掛谷の問題

前号では長さの問題をみましたが，今回は面積について少し考えましょう．
（掛谷の問題）
平面に置いた長さ１の針（線分）を平面上で１回転することができる平面図形のうちで
面積が最小なものは何かという問題です．この問題は1916年に掛谷宗一が提起したものです．

可能な図形候補の4つの図を，http://www.araiweb.matrix.jp/semi208/KakeyaProblem.html　から引用します．

多分，皆さんの思いつく答えは，この4つのタイプのうちの一つでしょう．

(1)　直径1の円　面積はπ/4=0.7854
(2)　ルーローの３角形　面積は(πー√3)/2=0.7048
　ルーローの3角形というのは，1辺１の正3角形の各頂点を中心に半径1の円弧を描いて囲まれた図形です．
　ルーローの3角形を断面に持つ棒は，円柱と同じように定幅曲線なのでコロとして使えます．
　その面積は，√3/4＋3x(π/6－√3/4)＝π/2－√3/2　と求まります．
(3)　高さが１の正3角形　面積は1/√3=0.5774

これらの図形の面積は，(1)>(2)>(3)の順で小さくなっています．
それで，(3)が最小面積の答えかと言うとそうでもありません．
(4)のように凸でない（内側に反った曲率の星型）図形でも針の回転が可能で，
そして，(4)の図形の面積はいくらでも小さく（面積0に）できることがわかります．
これは，1919年のベシュコビッチの定理からの一つの帰結でもあります．

さて，面積とは何かというのは難しものです．
われわれが常識で使っているのはジョルダンの面積です．
フラクタル図形の面積０ではジョルダンの面積の定義では面積が測れません．
無限回の操作がからむ図形にも使えるのがルベーグの面積です．