イスラミックデザイン

次の写真はイスラムの美しい象嵌細工の一部分です．
今回は，この5回対称（あるいは10回対称）の模様を作図してみましょう．

中心部分の輪郭に，正5角形と，それを180°回転した正5角形とを重畳した
10回対称の形（右図）が見えるでしょう．
平面の正多角形タイルによるタイル張り（1種類の正多角形タイルで隙間なく張り詰めること）は，正3角形，正4角形，正6角形でのみ可能です．正5角形のタイルでは平面のタイル張りはできません．これは，平面全域に作用する5回対称軸が周期的に配列している状態があり得ないことと等価です．
イスラムのこの象嵌細工に見られる5回対称（10回対称）は，この模様が周期的に配置された平面全域で作用するものではありません．この図形を中心とする局所的な領域内で作用するものです．

このようなイスラムのデザインは色々な変形があり，各所の装飾に多用されています．大変美しいので，正5角形を基本とする以下の図を作図してみましょう．正10角形の周囲を10個の正5角形が取り囲んでいます．正5角形の１つの内角は108°，正10角形の１つの内角は144°ですから，このような作図（３つのタイルが出会う頂点では，108°x2+144°=360°が成立）は可能なはずです．

このような10回対称の部分を規則的に配列し，その隙間をうまくつなぎ合わせると，
高次元の世界を見るような不思議な模様ができます．どのようにつなぎ合わせるかは，次回考察することにします．5回対称（10回対称）は周期的な平面で不可能なわけですから，それぞれの5回対称軸は局所的な作用にとどまり，つなぎの領域には有効ではありません．そのために，我々は全体平面の中に小宇宙が分布しているような不思議な印象を持つのではないかと思います．