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■結晶は周期的な世界　➡平面群

結晶は単位胞を積み上げてできたブロック細工のようなもので，周期的な内部構造です．図は水晶の例です．水晶の6角柱の方向から見た投影図とM.C.Escherのこの版画作品は同じ対称性（平面群p31m）です．

系の秩序（対称性）は，対称操作［系全体を動かしたとき，系の初期位置と全く重なるような操作］の集合で記述します．対称操作には，並進，対称心，鏡映，回転などがあり，これらの対称操作（群の元という）の組み合わせが作る“群”という代数系［集合の元間の演算が，群の定義（注）を満たす集合］で分類できます．壁紙を記述する平面群は17種類あり，ジャーミイの繰り返し模様もこれらのどれかに分類できます．

注）群の定義：

1．集合Gの任意の２つの元a,bの積a・bは集合Gに属す．→集合は閉じている
2．(a･b)･c＝a･(b･c)　→結合の法則
3．任意の要素aに対して，a･e＝e･aとなるeが集合Gの中にある．→単位元eの存在
4．任意の要素aに対してx･a＝a･x＝eとなるxが集合Gの中にある．→逆元xの存在

■イスラームの模様の作り方　➡テッセレーション

イスラーム建築に使われている美しい模様は，コンパスと定規だけで厳密に作図できますが，1200年までに，5種類のGirihタイル[縁に模様のある等辺多角形タイル]を用いて，パズルのように平面を埋めて美しい複雑なデザインを作る手法が確立しました．

この方法は平面を多角形タイルで分割するテッセレーションの手法と同じです．イランのDarb-i Imam寺院（1453）の壁には,その500年後にヨーロッパで発見されるPenroseタイリング［自分の中に自分と同じパターンが繰り込まれる］と同様なパターンがすでに見られることをPeter LuとPaul Steinhardtが報告しています．

→（下）へ続く

ペンローズ・タイリングとは，次のような2種類のタイルから出来ているタイル張りです．
この図の例では周期ができてしまいましたが，周期ができないように作ることもできます．

ペンローズ・タイリングは，5次元の空間格子の2次元への射影として作れます．
5次元超立方体は頂点32個，辺の数80（各頂点が５次の同次グラフ）です．
超立方体は亀井図（多元構造グラフ）で表示するとわかり易い．
https://sgk2005.org/wysiwyg/image/download/1/526/medium
我々は５次元空間を見ることができないので，５次元空間の基底を，互いに直交する２つの部分空間の基底の直和（２次元＋３次元）に分けて考察することにします．
周期的な５次元空間［単位胞（5次元超立方体）］を，その5次元空間内をよぎる２次元平面（スクリーン）に射影するには，２次元平面にできる格子の影に，この2次元平面に対する３次元直交補空間（菱形20面体）を射影すればよい．

この３次元補空間内の基底ベクトル３本は互いに直交しているのだが，この３本のすべてがスクリーンとなる２次元平面にも直交している（想像しにくい状態だが５次元の世界だから可能）．
５次元超立方体を３次元に射影してできる立体は，菱形20面体（頂点数は22個，辺の数40）だが，
５次元空間の単位胞の体対角方向が２次元スクリーンに垂直になるように置いて，スクリーンへ射影を行う．つまり，菱形20面体の１つの5回対称軸を2次元スクリーンに垂直にして見下ろしたときの外形（ペトリー多角形と言う）を図に示します．ペトリー多角形とその内部の点は5次元の超立方体の頂点に対応します．

ペンローズ・タイリングに現れる特徴的なパターンが，ペトリー多角形内に作れることを図に示しました．

5次元の周期的な空間を，単位胞（5次元超立方体）の体対角線[1,1,1,1,1]方向に垂直な2次元平面に射影すると，この2次元平面は，3次元補空間の菱形20面体をいくつかの高さのレベルで切断したいくつかのサイズのペトリー多角形内のパターンが次々に現れ，ペンローズのタイル模様が作れます．

正10角形の外側を正5角形（辺の長さは正10角形の辺の長さと同じ）10個で取り囲んだ図が基本です．

この図形は，ジャーミイの説教壇横の装飾に使われています．

下図左のような３種（水色，黄緑色，ピンク）のタイルをGirihタイルと言います．この他に２種のタイル型もGirihタイルに加えて５種類のタイルを用いる場合もあります．Girihというのはタイルの中の模様の線のことです．水色の10角形のタイルの作図法を下図右に示します．この作図は赤い円を10等分することから始めます．

 さて，これらの3種類のタイルを用いて，色々な平面のタイル張りができます．

例えば，次の２つをご覧ください．

(1)

(2)

タイルの色は説明のために着色しただけで，タイルの輪郭線ではなく，各タイル内の線Girihが描く模様に注目してください．

これらのタイル張りの対称性は，(1)はP2mm，(2)はC2mm，もちろん，描かれるイスラーム模様の対称性も同様です．

このような３種（水色，黄緑色，ピンク）のタイルをGirihタイルと言います．この他に２種のタイルの型もGirihタイルに加えて５種類のタイルを用いる場合もあります．Girihというのはタイルの中の模様の線のことです．水色の10角形のタイルの作図法を次の図に示します．この作図は赤い円を10等分することから始めます．

さて，これらの3種類のタイルを用いて，色々な平面のタイル張りができます．

例えば，次の２つをご覧ください．

(1)

(2)

タイルの色は説明のために着色しただけで，各タイル内の線Girihが描く模様が求めるものです．

これらのタイル張りの対称性は，(1)はP2mm，(2)はC2mm，もちろん，描かれるイスラーム模様の対称性も同様です．

https://www.beautifulmosque.com/PostImages/Ulugh-Beg-Madrassa-in-Samarkand-Uzbekistan-21.jpg

ウルグ・ベク・マドラサ神学校

東京ジャーミイの玄関ホールの陳列棚に飾ってある美しい皿です．直径30cm程度です．

中心（花弁12枚）の大きな花には，花の内部だけで有効な12回対称軸があります．しかし，中心の花の周りに小さい花が6個配置されており，全域的に見ると，これは12回対称軸でなく6回対称軸になります．周囲の6個の花（花弁９枚）は，それぞれ自分の内部に有効な9回対称軸がありますが，全域的に見ると3回対称軸です．6回対称軸と6回対称軸の間，3回対称軸と3回対称軸の間には2回対称軸が生じます．その他，右図に実線で描いたように鏡映面があります．
ここで，全域的とは，この模様がお皿の外にも同様な繰り返し規則で無限に続いていると想定した模様のことです．つまり，無限に続くこの模様の対称性は右図のような対称要素の配列（平面群P6mm）になります．右図で水色に塗った部分が単位胞です．
この皿の模様は，この繰り返し模様から青い点線（右図中）で記した円の内部だけを切り取ったものです．

■それぞれの花の内部の局所的な高い対称性
中心の花の内部は，12回対称（その部分群としての6回対称は全域で通用），周りの6個の花の内部は，それぞれ9回対称(その部分群としての3回対称は全域で通用）です．
12回対称や9回対称は周期性と矛盾するので，繰り返し模様全域で，このように高い対称性は存在できません（周期性と両立できる回転対称性は，2,3,4,6回軸に限られます）．このような高い対称性が通用するのはそれぞれの花の内部だけです．
しかし，例えば，５次元空間では，５回対称性が周期と共存することが可能ですから，このような高い対称性が見える花の内部は，高次元空間の断面が2次元の皿の表面に投影されたものと想像することもできます．見えない次元の世界の投影を見るような不思議な魅力を感じるでしょう．

■説教壇横のイスラミックデザイン

写真は説教壇横にある装飾です．次の写真はステンドグラスです．

どちらもイスラミックデザインに特徴的な複雑な図形ですが美しい．
これらの図形の作図は，コンパスと直線定規だけでなされました．
中心に10回対称の星型ロゼットが見えるでしょう．
この「正5角形と180°回転した正5角形を重ね合わせた」星型ロゼット（点群10mm）を
内角が108°と72°の菱形を単位胞とする格子に配置して，繰り返し模様を作りました．
この菱形格子は正6角形（正3角形）のように見えますが，
上下の方向が左右の方向に比べてすこし長く，歪んでいます．
正5角形や正10角形（どちらも最低でも5回対称性がある）を
周期的に並べることは不可能ですから，5回対称性が全域で支配するような格子はできません．「正5角形とその180°回転したものを重ね合わせた」星型ロゼットの対称性（10mm）は，ロゼット内部だけを支配する（局所的）ものです．
この繰り返し模様の対称性（平面群）には，2回軸と水平および垂直に鏡映面があり，記号でいうとP2mmの対称性です．
このように高対称のロゼットをうまくつないで周期性のある模様ができるところがイスラムのデザインの特徴です．

10回(5回)対称は，周期的に並ぶことができません．10回(5回)対称タイルを周期的に配列したイスラームの繰り返しパターンを調べましょう．このようなパターンはイスラームに特徴的で，ジャーミイのいろいろな所で見かけます．

10回(5回)対称は周期性と矛盾しますから，それぞれの10回(5回)対称が支配するのはタイルの内部だけです．

このタイルの描き方を習得するのにだいぶ工夫をしました．
作図手順の足跡として，赤色の作図補助線を残しておきましたから，
皆さんも工夫してこの図を描いてみてください．

まず，中心にある円の円周を10等分することから始めます．
円周の10等分は中心角が36°の作図で，前回に正五角形（中心角72°）の作図をやりましたから，
それを応用して円周の10等分を作図してください．

この長方形のタイルが単位胞になり，これを並べることにより繰り返しパターンが作れます．

この繰り返しパターンの平面群はP2mmです．

10mmという対称性の高い部分があります．もし，そのような対称性が全域に作用するなら，
繰り返し（周期性）ができるわけがありません．10mmという点群の作用はそれぞれの赤い円内の領域に限られるので，周期性と両立できるのです．このようなイスラーム・パターンは色々な所に見受けられます．

次に，この繰り返しパターンを３つの部品によるタイル貼りと解釈してみましょう．
つまり，図に示したように正10角形タイルと，ピンクのタイルと黄緑色のタイルの3種類です．
今日は，この3種類のタイルで平面が隙間なくタイルhave貼りされていることを確認してください．

 ■応用例

Darb-e Imam寺院（イラン）のイスラミック・タイリングのパターン（1453年）は，その500年後に発見されるPenroseタイリング（1973年）と同じものであるのが興味深い．Penroseタイリングは，その10年後に発見される準結晶（1984年）の構造解明に用いられる．

■正5角形の性質

正5角形の中に相似な2等辺3角形（頂角36°）が次々に組み込まれていく様子を見てください．
赤い2等辺3角形→緑の2等辺3角形→青い2等辺3角形
辺の比率は，いつもΦ：1です．Φは正5角形の対角線（星形の辺）で，1は正5角形の1辺です．
このとき成立する方程式，Φ²－Φー１=0を解いて（Φ>1をとる），Φ＝(1+√5)/2＝1.6180･･が得られます．Φは黄金比の値です．

■正5角形の実用作図法で以下のものがあります．

この作図はつぎの式が成り立ちます．AH=HB=1/2，MH=√3/2　であるので，
PH=(√3ー1)/2，従ってPB=(√[(√3－1)²＋1])/2＝(√[5－2√3])/2
AB/PB＝2√(65－26√3)/13＝1.6138･･･
この作図法は，イスラームのタイル作図で便利ですが，厳密な正５角形ではありません．
しかし，誤差は0.26%なので実用上問題ない恐るべき精度です．

 ■厳密な正5角形の作図

AB=1，AH=1/2，PH=1　ですので，AP＝(√[1＋2²])/2＝√5/2
従って，QP＝(1＋√5)/2＝Φ
この作図で得られるのは厳密に正5角形であることが証明されました．

■折り紙で作る正5角形(1)の精度

この図は折り紙で正5角形を作る原理を示しました．y=3xの直線とx軸のなす角θを求めると
θ＝arctan3＝71.5651･･°　となりますが，正5角形では72°になるべきです．
この誤差は．0.6％ですのでかなり良い精度と言えましょう．

他の角度は，72.1087（0.2%），
72.6524（0.9%）程度です．（カッコ内は誤差）

■折り紙で作る正５角形(2)の精度

折り紙の一太刀切で大変作り易い星型です．この原理は以下の図を見てください．
正5角形（星型）の一辺の中心角は360°/5＝72°ですから，一太刀切りに対応する中心角は36°です．
以下の図を見ると，一太刀切りの中心角は，35.783°(36°からのハズレは-0.6%)to,36.870°（+2.4%）に収まっています．

「美しい幾何学」第8章はイスラミック・デザインです．

対称性10mmのタイルを周期的に配置するならば，10mm（あるいは5m）の対称性が全域で残ることはあり得ません．これらの対称性はタイルの内部だけ（局所的）に作用できます．
周期的なイスラームのデザインでタイル(10mm)はどのように配置されているのでしょうか．
大変興味深いことです．このようなタイルはどのように配置されているでしょうか．

（１）まず，一つの例を示します．並進周期をあらわす単位胞は内角が54°と126°の平行4辺形です．正3角形格子（菱形）のようにも見えますが，そうではありませんので注意しましょう．
オレンジの6角形ベース型は正10角形の内部にある花弁の6角形ベース型とまったく同じ型です．

10回対称軸の作用はそれぞれの正10角形内部でのみ有効で，オレンジの6角形ベースには作用できません．従って，それぞれの正10角形はそれぞれの独立した宇宙であるという解釈ができます．

（２）もう一つの配置例を示しましょう．MirzaAkbar

この例では並進を表す単位胞は長方形です．

（３）このほかにも，正10角形タイルを周期的につなぐ美しい配置の実例を発見することができるでしょう．探してみましょう．

次の写真はイスラムの美しい象嵌細工の一部分です．
今回は，この5回対称（あるいは10回対称）の模様を作図してみましょう．

中心部分の輪郭に，正5角形と，それを180°回転した正5角形とを重畳した
10回対称の形（右図）が見えるでしょう．
平面の正多角形タイルによるタイル張り（1種類の正多角形タイルで隙間なく張り詰めること）は，正3角形，正4角形，正6角形でのみ可能です．正5角形のタイルでは平面のタイル張りはできません．これは，平面全域に作用する5回対称軸が周期的に配列している状態があり得ないことと等価です．
イスラムのこの象嵌細工に見られる5回対称（10回対称）は，この模様が周期的に配置された平面全域で作用するものではありません．この図形を中心とする局所的な領域内で作用するものです．

このようなイスラムのデザインは色々な変形があり，各所の装飾に多用されています．大変美しいので，正5角形を基本とする以下の図を作図してみましょう．正10角形の周囲を10個の正5角形が取り囲んでいます．正5角形の１つの内角は108°，正10角形の１つの内角は144°ですから，このような作図（３つのタイルが出会う頂点では，108°x2+144°=360°が成立）は可能なはずです．

このような10回対称の部分を規則的に配列し，その隙間をうまくつなぎ合わせると，
高次元の世界を見るような不思議な模様ができます．どのようにつなぎ合わせるかは，次回考察することにします．5回対称（10回対称）は周期的な平面で不可能なわけですから，それぞれの5回対称軸は局所的な作用にとどまり，つなぎの領域には有効ではありません．そのために，我々は全体平面の中に小宇宙が分布しているような不思議な印象を持つのではないかと思います．

千葉県での広域停電は長期にわたり，大変な日々をお過ごしの方にお見舞い申します．送電網システムは，ケーブル・ネットワーク（ハードウエア），制御ソフトウエア，および行為者より構成されるが，完全に定義しきれない複雑系です．スマート・グリッドになったとはいえ複雑系には完全に制御しきれない要因が何処かにあるでしょう．台風により木立が揺れ，どこかで送電ケーブルが切れたとし，その場所が運悪く重要な結節点に属するなら，電力負荷が残りの送電線にかかり，あっという間に雪崩をうって広域なネットワークの事故に広がって行くことは良く知られています．複雑系はシステム全体として定義できるもので，システムの部分を切り出して定義できません．これは，どこかの事故がシステム全体に広がる可能性を意味します．引き金となる些細な事故はどこで起こるか予測できません．限界ぎりぎりで稼働している複雑系の社会インフラをもつ現代社会で複雑系の数学は重要です．

私は，大規模な送電網に頼らない社会に変えるべきだと思います．自然エネルギーによる発電は，地域で作りその地域で消費する（地域分散型の小規模な送電網）に適しています．そのような利点のあるソーラー発電なのに，森林を破壊しわざわざメガソーラーを作り，また大規模送電網で電気を運ぶのはナンセンスといわざるを得ません．もちろん原発自体が複雑系であり原発の稼働は論外です．

9月15日の日本数学協会の年会では，wowowドラマ，つるさんかめさん～ニッポン算額探訪～和算監修の小寺裕氏の講演がありました．この番組は各地の算額を訪れて問題を解くというドキュメンタリ風ドラマです．というのは，毎回，一人旅の旅行者に同行し，その人が問題を解くというドキュメンタリ仕立てですが，実はこの旅行者は俳優です．さすが俳優で，素人っぽいとぼけたいい味をだしておりなかなか面白いです．私はwowowを見ませんので知りませんでした．第1回の京都北野天満宮，第3回の仙台塩釜神社，第6回の東京金王八幡のそれぞれ30分番組が紹介されました．
脱線しますが奈良弘仁寺の近くで売っている算額最中とはこのような物らしい．

https://media-01.creema.net/user/1015506/exhibits/2498645/0_16f50200d1c23f016772a2a091f8d701_583x585.jpg?fbclid=IwAR1JHomrpu2ucRzQMMPm36vNlllUbq5ixYCEwsaw-1Q-R80C8HaPDgEePmM

■さて，ドラマで取り上げられた算額の問題を紹介しましょう．
第1問は辺2aの正方形内の帆の形に内接するピンクの円の半径を求める．
第2問は円r_a，r_b，r_c，直線が互いに接しているときのピンクの円の半径を求めることです．
私は問題中の数値を忘れたので，このように記号で書きましたが，算額の問題では，aやr_a，r_bは具体的に数字が与えられています．これらの問題は，直角3角形のピタゴラスの定理だけを使えば解けます．
両者とも互いに円が接するときの問題ですが，特に第2問はいわゆるアポロニウスのガスケットの特殊なケース（直線は半径∞の円）です．いろいろ挑戦してみてください．
第1問は　x²+6ax-3a²＝０を解くことになります．
第2問は1/√r_c＝1/√r_a＋1/√r_b　から求まります．
アポロニウスのガスケットの作図で描く互いに接する４つの円に関して，
もっと一般化されたデカルトの定理（1643年）があることに言及しておきます．
（第1問）

（第2問）

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数学月間SGK通信 ［2019.09.10］ No.283
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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今日9/9の朝早く台風が通過しました．関東の皆様被害はありませんでしたか．
こちらでも草木がみななぎ倒されたり，街路樹の紅葉葉楓モミジバフウの枝や実が散乱していました．
今日9/9は，「美しい幾何学」の発売日です．やっと発売にこぎつけた記念すべき日です．
どうぞ書店で手に取って中身を一度ご覧ください．
以下の日刊ベリタに詳しい紹介記事があります．
http://www.nikkanberita.com/read.cgi?id=201909042302103&fbclid=IwAR2JFVjjl2EXJt7238PYL5IP4FwGc7-Fc4rj8xtZVn6SfsWAh2F2vrf6ZjU

この図鑑には美しい図形や不思議な図形がたくさん出てきます．
そのような図形の仕組みを「見ているだけで理解できるように」したかったのです．
数式を使えば正確な説明が楽にできますが，そのためには，
たくさんの数学準備の回り道があり，焦点がぼけてしまいます．
小学生から大学生までが，本書の図を眺めているうちに，
図形に隠された仕組みが自ずとわかることを狙いました．
普通の数学書のように抽象的な記述だけで終りません．
具体的な図を示し本質が理解できるようにしました．
内容には大学の専門課程レベルのものもあり，初めはわからないところもあるでしょうが，
何度も図を見ているうちに，不思議なことに理解できる時がきっと訪れます．

この本の各章は，万華鏡で繋がっています．
1,2章は有限図形の対称性，3,4章は周期的な空間の対称性，
これらの世界の映像は，万華鏡で作り出すことができます．
5章は万華鏡，6章は円による反転という数学的な鏡，7章はフラクタル操作という数学的な鏡，
8章ではイスラミック・デザインの特徴を鑑賞します．イスラムのデザインには，黄金比が多く，
かつ，局所的に高い対称性がちりばめられた周期平面なので，
あたかも我々の住む3次元に高次元宇宙が投影されているような不思議さが魅力です．