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■結晶は周期的な世界　➡平面群

結晶は単位胞を積み上げてできたブロック細工のようなもので，周期的な内部構造です．図は水晶の例です．水晶の6角柱の方向から見た投影図とM.C.Escherのこの版画作品は同じ対称性（平面群p31m）です．

系の秩序（対称性）は，対称操作［系全体を動かしたとき，系の初期位置と全く重なるような操作］の集合で記述します．対称操作には，並進，対称心，鏡映，回転などがあり，これらの対称操作（群の元という）の組み合わせが作る“群”という代数系［集合の元間の演算が，群の定義（注）を満たす集合］で分類できます．壁紙を記述する平面群は17種類あり，ジャーミイの繰り返し模様もこれらのどれかに分類できます．

注）群の定義：

1．集合Gの任意の２つの元a,bの積a・bは集合Gに属す．→集合は閉じている
2．(a･b)･c＝a･(b･c)　→結合の法則
3．任意の要素aに対して，a･e＝e･aとなるeが集合Gの中にある．→単位元eの存在
4．任意の要素aに対してx･a＝a･x＝eとなるxが集合Gの中にある．→逆元xの存在

■イスラームの模様の作り方　➡テッセレーション

イスラーム建築に使われている美しい模様は，コンパスと定規だけで厳密に作図できますが，1200年までに，5種類のGirihタイル[縁に模様のある等辺多角形タイル]を用いて，パズルのように平面を埋めて美しい複雑なデザインを作る手法が確立しました．

この方法は平面を多角形タイルで分割するテッセレーションの手法と同じです．イランのDarb-i Imam寺院（1453）の壁には,その500年後にヨーロッパで発見されるPenroseタイリング［自分の中に自分と同じパターンが繰り込まれる］と同様なパターンがすでに見られることをPeter LuとPaul Steinhardtが報告しています．

→（下）へ続く

ペンローズ・タイリングとは，次のような2種類のタイルから出来ているタイル張りです．
この図の例では周期ができてしまいましたが，周期ができないように作ることもできます．

ペンローズ・タイリングは，5次元の空間格子の2次元への射影として作れます．
5次元超立方体は頂点32個，辺の数80（各頂点が５次の同次グラフ）です．
超立方体は亀井図（多元構造グラフ）で表示するとわかり易い．
https://sgk2005.org/wysiwyg/image/download/1/526/medium
我々は５次元空間を見ることができないので，５次元空間の基底を，互いに直交する２つの部分空間の基底の直和（２次元＋３次元）に分けて考察することにします．
周期的な５次元空間［単位胞（5次元超立方体）］を，その5次元空間内をよぎる２次元平面（スクリーン）に射影するには，２次元平面にできる格子の影に，この2次元平面に対する３次元直交補空間（菱形20面体）を射影すればよい．

この３次元補空間内の基底ベクトル３本は互いに直交しているのだが，この３本のすべてがスクリーンとなる２次元平面にも直交している（想像しにくい状態だが５次元の世界だから可能）．
５次元超立方体を３次元に射影してできる立体は，菱形20面体（頂点数は22個，辺の数40）だが，
５次元空間の単位胞の体対角方向が２次元スクリーンに垂直になるように置いて，スクリーンへ射影を行う．つまり，菱形20面体の１つの5回対称軸を2次元スクリーンに垂直にして見下ろしたときの外形（ペトリー多角形と言う）を図に示します．ペトリー多角形とその内部の点は5次元の超立方体の頂点に対応します．

ペンローズ・タイリングに現れる特徴的なパターンが，ペトリー多角形内に作れることを図に示しました．

5次元の周期的な空間を，単位胞（5次元超立方体）の体対角線[1,1,1,1,1]方向に垂直な2次元平面に射影すると，この2次元平面は，3次元補空間の菱形20面体をいくつかの高さのレベルで切断したいくつかのサイズのペトリー多角形内のパターンが次々に現れ，ペンローズのタイル模様が作れます．

正10角形の外側を正5角形（辺の長さは正10角形の辺の長さと同じ）10個で取り囲んだ図が基本です．

この図形は，ジャーミイの説教壇横の装飾に使われています．

下図左のような３種（水色，黄緑色，ピンク）のタイルをGirihタイルと言います．この他に２種のタイル型もGirihタイルに加えて５種類のタイルを用いる場合もあります．Girihというのはタイルの中の模様の線のことです．水色の10角形のタイルの作図法を下図右に示します．この作図は赤い円を10等分することから始めます．

 さて，これらの3種類のタイルを用いて，色々な平面のタイル張りができます．

例えば，次の２つをご覧ください．

(1)

(2)

タイルの色は説明のために着色しただけで，タイルの輪郭線ではなく，各タイル内の線Girihが描く模様に注目してください．

これらのタイル張りの対称性は，(1)はP2mm，(2)はC2mm，もちろん，描かれるイスラーム模様の対称性も同様です．

このような３種（水色，黄緑色，ピンク）のタイルをGirihタイルと言います．この他に２種のタイルの型もGirihタイルに加えて５種類のタイルを用いる場合もあります．Girihというのはタイルの中の模様の線のことです．水色の10角形のタイルの作図法を次の図に示します．この作図は赤い円を10等分することから始めます．

さて，これらの3種類のタイルを用いて，色々な平面のタイル張りができます．

例えば，次の２つをご覧ください．

(1)

(2)

タイルの色は説明のために着色しただけで，各タイル内の線Girihが描く模様が求めるものです．

これらのタイル張りの対称性は，(1)はP2mm，(2)はC2mm，もちろん，描かれるイスラーム模様の対称性も同様です．

https://www.beautifulmosque.com/PostImages/Ulugh-Beg-Madrassa-in-Samarkand-Uzbekistan-21.jpg

ウルグ・ベク・マドラサ神学校

東京ジャーミイの玄関ホールの陳列棚に飾ってある美しい皿です．直径30cm程度です．

中心（花弁12枚）の大きな花には，花の内部だけで有効な12回対称軸があります．しかし，中心の花の周りに小さい花が6個配置されており，全域的に見ると，これは12回対称軸でなく6回対称軸になります．周囲の6個の花（花弁９枚）は，それぞれ自分の内部に有効な9回対称軸がありますが，全域的に見ると3回対称軸です．6回対称軸と6回対称軸の間，3回対称軸と3回対称軸の間には2回対称軸が生じます．その他，右図に実線で描いたように鏡映面があります．
ここで，全域的とは，この模様がお皿の外にも同様な繰り返し規則で無限に続いていると想定した模様のことです．つまり，無限に続くこの模様の対称性は右図のような対称要素の配列（平面群P6mm）になります．右図で水色に塗った部分が単位胞です．
この皿の模様は，この繰り返し模様から青い点線（右図中）で記した円の内部だけを切り取ったものです．

■それぞれの花の内部の局所的な高い対称性
中心の花の内部は，12回対称（その部分群としての6回対称は全域で通用），周りの6個の花の内部は，それぞれ9回対称(その部分群としての3回対称は全域で通用）です．
12回対称や9回対称は周期性と矛盾するので，繰り返し模様全域で，このように高い対称性は存在できません（周期性と両立できる回転対称性は，2,3,4,6回軸に限られます）．このような高い対称性が通用するのはそれぞれの花の内部だけです．
しかし，例えば，５次元空間では，５回対称性が周期と共存することが可能ですから，このような高い対称性が見える花の内部は，高次元空間の断面が2次元の皿の表面に投影されたものと想像することもできます．見えない次元の世界の投影を見るような不思議な魅力を感じるでしょう．

■説教壇横のイスラミックデザイン

写真は説教壇横にある装飾です．次の写真はステンドグラスです．

どちらもイスラミックデザインに特徴的な複雑な図形ですが美しい．
これらの図形の作図は，コンパスと直線定規だけでなされました．
中心に10回対称の星型ロゼットが見えるでしょう．
この「正5角形と180°回転した正5角形を重ね合わせた」星型ロゼット（点群10mm）を
内角が108°と72°の菱形を単位胞とする格子に配置して，繰り返し模様を作りました．
この菱形格子は正6角形（正3角形）のように見えますが，
上下の方向が左右の方向に比べてすこし長く，歪んでいます．
正5角形や正10角形（どちらも最低でも5回対称性がある）を
周期的に並べることは不可能ですから，5回対称性が全域で支配するような格子はできません．「正5角形とその180°回転したものを重ね合わせた」星型ロゼットの対称性（10mm）は，ロゼット内部だけを支配する（局所的）ものです．
この繰り返し模様の対称性（平面群）には，2回軸と水平および垂直に鏡映面があり，記号でいうとP2mmの対称性です．
このように高対称のロゼットをうまくつないで周期性のある模様ができるところがイスラムのデザインの特徴です．

10回(5回)対称は，周期的に並ぶことができません．10回(5回)対称タイルを周期的に配列したイスラームの繰り返しパターンを調べましょう．このようなパターンはイスラームに特徴的で，ジャーミイのいろいろな所で見かけます．

10回(5回)対称は周期性と矛盾しますから，それぞれの10回(5回)対称が支配するのはタイルの内部だけです．

このタイルの描き方を習得するのにだいぶ工夫をしました．
作図手順の足跡として，赤色の作図補助線を残しておきましたから，
皆さんも工夫してこの図を描いてみてください．

まず，中心にある円の円周を10等分することから始めます．
円周の10等分は中心角が36°の作図で，前回に正五角形（中心角72°）の作図をやりましたから，
それを応用して円周の10等分を作図してください．

この長方形のタイルが単位胞になり，これを並べることにより繰り返しパターンが作れます．

この繰り返しパターンの平面群はP2mmです．

10mmという対称性の高い部分があります．もし，そのような対称性が全域に作用するなら，
繰り返し（周期性）ができるわけがありません．10mmという点群の作用はそれぞれの赤い円内の領域に限られるので，周期性と両立できるのです．このようなイスラーム・パターンは色々な所に見受けられます．

次に，この繰り返しパターンを３つの部品によるタイル貼りと解釈してみましょう．
つまり，図に示したように正10角形タイルと，ピンクのタイルと黄緑色のタイルの3種類です．
今日は，この3種類のタイルで平面が隙間なくタイルhave貼りされていることを確認してください．

 ■応用例