを見つけます．
３．　プライムクライム（プレーヤー2～4人）
素数の加算，掛け算，をし，1から101までピースを進めます．
４．　ラッシュアワー
赤い車がでられるように混雑した敷地内で車を滑らせてグリッドロックを脱出．

■数学パズルは，論理，空間思考，計算技術を開発します．
次の問題に挑戦してください：
各式の４つの空所に，すべて１，２，４，７という数を入れて，式が成立するようにしてください．
□＋□＋□＝□
□＋□＋１＝□□
□□＋□□＝５９
□□＋１４＝□□
５□＋□□＝□５

今日は，YouTubeにある動画の話をします．たいへん興味を引く動画なので，ぜひご覧ください．
この動画の発信元3Blue1Brownは，Grant Sandersonが作ったYouTubeのチャンネルで，
なかなかよくできた可視化された数学入門です．

動画は，物体mは静止しており，物体Mは初速度v₀で摩擦のない台上を滑る所から始まります．
Mやmはそれぞれの物体の質量（M>m）で，左側は壁です．
衝突はすべて弾性衝突とすると，エネルギー保存（１）と運動量保存（２）が成り立ちます．

（１）は楕円の式ですが

　　の変数変換をすれば，新しい変数v₃を採用したv₁，v₃平面では半径v₀の円になります．
（２）は，2つの物体m,Mが衝突したとき2つの物体から成る系全体の運動量が保存される（運動量変化が０）ことを示しています．こちらの式も，v₂からv₃へ変数変換すると，v₁，v₃平面で傾き-√M/mの直線になります．物体mとMの衝突後に分配される速度変化⊿v₁と⊿v₂の比は，それぞれの質量に反比例するわけですが，質量mの速度v₂を変換したv₃に対しては，v₁，v₃の速度変化の比はそれぞれの質量の平方根に反比例します(2')．つまり，v₃＝－√(M/m）v₁＋C　で，傾き-√(M/m）の直線です．

物体mが壁と衝突するときは，壁は動きませんから，v₃の符号のみ変えます．
横軸を速度v₁，縦軸を速度v₃としてグラフを描くと，
式（１'）は，半径がv₀の円で，エネルギーが保存される系の状態はいつもこの円上にあるべきです．式（２'）は運動量保存を示すグラフで，（-v₀,0）の点から出発し傾きー√(M/m)の直線です．
この直線が円と交差する点が，物体mと物体Mの最初の衝突後の速度v₁，v₃の状態です．
その後，物体mはそのまま滑り壁に衝突し，v₃だけが符号を変えます．これは，最初の衝突点のv₃の符号を変えた円上の点になります．
このように続けると，円内に納まるのこぎり歯状のグラフができます．

衝突のたびに円周上の，のこぎり歯の先の状態を移るわけで，衝突回数を求めることができます．
YouTubeのアニメーションのように，Mの質量を増加させると，直線（１'）の傾きが急になり，
のこぎり歯が細かくなるので衝突回数は増加します．
きちんと計算すると，tanθ＝√(m/M)として，

衝突回数Nは，N=２［π/2θ］となり，
Mが大きくなればなるほど，Nは大きくなります．（［］は数値の整数部分）

m/M＝10^-2pとおくと，Mが大きくなる（p→∞）のとき，N→π×10^pの整数部分になります．

この記事は数を記憶する方法 https://note.com/sgk2005/n/n15dcfd723999 の続編です．

藤井聡太君の活躍はすごいですね．彼の頭には自分の棋譜はもちろんのこと数多くの棋譜が記憶されており，盤面の映像として取り出せるのでしょう．2019年，5月19日の日本数学協会の講演会の一つに，田村聡子氏（大阪市公立小学校教諭）の講演「ソロバンを取り入れた算数」がありました．
今日の学校教育は，教科書からはみ出たことは一切できない，指導要領にないことは入る余地のない時代だそうです．そのうえ，ソロバン塾よりも公文に行ってしまう時代で，ソロバン教育はなかなか大変です．

私も小学生の頃，ソロバン塾に数か月通ったことはあります．たし算ひき算しか出来ない初級ですので，上級者の技には感嘆するばかりです．その脳の働き方は想像もつきません．
田村先生の話によると，数字がソロバン珠の配列パターンで見えるそうです．私も暗算の時はソロバンを見ていた方が楽ですので，その状態はなんとなく想像できます．

2014/06/10発行のメルマガ13号で，「数を記憶する方法」という英国のエッセイを紹介したことがありますが，3.141592...などの数字の列を，色彩豊かな色の列として見る人がいるそうです．
記憶術でも，こじつけのストーリをつくり，それを映像化して記憶するという方法があるそうです．どうも映像で覚えるのが決め手のようですね．私にはかえって面倒でその良さがわかりません．
日本語では語呂で覚えることはよくやります．英語の語呂合わせは日本語よりも面倒で，この点では日本語の方が有利なようです．

√5＝2.2360679は「富士山麓オウム啼く」とやる方が，各数字を同じ韻を踏んでいる言葉と結び付け（例えば），oneワン＝バンbun，twoトゥー＝シューshoe，threeスリー＝ツリーtree，fourフォー＝ドォーdoor,.....などとやるより優れているでしょう．

■ソロバンの上級者は，数字でも英語のアルファベットでもピアノの楽譜でも，ソロバン珠の配列パターンで見えるそうです．ソロバンの上級者になると，英語にも音楽にもこの能力は役立つそうでうらやましい限りです．
読み上げ算や読み上げ暗算では，ものすごいスピードで読み上げるのを
聞き逃さず，聞き分け，記憶する．その集中力がすい．
試験会場の自分の座席とスピーカーの位置で，聞きやすい座席位置と聞きにくい座席位置があるそうですが，その違いが明瞭に出るほどの極限状態の集中力です．
場所は指定されているので始めは運ですが，間違った人が抜けて前に詰めるときは，聞きやすい場所を見抜ける人は皆，そこを狙っているそうです．
そろばんの頭の使い方と集中力はいろいろなことでも役立つでしょう．

今回の多面体は，互いに双対な立方体と正８面体を重ね合わせたときの共通部分です．
従って，これらの多面体の対称性は全部同じです．

Fig.1の円盤内部は双曲幾何の支配する世界で，ポアンカレの円盤モデルと呼ばれます．
この円盤世界の直線は，円盤の縁に直交する円弧です．もちろん，円盤の中心を通る直線は円盤の縁で直交するので，この円盤世界でも直線です．
この円盤世界は，正7角形のタイルが頂点で３つ集まるように敷き詰められています［双曲面の正則分割｛7,3｝］．正7角形の辺は，この双曲世界の直線でできています．
直線に沿って円盤の縁に向かって進んだとすると，自分の世界もどんどん小さくなり縁に到達するには無限の時間がかかるようになっている世界です．
｛7,3｝分割の正7角形のタイルは，円盤の縁に近づくにつれどんどん小さくなっていますが，円盤の中にいる人にとっては全部同じ大きさ（言葉をかえれば円盤内は無限に広い）です．

Fig.1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Fig.2

コクセター万華鏡は，正7角形タイルの中を14個の直角3角形(7,3,2)に分割してできます．この直角3角形の頂点の角度は（π/7，π/3，π/2）ですから，直角3角形(7,3,2)と略記しました．

この直角3角形を鏡室にして作った万華鏡をコクセター万華鏡と呼ぶことにしました．
それは，同様な分割｛6,4｝の論文をコクセターがエッシャーに送って，それがエッシャーの極限としての円の作品を生んだからです．
｛7,3｝分割を直角3角形(7,3,2)のコクセター万華鏡にすると，Fig.2のように3角形のどの頂点周りにも偶数の直角3角形が集まるので，円盤内の世界全体が市松模様になります．

円弧の1つを円柱鏡にして，この円弧で分けられた左世界の像を映し出した実験をした撮影してみましたFig.3．右世界の像は左の世界の鏡像なので，円柱鏡を境として市松模様が逆転しているのがわかるでしょう．
Fig.3

円柱鏡（円の内側で反射）の焦点は収差のため，このような曲線になります．
このような反射光線のが作る包絡線の形を“火線”といいます．
この曲線の形はネフロイド（サイクロイドの仲間）と呼ばれます．

 ■コクセター万華鏡
このコクセター万華鏡は直角3角形(7,3,2)の辺を鏡にして作られます．
この双曲幾何のポアンカレ円盤世界の直線は，円盤の縁で直交する円弧です．

双曲面の正則分割｛7,3｝の正7角形を，直角3角形(7,3,2)で細分したコクセター万華鏡を示します．

この万華鏡像は，
直角3角形(7,3,2)の辺を鏡にして，円による反転（数学的演算）により得られます．

しかしながら，円柱鏡による反射像には収差があるので，反射を繰り返すとボケてしまいます．
円柱鏡の1回反射の実験例を示します．右側世界は左側世界の鏡像なので，市松模様が鏡面に沿ってずれているのがわかるでしょう．

■風が吹けば桶屋が儲かるバタフライ効果

バタフライ効果とは，気象学者のエドワード・ローレンツが1972年にアメリカ科学振興協会で行った講演のタイトル”予測可能性：ブラジルの1匹の蝶の羽ばたきはテキサスで竜巻を引き起こすか？”に由来します．

複雑系では，単純な因果列ではなく，あらゆる原因がどの結果にも反映されるので，予測できない結果をもたらす可能性があることを言います．

□定まっているようで定まらない運命

系の運動を記述する方程式は正しく作れるのだが，この方程式の解析解が求まる（可積分）とは限りません．現実は，非可積分の場合がほとんどで，教科書で習う可積分の場合は例外的幸運な場合です．1880年代にポアンカレは，ニュートンの運動方程式ですべての運動が定まっているはずの世界で，三体問題は解析解が得られないことを証明しました．

□非可積分の世界とバタフライ効果

非可積分の方程式の解は，コンピュータによる数値計算で求めることができます．しかし，このような系の解では，方程式のパラメータや初期値によって，解が分岐したりカオスと呼ばれる定まらない状態になったりします．

このような状態は，ロジスティク写像の漸化式X_n+1＝aX_n(1-X_n)　や同様な漸化式　X_n+1＝X_n²＋λ　でも見られます．ここで得られる実数列　X_n（n→∞）が，実数パラメータλやaの値により，振動したり発散したり，定まらない状態になったりすることが起こります．また，初期値のごくわずかのずれが，X_nの劇的な変化を生むことがあります．これがバタフライ効果と呼ばれる所以です．

■マンデルブロの登場とフラクタル

IBMトーマス・J・ワトソン研究所にいたマンデルブロは，綿花などの価格変動を調べていて，不規則な変動データの中に隠れている自己相似性を見つけフラクタルとなずけました．フラクタル幾何学は1982年に発表されました．

 マンデルブロ集合（奇妙なフラクタル構造）と言うのは，

f(z) = z² + Cという写像で生まれる複素数列を，

初期値z₀ = 0として，z₁ = f(z₀), z₂ = f(z₁), …とくり返し計算し，n → ∞で|z_ｎ|が発散しないような，複素平面上の複素数Cの集合「初項z₀ = 0に対して，発散しないCは何か」のことです．

マンデルブロ集合の境界（数列が発散する/しないの限界）ではカオスの発生があり，美しく不思議に入り乱れたフラクタルが見られます．

 Fig.1

 菱形30面体と12・20面体とは互いに双対な多面体です．双対の説明はFig１に図示しました．さらに，12・20面体は互いに双対な正12面体と正20面体とを重ねたときの共通部分でもあります．

注）Fig.1の重な合わせでは，共通部分はサッカーボール［5,6,6］の半正多面体ですが，正20面体のを少しづつ大きくしていくと，［5,3,5,3］の半正多面体（12・20面体）になる点があります．

菱形30面体の頂点は，正12面体の頂点（3回軸の位置）と正20面体の頂点（5回軸の位置）とから構成されています．菱形面の短対角線（正12面体の正5角形面の辺長）をaとし，長対角線（正20面体の正3角形面の辺長）をbとすると，a:b=1:Φ＝2:1+√5　の黄金比です．正12面体の頂点のうちの8個を使い，一辺Φaの立方体を内接できるので，正12面体の外接球の半径は，R₁₂＝√3Φa/2です．
一方，正20面体の外接球の半径は，R₂₀=(b/4)√(10+2√5)です．

寸法をa=2，b=1+√5，Φ=1.618にすると，R₁₂=2.80，R₂₀=3.08が得られます．
実際の製作は展開図に記入した寸法（10倍）にすると作り易いです．

ミラー紙（厚さ0.25mm程度の厚紙）を使って，展開図の鏡を作りピラミッド（内側が鏡）のような形に組み立てます．O点は立体（ピラミッド）の中心に相当し，O点の周囲は光の窓になります．覗くのは菱形面（ピラミッドの底面）の外部からです．

針金で正4面体ABCDを作り，持ち手をつけて，正4面体をシャボン液の中に浸してからゆっくり引き上げると，どのような面にシャボン膜ができるでしょうか？
実験してみてください．針金枠の正4面体の面にシャボン膜ができると思いますか？

多分，正4面体の中心Oと正4面体の辺でできる三角形，例えば，△OABなどの膜ができると思います．正4面体は辺が6個ありますから，このような膜は6枚あります．
Oから正4面体の各頂点へ，線分OA,OB,OC,ODの4本がありこの線分が３つのシャボン膜の境界になります．
（１）Oから正4面体の各頂点に向かう線分同士のなす角度は何度でしょうか？
（２）△OABのような６つの膜が1点で出会うOのような点が必ずできるでしょうか？
（３）正4面体の４つの面の面積合計と，△OABの面積x6とでどちらが大きいでしょうか？
（４）どのようなシャボン膜の形のつり合いが実現するでしょうか？
色々な疑問が起こり難しい問題です．実験してみて推測してみましょう．

 針金の枠が立方体のときは，どのような膜の形になるでしょうか？

実験してみると下図のような膜ができると思います．
このような膜の形ができることを説明してください．

1976年，ドイツのRegensburg大学のKurt Fischerは，神経の生理学モデルを研究し，フィボナッチ数の発生をここでも発見した[177]．神経繊維に沿って移動するインパルスは，ナトリウムまたはカリウムのイオンに由来し，n>=2の細胞からなる同一の膜貫通孔を通って流れる．微量のカルシウムイオンCa²⁺が孔に入ると，孔内のナトリウムイオンNa⁺の流れを止めることができる．
これらのイオンは，細孔の入り口を除いて，それぞれ1つまたは2つの細胞を占有することができ，これらの２つの状態をそれぞれ１あるいは２と標記する．図3.39は典型的な孔の状態で，0と表示したのは空の細胞である．

ナトリウムは，孔のいずれの端でも出入りすることができるが，カルシウムは孔の左側でのみ出入りできると仮定する．その結果，孔内のカルシウムイオンは，この孔を通るナトリウムの流れを妨げる．
ロシアの数学者Andrey Andreyevich Markov （1856-1922）にちなんで名付けられたこのマルコフ確率過程は，ツリー構造で表すことができる．木の頂点は細孔の可能な状態を表し，そのエッジは状態間の可能な遷移を表す．たとえば，図3.40に，5つの空でない細胞を有する孔の様々な可能な状態を示す．
図３．４０

ツリーは2種類の頂点で構成されていることに注意せよ．すなわち，右端のセルに1，あるいは，右の2つのセルの中央に2があるものだ. レベル5のすべての状態は後者で，状態の右側にカルシウムが存在するため，ナトリウムイオンの右への移動がもはや実行可能ではない．図3.41に図3.40のツリー骨格が描かれている．これは図2.1のフィボナッチツリーに非常に似ている．いずれの図からも，5つの空でない細胞を有する孔は，レベル5に5=F₅個の状態を有することがわかる．
図３．４１

一般的に，n個の空でない細胞を有する孔は，レベルnにF_n個の状態を有する．これは，レベルnの状態数がフィボナッチ再帰関係を満たすことからわかる．

1963年，カリフォルニア州サンノゼにあるサンノゼ州立大学のS.L. Basinは，”電気ネットワークに関心のある人々まで，我が友フィボナッチから逃れることはできない”[23]と書いた．ここでは，フィボナッチ数が電気ネットワークの研究にどのように現れるか示そう．

今年の桜

■NPO法人「数学月間の会(SGK)」（理事長岡本和夫）が設立されました．
詳細は新ウエブサイト　http://sgk2005.saloon.jp/　をご覧ください．
数学月間の会の会員募集中です．ご支援のほどよろしくお願いします．
問い合わせや会員登録は　sgktani@gmail.com　

■数学月間の会とは
数学はあらゆる文化・学術の基盤で，科学，工学，産業，芸術，医学，経済など，社会のあらゆる分野を数学が支えています．しかしながら，一般市民，特に，生徒・学生とその両親は，数学学習を敬遠する風潮にあり，これが数学力の低下をもたらしています．

米国では，1986年4月17日のレーガン宣言により国家的な行事として「数学月間」MAMが開始され，今日に至ります．米国MAMは，数学系の学協会が参加するJPBM（Joint Policy Boad for Maths）が，毎年，社会を反映した数学テーマを選定し，毎年4月に種々の数学イベントを展開し，国民からの事後評価も受けます．皆が知りたい時局の数学を，種々のレベルで学習できるウエブサイトができ，そこにエッセイや論文が集積され，そのテーマの数学を基礎から最先端まで，学生が独習できる優れたガイドになります．MAM期間には，一般から専門家まで，小学生から大学生まで，いろいろなレベルのイベントが全国で展開されます．米国が国家的行事のMAMを決断した背景には，国民の数学力が低下し，米国の産業力も低下するとの焦りがありました．日本も同様な状況にあるものの，国家的行事の数学月間は実施されておりません．

近年，日本でもSTEM（科学・技術芸術・工学・数学）教育が叫ばれていますが，これも2003年に始まった米国のSTEM教育に源を発します．これらの科目の中で統合的に数学を教える試みは良いことですがまだ成功していません．数学月間の視点はSTEM教育へも貢献できるものと思います．

数学を学ぶ同好会，塾，講習会，講演会などは種々あります．これらも重要であるのは言うまでもありませんが，我々の目指す「数学月間」活動は，このような数学同好者の内部にとどまる活動ではありません．数学がかかわるあらゆる分野を横断して数学を紹介する数学外の一般市民に向けた活動です．

一般市民，学生，生徒に対し，数学が社会を支えている事例を，わかり易く啓蒙する事業を行い，数学への社会的共感を獲得し，社会に数学文化を普及させ，社会の発展に寄与することを目的とする市民の活動です．どうぞ活動にご協力ください．

日本の数学月間は，2005年に日本数学協会が7/22-8/22を数学月間と定めたことに始まります．任意団体「数学月間の会（代表；故片瀬豊）」は，2005年の発足以来，ボランティア・ベースながら，毎年，数学月間の初日7/22に，数学月間懇話会を開催し，計37件の啓蒙的な講演を一般市民に対し実施することで，数学啓蒙活動をこの時期に集中し，数学の重要性を社会にアピールしてきました．このような数学月間活動は，米国MAMのように国家的行事として行うべき性質のもので，個人寄付金とボランティア・ベースで行う現状には限界があります．数学同好会ではなく，活動を社会に波及させるためには，NPO法人格を得た「数学月間の会」が，数学の内部にとどまらず社会の諸分野に横断的に呼びかけ活動し，「社会と数学の架け橋」になることが必要でした．

4月から新しい「数学月間の会」の会員になり，一緒に活動しませんか．

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数学月間SGK通信 ［2019.03.26］ No.260
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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周期的な2次元平面の互いに独立な並進ベクトルは2方向とれます．
これら2本の並進ベクトルが挟む平行４辺形を単位胞といいます．
並進ベクトルの組み（単位胞の形）を対称性で分類したものがブラベー格子です．
2次元のブラベー格子には，図に示す5種類があります．
そして，それぞれに対応する格子の図も掲載しておきました．

さて，以下に伝統文様を10種挙げました
図の中に赤色ベクトルで，並進の周期を書き込んだ図もあります．
１．書き込んでない図にも赤色ベクトルを書き込んでみましょう．
赤色ベクトルの選び方はいろいろ可能ですが，
単位胞の形（赤色ベクトルで囲まれた平行4辺形）が
A正方形，B長方形，C120°の菱形，D任意角度の菱形，　
の4種類のどれかにあてはめるようにとれます．
2次元のブラベー格子の5種類のうち，一般形の平行4辺形に属する伝統文様は，
ここの例には挙げていません．
２．それぞれの伝統文様は，A,B,C,Dのどのタイプに属するでしょうか．
３．伝統文様のいくつかを，どこかで見たことがあるでしょうか．
私は立涌を壁紙で見かけます．

■　円に点Bを通る2直線が交差しているときに，方冪の定理が成り立ちます．

■２つの長さの加法，減法は簡単です．以下の図をご覧ください：

■結局，直線定規とコンパスだけを有限回繰り返し用いて作図できる長さは
加法，減法，乗法，除法，開平です．
開平を繰り返せは，2のべき乗根（4乗根，8乗根，．．．）は作図できますが，
例えば，立方根は作図できません（この証明は難かしいのでスキップ）．

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数学月間SGK通信 ［2018.11.06］ No.240
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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私は色々な万華鏡を作っています．
今日は万華鏡のクイズを２つ載せますので，お考え下さい．
(1)2枚鏡（ブリュースタ）の万華鏡
Q:
下の２つの映像は，2枚鏡のある万華鏡を観察したものです．
ワンドの中のガラスくずの流れとともに，映像はいろいろに変化しますが，映像の対称性はいつも同じです．
そのわけは，生じる映像にはいつも万華鏡の鏡室の対称性が反映されるからです．
それでは，この万華鏡の2枚鏡の交差角度は何度でしょうか？

  (2)正多面体の見える万華鏡
Q:
次の写真は万華鏡の映像です．正８面体（緑）と正6面体（青），正4面体（赤）が同時に見えています．
これは，3枚鏡の万華鏡ですが，どのような鏡の組合せでしょうか？

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  A　

（１）

（２）
正８面体（緑）と正6面体（青）の対称性は同じなので，空間中の非対称領域（3枚の鏡が囲む空間＝鏡室）は同じですが，
正4面体（赤）の非対称領域はこの2倍の大きさです．
したって，これらの3つの正多面体が同時に生じているということは，
正4面体の非対称領域がこの万華鏡の鏡室であることが必要です．
万華鏡の3枚の鏡は，それぞれ，青，黄緑，赤紫で示した平面で，この３平面はO点で交わっています．
左図は正4面体の鏡室，右図は正8面体と正6面体の鏡室です．

この万華鏡は，正4面体の鏡室の場に，一番右の図に示すように物体（緑）を置いたり，
光の線分（赤，青）ができるようにしてあります．

この透明な立方体の箱（単位胞）が周期的に並ぶと，ページ65の空間の充填ができます．結晶はこのように単位胞が並んだ周期的構造です．
小梁（OSA工房）のパズルは，単位胞だけ取り出して充填させるパズルです．

 　　図１　　　　　　　　　　　　　　　　　　　図２　　　　　　　　　　　　　　　　　　図３
図１は，透明な単位胞の底面中央に正8面体の上半分が見える様子です．この正8面体の残りの下半分は，見えませんが立方体の底面を突き抜けて存在します．
周期的な空間ですから，透明な箱（単位胞）の天井と床は同じもので，天井から箱内に向かって存在とイメージすると良いです．
単位胞内の底面の4隅には正8面体の1/8が見えます．この正8面体の残りの部分は，周期的な空間なので，図２のように立方体の壁を突き抜けて存在します．
図１のように並んだ正８面体の間隙には正4面体が４つ入ります（図３）．

 　　図4　　　　　　　　　　　　　　　　　　　図5　　　　　　　　　　　　　　　　　図6

透明な単位胞の６つの面に，半割の正8面体を図4のように貼りつけました．単位胞内に6つの半割正8面体が入っています．単位胞の中心で，これら６つの半割正8面体の頂点が出会い，正8面体は稜を共有してつながります．
単位胞の中に含まれる正8面体の数は，半割正8面体6個と単位胞の8つの隅に1/8の正8面体がある（6×1/2＋8×1/8）ので4個です．
図4をよく見ると，単位胞の内部にあるこの多面体（注）には8個の正4面体の間隙があることがわかります．従って，このような単位胞が繰り返される空間は，充填される正8面体と正4面体の個数比は1:2です．
注）半割の正8面体6つと，正4面体８つでできる多面体は，半正多面体｛3,4,3,4｝です．

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数学月間SGK通信 ［2019.03.05］ No.257
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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皆様いかがお過ごしでしょうか．ひな祭りも過ぎ春がもうすぐです．
ご存知の方も多いと思いますが，yahooブログが今年で閉鎖されることになりました．
私は，数学と社会の架け橋＜数学月間＞を，yahooブログに書き続けていますが，
現時点で延べ47,917人の訪問者があるし，お友達もできて，この縁を続けたいと
対策を考えています．数学月間の会は，https://sgk2005.org/にホームページがあります．
加えて，新しいサイトhttp://sgk2005.saloon.jp/　を準備中で，そこにはブログのコーナーも設け
yahooブログもここに集積するつもりです．
しかし，現在，要の役割をしているyahooブログの地位は捨てがたいので，これに代わる
新しいブログサイトも何処かに開設しお知らせしますので，皆様との縁が続きますよう願います．
そのようなわけで，要のyahooブログが今移動準備状態で，
メルマガで使う図はyahooブログからのリンクで入れていましたので
本号のメルマガ257号は，文章だけとなります．

■液体のジュースの缶と凍らせたジュースの缶があり，斜面を転がしたらどちらが速いでしょうか？
質量は同じで，直径の大きい缶と直径の小さい缶があり，斜面を転がしたらどちらが速いでしょうか？
このトッピックスは，中西達夫著の微積とラグランジアン（工学社）に載っています．
ネットを検索してみると，これらの話題は各所に見受けられます．
中西氏の本では，このような物理（運動）の実験から，問題を解くための微積などの
数学概念手法を説明します．その数学理論が生まれた場に立ち戻り数学を作ろうというのが
数学月間流の数学理解の仕方です．大変読みやすく興味深い本なのでお勧めします．

表題の物理の問題は，缶が斜面を転がる運動は，重心の移動と重心の周りの回転の
両者の重ね合わせと考えます．斜面の上端で静止状態の持つ位置エネルギーが
重心移動の運動エネルギーと重心周りの回転運動のエネルギーに変わります．
すなわち，回転運動のエネルギーに費やされる分だけ，
重心移動の運動エネルギー（1/2）mv^2は小さくなります．
回転させにくい程，回転に多くのエネルギーを使います．
缶の中が凍っている方が回転させにくいし，半径の大きい方が回転させにくいので，
液体の入った缶の方が速く転がり，直径の小さい缶の方が速く転がります．

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数学月間SGK通信 ［2019.03.12］ No.258
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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数学への興味を喚起するさまざまな活動が米国では行われてきました．
教授法の優れた教師の表彰や数学啓蒙の優れた記事を書いたジャーナリスト表彰も行われています．
このたび，Math + Literature = 2019 Mathical Book Prize Winners!の発表がありました．
数学科学研究所（MSRI）は，2-18歳の若者向けの優れた数学文学書（フィクションとノンフィクション）
の2019年の受賞者を発表しました．今年で5年目だそうです．
数学+文学=the Mathical．対象学年別グレード分けがあります．

■3-5学年用の受賞作品
The Miscalculations of Lightning Girl by Stacy McAnulty(Random House Children’s Books)
「雷に打たれた少女の誤算」を紹介します：

12歳のルーシー・キャラハンは4年前に雷に打たれて気を失い心臓が止まったのですが，
アパート管理人が除細動器を使い心臓が再び動き出し救われました．
手をやけどしただけで，変わりないようでしたが，実は数学の天才になっていたのです．
突然，難しい計算をすることができました．医師は後天性サバント症候群と診断しました．
ルーシーの脳は落雷によって損傷を受け，彼女の左脳の一部が閉鎖され，右脳が余計に働くようになった．
ルーシーは高度な数学的計算，暦の数学，数学的パターンの認識を行うことができ，
あらゆる数字が色や形を持つものと認識するようになったといいます．
その他，おかしな習慣がルーシーにできました．細菌を恐れ、触れるあらゆる表面を消毒するようになり，
座る前に3回座る立つを繰り返す儀式が必要になった．
また，何でも読む前に，そのすべての単語を数えることが必須になりました．
彼女の奇妙な習慣のために，ルーシーはホームスクールで学びます．
そして今12歳で高校レベルを通過しました．彼女は大学に進学したいのですが，
彼女の母は大学に行くには若すぎると思っています．
ルーシーの伯父さんも，公立学校に通わせるという母に賛成し，ルーシーは７年生に入学します．
ルーシーは中学校に行きたくはなく大学に行きたい．彼女は自分がオンラインですべてを行えると信じています．

ルーシーは中学で2人の友人を作ります．
ミュージカルが大好きでルーシーの奇妙さに興味をそそられるウィンディ・シットンと，
写真が大好きな男の子リーバイ・ボイドです．ルーシーはからかわれて，「クリーニングレディー」とあだ名されます．
彼女は自分の数学の天才を隠すために，テストでわざと間違えるべき質問の数を計算したりもしす．
ルーシーは自分の数学の能力を使って，ウィンディとリーバイのグループをクラスプロジェクトで支援し，
2人のクラスメートとの友情が深まりますが，ルーシーは自分が数学の天才である秘密は守れると思っています．
しかし、ルーシーは数が特定の事を予測するのを助けることができるが，
人生のすべてが数学方程式で決定されているわけではないことを認識し始めます．
ルーシーは彼女が信頼と友情の意味について多くの誤算をしていることを発見します．

■6-8年生用には，「アポロ8号の宇宙飛行士と先駆的な女性数学者の感動的な実話」が受賞しました．

シリカガラスSiO2の軟化点は1700°Cと高温です．ガラスには明確な融点はありません．初めから乱れた構造ですから液体状態の個体ともいわれます．固体での変形が起こるのは軟化点～1900°Cあたりまでで，それ以上の温度では液体になります．シリカの正4面体ネットワーク中の所々にCaイオンやNaイオンが入ったものが，ソーダーライムガラス（青板ガラスとも呼ばれる）で，ガラスの融点も軟化点も下がり成型が容易になります．しかし，Naの熱振動振幅は大きく，ガラスの熱膨張率は大きくなります．ホウケイ酸ガラスは，ホウ素Bを添加したガラスで，ナトリウムNaの量を減らせるので，熱膨張率を小さくできます．これがpyrexパイレックスガラス（Corningの商標）で軟化点は820℃位で，Nonexという非膨張ガラスの処方も開発されました．パイレックスガラスは，キッチンのベーキング皿にも，温度計にも，ビーカーなど理化学機器にも，1949年に完成したパロマーのヘール望遠鏡の巨大鏡（回転放物面）にも使われています．この巨大鏡はパイレックスガラスの直径5mのガラスのキャストディスクで20トンもあります．この巨大なガラスのキャストディスクの製造では，アニーリング・オーブンに入れて10か月もかけて徐冷したそうです．これを現場に運び凹面（回転放物面）に研磨しました．
しかし，2008年3月14日に パイレックス・ロール板が生産中止をコーニング社は決めました．パイレックスと言えば耐熱ガラスの代名詞で，理化学機器にも使われていますが，望遠鏡用の 大きなガラスも作らなくなりました．どうなることか心配です．コーニング社の製品は，スマートフォン用のGorillaGlassというカバーガラスやエレクトロニクス用の薄い強化ガラスにシフトしたようです．

コーニングガラス博物館は面白そうです．

昔，ギリシャのデロス島で疫病が横行しました．神の怒りを鎮めるために預言者の言により，アポロンの立方体の祭壇を2倍の大きさにしなければなりません．長さが2倍では体積が8倍になってしまいます．体積を2倍にするには，現在の立方体の祭壇の長さを１とすると，新しい祭壇の1辺の長さは2の3乗根=1.259921･･･にしなければなりません．直線定規とコンパスを有限回使ってこの長さを作るというのがこの難問です．プラトンも考えました．実は，２の3乗根の作図は，直線定規とコンパスでは作図不可能でした．この他に，任意の角度の3等分．与えられた円と同じ面積の正方形の作図も直線定規とコンパスを有限回使って作図することが不可能です．いろいろな人々が挑戦しましたが出来ませんでした．これらの作図が絶対不可能であることが証明されるまでに2,000年もの年月を要しました．
■直線定規とコンパスだけを有限回繰り返し用いて作図できる長さは，
与えられた長さの　加法，減法，乗法，除法，開平（平方根）　です．
開平を繰り返せは，2のべき乗根（4乗根，8乗根，．．．）は作図できますが，
立方根（3乗根）は作図できません．
従って，有理数が与えられたとき，それらの加・減・乗・除と開平の操作を有限回繰り返して得られる数（a+b√cの形の数）が，直線定規とコンパスで作図できる数字です．

参考：
長さの加法，減法はすぐわかると思います．
乗法，除法，開平の作図法は，方冪の定理（以下の図を参照のこと）を応用します．
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/50/18283150/img_0_m?1539587485

1ドル札と2ドル札のみを使い，n（整数）ドルを払う方法の数B(n)を求めましょう．

１．n=1のとき：2ドル札は0枚で，1ドル札1枚出すしか方法はありません：
　　方法｛1｝のみで，方法の数はB(1)=1
２．n=2のとき：2ドル札0枚なら｛1,1｝，2ドル札1枚なら{2}で，
　　方法の数は　B(2)=2
３．n=3のとき：2ドル札0枚なら｛1,1,1｝，2ドル札1枚なら｛2,1}，{1,2}で，
　　方法の数は　B(3)=3
４．n=4のとき：2ドル札0枚なら{1,1,1,1}，2ドル札1枚なら{2,1,1},{1,2,1},{1,1,2}，2ドル札2枚なら{2,2}で，
　　方法の数は　B(4)=5
（ただし，同じ種類の札は区別していません）

これらの結果を考察すると，
B(n)はB(n-1)の方法に1ドル追加したものと，B(n-2)の方法に2ドル追加するものとの和になる．
2ドル追加の方法に{1,1}を追加する方法があると思う人がいるかもしれないが，
追加する２つの１のうちの始めの１は，B(n-1)個の方法に繰り込まれ，すでに存在し，それに1を追加することは，すでに前者の項に含まれている．ゆえに．
B(n)=B(n-1)+B(n-2)
かくして，この方法でnドル支払う方法の数の再帰的な定義が得られました．
これはフィボナッチ数列
1,2,3,5,8,13,21,34,55,･････
の定義と同じです．

万華鏡の映像は鏡映群にすぎないと数学者は思っているようだが，実は，群よりもっと複雑な代数系であるところが面白い．
理想化した状況で作った数学は適用範囲が広い．これに対し，複雑な状況下で作った数学は，あまり使われない．骨折り損のくたびれ儲けなのだが止められない．自然法則を数学は記述できるが，自然法則は数学に従はないところが面白い．

これらの万華鏡造像を鏡映群で記述すれば，どちらもmに過ぎないが，それではあまりにもつまらない．群では表現できない様々な規則性があるではないか．

■テープをこのように結ぶと正5角形ができることが知られていますが
なぜでしょうね．証明してください．

右の図は正5角形の外形と内部の対角線でできる星形が見えます．
対角線と正５角形の辺は平行で，赤く着色したものがテープであり，
テープの一方の端が対角線の星形を，もう一つの端が5角形の辺を
交互に入れ替えながら描くことが，軌跡を辿ってみれば確かめられます．
私は，正5角形であることの証明をどのようにしたらできるか
まだ考えたことがありません．案外難しそうです．
どうぞ良い証明ができたらここで教えてください．
いずれにしても，正５角形になることは，対称性から明らかです．
「この5角形の図形には，5回回転対称性があるので，この5角形は正5角形だ」
と言うのは如何ですか．一目でこの5角形は5回回転対称だとわかります．
これなら面倒なことを言わずにすむので，対称性は非常に強力な概念です．
このような論法をいろいろな所で使いたいのですが，乱暴ですか皆様どう思ますか．
■紙を2つ折りにすると折り目が直線になることを証明してください．
これも当たり前なのに，証明が面倒な問題です．
この問題に対する私の解答は，「対称性から明らかである」と言っておきます．

こんなクイズを何処かで聞いたことがありませんか？１人10ドルのホテルに3人が止まり，30ドル支払いました．ホテルフロントが5ドル値引きしてくれ，女中を介して返金してきましたが，途中で女中が2ドル抜いたので，3人に渡ったのは1ドルづつです．結局，それぞれ9ドルづつ支払ことになり，全員でホテルに27ドル，女中が2ドル持っています．残りの1ドルはどこに消えたのでしょうか？
ややっこしくて変な気分ですが，お判りでしょう．27ドルと2ドルを足す意味は何でしょうか？
このような計算の笑い話は，落語のツボ算にも出てきます．買ったツボを返品するときに，支払った金額と返品するツボの値段を足してしまうのです．
数学の方程式を作るときに，左辺に足すか右辺に足すかよく意味を考えて式を作らないと，このようなとんでもないことになります．
落語の時そばでは，そば代金の16文を数える間に，8のときに時間（八つ）を混ぜ込むことで，１つスキップし金額を1文ごまかします．与太郎が真似をするときは，時間が（四つ）で，逆戻りし損をしてしまいます．これは，お金と時の呼び名という単位が異なり足すことのできないものを足すトリックです．我々ももう少し複雑な問題ではありますが．方程式を立てるときに単位の異なるものを足してしまうような式を立ててしまうことがよくあります．笑い話ではすみません．
話のついでにもう一つ，落語に出てくる不正な計算について述べましょう．落語花見酒では，酒だるを担いで売りに行く2人の間で，お金をやりとりしているうちに，お酒が全部なくなってしまう話です．これは売上金の公金横領に当たるわけですが，お金はお金でも，公金と自分の金というカテゴリーの違うものの区別ができなかったために起きた笑い話です．
最初の例に戻ると，ホテル取り分は25ドル，女中取り分は2ドル，客支払い分は3x9=27ドルで何の不思議もありません．

■読者の方から「三方一両損」の話が出ましたので，追加しておきます．
江戸っ子の職人が３両入りの財布を拾って，落とし主に届けると，落とし主はいらないと意地を張る．どちらも江戸っ子らしくていいですね．
大岡越前守が，1両出して4両にし，2両づつ分けさせる名裁きをします．
拾ったまま届けず手元に置けば3両ある．届けてもらって受け取っておけば3両ある．
奉行も関わらなければ1両出さずに済む．しかし，結局3人とも1両ずつ損をしたというのです．

公的統計は合理的な意思決定を行うための基盤となる国民にとって重要な情報です．米国や英国でも統計が政策の客観的な基礎になるので，統計調査を政府の管理下に置き重視していますが，日本でも同様です．統計法という法律（2007年に大幅な改正）は，国勢調査などの基幹統計調査での報告義務，かたり調査の禁止，地方公共団体による事務の実施などが決められています．しかし，政府の統計を監督する統計委員会は、総務省に置かれているので，政府からの独立性が懸念されます．
麻生太郎副総理・財務相は2015年10月の経済財政諮問会議（議長・安倍首相）で，「毎月勤労統計については，企業サンプルの入れ替え時には変動があるということもよく指摘されている」と発言しました．これはもちろん誤りではないのですが，2018年のサンプル入れ替えのときに，偏ったサンプリングによる数値上昇への忖度につながった可能性はあります．

統計調査は全数調査ではなく，サンプリングした集団に対して実施されます．このサンプル集団が元の集団の性質を代表しているとみなせるのは，サンプリングが完全にランダムであることが前提です．しかし現実には完全にランダムは不可能です．調査される側の意識も，自分が正規分布の1点と思うと気が進まないし，個人情報を出すのを嫌うので，予定したサンプル数がなかなか集まらない．結局，何らかの偏りがあるサンプル集合に，適切な補正をし現実に近づけます．このように，サンプル集合の採り方により，得られる統計数値は色々に変わり得ますが，もし，意図的な偏りも加わると処置なしです．数値への信頼はほどほどにしましょう．しかし，数値化されると独り歩きし都合の良い数値が政策に採用される懸念があります．

こうして考えると，問題は統計学や数学以前の所にあり，もともと一つの数値で表すことのできない社会の複雑な状態を，おおざっぱでも正しく把握する常識感覚が必要になります．庶民の実感する豊かさと，統計数値に乖離があるとすれば，サンプル集団は，社会状態を正しく代表していないのです．

東京都における「500人以上規模の事業所」については，全数調査の1,464事業所（平成30年）でなければいけないのに，概ね３分の１の491事業所のサンプリングでした（2004年1月から東京都では約3分の1のサンプリングをしていました）．
平成16年以降，厚生労働省から東京都に対し，厚生労働省が抽出した事業所名簿を送付し，当該名簿に基づき抽出調査を行うこととしていました．このサンプリングはランダムだったのでしょうか？

大企業と中小企業の比率などを考慮して，補正により現実に近づけようと試みたようですが，首尾一貫した定義のサンプル集団ではないので，アベノミクスの成果と言われる賃金伸び率の数値比較があてにならなくなりました．毎年の伸び率比較には，同一定義のドメインで統計をとらなければ意味がありません．
日刊ベリタに掲載

補足）サンプル集合の大きさ（抽出率）と誤差

母集団の全数検査すれば正確な数値が得られますが，現実には実施不可能なのでランダムサンプリングによりサンプル集合を作ります．しかし，サンプル集合の大きさが小さいほど，誤差はさらに大きくなりますので，ある程度のサンプル数は確保しなければなりません．サンプル数を1/2にして得られた数値を2倍にすれば精度は同じだと言う大臣がおりますが，とんでもないことを言うものだ．

菱形12面体の見える万華鏡の作り方の話をしたことがありました．
今回は，ケルビン立体の見える万華鏡を作ります．
菱形12面体とケルビン立体は，下図のような形です．

 この2つの多面体は，正6面体や正８面体と同じ対称性で，重要な形です．
どちらの多面体も空間に隙間なく詰め込むことができ，空間に詰め込んだ時に，
菱形12面体は立方面心格子，ケルビン立体は立方体格子を作ります．

■さて今回は，ケルビン立体の見える万華鏡を作ります．

互いに直角に交わる3枚鏡が切り取る全空間の1/8が，
この万華鏡の非対称領域であることはすぐわかります．
しかしながら，ケルビン立体には，
直角に交わる3枚鏡の2等分面も鏡とする対称性があます．
1/8の空間領域の中に，
それらを鏡とする万華鏡を作ると，1/16，1/24，1/48などの空間を
非対称領域とする万華鏡が作れます．
ここでは，3回対称性が残るように尊重して，1/8，1/24．1/48の
3種類の万華鏡を作りましょう．
＊注）非対称領域とは，万華鏡の内部の物体を置く領域のことです．
この物体を，万華鏡の鏡映で広げていき，どれもケルビン立体の映像が生じます．

写真A：
3種類の万華鏡を並べました

写真B:
非対称領域1/8の万華鏡

写真C:
非対称領域1/24の万華鏡

写真D:
非対称領域1/48の万華鏡

3種類の万華鏡像で，それぞれに8個ある正6角形面の中をよく見ると，
面の分割数の違いに気づくでしょう．写真Bでは分割なしですが，写真Cでは3分割，写真Dでは6分割になっています．

平面は２次元ですから独立な並進ベクトルは２つ a, bです．従って，
a, bを2辺とする平行4辺形が平面を充填する並進の単位（単位胞）となります．
３つの並進ベクトルがとれる凸平行6辺形もタイル張りが可能ですが，
a, b, cの間に, c=b-aの関係があり，このうちで独立な並進ベクトルは２つです．

．

平面をタイル張りできる凸6角形の形は，
ここに示した平行6辺形を含むタイプの他に，
さらに2タイプあることを，ラインハルトが学位論文で証明しました（1918）
凸6角形タイルで平面の充填ができるものは，
以下に図示する３つのタイプです．

タイプ１：2つのタイルが並進の単位を作る
（凸平行6辺形はこのタイプに含まれる）
タイプ２：4つのタイルが並進の単位を作る
タイプ３：3つのタイルが並進の単位を作る

5角形タイルで平面張り詰め（タイリング）ができるタイルの形は，以前掲載したタイプの5角形タイルだけではありません．全部で15タイプあります．単位胞がたくさんの5角形タイルで構成される15番目のものは，コンピュータを用いて見つかりました．
■米国サンディエゴの主婦マジョリー・ライスが，タイル張り（タイリング）の問題を初めて知ったのは，1975年のScientific American誌のマーチン・ガードナーのコラムでした．平面をタイル張りできる「タイル」の形，別の言い方をすれば，一つのタイルで平面を分割する（テッセレーション）問題です．
平面のタイル張りは，任意の3角形，任意の4角形タイルで可能，凸7角形以上のタイルでは不可能です．凸6角形の場合は，平行6辺形の他にもあり，全部で３タイプのタイル形が可能なことは，ラインハルトが学位論文で証明しました（1918）．残されたのは凸5角形の場合で，1975年時点のガードナーのコラムには，ラインハルトの５タイプと1967年にカーシュナーが発見した3タイプが掲載されています．カーシュナーの論文には，タイリングできる凸５角形タイプが他にないことの証明は省略されており，そして，実際にまだ新しいタイプがあったのです．

■以下は，Natalie Wolchoverの記事（Quantamagazine,2017）から引用
https://www.quantamagazine.org/marjorie-rices-secret-pentagons-20170711/

フロリダ州に生まれたマージョリは，1クラスだけの田舎の学校で年長の子供たちと一緒に学びました．彼女は勉強好きでしたが，高等学校で数学を学んだのは１年だけです．貧困と文化的規範のため，大学に進学するなど思いもよらない時代でした．1945年，彼女は結婚しワシントンD.C.に移り，幼い息子と一緒に、その地で商業デザイナーとして働きました．後にサンディエゴに移住します．
数学が楽しみで，黄金比とピラミッドに魅了されていたといいます．ライスは，子どもたちが学校に通っている間に自分も読めるようにと，息子達にScientificAmericanの定期購読を許しました．

この問題では，5角形タイルのタイプ分けがとても難しい．連続変形によりどちらのタイプにも属するタイルがあるし，同じタイプでも出来上がったパターンが全く違うように見えたりもする．新しいタイプであるかどうかの判定は，ライスもずいぶん苦労したに違いありません．数学的な背景がないので，独自の記法システムを開発し，数ヶ月で新しいタイプを発見したといいます．彼女は発見に驚き喜んで，自分の仕事をガードナーに送りました．ガードナーはそれをペンシルバニア州のモラヴィアン・カレッジのタイリング問題の専門家であるドリス・シャトシュナイダーに送ってくれました．
シャトシュナイダーは，ライスの発見が正しいことを確認しました．ライスのアプローチは，後にマイケル・ラオが新しいコンピュータ支援の証明に取り入れた手法と同じでした．ライスは，4つの新しい凸五角形タイプと，それらによるほぼ60種類のテッセレーションを発見しました．シャトシュナイダーの招待で，ライス夫妻は大学の数学会に出席し，聴衆に紹介されました．ワシントンにある数学協会のロビーの床タイルに彼女の五角形テッセレーションの1つが使われ，彼女の発見したエッシャー風の絵が見られるといいます．
コンピュータ支援の新証明法で，フランスの数学者 マイケル・ラオが，ライスが発見した4つを含む15（残りは，ジェームスIII，シュタイン，マンがそれぞれ1つづつ発見）の凸五角形タイプがすべてであることを証明しました．ライスは，2017年7月2日94歳で亡くなりました．認知症のため，五角形タイリングの物語がついに完結したのを知ることはなかったが，ガードナーの提起から数十年が経過していました．

2018年もあと数日になりました．今年も，いろいろなことがありました．
おつき合いいただき有難うございました．
皆様にとって，2019年は良い年になりますように．
数学と社会の架け橋＝数学月間の会からのお知らせです．この会を，
数学好きの同好会ではなく，分野横断的な市民活動にしたいと思っております．
社会でどのような数学が使われているのか？
上滑りでも言葉遊びでもなく，基礎を踏まえ本質をとらえた，見通しの良い説明で，そこにある数学に気づくことを目指します．
特定非営利活動法人「数学月間の会」が，来年早々スタートし，会員募集をする予定です．多くの皆様のご参加を呼びかけます．

■球に近い正20面体は，５つの正多面体（プラトン立体）のうちで，
最も対称性が高い（面の数が多い）もので，正３角形の面が20個でできています．
正多面体とは，正多角形（正p角形）の面でできていて，どの頂点の周りも同数の面（q個の面）が会している立体です．この立体を，シュレーフリの記号で｛p,q｝と記述します．
正多面体（プラトン立体）は，正4面体{3,3}，正8面体{3,4}，正6面体{4,3}，正12面体{5,3}，正12面体{3,5}の５つしかないことは証明できますから，
面数20より多い正多面体が存在するはずはありません．
しかし，例えばゴルフ球のディンプルはいくらでもたくさん作れるように思えなす．
正多面体の面を分割し続けると，いくらでも球に近い正多面体が作れるように思うかもしれません．しかし，そのようなことが可能なはずがありません．
ここで作るいくらでも球に近い多面体は，面が正多角形からわずかに歪むので，正多面体ではないのです．
正20面体の１つの正3角形の面を４つの三角形に細分化します．このとき，中心の三角形は正3角形ですが，その周りの3つの3角形は正3角形から歪むのを確認ください．
以下，細分化の操作を繰り返すたびに，面の数は4倍ずつ増加します．そして，細分化された面で正3角形のものは，初めの正20面体の面の中心にあるものだけです．
だから，正20面体を細分化して，球に近い多面体を作っても，その対称性は正20面体と同一（細分化しても対称性は上昇しません）．素性は隠せないのです．細分化された多面体の面は正3角形ではないので，細分化でできる多面体は正多面体ではありません．
（この細分化で用いたjavaプログラムは郡山彬氏が作成しました）

私はいくつかのゴルフ球のディンプルを調べましたが，
正多面体{4,3}の細分化の系列と，{5,3}の系列のものがありました．

「美しい図形と奇妙な空間」
 
東京ジャーミイ（代々木上原，東京）にある装飾です．左写真は祭壇の横にあります．
イスラム特有の美しい複雑な図形です．右の写真はステンドグラスです．
これらの図形の美しさの原因の一つは，これらの図形が黄金比だらけだからでしょう．

もう一つの原因は，折りたたまれた空間のような不思議感じがあるからでしょう．
図の一番左は辺の長さが黄金比の2等辺三角形です．
つまり底辺を１とすると，等しい２辺は1.618...
真ん中の図は，正5角形の中にできる星形で，
星の頂角は黄金比の三角形にでてくる頂角36°と同じです．
一番右の図は，この星型とこの星型を180°回転したものを重ね合わせたものです．
東京ジャーミイの美しい図形は，星形を２つ重ね合わせたものになっているのに
お気づきでしょうか．

星形を2つ重ねた図形の対称性はどのように記述しましょうか．
まず，星形の対称性は．点群5mです（５は5回回転対称軸，mは鏡映面）．
重ねた図形には，2回回転対称軸２があるので部分群として点群２を含みます．
結局，２つの点群の直積として2⊗5m＝10mmの点群になります．
あるいは，星形5mを「法」にすると，10回回転操作（36°の回転）は
｛１，10(mod5m)｝のような，位数2の点群としても理解できます．
この考え方は，奇妙なもので，36°回転を2回続けると元の星形に重なるから
振り出しに戻ったと見なすわけで，我々の3次元ユークリッド空間では
360°回転しないと元に戻らないのですが，この奇妙な空間があるとすると
2x36°＝72°回転すると元に戻ることになります．

菱形12面体が見える万華鏡を作りましょう．少し厚手（0.25mmとか0.31mm）のミラー紙（B5版）が手に入ると，簡単に作れます．
菱形12面体とは図１のような形で，空間を隙間なく埋め尽くすことのできる形でもあります．
菱形面ABA'B'を底面にして，立体の中心Oを結んだピラミッドADA'B-Oが，
中心のまわりに12個集まるとできる立体です．

①　ピラミッドABA'B-Oの側面OAB，OBA'，OA'B，OB'Aを鏡面にした万華鏡を作ります．非対称領域1/12
②　ピラミッドABA'B-Oの半分のABB'-OやABA'-Oでも万華鏡が作れます．非対称領域1/24
③　さらにそれらの半分のABH-Oも万華鏡が作れます．非対称領域1/48

菱形12面体の内部には立方体が含まれますので，
立方体の１辺を2とすると，菱形面ABA'B'の対角線の半分の長さは，
AH=1，BH=√2で，OH=√2，OA＝√3，OB=2となります．

                          図 1　                                                                            図2

 底面（＝菱形面ABA'B'）と頂点（立体の中心O）を結びピラミッドABA'B'-Oを作ります．ピラミッドの内面を鏡面とし，外部（ピラミッドの底側）から頂点Oを覗く万華鏡です．
ピラミッドABA'B'-O，あるいは，底面が直角3角形ABHのピラミッドABH-Oの2種類の万華鏡ができます．ピラミッドの各所の寸法は図２に示します．この寸法を用いて，作った展開図を図3a，bに示します．どちらの展開図でも，Oの周りのグレーに塗った部分は切り取り，窓（＝光の面）を開けます．それぞれの転開図で端辺どうし（左図ではOA'，右図ではOB）を，それぞれ貼り合わせると完成（写真は図4a，b）です．

展開図のグレーに塗った部分は切り取りる．

図3a,　図3b
実際に作る寸法はこの4倍位にすると良い．

完成した万華鏡の外側．鏡面はピラミッドの内側．

図4a　　　図4b

（a)および(b)に対応する万華鏡像

■２つの万華鏡はどちらも菱形12面体像が見えます．図4aのピラミッドには図4bが４つ入ります（図4bの非対称領域は図aの1/4）ので，図4bの万華鏡の方が「菱形面に2mmの対称性があり」，図4aの万華鏡より対称性は高いのです．

■菱形12面体の見える他の万華鏡の例は，⇒ここに掲載します．

トレチャコフ美術館展のポスターを飾る．19世紀末から20世紀初頭のロシア絵画の代表作，クラムスコイ作の「忘れえぬ女」は印象に残ります．表題のНеизвестнаяを直訳の「見知らぬ女」でなく「忘れえぬ女」とした翻訳は実に上手いですね．
この女性が誰だか謎です．すべてのものをありのままに見通すようなまなざしは，実に魅力的です．何も恐れず媚びず，勇敢にまっすぐにみる．あらゆる欺瞞を見抜いているようです．

トレチャコフ美術館展で気に入った絵画がありました．子供の世界のコーナーに展示されている「楽しいひととき」です．作者は，アントニーナ・レオナルドブナ・ルジェフスカヤ（女性）．Антонина Леонардовна Ржевская
ルジェフスキー家のレオナルドの娘アントニーナというわけで，ロシアの標記では，父称からも姓からも女性ということがわかります．この絵画は，男名のА Л Ржевский　と署名し1897年の展覧会に出品しました．

この絵画はパーベル・トレチャコフの目に留まり彼の所蔵となりました．
当時は絵画は男の仕事になっており偏見を心配したためです．

(注）父称や姓は，アントニーナ（女性名詞）を修飾する形容詞ですから女性の語尾変化をし，女性であることが明示されてしまいます．
彼女は没落した貧しい領主の家に生まれました．アレクサンドル2世による農奴解放令は1861年だが，農奴は土地を買わなければならなかったので不徹底改革でしたが，没落領主もあったでしょう．調べたら父は早く死に母と苦労したようです．
1880年にモスクワの絵画・彫刻・建築学校を卒業しました．
1899年に正式に移動派のメンバーになりました．
私立女子学校で教えたり，1920年には骨疾患の子供達のための教育芸術スタジオを組織しボランティア活動をしました．
「楽しいひととき」はこの絵です

エントロピーといえばボルツマンを思い浮かべます．天才ボルツマン（オーストリアの物理学者）の墓碑には，S=klogWと刻まれているそうです．Sはエントロピー，Wはとり得る微視的な”状態数”，kはボルツマン定数です．
対数をとると，log(A･B)=logA+logBのように，積が和になりますので，加算量であるエントロピーと，微視的な”状態数”という積で増加する量とを結び付けるには，対数の登場となるわけです．
熱力学のエントロピーのクラウジウス（1865年）による定義は，系の温度をTとし，可逆過程で熱量δQが系に流入すると，dS=δQ/Tだけ系のエントロピーが増加するというものです．
系の内部エネルギーやエントロピーは状態量です．状態量ならば，系の２つの状態間で，変化経路にかかわりなく，状態量の差が一意に確定します．従って，系のある状態から出発し一回りして戻る経路積分をすると積分値はゼロです．状態量として系の内部エネルギーを例にとると，∲dE=0．このような性質のdEを全微分といいます．
熱や仕事の流入がないとき内部エネルギーは保存（熱力学の第一法則）されます．
閉じた系の内部で何か変化が起きても，その系のエントロピーは増大することはあっても減少することはなく，可逆変化の時のみエントロピーは不変（熱力学の第２法則）です．
系の微視的状態の数はW＝N!/(n_1)!(n_2)!･･･(ｎ_m)!通りで，ここで，P_iを状態n_iをとる確率（n_i＝P_iN，Pi=1）とし，
スターリングの公式を用いlogWを近似すると logW=-(P_i)Nlog(P_i) が得られます．

情報エントロピーの定義もこれと同じ形になります．エントロピーを微視的な状態数の表現と解釈すれば，エントロピーが大きいと可能な状態数が多く，エントロピーが小さいとは予想がしやすいということです．