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中谷宇吉郎雪の科学館

ダイヤモンドダストの実験．

過冷却の霧（氷点以下なの水（液体）の状態を保っている）の中に，氷結の核となるダストを吹き込むと，一瞬にして水滴の霧が氷晶の霧となる．氷は光を当てるとキラキラして（屈折・分散・反射が強く起こる）ダイヤモンドのように輝く．

＊私は自販機でお茶を買い蓋を開けたとき一瞬でペットボトル内が凍るのを見ました．私の記憶では季節は夏だと思うのですが，自販機のペットボトルはギンギンに冷えていて過冷却だったのでしょう．

＊実験の動画を撮影しyoutubeに置きました．

鈴木大拙
■機械に何でも頼ると機心machine mindsになる.
A machine mind is a calculating mind. Such a mind is not clean and pure.「荘子」の外編

■You cannot understand yourself simply by thinking about yourself.
You can understand yourself better by understanding others．
〇△□

ドアや家具などに見られるイスラムの美しい模様は千年以上の歴史があります．
イスラムの星のデザインは，対称性の高い星型が配列しているのが特徴です．
繰り返し模様全体を支配する対称性は，17種類の平面群のどれかになるし，
並進（周期性）と両立しうる回転対称は，2,3,4,6回軸に限られます．
しかし，イスラムの模様に散らばる星形は対称性が高いのです．高い対称性はもちろん全域に作用はできず，その星形の内部にだけ作用する局所的なものです．

上図の模様を例にとると，8回対称の青い星型が，正方形格子の周期で配列していることがわかります．
青い星型にある8回対称性は，青い星型内部と緑の周囲領域，草色の星形5角形の領域までは有効ですが，
オレンジ色の８角形までは有効ではありません．
青い星の中心にある8回対称軸はオレンジ色8角形の付近では，4回対称軸に低下してしまいます．
これは，周期的な平面では8回対称軸は存在できない（正8角形のタイルでは平面を張れない）から当然のことです．
ある点のまわりの対称性という言葉は注意が必要で，その点周囲の「局所的」対称性を指す場合もありますが，平面「全域」で有効な対称性を指すのが普通です．この例では，青い星型の対称性は8回対称ですが，この星の中心にある回転対称軸は4回対称軸です．
このパターンの単位胞は，オレンジ色の8角形の中心を結んでできる正方形の格子で作られるタイル１つです．

■Girihタイル
正方形と正8角形を組み合わせた平面のタイル張りの例が下図(a)です．この例のテッセレーションを，（4,8,8）と記述します［１つの頂点のまわりに，正4角形，正8角形，正8角形が集まっている］．

(b)図は，正4角形および正8角形の内部に装飾線を描いたGirihタイルです．
平面をGirihタイルでタイル張りしておいて，タイルの縁の輪郭を消すと(c)図のパターンが得られます．

■ここで，始めに掲載したイスラムの模様も，上の例と全く同じであることを確認してください．
始めに掲載した模様の正4角形タイルや正8角形タイルの形は，草色の星型の中心を結んでいくと明らかでしょう．
正4角形や正8角形の内部の装飾線はどのようなものであるかもお確かめください．

Volume 90 Issue 50 | p. 64 | Newscripts
Issue Date: December 10, 2012

マイケル・フリッケ博士(オハイオ州のBoehringer Ingelheim's Ben Venue 研究所の化学者）は，2011年の化学ノーベル賞受賞者シェヒトマンの準結晶を知り，自宅の新しいパティオのデザインにこれを用いることを思いつきました．そしえ，フリッケは1年がかりで2012年11月にパティオを完成しました．
1200個の特製のコンクリート舗装石を準結晶パターンに配置したものです．
写真は，子供が準結晶タイル張りのパティオに立っているところです．彼のTシャツには「悪役のようにゆったり」と書かれています．

フリッケは，パティオに使う2種類の舗装石（太った菱形と痩せた菱形）の木製型を作製しました．木型を使用して彼は1日に15枚のコンクリート舗装石をキャストし，10か月生産した後，ペンローズの非周期タイルと呼ばれるパターンに配列し始めました．
この配列を作るのは「忍耐が必要」だったようです．準結晶が広く受け入れられるまでに，シェヒトマンが嘲笑や猜疑を乗り越えたように．

夜明け前の空の色が美しい．桔梗の色とオレンジ色の消えるところが良い．

新年おめでとうございます．2020年も宜しくお願いいたします．蕎麦好きな私ですが，年越し蕎麦を蕎麦屋で食べたのは初めて，除夜の鐘を撞きに行ったのも初めてです．行列があれば止める主義の私ですが，今回はどちらにも並んでしまいました．

4x4の16個のマスに0~15の数字が書かれたカードがあります．このカードの上に孔のあいたマスクカードを重ね「あなたの思った数が見えますか」と尋ねる．これをマスクカードを変えて4回行えば，相手が心の中で思っていた数が当てられるというのが，この数当てのゲームです．

どのような仕組みがあるのでしょうか．秋山久義さんが，2019年7月のパズル懇話会で発表されています．
今日は，秋山久義さんの発表「数当てカードの諸相」から引用して，その仕組みを解説します．

まず，16個の数の配列は，ランダムに配置したふりをしていますが隠れた規則があります．
例えば次の２つの方法があります．
（１）左右対称の位置にある2つの数字の和は常に15になる．
（２）回転対称（2回対称あるいは点対称）の位置にある２つの数字の和は常に15になる．

このために右半分（あるいは左半分）を知れば，全部の数の配置がわかります．
つまり，相手の意中の数が見えない場合は，その数との和が15となる数の方が見えているのです．

さて，0~15の数を2進数で表すと次の表のようになります．a,b,c,dはそれぞれ2^3，2^2，2^1，2^0の桁に相当します．

2進数表示で3桁目を表すマスクカードがa，2桁目を表すマスクカードがb，というように
4枚のマスクカードができます．
それぞれの数の上に乗る4種類のマスクカードで，2進数表示の１のところに孔を開ける（網掛け部分）
ことにします（逆に統一してもかまわないが）．
例えば，13の場合は，aとbとdのマスクカードに孔（網掛け部分）をあけ，ｃのマスクカードには
孔はあけません．

以上で，仕掛けの準備ができました．

これで，質問を開始して，数字が見えるといったマスクカードはそのまま横に置き積み重ねていきます．
見えないといったマスクカードは
（１）の場合には裏返して重ね／（２）の場合は180°回転して重ねるのです．

結局，4枚のマスクカードを重ねたものは，
相手の心の中で思っている数字の位置に孔があいた状態になっているはずです．

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数学月間SGK通信 ［2019.12.24］ No.298
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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12/20はアップリンク渋谷に映画，「エッシャー 視覚の魔術師」を見に行きました．
エッシャー（オランダ，2018）の版画作品からは，数学者としてのエッシャーは良く知られていますが，
どんな生活をした人物かはあまり気にしたことがありませんでした．
映画では，エッシャーの息子たちへの取材が面白かったです．作品にまつわるエピソード
［1955年作「表皮」から1956年作「婚姻のきづな」に発展］など，よくわかりました．
ムッソリーニ時代の全体主義に息子が染められるのを嫌いイタリアからスイスに移住しました．
人物像のわかる良い映画でした．

最後の方でエッシャーが国際結晶学会の講演に呼ばれていくところがありましたが，
私の専門は結晶学で，結晶学会では昔からエッシャーの周期的模様を教材にしており，
結晶学者には，エッシャー作品は馴染み深いものです．

アルハンブラのモザイクには平面群の17種のすべてがあるという説と1種類かけているという説があります．
どちらでしょうか？それともどちらも違うのか．実際にアルハンブラには行って調べて見たいものです．
ペンローズ・タイリングを発見したペンローズも，アルハンブラのタイルからヒントを得たと聞きます．
私も，イスラームのデザインに立戻って，タイル張りの見直しをしてみようと思っています．

映画のエンドロールにスナップ映像が流れますが，その映像の一つに，大道絵師の光景が写りました．
たまたま昨夏，ニューカッスルの通りで見かけたエッシャー作品ばかり道に描いていた大道絵師のようです．

http://cinejour2019ikoufilm.seesaa.net/article/escher-review.html シネマジャーナルへ掲載いただきました．

■エッシャー作品の生まれるまで
コクセターとエッシャーはオランダで開催された1954年の国際数学者会議で出会いました．
1958年にコクセターはこの分割を掲載した論文*をエッシャーに送り，
これがエッシャーの「極限としての円」の作品群を生むことになります．
http://sgk2005.saloon.jp/blogs/blog_entries/view/46/a655be2fc4e933a93af15e269d8b684e?frame_id=54

極限としての円の数学については，以下のブログを参照ください．
http://sgk2005.saloon.jp/blogs/blog_entries/view/46/2e340c06148db50daae618a772629e15?frame_id=54

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uplinkで上映中の「エッシャー視覚の魔術師」

極限としての円の数学については，過去のブログを参照⇒　「極限としての円」の作品

友達が本屋情報を教えてくれます．有難いことです．

12月のシジュウカラさんたちはとても活発です．ヒマワリの種もたくさん食べます．
2,3羽づつ飛来し，同時に4,5羽が来ることもあります．

クンデカリKundekariという技術は，接着剤も釘も使わず木のピースを組み立てていく技術です．イスラム模様の装飾のある説教壇（minbar），ドア，家具に用いられます．12世紀にアナトリア地区で生まれたこの技術は，その地のセルジューク帝国，オスマン帝国時代に洗練されました．杉，薔薇，梨，クルミ，黒檀，リンゴなどの木材が使われます．木材ピースを溝とホゾで組み立てるので．各ピース間は2~3mmのギャップがあり，それぞれのピースの膨張伸縮で歪みが生じることがありません．接着剤や釘で固定された作り方よりも，湿気などに対する耐久性があり，ひびが入らず700年持つといわれます．ジャーミイのドアは，5cm位の多くのパーツをクンデカリの技術で組み立てています．そしてさらに，このドアーを構成する木材ピースの総数は，数秘術的な意味があるそうです．
⇒数秘術的な意味については，アラビア文字のアブジャド数に続く．
（参考文献）クンデカリについては，Mugla Journal of Science and Technology, Vol2,No2,2016,110を引用

機械設計（日刊工業新聞社）1月号のSekkeiBookReviewに拙著「美しい幾何学」を取り上げてくださいました．本の狙いをよく理解いただいたようで工学分野で読まれるのは嬉しいです．
この雑誌は専門書なので初めて手にしますが，回転ステージやDCモーターなど，会社でＸ線反射率測定装置を作ったとき購入したものも色々載っていて懐かしいです．ロボットの分野はずいぶん進み洗練されましたね．

以下の記事が目につきます．これらは数学とも無縁ではありません．
・「歯車装置の設計計算」→表計算ソフトで歯車の歯切りに使うピニオンカッタのトコロイド曲線を描く．

・「Mathcad学ぶで力学解析」→Mathcadは数式通りの記述で計算ができるので，私も初期のMathcadを個人購入し（初期の頃はMathematicaに比べかなり安かった）愛用していたことがあります．いまはMathcad prime6.0になったようです．

・「鳥はなぜ飛べるのか」→非常に興味深い．翼まわりの渦輪など解析をしていますが，難しい流体力学なのでまだ読めていません．

12月4日の夕方から秋葉忠利さんの「数学書として憲法を読む」の出版記念パーティがありました．100人ほど集まり楽しいパーティでした．田中康夫さんや阿部知子さんも来られました．おりしも，PISAテストで15歳の読解力の低下が指摘されています．国民もマスコミも読解力のない社会になりました．論点を次々にずらしたり，揚げ足取りで本論から逸脱させたり，部分否定と全否定をすり替えたり，必要条件と十分条件を区別しなかったり，みな詭弁への道で，まともな議論になりません．論旨を素直にとらえて，正面から議論する当たり前のことが通じない社会になりました．特に，国会やマスコミの報道でこのようなまともな論理の劣化が気になります．

読解力は，読書をしたり話を聞いたりして自然に身に着くものです．私の子供の頃は，落語のラジオ放送を聞く毎日でしたが，まとまった話を最後まで聞くというのは，読解力を身に着けるための良い訓練であると思います．

論理的な普通の読解力で（いかめしく言うと数学的に）憲法を読むというアイデアは画期的な問題提起です．
秋葉さんの本の一読をお勧めします．この本は以下の様に憲法を舞台にしていますが，何の分野でも正しくあるがままに理解するということは重要なことです．

■改憲不可条項
憲法にある「義務」，「尊重」などの単語，特に，「永遠」，「永久」といった「絶対性」をもつ単語を，素直に受け入れ（「義務」という言葉は素直に法的義務と読むべきなのに，都合の悪いところになると道義的要請とよむ「憲法マジック」は詭弁の入り口），「全部否定」と「部分否定」，「必要条件」と「十分条件」との違いを峻別できないと，詭弁に引き込まれます．この他に，憲法に書かれていないこと（あるいは，他の文献）に依存せず，憲法全体は，無矛盾・自己完結するなど，９つのルール（9大律）を設定し，憲法の条文を公理に見立て，論理的な結論となるいくつかの「定理」を導きました．

「永久に」，「国民の総意」，「不断の」などの絶対的な表現と関連がある８つが「改憲不可条項」に当たります．改憲禁止の条項とは明示されてはいないが，論理的にそのような結論になる条文が8か条あるということです．この8か条も含めて，改正の対象にならない条文は30か条を超えることが示されました．改憲の手続き規定である96条は改憲のための必要条件に過ぎないわけです．時間的な極限を表す言葉，「永久に」が使われている9条を変えて，1946年以降の有限時間内のある時点で「戦争をすることが可能になる」ようにすることは，「永久に」という言葉に反します．したがって，9条を「改憲」することは憲法違反になります．

アラビア文字の各文字は数を割りあてられています．このシステムのことはアブジャドabjadと呼ばれ，十進法のインド数字が採用される以前は数値を表現するのに使われていました．また，単語や文章の数値はシンボリックな意味があります．
例えば，「アッラー」は66，このアナグラムの「ラーレ（チューリップ）」も66で，同じ数値ですので，チューリップ模様はジャーミイの装飾に使われます．

クンデカリを構成するピースの数も意味があります．例えば，ドアの文様を構成するセグメント数の165ピースは，「アッラーのほかに神はいない」を意味するそうです．

■私はアブジャドのことは聞きかじっただけで，正確な記述ではないかもしれません（アブジャドのことをご存知の方教えてください）．
私の理解した考え方だけおおざっぱに述べると，アラビア語でも，アルファベット（英語）で計算する数秘術のように，単語（スペル）の文字の数値を総計し，その単語の数値が決まります．ただし，数値を対応させるのはアブジャドに対してで，アラビア文字そのものに対してではないそうです．

（注）世界には，ギリシャ文字（ラテン文字，キリル文字，...），漢字，アラビア文字，などいろいろありますが，アラビア文字は子音を表記する文字に母音も含めるようで，文字も独立の場合と単語の中に使われる場合で異なるようです．漢字や速記文字なども記号全体で一定の意味もつのに似ています．単純なアルファベットではなくアブジャドという文字体系に数字を対応させます．

■クンデカリ技術で作られたドアを構成するピース数の意味

以下の写真のドアの文様の数値227は，次のようにして数えるそうです．この数値のシンボリックな意味は知りません．

面積１の正方形の数14個　→1x14=14
面積２の長方形の数11個　→2x11=22
面積３の長方形の数13個　→3x13=39
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　　　（全図形数）38個　　 　　75（全面積）
　　　　　　　　　x4
　　　　　　－－－－－
　（枠のピース数）152　＋（面積数）75　=227（全ピース数）

11月30日，10:00-17:00，東京ジャーミイの台風被災地復興支援チャリティ・バザーでにぎわいました．

新館内装も完成しました．

11月30日は東京ジャーミイのチャリティ・バザーの一環として万華鏡のワークショップを行いました．3クラス実施し，
66人の材料を使い切りました．新館の３Fの工事が終わったばかりの美しい部屋のHouse-warming partyになりました．

万華鏡の鏡室となる3角形は，頂角が15°の２等辺3角形です．従って，鏡室は（15°，82.5°，82.5°）ですから，分数解（12，24/11，24/11）の万華鏡になります．確かに，1/12＋11/24＋11/24＝1　ですから，条件を満たす分数解であることがわかります．

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今週の土曜日（11月30日）は東京ジャーミイで万華鏡のワークショップをやります．これは東京ジャーミイのチャリティ・バザーの一環として実施されます．お近くの方は参加されることをお勧めします．詳細や参加申し込みは，以下の東京ジャーミイのウエブサイトをご覧ください．
https://tokyocamii.org/ja/event/1787/?fbclid=IwAR2JXV3GaFx5ruXfPabGC-reuY7VPFNKq1LPXtLpgdltl4hijMo0hT1Ot8I

■万華鏡の原理
平行な合わせ鏡の間に置いた物体は，物体像と鏡像のペアが無限に繰り返す市松模様を生じます．2枚の合わせ鏡が平行でなくθの角度で交差する場合は，一次元の市松模様は円周に沿って並びます．円周の向こう側で市松模様がきれいにつながる条件は，360/2θ＝n（整数）です．これは，万華鏡を発明した物理学者ブリュースターの特許（1817年）に書いてあります．

3枚鏡が3角形をなす場合は，3角形の各頂点でこの条件が成り立つので
1/n＋1/m+1/p＝１，（2=<n,m,p）が，平面がきれいな市松模様になる条件です．この条件を満たす3角形は図に示す3種類しかありません．

これだけではつまらないので，分数解も許すことにすれば，解は無限にあります．このような分数解の万華鏡は，平面の所々で市松模様が破綻しますが，やはり美しいものです．

→続く

■イスラーム模様の特徴　➡亜群

イスラーム模様の特徴は，局所的に対称性の高い星型ロゼットがちりばめられていることです．平面群で存在が許される回転対称は，2，3，4，6回に限られ，5回や，7回以上の回転対称は周期性と両立できません．その理由は正5角形のタイルや正7角形以上のタイルは平面を隙間なく埋めることができないからです．

イスラームの繰り返し模様中に，高い対称性（9回とか10回とか12回など）のロゼットをよく見かけますが，これらの対称性は各ロゼットの内部だけで，全域を支配することはあり得ません．そのため，対称性が高そうに見えても，平面群（17種類ある）のどれかに割り当てざるを得ないのです．

イスラームの特徴的な模様を，平面群で分類するのではなく，もっときめ細かい対称性の記述はできないものでしょうか？　群ではなく，亜群（1926）や混群という代数系などが提案されていますが，その発展が行き詰っているのは残念なことです．

■高次元の周期的な世界から2次元の世界への影　➡高次元格子からの射影

イスラーム模様を高次元の周期的空間からの2次元平面への影であると解釈する方法もあります．

周期性のないPenroseのタイル張り(1976)を，このような方法で作ることもできます．

左図は，周期的な2次元世界から1次元世界への射影で，2次元世界で存在した周期性が失われる事例です．5次元の周期的空間［3次元や2次元の周期的空間には存在できない5回対称軸が存在可能］を，2次元平面に射影すると，5回対称のロゼットを作れますが，５回対称性はロゼットの内部だけで2次元平面での周期性は壊れます．イスラーム模様にちりばめられた高い対称性の星型ロゼット（高次元空間からの影）を見ていると，高次元の宇宙の中に自分が存在する世界があることを実感し，不思議な気分になります．