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公的統計は合理的な意思決定を行うための基盤となる国民にとって重要な情報です．米国や英国でも統計が政策の客観的な基礎になるので，統計調査を政府の管理下に置き重視していますが，日本でも同様です．統計法という法律（2007年に大幅な改正）は，国勢調査などの基幹統計調査での報告義務，かたり調査の禁止，地方公共団体による事務の実施などが決められています．しかし，政府の統計を監督する統計委員会は、総務省に置かれているので，政府からの独立性が懸念されます．
麻生太郎副総理・財務相は2015年10月の経済財政諮問会議（議長・安倍首相）で，「毎月勤労統計については，企業サンプルの入れ替え時には変動があるということもよく指摘されている」と発言しました．これはもちろん誤りではないのですが，2018年のサンプル入れ替えのときに，偏ったサンプリングによる数値上昇への忖度につながった可能性はあります．

統計調査は全数調査ではなく，サンプリングした集団に対して実施されます．このサンプル集団が元の集団の性質を代表しているとみなせるのは，サンプリングが完全にランダムであることが前提です．しかし現実には完全にランダムは不可能です．調査される側の意識も，自分が正規分布の1点と思うと気が進まないし，個人情報を出すのを嫌うので，予定したサンプル数がなかなか集まらない．結局，何らかの偏りがあるサンプル集合に，適切な補正をし現実に近づけます．このように，サンプル集合の採り方により，得られる統計数値は色々に変わり得ますが，もし，意図的な偏りも加わると処置なしです．数値への信頼はほどほどにしましょう．しかし，数値化されると独り歩きし都合の良い数値が政策に採用される懸念があります．

こうして考えると，問題は統計学や数学以前の所にあり，もともと一つの数値で表すことのできない社会の複雑な状態を，おおざっぱでも正しく把握する常識感覚が必要になります．庶民の実感する豊かさと，統計数値に乖離があるとすれば，サンプル集団は，社会状態を正しく代表していないのです．

東京都における「500人以上規模の事業所」については，全数調査の1,464事業所（平成30年）でなければいけないのに，概ね３分の１の491事業所のサンプリングでした（2004年1月から東京都では約3分の1のサンプリングをしていました）．
平成16年以降，厚生労働省から東京都に対し，厚生労働省が抽出した事業所名簿を送付し，当該名簿に基づき抽出調査を行うこととしていました．このサンプリングはランダムだったのでしょうか？

大企業と中小企業の比率などを考慮して，補正により現実に近づけようと試みたようですが，首尾一貫した定義のサンプル集団ではないので，アベノミクスの成果と言われる賃金伸び率の数値比較があてにならなくなりました．毎年の伸び率比較には，同一定義のドメインで統計をとらなければ意味がありません．
日刊ベリタに掲載

補足）サンプル集合の大きさ（抽出率）と誤差

母集団の全数検査すれば正確な数値が得られますが，現実には実施不可能なのでランダムサンプリングによりサンプル集合を作ります．しかし，サンプル集合の大きさが小さいほど，誤差はさらに大きくなりますので，ある程度のサンプル数は確保しなければなりません．サンプル数を1/2にして得られた数値を2倍にすれば精度は同じだと言う大臣がおりますが，とんでもないことを言うものだ．

菱形12面体の見える万華鏡の作り方の話をしたことがありました．
今回は，ケルビン立体の見える万華鏡を作ります．
菱形12面体とケルビン立体は，下図のような形です．

 この2つの多面体は，正6面体や正８面体と同じ対称性で，重要な形です．
どちらの多面体も空間に隙間なく詰め込むことができ，空間に詰め込んだ時に，
菱形12面体は立方面心格子，ケルビン立体は立方体格子を作ります．

■さて今回は，ケルビン立体の見える万華鏡を作ります．

互いに直角に交わる3枚鏡が切り取る全空間の1/8が，
この万華鏡の非対称領域であることはすぐわかります．
しかしながら，ケルビン立体には，
直角に交わる3枚鏡の2等分面も鏡とする対称性があます．
1/8の空間領域の中に，
それらを鏡とする万華鏡を作ると，1/16，1/24，1/48などの空間を
非対称領域とする万華鏡が作れます．
ここでは，3回対称性が残るように尊重して，1/8，1/24．1/48の
3種類の万華鏡を作りましょう．
＊注）非対称領域とは，万華鏡の内部の物体を置く領域のことです．
この物体を，万華鏡の鏡映で広げていき，どれもケルビン立体の映像が生じます．

写真A：
3種類の万華鏡を並べました

写真B:
非対称領域1/8の万華鏡

写真C:
非対称領域1/24の万華鏡

写真D:
非対称領域1/48の万華鏡

3種類の万華鏡像で，それぞれに8個ある正6角形面の中をよく見ると，
面の分割数の違いに気づくでしょう．写真Bでは分割なしですが，写真Cでは3分割，写真Dでは6分割になっています．

平面は２次元ですから独立な並進ベクトルは２つ a, bです．従って，
a, bを2辺とする平行4辺形が平面を充填する並進の単位（単位胞）となります．
３つの並進ベクトルがとれる凸平行6辺形もタイル張りが可能ですが，
a, b, cの間に, c=b-aの関係があり，このうちで独立な並進ベクトルは２つです．

．

平面をタイル張りできる凸6角形の形は，
ここに示した平行6辺形を含むタイプの他に，
さらに2タイプあることを，ラインハルトが学位論文で証明しました（1918）
凸6角形タイルで平面の充填ができるものは，
以下に図示する３つのタイプです．

タイプ１：2つのタイルが並進の単位を作る
（凸平行6辺形はこのタイプに含まれる）
タイプ２：4つのタイルが並進の単位を作る
タイプ３：3つのタイルが並進の単位を作る

5角形タイルで平面張り詰め（タイリング）ができるタイルの形は，以前掲載したタイプの5角形タイルだけではありません．全部で15タイプあります．単位胞がたくさんの5角形タイルで構成される15番目のものは，コンピュータを用いて見つかりました．
■米国サンディエゴの主婦マジョリー・ライスが，タイル張り（タイリング）の問題を初めて知ったのは，1975年のScientific American誌のマーチン・ガードナーのコラムでした．平面をタイル張りできる「タイル」の形，別の言い方をすれば，一つのタイルで平面を分割する（テッセレーション）問題です．
平面のタイル張りは，任意の3角形，任意の4角形タイルで可能，凸7角形以上のタイルでは不可能です．凸6角形の場合は，平行6辺形の他にもあり，全部で３タイプのタイル形が可能なことは，ラインハルトが学位論文で証明しました（1918）．残されたのは凸5角形の場合で，1975年時点のガードナーのコラムには，ラインハルトの５タイプと1967年にカーシュナーが発見した3タイプが掲載されています．カーシュナーの論文には，タイリングできる凸５角形タイプが他にないことの証明は省略されており，そして，実際にまだ新しいタイプがあったのです．

■以下は，Natalie Wolchoverの記事（Quantamagazine,2017）から引用
https://www.quantamagazine.org/marjorie-rices-secret-pentagons-20170711/

フロリダ州に生まれたマージョリは，1クラスだけの田舎の学校で年長の子供たちと一緒に学びました．彼女は勉強好きでしたが，高等学校で数学を学んだのは１年だけです．貧困と文化的規範のため，大学に進学するなど思いもよらない時代でした．1945年，彼女は結婚しワシントンD.C.に移り，幼い息子と一緒に、その地で商業デザイナーとして働きました．後にサンディエゴに移住します．
数学が楽しみで，黄金比とピラミッドに魅了されていたといいます．ライスは，子どもたちが学校に通っている間に自分も読めるようにと，息子達にScientificAmericanの定期購読を許しました．

この問題では，5角形タイルのタイプ分けがとても難しい．連続変形によりどちらのタイプにも属するタイルがあるし，同じタイプでも出来上がったパターンが全く違うように見えたりもする．新しいタイプであるかどうかの判定は，ライスもずいぶん苦労したに違いありません．数学的な背景がないので，独自の記法システムを開発し，数ヶ月で新しいタイプを発見したといいます．彼女は発見に驚き喜んで，自分の仕事をガードナーに送りました．ガードナーはそれをペンシルバニア州のモラヴィアン・カレッジのタイリング問題の専門家であるドリス・シャトシュナイダーに送ってくれました．
シャトシュナイダーは，ライスの発見が正しいことを確認しました．ライスのアプローチは，後にマイケル・ラオが新しいコンピュータ支援の証明に取り入れた手法と同じでした．ライスは，4つの新しい凸五角形タイプと，それらによるほぼ60種類のテッセレーションを発見しました．シャトシュナイダーの招待で，ライス夫妻は大学の数学会に出席し，聴衆に紹介されました．ワシントンにある数学協会のロビーの床タイルに彼女の五角形テッセレーションの1つが使われ，彼女の発見したエッシャー風の絵が見られるといいます．
コンピュータ支援の新証明法で，フランスの数学者 マイケル・ラオが，ライスが発見した4つを含む15（残りは，ジェームスIII，シュタイン，マンがそれぞれ1つづつ発見）の凸五角形タイプがすべてであることを証明しました．ライスは，2017年7月2日94歳で亡くなりました．認知症のため，五角形タイリングの物語がついに完結したのを知ることはなかったが，ガードナーの提起から数十年が経過していました．

2018年もあと数日になりました．今年も，いろいろなことがありました．
おつき合いいただき有難うございました．
皆様にとって，2019年は良い年になりますように．
数学と社会の架け橋＝数学月間の会からのお知らせです．この会を，
数学好きの同好会ではなく，分野横断的な市民活動にしたいと思っております．
社会でどのような数学が使われているのか？
上滑りでも言葉遊びでもなく，基礎を踏まえ本質をとらえた，見通しの良い説明で，そこにある数学に気づくことを目指します．
特定非営利活動法人「数学月間の会」が，来年早々スタートし，会員募集をする予定です．多くの皆様のご参加を呼びかけます．

■球に近い正20面体は，５つの正多面体（プラトン立体）のうちで，
最も対称性が高い（面の数が多い）もので，正３角形の面が20個でできています．
正多面体とは，正多角形（正p角形）の面でできていて，どの頂点の周りも同数の面（q個の面）が会している立体です．この立体を，シュレーフリの記号で｛p,q｝と記述します．
正多面体（プラトン立体）は，正4面体{3,3}，正8面体{3,4}，正6面体{4,3}，正12面体{5,3}，正12面体{3,5}の５つしかないことは証明できますから，
面数20より多い正多面体が存在するはずはありません．
しかし，例えばゴルフ球のディンプルはいくらでもたくさん作れるように思えなす．
正多面体の面を分割し続けると，いくらでも球に近い正多面体が作れるように思うかもしれません．しかし，そのようなことが可能なはずがありません．
ここで作るいくらでも球に近い多面体は，面が正多角形からわずかに歪むので，正多面体ではないのです．
正20面体の１つの正3角形の面を４つの三角形に細分化します．このとき，中心の三角形は正3角形ですが，その周りの3つの3角形は正3角形から歪むのを確認ください．
以下，細分化の操作を繰り返すたびに，面の数は4倍ずつ増加します．そして，細分化された面で正3角形のものは，初めの正20面体の面の中心にあるものだけです．
だから，正20面体を細分化して，球に近い多面体を作っても，その対称性は正20面体と同一（細分化しても対称性は上昇しません）．素性は隠せないのです．細分化された多面体の面は正3角形ではないので，細分化でできる多面体は正多面体ではありません．
（この細分化で用いたjavaプログラムは郡山彬氏が作成しました）

私はいくつかのゴルフ球のディンプルを調べましたが，
正多面体{4,3}の細分化の系列と，{5,3}の系列のものがありました．

「美しい図形と奇妙な空間」
 
東京ジャーミイ（代々木上原，東京）にある装飾です．左写真は祭壇の横にあります．
イスラム特有の美しい複雑な図形です．右の写真はステンドグラスです．
これらの図形の美しさの原因の一つは，これらの図形が黄金比だらけだからでしょう．

もう一つの原因は，折りたたまれた空間のような不思議感じがあるからでしょう．
図の一番左は辺の長さが黄金比の2等辺三角形です．
つまり底辺を１とすると，等しい２辺は1.618...
真ん中の図は，正5角形の中にできる星形で，
星の頂角は黄金比の三角形にでてくる頂角36°と同じです．
一番右の図は，この星型とこの星型を180°回転したものを重ね合わせたものです．
東京ジャーミイの美しい図形は，星形を２つ重ね合わせたものになっているのに
お気づきでしょうか．

星形を2つ重ねた図形の対称性はどのように記述しましょうか．
まず，星形の対称性は．点群5mです（５は5回回転対称軸，mは鏡映面）．
重ねた図形には，2回回転対称軸２があるので部分群として点群２を含みます．
結局，２つの点群の直積として2⊗5m＝10mmの点群になります．
あるいは，星形5mを「法」にすると，10回回転操作（36°の回転）は
｛１，10(mod5m)｝のような，位数2の点群としても理解できます．
この考え方は，奇妙なもので，36°回転を2回続けると元の星形に重なるから
振り出しに戻ったと見なすわけで，我々の3次元ユークリッド空間では
360°回転しないと元に戻らないのですが，この奇妙な空間があるとすると
2x36°＝72°回転すると元に戻ることになります．

菱形12面体が見える万華鏡を作りましょう．少し厚手（0.25mmとか0.31mm）のミラー紙（B5版）が手に入ると，簡単に作れます．
菱形12面体とは図１のような形で，空間を隙間なく埋め尽くすことのできる形でもあります．
菱形面ABA'B'を底面にして，立体の中心Oを結んだピラミッドADA'B-Oが，
中心のまわりに12個集まるとできる立体です．

①　ピラミッドABA'B-Oの側面OAB，OBA'，OA'B，OB'Aを鏡面にした万華鏡を作ります．非対称領域1/12
②　ピラミッドABA'B-Oの半分のABB'-OやABA'-Oでも万華鏡が作れます．非対称領域1/24
③　さらにそれらの半分のABH-Oも万華鏡が作れます．非対称領域1/48

菱形12面体の内部には立方体が含まれますので，
立方体の１辺を2とすると，菱形面ABA'B'の対角線の半分の長さは，
AH=1，BH=√2で，OH=√2，OA＝√3，OB=2となります．

                          図 1　                                                                            図2

 底面（＝菱形面ABA'B'）と頂点（立体の中心O）を結びピラミッドABA'B'-Oを作ります．ピラミッドの内面を鏡面とし，外部（ピラミッドの底側）から頂点Oを覗く万華鏡です．
ピラミッドABA'B'-O，あるいは，底面が直角3角形ABHのピラミッドABH-Oの2種類の万華鏡ができます．ピラミッドの各所の寸法は図２に示します．この寸法を用いて，作った展開図を図3a，bに示します．どちらの展開図でも，Oの周りのグレーに塗った部分は切り取り，窓（＝光の面）を開けます．それぞれの転開図で端辺どうし（左図ではOA'，右図ではOB）を，それぞれ貼り合わせると完成（写真は図4a，b）です．

展開図のグレーに塗った部分は切り取りる．

図3a,　図3b
実際に作る寸法はこの4倍位にすると良い．

完成した万華鏡の外側．鏡面はピラミッドの内側．

図4a　　　図4b

（a)および(b)に対応する万華鏡像

■２つの万華鏡はどちらも菱形12面体像が見えます．図4aのピラミッドには図4bが４つ入ります（図4bの非対称領域は図aの1/4）ので，図4bの万華鏡の方が「菱形面に2mmの対称性があり」，図4aの万華鏡より対称性は高いのです．

■菱形12面体の見える他の万華鏡の例は，⇒ここに掲載します．

トレチャコフ美術館展のポスターを飾る．19世紀末から20世紀初頭のロシア絵画の代表作，クラムスコイ作の「忘れえぬ女」は印象に残ります．表題のНеизвестнаяを直訳の「見知らぬ女」でなく「忘れえぬ女」とした翻訳は実に上手いですね．
この女性が誰だか謎です．すべてのものをありのままに見通すようなまなざしは，実に魅力的です．何も恐れず媚びず，勇敢にまっすぐにみる．あらゆる欺瞞を見抜いているようです．

トレチャコフ美術館展で気に入った絵画がありました．子供の世界のコーナーに展示されている「楽しいひととき」です．作者は，アントニーナ・レオナルドブナ・ルジェフスカヤ（女性）．Антонина Леонардовна Ржевская
ルジェフスキー家のレオナルドの娘アントニーナというわけで，ロシアの標記では，父称からも姓からも女性ということがわかります．この絵画は，男名のА Л Ржевский　と署名し1897年の展覧会に出品しました．

この絵画はパーベル・トレチャコフの目に留まり彼の所蔵となりました．
当時は絵画は男の仕事になっており偏見を心配したためです．

(注）父称や姓は，アントニーナ（女性名詞）を修飾する形容詞ですから女性の語尾変化をし，女性であることが明示されてしまいます．
彼女は没落した貧しい領主の家に生まれました．アレクサンドル2世による農奴解放令は1861年だが，農奴は土地を買わなければならなかったので不徹底改革でしたが，没落領主もあったでしょう．調べたら父は早く死に母と苦労したようです．
1880年にモスクワの絵画・彫刻・建築学校を卒業しました．
1899年に正式に移動派のメンバーになりました．
私立女子学校で教えたり，1920年には骨疾患の子供達のための教育芸術スタジオを組織しボランティア活動をしました．
「楽しいひととき」はこの絵です

エントロピーといえばボルツマンを思い浮かべます．天才ボルツマン（オーストリアの物理学者）の墓碑には，S=klogWと刻まれているそうです．Sはエントロピー，Wはとり得る微視的な”状態数”，kはボルツマン定数です．
対数をとると，log(A･B)=logA+logBのように，積が和になりますので，加算量であるエントロピーと，微視的な”状態数”という積で増加する量とを結び付けるには，対数の登場となるわけです．
熱力学のエントロピーのクラウジウス（1865年）による定義は，系の温度をTとし，可逆過程で熱量δQが系に流入すると，dS=δQ/Tだけ系のエントロピーが増加するというものです．
系の内部エネルギーやエントロピーは状態量です．状態量ならば，系の２つの状態間で，変化経路にかかわりなく，状態量の差が一意に確定します．従って，系のある状態から出発し一回りして戻る経路積分をすると積分値はゼロです．状態量として系の内部エネルギーを例にとると，∲dE=0．このような性質のdEを全微分といいます．
熱や仕事の流入がないとき内部エネルギーは保存（熱力学の第一法則）されます．
閉じた系の内部で何か変化が起きても，その系のエントロピーは増大することはあっても減少することはなく，可逆変化の時のみエントロピーは不変（熱力学の第２法則）です．
系の微視的状態の数はW＝N!/(n_1)!(n_2)!･･･(ｎ_m)!通りで，ここで，P_iを状態n_iをとる確率（n_i＝P_iN，Pi=1）とし，
スターリングの公式を用いlogWを近似すると logW=-(P_i)Nlog(P_i) が得られます．

情報エントロピーの定義もこれと同じ形になります．エントロピーを微視的な状態数の表現と解釈すれば，エントロピーが大きいと可能な状態数が多く，エントロピーが小さいとは予想がしやすいということです．

STEM教育（ステムきょういく）とは、"Science, Technology, Engineering and Mathematics" すなわち科学・技術・工学・数学の略語で，AIやArtも加えてSTEAM教育といわれる理数教科の統合教育であります．STEM教育は，米国で2003年ごろから始まりました．近年，日本でもSTEM教育の必要性が叫ばれるようになりました．これらの科目の中で統合的に数学を教える試みが重要ですが，まだ成功しているとはいえません．われわれが訴えている数学月間の視点は，STEM教育へも貢献できるものと思います．
数学はあらゆる文化・学術の基盤で，科学，工学，産業，芸術，医学，経済など，社会のあらゆる分野を数学が支えています．しかしながら，一般市民，特に，生徒・学生とその両親は，数学学習を敬遠する風潮にあり，これが数学力の低下をもたらしています．米国の「数学月間」MAM（Maths Awareness Month）は，議会上院が決議し、続くレーガン大統領の宣言（1986年4月17日）により国家的な行事として開始されて今日に至ります．米国MAMは，数学系の学協会が参加するJPBM（Joint Policy Boad for Maths）が，毎年，社会を反映した数学テーマを選定し，毎年4月に種々の数学イベントを展開し，国民からの事後評価も受けます．皆が知りたい時局の数学を，種々のレベルで学習できるウエブ・サイトが充実し，そこにエッセイや論文が集積され，そのテーマの数学を基礎から最先端まで，学生が独習できる優れたガイドになります．MAM期間には，一般から専門家まで，小学生から大学生まで，いろいろなレベルのイベントが全国で展開されます．レーガン宣言で国家的行事のMAMを決断した背景には，国民の数学力が低下し，米国の産業力も低下するとの焦りがあったといわれます．日本も同様な状況にあり，国家的行事の数学月間が望まれます．
社会のさまざまな分野と結び付けて数学を知るという数学月間はSTEM教育と精神は同じです．その活動も数学愛好者内にとどまっているのでは意味がなく，社会に横断的に呼びかけ活動し，「社会と数学の架け橋」になることが必要です．多くの方々が数学月間の会に参加されることを願っております．

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数学月間SGK通信 ［2018.11.13］ No.241
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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いろいろな多面体の見える万華鏡（立体万華鏡と仮に呼ぶことにします）を作っています．
アルミ板やプラスチックの鏡は像がきれいに映りますが
ミラー紙を用いても，ここで取り上げているような立体万華鏡は良好に作れますので．
チャレンジしてみてください．

球面正多面体は，アラブの数学者，アブル・ワーファ（1000頃）に始まります．
球面正多面体｛p,q｝は，球面正p角形が，頂点でq個集まっているもので，
球面正p角形の１つの内角は2π/qです（図D）．そして，球面p-多角形の辺はすべて大円であることに注意しましょう．
ここで例に取り上げるのは，正12面体に相当する球面正12面体＝球面｛5,3｝多面体です．

メビウスは多面体万華鏡を発明します（1850）が，これは，球面p-多角形を．
2p個の球面直角３角形に分割することを使います（図A）．
分割された3角形の角度は，π/p，π/q，π/2，このような直角3角形を(p,q,2)のように記述します
万華鏡は，３角形（赤く塗った）の各辺となる大円を鏡にすると得られます．
Aは，メビウス万華鏡になり，正5角形の面を10個の直角3角形に分割しています．
Bは，正5角形の面を5個の2等辺3角形に分割しています．Bには，Aに存在した鏡映対称面が１つ消えています．
Cの赤く練った正3角形の周囲の辺の大円を鏡に置き換えて万華鏡を作れば，正20面体の映像が見えます．
それぞれの映像写真は続きに

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数学月間SGK通信 ［2018.10.16］ No.237
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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フィボナッチ数列というのは，1,1,2,3,5,8,13,....のように続く数列です．
この数列のn項a(n)は，a(n)=a(n-1)+a(n-2)と再帰的に定義できます．
フィボナッチ数列は，様々な分野の思いがけないところで出現します．
この再帰的な機構が支配している現象が様々な分野にあるからです．

集合S(n)=｛1,2,3,....,n｝を考えます．この集合の上の置換を考えます．
置換の結果は，n個の文字の順列になりますから，n!個の置換があります．

さて，文字が始めの位置から移動しない，あるいは，たかだか隣への移動だけが許される
と制限してみます．つまり，どの文字も1つおいた隣以上の移動はしない置換だけを対象にします．
このような置換を，「距離１の置換」と呼ぶことにします．
具体例（次の図）を示すので，「距離１の置換」とは何かは理解できるでしょう．

 Qestion
S(n)上の「距離１の置換」の数をa(n)個とします．ｎ≧1に対してa(n)を求めなさい．
Answer
S(1)に対しては，a(1)=1
S(2)に対しては，a(2)=2
S(3)に対しては，a(3)=3
であることを，確認してください．
次は，a(n)=a(n-1)+a(n-2)が成立することを証明します．
・S(n)の最後のnを動かさない「距離１の置換」の数は，S(n-1)上の「距離1の置換」の数a(n-1)と同じ．
・S(n)で最後のnを動かすとすれば，nの行先はn-1で，空いたnの位置に来れるのはn-1しかありません．
従って，この場合の「距離１の置換」の数はS(n-2)上の「距離１の置換」の数a(n-2)と同じです．

さて，S(n)の最後のnが動くか/動かないかは互いに背反の事象ですから，
両者の和　a(n-1)+a(n-2)がa(n)に等しくなります．（証明終わり）

この式の形は，フィボナッチ数列の定義と同じ形ですから，
a(n)は，第1項が１,第2項が２から始まるフィボナッチ数列になります．

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数学月間SGK通信 ［2018.10.30］ No.239
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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フィボナッチ数列F(n)は，
1,1,2,3,5,8.13,21,34，.....のような数列です．
F(n)=F(n-1)+F(n-2)　と再帰的に定義されます．
このような数列は，いろいろな所に現れます．
得られた数列が，フィボナッチ数列であることを証明するには数学的帰納法を用います．
今回は，その典型的な例を取り上げましょう．

■抵抗ラダー回路

ラダーとは梯子のことで，梯子型に抵抗を並べた回路を，抵抗ラダー回路といいます．
例えば，次の図は3段のラダー回路です．

A-Bの端子（入力側）から見たインピーダンスをZ_i，
C-Dの端子（出力側）から見たインピーダンスをZ_oとします．
この3段のラダー回路は，A-B側（入力側）にR1の抵抗があるが，C-D側（出力側）にはないので，
左右対称ではありません．入力側から見たインピーダンスと出力側から見たインピーダンスの比から，
減衰率Z_i/Z_o≡Aが定義されるが，A>1なのでアッテネータ（減衰器）として使えます．
抵抗値をすべて同じR1=R2＝１とすると，
ラダーの段数mを増やしていくと，減衰率A(m)＝F(2m+1)/F(2m-1)は，2/1，5/2，13/5，34/13,...と
フィボナッチ数列が出てきます．
（参考）計算は以下をご覧ください．証明は数学的帰納法を使う練習になります．

■ラダー回路の応用例
ラダー回路は，アナログ信号が入力されたときに，そのアナログ信号の大きさを，瞬時に8水準に分類する（8ビットのデジタル化）回路（これを8ビットのAD変換といいます）に使われたりもします．
次の図をご覧ください．

コンパレータが7個並列に並んでいますね（カスケード結合）．
入力信号の大きさを８水準に分類するのは，
7個のコンパレータの働きで，
その境界値となる７段階の基準電位をそれぞれに供給します．
この７つの基準電位を発生するのが，
一番左の直列に並んだ抵抗ラダー回路です．
nビットのAD変換には(2^n）-1個のコンパレータと基準電位がいります．

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数学月間SGK通信 ［2017.11.07］ No.192
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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与えられた任意の角の3等分は実在しますが，定規とコンパスだけでは，
これを作図できないということは多分ご存知でしょう．
以下は，ギリシャの幾何学者達が熱心に研究した不可能作図問題です：
（１）与えられた正立方体の2倍の体積の正立方体を作れ
（２）与えられた円と同じ面積の正方形を作れ
（３）任意に与えられた角を3等分せよ
もちろんこのような図形は実在しますが，作図手段を，「定規とコンパスだけを有限回使って」と制限して作図ができるか？という問題です．

■長さa, bの２つの線分が与えられたとき，直線定規とコンパスだけを用いて，
加法a+b，減法a-b，乗法a･b，除法a/b，開平√a
の作図が可能なことは，以下の図をご覧ください．

⇒定規とコンパスで作図できる長さ

これ以外の作図（例えば，立方根の作図）は定規とコンパスでは出来ません
（証明は難しいのでスキップ）．

 （１）ではx³＝2(a³）だから，２の立方根の作図が必要
 （２）では，x²＝π(r²)だから，πという無理数の開平の作図が必要
 （３）では，x³-3x-a=0という角3等分の方程式の根であるxの作図が必要です．
［ただし，aは，与えられる角度Ω（cosΩ＝a/2）により決まる］
例えば，Ω=90°（a=0）のときは，ｘ＝√3の作図になり，これは可能です．
しかし，一般角の場合，この3次式の解には3乗根が入ってきますので，作図は出来ません．
注）この角3等分の方程式の導出は以下の図をご覧ください．

⇒任意の角度の3等分方程式

例として，Ω＝60°（a=1）のときは，x³-3x-1=0となり，
p+q√r (p,q,rは有理数)の形の解を持たないので，
角の3等分の作図は（定規とコンパスでは）できません．

ある折り紙の本に正5角形の作り方がありました．
複雑な手順なので整理して原理だけ説明しましょう．
正5角形の中心角72度を作るミソは，以下のようです．
これで，Θは72°になることを証明できますか？

答，72°になりません．
約71.56...°です．

この折り紙手順で作れる角度は，72°に非常に近いので
実際の折り紙工作では非常に良い方法といえるでしょう．
でも，幾何の命題としては正しくないのです．

話は別になりますが，
正5角形を，コンパスと直線定規で作図できます；
例えば　http://www.natubunko.net/zukei/png/penta03.png
ここから図を引用しましょう．

さてそれでは，この作図を
折り紙の手順で追いかけてみましょう．
折り紙の手法で，「円を描く」というのは，可能でしょうか？

コンパスの使い方には２通りあます；
１）所定の長さを所定の方向にとる．
２）２つの円の交点を求める
（与えられた2点から，それぞれ与えられた距離だけ離れた点を求める）．
このうち，1)は折り紙手順で可能ですが，2)は折り紙手順では不可能です．

折り紙の手順で，正5角形の作図を追いかけてみると，(4)の段階で，２つの円の交点を求めることが必要になります．折り紙ではここができません．

でも，全く違う折り紙手順があり，正5角形が作れたりしないでしょうか？
皆様，挑戦されて，発見したら教えてください．

例えば，定幅紙（帯）を用いて，図のような折り紙を折ることができます．
どうしてこのように折り紙で正5角形が作れるのかを解析する必要があります．試みてください．

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数学月間SGK通信 ［2018.07.02］ No.226
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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暑い日が続きます．皆様お変わりありませんか．
夏休みは数学月間（7/22－8/22）の季節です．毎年，月間初日の7/22に
数学月間懇話会を実施して来ましたが，今年は1月遅れの8/22に実施します．
どうぞお気軽にご参加ください．
■7月の予定
このメルマガの届く7月2日朝は，娘のボトルシップの個展を見にイギリス，サンダーランドに出発の日です．
https://www.facebook.com/photo.php?fbid=10216317238867252&set=a.1776604738559.2105958.1342581912&type=3&theater

サンダーランドでは帆船レースもあります．

その後，イギリス国内を旅行します．そのため，インターネットのアクセスポイントが確保できない場合もあり，7月のメルマガ残り4回は発行できないかも知れません．その時はお許しください．
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■今年のとっとりサイエンスワールドは：鳥取(7/29)，米子(8/5)，倉吉(9/2)です．7/29，8/5の材料は発送しましたが，私が参加できるのは9/2の回です．
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■数学月間懇話会（第14回）のお知らせ
●場所：東大駒場キャンバス，数理科学研究科・002号教室
●日時：2018年8月22日，14:00-17:00
●参加費無料.直接会場にお出で下さい．
●主催：数学月間の会，日本数学協会
●問い合わせ：sgktani@gmail.com
●プログラム：
１．企業での数学活用の実際，渡邉好夫（リコーICT研究所AI応用研究センター，技術顧問）
２．エントロピーと対数，対称性，宮原恒昱（首都大学東京名誉教授･客員教授）
３．パズル玩具と数学の接点-「解ければ終わり」ではもったいない，秋山久義（数学遊戯研究家）
●17:30より構内カフェテリアにて懇親会（飲食は各自払い）
皆さんのご参加をお待ちします．
今年は，例年（7月22日）とちがい8月22日です．ご注意ください！

■口上（企画意図）
(1)googleやamazonなどが典型ですが，色々なデータが収集され予測に使われているのは，皆さんも実感されていることでしょう．このビッグデータの時代に，企業もデータサイエンスに無関心ではいられません．
その一方，機器の設計では，動作原理のシミュレーションなどで物理に立脚した数学モデルが企業でも活躍します．数学が技術を支えているのが具体的に実感できるでしょう．

(2)天才ボルツマン（オーストリアの物理学者）の墓碑には，S=k・log(W)と刻まれているそうです．Sはエントロピー，Wは状態のとり得る”場合の数”，log(W)は”場合の数”の対数をとること，
kはボルツマン定数です．対数をとると，log(A･B)＝log(A)＋log(B)　のように，積が和になり，”場合の数”の積は，エントロピーの和に対応させられます．
だからここに対数がでてくるのですね．ボルツマンは1906年自殺しました．
分子の実在も証明されない時代に，気体分子運動論，統計力学を築いた天才は受け入れられませんでした．あと1年頑張っていればよかったのですがね．

(3)パズルやマジックの多くは，数学に深いかかわりがあります．
試行錯誤して，答えが見つかればそれで終わりとするのが普通です．
でもそれでは勿体無い．正解が発見でき，本質に肉薄した所にいるのだから，
その奥にある数学原理が発見できるでしょう．2010年没のマーチン・ガードナーの著作が懐かしいですね，おいでになれば，珍しいパズルグッズにも触れることができます

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数学月間SGK通信 ［2018.08.07］ No.227
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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暑いです．皆様お元気でしょうか．
このひと月に日本では色々なことが起こりました．
皆様の方では豪雨被害や台風被害は大丈夫だったでしょうか．
7月は私はひと月間お休みをいただきましたが，
お休み前のメルマガで予定をお話したように，
イギリス，サンダーランドの国立ガラスセンターで開催された，
ボトルシップ（ガラスの中のガラスの船）の綾子の個展と講演を聞きました．
アン王女もボトルシップの個展に訪問されましたので，
私はパパラッチのように写真を撮りました．
帆船レースは54隻が参加し，サンダーランドからデンマークまでの
レース１では，MIR（ミール＝平和丸，ロシア）が1番だったようです．
およそ3日で横断します．
これらの詳細は，私のブログのイギリス旅行記３－６に書きました．
https://rdsig.yahoo.co.jp/blog/article/titlelink/RV=1/RU=aHR0cHM6Ly9ibG9ncy55YWhvby5jby5qcC90YW5pZHIvMTg2MTA0MjUuaHRtbA--
その後，イギリス各地を見学して回りましたので，
詳細はブログのイギリス旅行記の続編をご覧ください．
■お知らせ
とっとりサイエンスワールドは，9月2日のin倉吉を残すのみとなりました（私は参加します）．
数学月間懇話会（第14回）は，8月22日，14時から東大駒場で実施します．
興味深い講演が３つあります．お気軽にご参加ください．
■

写真はイギリスで見聞した面白い形，セパタクロウのボールの形です．
このおもちゃは，サンダーランド博物館で売っていました．
6色のリングが組み合わさってできています．
リングを切ってばらして再組み立て直してみました．
思ったより樹脂が固くて編み難く扱いにくいです．
テープを編んでセパタクロウのボールを作った方が楽でした．
さて，このボールは，正5角形と正3角形からできており，
頂点のまわりに，3角形，５角形，3角形，５角形の順に集まっていますから
シュレフリ記号で［3,5,3,5］半正多面体です．この多面体には対称心があります．
点群は正12面体群の対称性です．
この模型自体が5回対称軸による色が保存される軌道からなり．正12面体には6本の5回軸がありますから，６色の軌道が組み合わさってできています．
5回回転軸は5色の循環と1色の保存と結び付き，３回回転軸は３色づつ2組の循環と結び付きます．

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数学月間SGK通信 ［2018.08.14］ No.228
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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今回は，クラッグサイド城での見聞を紹介します．
クラッグサイドCragsideというのは，Nothunberland 国立公園内, Newcastleから北北西50kmの付近にあります．
アームストロングWilliamArmstrongの居城．アームストロング（1810-1900）はニューカッスル出身の発明家でアームストロング社を設立しました．
水力を動力とする回転機，クレーンの発明．アームストロング砲や戦艦造船事業です．
日露戦争時の戦艦，三笠など皆アームストロング社製です．金剛などの主砲もアームストロング社製．
日本は，弩級戦艦（ドレッドノート型）の造艦をイギリスから学ぶが，その後，超弩級の大和などを作るようになる．
日本の建艦技術の先生である．購入した戦艦の改装は何度か行われたが，装甲板にドリルの歯がたたず鋼材の硬さに舌を巻いたという話をどこかで読んだ記憶がある．

Cragside城の内部は，リフトを始め調理装置まで，さまざまな器具の動力に水力による回転が伝達されている．
自己の開発したメカ技術の実用化テスト場のようでもある．
クレーンで成功したのだが，建物にも動滑車を使ったメカが使われている．

アルキメデス螺旋（写真）は，水路の落差で螺旋軸を回転し水力発電機を回す．
あるいは螺旋軸を電力で逆転すれは揚水もできる．
実験室の展示には静電気発電や不思議な実験装置の展示があり面白い．

■クラッグサイドCragsideで見たモザイク模様
これら（５つ）はすべて同じ対称性(P4mm)に分類されます．一般に壁紙模様の対称性（平面群）は17種類ありますが，クラッグサイドでは．P4mmの模様ばかりが使われていました．

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■訃報
数学月間設立に尽力された片瀬豊氏が，8月8日に亡くなりました．
通夜：8月18日，6時から
告別式：8月19日，11時から
いづれも，横浜港南台，くらしの友にて
（くらしの友の住所は）
神奈川県横浜市港南区港南台４丁目２４－１０

なお，8月22日の「数学月間懇話会（第14回）」は故人の遺志を引き継ぎ予定通り実施します．
場所：東大駒場キャンバス，数理科学研究科・002号教室
日時：2018年8月22日，14:00-17:00
参加費無料
１．企業での数学活用の実際，渡邉好夫（リコーICT研究所AI応用研究センター，技術顧問）
２．エントロピーと対数，対称性，宮原恒昱（首都大学東京名誉教授・客員教授）
３．パズル玩具と数学の接点-「解ければ終わり」ではもったいない，秋山久義（数学遊戯研究家）
いずれも問い合わせ先：sgktani@gmail.com

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数学月間SGK通信 ［2018.08.21］ No.229
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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参考

９月2日は，とっとりサイエンスワールドin倉吉（未来中心にて）に行きます．
今年の万華鏡は，去年のものより少し高級になり3枚鏡です．
きれいですよ．お近くの方どうぞご参加ください．

今日の話題は，多面体の見える万華鏡です．

 reciprocalという言葉があります．経済などでは，互恵的とか対等とかいう意味で使われます．
結晶学では，結晶格子crystal latticeに対して，逆格子のことをreciprocal latticeといいます．
両者の関係は，多面体でいうと，面を頂点に，頂点を面に変換した多面体
（これを双対dualな多面体という）の関係と同じです．

例えば，シリコンの結晶格子は面心格子で，ディリクレ胞を描くと菱形12面体です．
シリコンの逆格子は体心格子で，ディリクレ胞を描くと｛6,6,4｝半正多面体，いわゆるケルビン立体です．
結晶格子中のデリクレ胞と逆格子中のデリクレ胞は，このように互いに双対です．
格子に対して逆格子reciprocal latticeとはうまく名付けたものです．
もちろん，対称性はどちらも同じ，正6面体の対称性です．
作製した万華鏡は，左から覗くと菱形12面体が，右から覗くとケルビン立体が観察され，両者の対称性は同じであることを理解するのに役立ちます．