東京ジャーミイ

東京ジャーミイの玄関ホールの陳列棚に飾ってある美しい皿です．直径30cm程度です．

中心（花弁12枚）の大きな花には，花の内部だけで有効な12回対称軸があります．しかし，中心の花の周りに小さい花が6個配置されており，全域的に見ると，これは12回対称軸でなく6回対称軸になります．周囲の6個の花（花弁９枚）は，それぞれ自分の内部に有効な9回対称軸がありますが，全域的に見ると3回対称軸です．6回対称軸と6回対称軸の間，3回対称軸と3回対称軸の間には2回対称軸が生じます．その他，右図に実線で描いたように鏡映面があります．
ここで，全域的とは，この模様がお皿の外にも同様な繰り返し規則で無限に続いていると想定した模様のことです．つまり，無限に続くこの模様の対称性は右図のような対称要素の配列（平面群P6mm）になります．右図で水色に塗った部分が単位胞です．
この皿の模様は，この繰り返し模様から青い点線（右図中）で記した円の内部だけを切り取ったものです．

■それぞれの花の内部の局所的な高い対称性
中心の花の内部は，12回対称（その部分群としての6回対称は全域で通用），周りの6個の花の内部は，それぞれ9回対称(その部分群としての3回対称は全域で通用）です．
12回対称や9回対称は周期性と矛盾するので，繰り返し模様全域で，このように高い対称性は存在できません（周期性と両立できる回転対称性は，2,3,4,6回軸に限られます）．このような高い対称性が通用するのはそれぞれの花の内部だけです．
しかし，例えば，５次元空間では，５回対称性が周期と共存することが可能ですから，このような高い対称性が見える花の内部は，高次元空間の断面が2次元の皿の表面に投影されたものと想像することもできます．見えない次元の世界の投影を見るような不思議な魅力を感じるでしょう．

■説教壇横のイスラミックデザイン

写真は説教壇横にある装飾です．次の写真はステンドグラスです．

どちらもイスラミックデザインに特徴的な複雑な図形ですが美しい．
これらの図形の作図は，コンパスと直線定規だけでなされました．
中心に10回対称の星型ロゼットが見えるでしょう．
この「正5角形と180°回転した正5角形を重ね合わせた」星型ロゼット（点群10mm）を
内角が108°と72°の菱形を単位胞とする格子に配置して，繰り返し模様を作りました．
この菱形格子は正6角形（正3角形）のように見えますが，
上下の方向が左右の方向に比べてすこし長く，歪んでいます．
正5角形や正10角形（どちらも最低でも5回対称性がある）を
周期的に並べることは不可能ですから，5回対称性が全域で支配するような格子はできません．「正5角形とその180°回転したものを重ね合わせた」星型ロゼットの対称性（10mm）は，ロゼット内部だけを支配する（局所的）ものです．
この繰り返し模様の対称性（平面群）には，2回軸と水平および垂直に鏡映面があり，記号でいうとP2mmの対称性です．
このように高対称のロゼットをうまくつないで周期性のある模様ができるところがイスラムのデザインの特徴です．