ブログ倉庫

1986年から始まった米国の数学月間MAMは，2017年から統計学を表に出して数学･統計学月間MSAMに衣替えした．これは，（2011年）解明進む複雑系，(2012年)統計学とデーターの氾濫，(2013年)持続可能性の数学，(2016年)予測の未来，と続くMAMテーマの流れから予想されたことです． 数学と統計学は，インターネット・セキュリティ，持続可能性，疫病，気候変動，データの氾濫，に見る現実世界の問題に対して重要な役割を果たしています．医学，製造，エネルギー，バイオテクノロジー，ビジネスなどの分野でも，日々新しい結果や応用が生まれています．数学と統計学は，システムや方法論がどんどん複雑化する技術世界で，革新の重要な推進力になっています． 些細な事故が雪崩となり大規模災害を惹起する危うさを持っているのが複雑系です．限界ぎりぎりで稼働している複雑系であるインフラの制御はAI（ディープラーニング）がなければどうにもなりません（ただし，事故の復旧では人間自身の手が必要で，AIで解決できるものではありません）．また，医療診断の画像識別エキスパートシステムでは，専門診断医を凌駕する状況であります．

日本政府の「AI戦略」は，AIを理解し各専門分野に応用できる人を，遅ればせながら2025年までに年25万人育てる体制を目標に掲げました．経済産業省が2019.3に出した報告書「数理資本主義の時代」（違和感のある表題だ）は，数学が国富の源泉であると謳い，GAFAを見ればそのような時代の流れであることは明白です．しかし，ことさらに数学をそのように強調し，強者になるための道具にすることには違和感があります．高い年収が得られるので数学を職業とするでは本末転倒と言わざるを得ません．
さらに経産省の当該報告書(p.19)には，<工学出身者に「数学は役に立たない」という時代遅れの先入観が残っている>との記述があます．時代遅れの先入観と言わようが，あえて言うと，私は「数学では物は作れない」と思っています．
アナログ制御の時代を担い応用数学を発展させた工学の扱う対象は物や反応であるのに，データサイエンス（コンピュータがなければ何もできない）の働きかける対象はいつも数値（データ）であり解析にとどまるからです．ただ，工学であれデーターサイエンスであれ，どちらも数学なので，「数学は役に立たない」とは誰も思ってはいないはずです．かつて，電気電子，計測などの工学部が応用数学の研究と教育を担っていた時代があったが，コンピュータの発展により，数学能力の低下はあると思います．数学理論を何も知らずとも優れたコンピュータ・ソフトを操り，良い結果を得るのをしばしば目撃したし，ディープラーニングのブラックボックス化の弊害もあると思います．今は，データーサイエンスの基礎を支える数学を押さえる時期であると思います．経産省の報告書の先に触れた部分は，<企業の工学出身者の時代遅れ先入観がAIを阻害している>と言いたいようだが，経産省の指摘を待つまでもなくこの分野の研究は多くの企業で先行していた．例えば，1987年に開設したリコーカリフォルニア研究センターでは，1990年にPeter E Hartを所長に迎えAIの研究を始めている．2000年に，Richard O Duda, Peter E Hart, David G Storkが”Pattern Classification”(2nd edition，尾上守夫監訳)を出版している．これはスタンフォード大の授業でも用いられ発売後半年で4,000部売れた．米国AI研究者の数学基礎の確かさと層の厚さが感じられる例である．

日本のある大学のポスターで，基幹工学（機械，電気・電子，工業化学），先端工学（ロボット，AI・データーサイエンス），建築工学の3分類の新し構えを見受けます．また，立教大学が2020年4月に開設する国内初となるAI（人工知能）に特化した大学院「人工知能科学研究科」（修士課程）は，機械学習やディープラーニングを中心としたAI領域についての学科で，機械学習の数理モデルを深く理解し，高度な情報科学や統計学の知識を持ち，論文から最新のAI技術を実装できる人材育成を目指すという．
ベイズ決定理論，最尤推定，パーセプトロン，多層ニューラルネットワークなどの基礎教育を行うのは必要ですが，数学以前の数理モデルを作る時点で，正しい解釈ができる能力，常識，読解力，AI倫理などはさらに重要であると考えます．統計学もAIも解釈次第でとんでもない結果を導く可能性があります．

前号では長さの問題をみましたが，今回は面積について少し考えましょう．
（掛谷の問題）
平面に置いた長さ１の針（線分）を平面上で１回転することができる平面図形のうちで
面積が最小なものは何かという問題です．この問題は1916年に掛谷宗一が提起したものです．

可能な図形候補の4つの図を，http://www.araiweb.matrix.jp/semi208/KakeyaProblem.html　から引用します．

多分，皆さんの思いつく答えは，この4つのタイプのうちの一つでしょう．

(1)　直径1の円　面積はπ/4=0.7854
(2)　ルーローの３角形　面積は(πー√3)/2=0.7048
　ルーローの3角形というのは，1辺１の正3角形の各頂点を中心に半径1の円弧を描いて囲まれた図形です．
　ルーローの3角形を断面に持つ棒は，円柱と同じように定幅曲線なのでコロとして使えます．
　その面積は，√3/4＋3x(π/6－√3/4)＝π/2－√3/2　と求まります．
(3)　高さが１の正3角形　面積は1/√3=0.5774

これらの図形の面積は，(1)>(2)>(3)の順で小さくなっています．
それで，(3)が最小面積の答えかと言うとそうでもありません．
(4)のように凸でない（内側に反った曲率の星型）図形でも針の回転が可能で，
そして，(4)の図形の面積はいくらでも小さく（面積0に）できることがわかります．
これは，1919年のベシュコビッチの定理からの一つの帰結でもあります．

さて，面積とは何かというのは難しものです．
われわれが常識で使っているのはジョルダンの面積です．
フラクタル図形の面積０ではジョルダンの面積の定義では面積が測れません．
無限回の操作がからむ図形にも使えるのがルベーグの面積です．

http://twitpic.com/8qlket　に，√2=2　というパラドックスが提起されています．
このパラドックスの原因は，非常に興味深いので，ここで考察することにします．

問題１

一辺の長さ１の正方形の対角線の長さは√2ですが，上図のように，X軸方向に1，y軸方向に１動く経路（n=０）を考えると長さは2になります．以降，このような折れ曲がり経路を繰り返して行きます（n=1,　2,　3,　4,････∞）．折れ曲がりを繰り返して行っても，いつも経路の長さは2で変わらないことがわかるでしょう．このような碁盤の目のような経路の長さは，マンハッタン距離と呼ばれることもあります（マンハッタンの市街の道は，碁盤の目の様だそうです）．マンハッタン経路は，ｎ→∞で対角線に限りなく近づきますので，√2=2　というパラドックスになります．

どこがいけないでしょうか？

問題２

同様な問題に以下の様なものがあります．https://note.com/keyneqq/n/n2ead38a59af5
半径1の円の円周は2πです．半径１の円に外接する正方形の一辺の長さは2ですから，半径１の円周のマンハッタン距離は８です．n=0から出発してx方向，y方向への折れ曲がり数を繰り返しマンハッタン経路は，限りなく円周に近づきますが，マンハッタン距離は8のままです．
従って，2π=8，すなわち，π＝４となります．　どこがいけないでしょうか？

 ■さて，これらの問題に見られるパラドックスは，どこに原因があるのでしょうか？
これらのすべての曲線はいずれも連続であることは確かです．碁盤の目に沿って辿るマンハッタン経路を∞回細かく繰り返した曲線は，至る所ギザギザで，微分不可能な曲線になっており，曲線の長さを微分係数を用いた積分で定義することができません．2点間（x1,y1)，(x2,y2)のマンハッタン距離の定義は|x1-x2|+|y1-y2|で，碁盤の目（メッシュ）を細かくすればするほど，マンハッタン経路はいくらでも目的とする曲線に近づけることはできるのですが，マンハッタン距離は不変です．
（メッシュで定義される碁盤の目のデジタル世界でも，差分により微分係数が定義できますが，そのときもユークリッド距離を用いて定義します）

マンハッタン経路で定義される曲線は，無限回折れ曲がりを繰り返すことで，目的とする曲線にいくらでも近づきますが，マンハッタン距離が変化するわけはありません．

繰り返しの手順を見て，折れ線のフラクタルとみなしフラクタル次元を求めると，この折れ線の次元はやはり１次元になりました．折れ線の幅がフラクタル次元を生むというような説明も見かけましたが，そうではなくフラクタルはこの問題では関係ありません．この問題で人を驚かせるパラドックスの原因は,単純に距離の定義の違いによるものです．
定義が違うものなので違って当然なのですが，2つの曲線は限りなく近づいて行きますので，定義の違いを忘れて同じ長さだと思ってしまうのが間違いの源です．

半径１の円に内接する正5角形の1辺の長さを求めましょう．
この正5角形の1辺の長さをxとします．
△BACと△ADCは相似(相似比が黄金比Φ)で，形は2等辺三角形(等辺xとすると，底辺Φ･x)です．
Φ･x＝x＋(x/Φ)　ですから，Φは黄金比の方程式　Φ²ーΦー１＝0を満たします．
この方程式の解（Φ>1のもの）は，Φ＝(1+√5)/2　です．

 ■次に，△BCEと△BOFとが相似であることを利用し，
1：(Φ･x）＝OF：CE=(1－y)：(x/2)　が成立するので，　y＝1ー1/(2Φ)　　

ただし，y＝√[(x/Φ)²－((Φ･x)/2－x/Φ)²]＝√[x²ー(Φ･x/2)²]＝x√[1－(Φ/2)²]　

x＝y/√[1－(Φ/2)²]＝[1－1/(2Φ)]/√[1－(Φ/2)²]＝(√[10－2√5])/2＝1.1756

■　作図
半径１の円に内接する正5角形の一辺の長さｘ＝(√[10－2√5])/2を作図する方法
（証明）ピタゴラスの定理を2回使います．

■　万華鏡への応用

■OECDのPISA（Programme for International Student Assessment）国際的な学習到達度調査で，日本の急激な読解力低下（2018年）が指摘されています．PISA調査は15歳（高校1年）を対象に，読解力，数学的リテラシー，科学的リテラシーの三分野について，３年ごとに実施する調査で，国立教育政策研究所が担当しています．
直近の2018年の試験では，読解力が前回の8位から15位に落ちました．

■日本の読解力の平均得点は504点で，OECD加盟国（移民など多数含む）の平均（487点）は上回ったものの，前回（2015年）から12点下がりました．内訳は408点未満の低得点の生徒の割合が全体の約17%を占め，前回調査から4ポイント増えている．生徒の6人に1人が十分な読解力を持っていないことになる．これほど低得点層が増えたにもかかわらず，平均点の低下は少なかった．これは，文章を解さない児童が増えたが，十分な読解力を備えた児童も同時に増える「二極化」が進んでいるということを意味します．得点分布が，平均中央に山を持つ標準的なグラフでなく，中央の左右に2つの山ができるグラフへと変化しました．
そのような変化は，少なくとも２つの因子が存在することを意味します，本来の読解力だけでなく，影響を与えるもう一つの因子なんでしょうか？それは家庭の経済力かもしれません．現在の日本社会では，貧富の2極化も進んでいますから．あるいは，文科省の言うようにデジタル機器への適応の問題である可能性も否定はしません．

■PISAは，紙に手書きで解答する方式から，パソコンで入力する方式に変更（2015年）したそうです．文科省は「日本の生徒は機器の操作に慣れていないことが影響した可能性がある」と分析しています．パソコンを介したテストの方式を私は良く知りませんが，まず，ディスプレイに問題文が表示され，次に進むと問が表示され，これに応えるという後戻りのできない方式ではないでしょうか．これに解答するのはかなり難しくなる．印刷物を介したテストでは，問を見てからまた問題文に戻り確認して答えるというやり方をすると思います．文科省の分析が，このようなテスト方式の変化のためであるというなら私もそうだろうと思います．しかし，「順位が落ちたのはパソコン入力に戸惑ったせいだ」との分析であるなら間違っていると思います．パソコン利用では，紙のときと違い，読解力だけでなく記憶力など総合的に影響し難しいテストに変わったかもしれません．

折り紙も数学ですが，この雪の結晶を折るアルゴリズムは複雑でわかりにくいです．
写真の１，２は完成した雪の結晶を，表面から見た写真（１）／裏面から見た写真（２）です．

（１）　　　　　　　　　　　　　　　　　　（２）　

■スタートに用いるのは，以下に示す6角形の折り紙（３）です．完成品を見ながら，
折り紙（表面側から見て）に，谷折りすべき線（赤色）／山折りすべき線（黄色）を描き込んでみました．

（３）

この線の通りに，谷折り／山折りをして，（４）に示す中間体が作れますから，
試行錯誤して，（４）図のような中間体を作るのを目標にしましょう．

（４）中間体

■中間体（４）の表面側に出た6か所の山尾根の部分を，平らに広げて帯状筋を作る．
この帯状筋の形成のときに，新たに山折りとなる箇所を，
折り紙（３）に青緑色の線で示しておきました．
中間体の山尾根をつぶして帯状筋にするところは，注意深くやりましょう．

■金沢に来ていますが北陸の海は８日は荒れ模様でした(この日はサンダーバードが運休しました)。海の色の変化が美しい。虹の撮影は小梁さん。

■ここは勧進帳の舞台です．腹芸とは相手の心を思いやり察することです．忖度は権力と利益が結びついていて汚いもので，人情や腹芸とは違うと私は思います．

中谷が雪の研究を進めたのには，シベリア出兵の時代で，雪や着氷などが軍事研究として必要だった背景がありますが，実際にやった中谷宇吉郎の雪の研究は基礎研究です．
この地に雪の科学館を設計した建築家は磯崎新です．

■氷の結晶模型はH-O-H分子が水素結合で連鎖しており，平面ではありませんが6角形が見えるでしょう．氷の結晶の内部構造の6回対称性が，樹脂状結晶成長にも反映され，成長した雪片の外形（「雪は天から送られた手紙である」というように上空の環境で様々な形の雪片が見られます）は，どれもすべて6回対称です．