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数学月間SGK通信 ［2016.09.13］ No.131
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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皆さん，いよいよ９月になりました．お変わりありませんか．
私は，11日（日）に倉吉で開催される”とっとりサイエンスワールド”に参加するために，
もうすぐ家を出発します（今，9月11日の17時過ぎで，夜行バスは21時に出ます）．
このメルマガの発行される13日の朝は，まだ倉吉にいます．そのため今週号も予約発行です．
お近くの方は，倉吉の未来中心にお出かけ下さい．色々なワークショップがあります．

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これがどうして私の手元にあるのか出所は忘れてしまいました．
その他の組木もいくつかあったのですが，遠い昔に失くしてしまいました．
この組木を手に入れたのが一番新しく，今手元にこれだけがあります．
この組木はシンプルですが，職人のすばらしいアイデアだと思います．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/72/17658372/img_0_m?1473494896

全体の対称性は立方晶系の完面像（最も対称性の高い点群）を思わせます．
4回対称軸が3本，3回対称軸が４本，2回対称軸が6本あります．
鏡映面はたくさんあります．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/72/17658372/img_1_m?1473494896

全体はこのようなパーツが6個で出来ています．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/72/17658372/img_2_m?1473494896

3回対称軸に沿って引き剥くことができ，二つに割れます．
写真は3回軸に沿って引き抜き開いて（内部をこちらに向けて）並べたところです．
3回軸に沿ってスライドできるのは，この分海図を見ると理解できるでしょう．
対称性を考えないと，引き抜く方向がわからず難しいパズルです．
3回対称軸は４本あるので，引く抜く方向には4通りあります．

■この組木は，x平面，y平面，z平面がかみ合っているという見方もできるでしょう．
それぞれの平面はパーツ2つからなります．
直交するx平面，y平面を作り，z平面の部品一つだけ置けるが，残り一つをどう入れるか苦闘します．
そうして，3回軸に沿ってスライドさせてできた空間に残り1つのパーツを入れることに気がつきます．
けれども，この方法で実行しようとすると，手作業的にはなかなか難しい．
手が3本欲しいということになります．
対称性を考慮すると，1つの方向にスライドして２つに割るという綺麗な解を思いつきます．
そして，この2つの部分を内側から見ると互いに鏡像にになっていることもわかります．

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数学月間SGK通信 ［2016.09.06］ No.131
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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始めにお詫びです．先週発行した”黄金三角形パズル”の図のリンクが切れていたようです．
以下のサイトに掲載しておりますので，こちらをご覧ください．
http://blogs.yahoo.co.jp/tanidr/16936782.html

さて今回は，高次元の世界から低次元の世界への影についてです．
高い次元の空間の周期性は，低い次元の空間に必ずしも遺伝しません．
ここではそのような例を見てみましょう．

■2次元の周期的な世界から1次元の非周期の世界へ
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/37/17648237/img_2_m?1472990935

1辺の長さが１の正方形のタイル（赤色）を隙間なく張り詰めた周期的な2次元世界があります．
タイルの中心に格子点があるとして，格子点を”1次元世界（水平な青色の線）”に射影しましょう．
この1次元世界（青色の水平線）が過るタイルだけが影を作る対象になります．
■2次元の世界は，1次元の世界1,2,3,4,6,8.....(それぞれ色を変えた)を束ねてできています．
射影のスクリーンとなる1次元世界（水平な青色直線）は，これらの1次元世界1,2,3,4,5,6,...と
角度αで交わっています．
tanα=n/mと有理数なら，１つの格子点が青色の直線に載れば，
その格子点がある部分空間の中でm個のタイルを動き，他の部分空間に向ってn個のタイルを動いた場所にある格子点は，
また青色の直線に載っているはずで，青色の１次元世界にも周期が出来ています．
もしtanαが無理数なら，１つの格子点が水平な青色直線に載ったら，
他の格子点でこの直線に載るものはないはずです．この時は，青色の１次元世界は非周期になります．
■射影されてできた1次元の非周期格子を，図の下に取り出しました．
この非周期格子の格子点は，各1次元空間1,2,3,4,5,6,....内に起源をもつ間隔と，
次の1次元世界に飛び移るときに生じる間隔との２種類の間隔が混ざってできています．

■この非周期格子は，周期的2次元空間から1次元空間への射影で作りました．
周期的2次元空間の1次元の断面そのものではありません．

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数学月間SGK通信 ［2016.08.30］ No.130
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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暑かった8月も終わろうとしています．学校の夏休みも終わりですね．
今日は図形のパズルです．難しい計算は必要ありません．
図形を見て考えるのみです．ユークリッド幾何の世界ですから
我々が身に着けた直観や常識で間に合い，特別な知識は要りません．
「錯角（平行線とこれに交わる直線があるときにできる角度）は等しい」
ことを使いますが，これも日常生活で身についている直観でしょう．
このように，図形の問題は特別な知識は必要ありません．
諦めずに図形を眺めていましょう．そのうちわかります．

小梁修（OSA工房）の黄金三角形パズルの一つを紹介します．
(1)正五角形の中を図のように分割して作った3種類の三角形があります．
Q1.これらはどれも2等辺三角形ですが，何故でしょうか．
ヒント：両底角が等しいと2等辺三角形になります．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/558900/82/16936782/img_3_m?1472477472

これらの3種類の三角形の面積に関して，以下の関係があります．
（水色の三角形）＋（黄緑色の三角形）＝（オレンジ色の三角形）
Q2.これを証明してください．
(補助線一本でわかります)
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/558900/82/16936782/img_0_m?1472477472

(2)水色と黄緑色とオレンジ色の三角形パーツを使って
色々な大きさの正五角形を作りました．
(1)の正五角形（基本正五角形と呼ぶ）の面積を１とすると
Q3.作った色々な大きさの正五角形の面積はいくらでしょうか．
（5a^2：c^2：a^2：b^2　の面積比になります）
ここには基本正五角形（辺長a）の他に，
5x基本正五角形(辺長√5a)，大正五角形（辺長c），小正五角形（辺長b）
が出てきます．
c^2＝a^2+b^2　の関係があることを証明してください．
（この関係は，これらの三角形の面積が S_c＝S_a+S_b であること
　［Q2でも証明している］から得られます）
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/558900/82/16936782/img_2_m?1472477472

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数学月間SGK通信 ［2016.08.23］ No.129
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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8月21日は，とっとりサイエンスワールドin鳥取です．
とっとりサイエンスワールドは，鳥取県と鳥取数学教育会が主催し今年で十年目．
すっかり市民に定着したイベントになりました．
このメルマガが皆様に配信される日は，数学月間最終日の翌日23日です．
数学月間は7/22～8/22：これは22/7=3.14･･･，22/8=2.７･･･にちなみます．
今年のとっとりサイエンスワールドは，この期間内に，西部と東部の2か所で
実施されました（さらに，9/11は中部で実施の計画があります）．
私はとっとりサイエンスワールドに参加するために鳥取に行き不在ですので，
今週のメルマガは予約発行です．
サイエンスワールドの様子は，後日のメルマガにご期待ください．

■さて，今回はランプシェードのデザインに利用される多面体の鑑賞です．
これは，球に近い多面体（いわゆるジオデシック構造）です．

www.creema.jpにある広告の写真を見て下さい．
これは,日球（https://www.creema.jp/c/hitamaya/item/onsale）さんの作品．
球面正20面体の面の細分で得られるジオデシック構造です．基礎となる球面正20面体の頂点は，
球面正3角形の頂点が５つ集まっている点の12個です．
20の面をそれぞれ細分化しジオデシック構造を作るには，各球面正3角形を4つに細分します．
全体で80個の球面三角形の面からなります．
https://d12ciics2fd1e.cloudfront.net/user/108977/exhibits/516682/1_c1e528919e76aed18f78765ae22229c698360adb_583x585.jpg

参考となる正20面体の形のランプシェードは，以下のところで見ることができます．
おりあるて（https://www.creema.jp/c/holiarte）さんの作品です．
https://d12ciics2fd1e.cloudfront.net/user/73358/exhibits/555659/1_f1e2caf473c660f6ddf04858aef8e7bdaf110412_583x585.jpg

■ジオデシック・ドームは建築家フラーが好んで作った建造物で，
炭素原子だけ60個で作るサッカー・ボールの様な構造の分子C60（フラーレン）
の語源になったものです．
バックミンスター・フラーのジオデシック・ドーム
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8c/Biosph%C3%A8re_Montr%C3%A9al.jpg/800px-Biosph%C3%A8re_Montr%C3%A9al.jpg
（wikipedia.orgより）
正20面体からスタートして，各面を細分化していくのですが，日球さんのランプシェードの形は，
正20面体の最初の細分化で得られ，正20面体の各面となる3角形の各辺の2等分点を球面に投影して作ります．
この細分化を何度も繰り返すとだんだん球に近い多面体（ジオデシック構造）になります．

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数学月間SGK通信 ［2016.08.16］ No.128
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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お元気でしょうか？皆様のところではお盆は如何お過ごしでしょうか．
このところ先週の猛暑は少しおさまり助かりますね．
私は，日曜日からお盆で田舎に来ております．
母の新盆は7月に済ませましたが，８月は田舎のお盆で，従兄の新盆や，義父母の墓参に来ています．
そして，17日は父の祥月命日ですので，田舎からとって返してこちらの墓参に行きます．
そうこうするうちに，とっとりサイエンスワールドin鳥取（8月21日）が迫ってきました（私は前夜の夜行バスで出かけます）．
17日には墓参に行く前に，材料を発送しないと....もうタイムリミットです．今週は全く余裕がありません．

■鳥取サイエンスワールドin鳥取（8/21，とりぎん会館）
お近くの方はぜひご参加ください．子供も大人も楽しめる数学祭りです．すっかり市民に定着したイベントになりました．鳥取県，鳥取数学教育会のスタートから11年の活動に敬意を表します．

私の万華鏡ワークショップは，30人のクラスを5回実施する計画でいます．
なかなか予定通り行きませんので，10人分ほど予備も準備します．
さて，今回作る万華鏡の映像写真をとりあえず掲載しておきます．
映像を見ると12回の回転対称性があり，点群の対称性は12mmです．
この対称性は2枚の交差する鏡で生成されるのですが，鏡の交差角は何度でしょう？（答え15度）．
万華鏡の映像写真↓
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/07/17616707/img_0_m?1471269173

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数学月間SGK通信 ［2016.08.09］ No.127
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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子供たちが楽しそうな夏休みの最中です．7月31日の鳥取サイエンスワールドin米子では
約800人の入場者があり，120人分用意した万華鏡は，3時で材料がなくなりました．
次回開催は，8月21日の鳥取です．お近くの方お寄りください．

■正多面体とは，1種類の正多角形の面で囲まれた立体で，どの頂点の周りも同じ状態になっている立体です．
正多面体は「プラトンの多面体」とも呼ばれ，3次元では5種類（正4面体，正6面体，正8面体，正12面体，正20面体）
しかないことが知られています．正多面体の記述には，シュレーフリの表記法が用いられます．
例えば，｛3,5｝という表記は，正3角形の面が，どの頂点でも５つ集まっている状態です．
これは正20面体で，もっとも球に近い正多面体です．
■もっと球に近い多面体（正多面体ではない）を作るにはどうしたらよいでしょう．
例えば，ゴルフボールのディンプルを思い浮かべてください．
均一にデインプルを配置するにはどうしたら良いか？1つのディンプルの正面から見て．
その点の周りが均一ということは，ディンプルを面に見立てて，その面が正多角形であること．
すべてのディンプルが同じということは，同じ正多角形で囲まれているということ．
つまり，正多面体になっていることと同じです．したがって，厳密に均一な対称性でディンプルを配置するということは，
プラトンの多面体に相当する5種類しかあり得ません．
■しかし，近似的には，例えば，正20面体から出発して，面を分割していくと，
多面体の面の数がどんどん増加し，形も球に近づけることができます．
ジオデシック・ドーム（フラーの設計した建築物．C60分子（フラーレン）の語源になった）は，
このような形です．ドームの壁は，すべて3角形でできたトラス構造です．
■さて，図を参照しながらその作り方を説明しましょう．
出発点となる正20面体（灰色の球内部に内接する青色の正20面体）（A)から出発します．
外接球の中心Oから，正20面体の正３角形面の辺の中点に向かって線を伸ばし，
外接球面をよぎる点を三角形面の分割点とします（B).
この操作により，1つの正３角形の面は４つの三角形の面に分割されます．
この分割で生じた小さな3角形は，正3角形ではありません．
こうしてできた4倍の面をもつ80面体の多面体を図(c)に示します．
さて，(C)をもう一度分割すると，320面体の多面体(E)が得られます．
このようにして，ますます球に近い多面体を作ることができます．
各3角形の面にディンプルを配置すれば，いくらでも多くのディンプルを，近似的に均一に配置できますが，
この作り方からわかるように，スタートとなった正20面体の対称性は変わりません．素性は隠せないのです．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/60/17605260/img_0_m?1470654264　←Fig

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数学月間SGK通信 ［2016.08.02］ No.126
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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今年も鳥取サイエンスワールド（10年目）の夏がやって来ました．
とっとりサイエンスワールドのFacebook　←（ここをクリック）
主催は，鳥取県，県数学教育会です．鳥取大学，地域教育学部が中心になり
小中学校の先生方や多くの高校生ボランティアが活躍します．　
7月31日（米子），8月21日（鳥取），9月11日（倉吉）です．
楽しいイベントがたくさんありますから．皆さんお寄りください．
私も万華鏡で参加します．万華鏡は1時間くらいで完成します．楽しいですよ．
今年作る万華鏡は，新型です．
予習になるように，万華鏡の仕組みを簡単にまとめておきます．
この記事は31日の米子に出かけるために事前に書き予約配信です．実際の配信は事後になります．

■万華鏡の原理
互いに平行に向かい合った「合わせ鏡」は，1列に無限に並ぶ像を作ります．
合わせ鏡に挟まれた部屋（緑色）を「鏡室」と呼んでおきます．
鏡室が鏡でひっくり返った鏡像は白いままの部屋にしました．
もう一回，鏡でひっくり返ると鏡室と同じ向きの映像になります．
詳しく言うと，緑（あるいは黄色）と白色の部屋が並んで市松模様ができます．
繰り返しの単位は，このペア（鏡室の2倍）です．
合わせ鏡が互いに平行でなく，交差角がθのときの図も合わせて掲載しました．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/77/17588477/img_0_m?1469773013

交差角がθのときは，1列に並ぶ像は円周上に並びます．円周上に並んだ像が，反対側でうまくつながる条件を考えると，
全円周角360°が，繰り返しの単位2θで割り切れることであることがわかるでしょう．つまり
360°／2θ＝n（整数）　このとき生じる万華鏡の映像には，n回回転対称性があります．
もちろん，この回転対称性の生じる原因になったのは，2枚の鏡です．

■今年，皆さんが作る万華鏡は，2枚の鏡の交差角が15°のものです．
これなら，360°／30°＝12 となり割り切れます．12回回転対称性が生じるはずですね．
以下のような映像が観察できるでしょう．この対称性をもたらした原因は2枚の鏡（赤と青）です．
この図形の対称性を点群の記号で書くと 12mm となります．
http://blogs.yahoo.co.jp/tanidr/GALLERY/show_image.html?id=17588477&no=1

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数学月間SGK通信 ［2016.07.26］ No.125
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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皆様のところは梅雨が明けましたでしょうか．お変わりありませんか．
私は，この日曜日（都知事選投票日）に米子で，サイエンスワールドに参加するために
万華鏡の材料の準備であたふたしています．
7月22日の数学月間懇話会は，無事実施できました．ご参加の皆さま有難うございます．

１．数学者って，どんな顔をしている？
　　亀井哲治郎・河野裕昭（亀書房・写真家）
２．世論調査は正しいか
　　松原望（東京大学名誉教授，聖学院大学）
３．がん登録の可能性
　　田渕　健（都立駒込病院・東京都がん登録室）
■今年の数学月間懇話会は，数式の出てこない一風変わった講演会になりました．
数学月間は数学同好者のためでもないし数学の講習会でもありません．
数学と社会の架け橋を目指しているのですから，今回の数学月間のテーマは，
数学月間の原点の姿であると言えるでしょう．今年の数学月間懇話会参加賞は35人を数えました．
以下，講演の要点をまとめました．それぞれの講演は1時間弱ありますから，
講演の要旨を数行にまとめるのは私の偏見によります（分責．谷）．
（１）
お二人が掛け合いで写真の説明をされ，撮影時の様子やエピソードをお聞きしました．
まず，色々な講義風景がありました．200人入る教室に4人の学生の贅沢な風景や，
無意識のオーケストラの指揮者よろしいポーズなどがりました．写真に切り取ってみると案外面白いものです．
一方では，数学者の教室外の生活感のあふれる写真－耕運機を運転している姿など－もありました．
（２）
議席事前予想（いわゆる世論調査）と開票実況中継（いわゆる「当確」打ち）の話がありました．
世論調査では，ランダムサンプリングによるサンプル集合が必要ですが，これが難しい．
性質（人口規模，地方性，産業構成）などが似ている範囲を1つの層として，全国を180層別し，
これをもとに3600人をサンプリングする方法が実施された（1963年の例）．ビッグデータによる解析も最近行われ，
当たったことも記憶に新しい．データ保護，調査の倫理，政治への従属，操作誘導が心配な問題点である．
開票は田舎から開いて都市部が遅い.開票の結果が出るの待てば良いのだが，各社一刻も早く当確を打ちたがる．
自分の投票が開票されていないのに，当確が決まるとは私は許せない気がする．
過去には，当確が取り消しになった事例もあるそうだ．少なくとも開票50％，あるいは，60%当たりで，
当確を打てば大体間違いはない．実際に当確判定に携わった1983年総選挙の新潟3区の田中角栄に得票率推移が例に出た．
（３）
駒込ピペットは，感染症の避病院であったこの病院（140年前）の発明である．
ガンの今年の患者が102万人を超えたという．2014年から，多いガンのランキングや死亡率ばどが語られ，
ガン検診も叫ばれているが．ガン検診をすることがどれほど有効かはわからない．ガン罹患率の統計はまだない．
統計解析は，良いソフトツールがあり実施に問題はないが，ガン登録を行うところがドロドロしていてとても難しい．
これは数学者の仕事なのだが，数学者が参入していないのが問題である．
ガン登録の届け出がされていない．複数病院からダブっている．一人で多重ガン．などがあり，同一性の判定が必要だ．
死亡状況から届け出がなかったのを判定する．例えば，病院は電子カルテになって，医者は患者の顔を見なくなった上に．
情報が構造化されていないので，あまり役に立たない．
発生場所と下水処理の相関を見つけた疫学調査がロンドンのコレラを鎮圧したそうである．
ガン登録推進法今年スタートした（人口統計は，明治に確立しているのだが）．
ガンの定義．病気を分類しガンの定義を満たすリストを作る．
届にもいろいろな言葉が使われる．色々な病名がある．肺炎には肺ガンが含まれているかもしれない．
心不全というのは死因ではない．第1次原因，第2次原因，第5次まで記入するそうだ．
いずれにしろ，生のデータは意味がダブったり混沌としている．同値関係を定義したり，
同値分類したりしてデータの構造化が必要であり数学者の仕事である．

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数学月間SGK通信 ［2016.07.19］ No.124
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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■「30年以内に震度６弱以上の地震が起こる確率は，横浜市が78％で最も高く，九州では大分市が54％」などと言われていました．
あくまでも確率ですから，いつ地震が起きるかはわかりません．熊本の方が先に大地震が起きてしまいましたね．
このような確率はどのようにして出たものでしょうか？
震度（揺れ方）6弱といっても，震源が浅い場合もありますから，
震度が大きいものが必ずしも巨大地震（マグニチュードMが大きい）とは限りません．

■地上の被害は震度（揺れの程度）に比例します．
地下の岩盤には色々な原因で歪が蓄積していき，岩盤の耐えられる歪の限界を超えると，
岩盤がポッキリ折れて地震が発生するというイメージです．
岩盤が強靭なほど溜め込める歪エネルギーの限界は大きく，限界まで溜め込んだ岩盤が地震で放出するエネルギーは大きい
（地震のエネルギーの対数がマグニチュードM）．
地震は破壊現象なので，限度まで歪を蓄えた岩盤がいつどこで破壊するかを予知することは不可能だが，
破壊が始まってからの前駆現象を少しでも早く観測することは可能です．

■日本の地震の発生メカニズムを調べると，大雑把に言って2つのタイプがあります．
１．海溝型（海洋プレート沈み込み境界）
Mは大きい巨大地震で，頻度分布は数十年～100年．
２．内陸型（陸側プレート内）
震源は地下5～20kmと浅い．Mは小さいが震源が浅いので，直上の被害は大きい．頻度分布は数百年ー数十万年．
日本で起きた最近の大地震は，内陸型です．
海溝型の地震は，1923年の関東地震以降起きていません．心配されている東海地震や南海トラフ地震は海溝型です．

■地層に残る地震の記録や，古文書の記録を調べると，日本の各地で，数多くの地震が繰り返し起こっていることがわかります．
この地震発生の繰り返し周期はどうなのか，地震発生の予測のために，経過年に対する地震頻度の分布を作ります．
過去の地震記録はどのような分布と合うでしょうか．地震は破壊現象なので発生確率はランダム（その時はポアソン分布）
が予想されます．沈み込むプレートに引き込まれた陸地が時折り弾性反発するモデルは，Brown酔歩時間の分布(BPT)が予想されます．

全国を250kmのメッシュに切り，その地に影響を与える活断層起因の地震やプレート境界起因の地震で，
地表の震度が６弱以上となる地震について発生確率を算出します．
メッシュに切った各地の30年以内の震度6弱以上の地震発生確率を着色した地図が以下のサイトにあります：
http://www.j-shis.bosai.go.jp/map/

■ここで用いられる地震の発生確率の定義では，分布密度関数を積分した全面積が確率１とします．
現時点は分布密度関数内のどこかですが，現時点から分布密度関数の０となる将来時点までの積分値に対する，
現時点から30年先の時点までの積分値の比の値が30年以内にその地震が発生する確率となります．
現時点がどこか（過去の最新活動時期が不明）わからない場合には，地震の発生が「ポアソン過程」に従うとします．

地震は繰り返し発生しますが，正確な周期があるわけではありません．
今日地震が起こらなければ，明日地震が起こる確率は、今日より高くなる
今日より明日，明日より明後日と大地震がやってくる確率はどんどん高まって行きます．

（注）地震のマグニチュードMとその発生確率は，べき乗測が成り立つことが知られています．
被害の大きい巨大地震（Mの大きいもの）も，発生数は少ないですが必ず起こり，その時の被害は甚大です．
上で，議論して来たのは，時間（年）の経過に対するある大きさ（震度８弱）をもたらす地震の発生確率に関するもので，
べき乗測と混乱しないでください．

■さて，地図にある日本の活断層の話に移りましょう．
赤い線は活断層です．関東地方では，高崎-熊谷-深谷の西側を流れる荒川に沿いに走り，荒川は江戸区で東京湾に注ぐ．
断層地帯の荒川上流は長瀞など風光明美な処です．富士山側の活断層は，諏訪-甲府-富士山の西側を富士川沿いに走り，
駿河湾に至ります．活断層は繰り返し地震を起こしており注意が必要です．

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7月22日から数学月間が始まります．暑い日が予想されますが皆さまお変わりなくお過ごしでしょうか
お近くの数学イベントにご参加ください．
◆数学月間懇話会（第12回）
日時：7月22日，14:00～17;00（開場13:30)
場所：東大駒場キャンバス，数理科学研究科・002号教室
１．数学者って，どんな顔をしてる？
　　亀井哲治郎・河野裕昭（亀書房・写真家）
２．世論調査は正しいか
　　松原望（東京大学名誉教授，聖学院大学）
３．がん登録の可能性
　　田渕　健（都立駒込病院・東京都がん登録室）
参加費無料．直接会場にお出で下さい．
例年，暑い最中です，教室には冷房がありますが，
近くに水飲み場や販売機はありません．水筒を持参されることをお勧めします．
17:30より構内カフェテリア（イタリアントマト）にて懇親会（めいめい払い）
問い合わせ先：sgktani@gmail.com（日本数学協会，数学月間の会）
◆三鷹ネットワーク大学　国際基督教大学寄付講座
題目：数学の夕べ　「関係性の数学 - カテゴリー(圏)論入門」
日時：７月２２日（金）19:00?20:30 　
https://www.kouza.mitaka-univ.org/kouza/B1651000
場所：三鷹ネットワーク大学 　　　（東京都三鷹市下連雀３－２４－３　三鷹駅前協同ビル３階）
◆ICUオープンキャンパスでのモデル授業
題目：シンメトリー ? 多項式で楽しむ
講師：清水勇二
日時：８月１３日（土）　１２：０５?１２：５０ および １５：０５?１５：５０
　 (同じ講義を2回します。)
場所：国際基督教大学 理学館２F　２２０ 教室
(東京都三鷹市大沢 3-10-2)
◆とっとりサイエンスワールド
7/31（米子），8/21（鳥取），9/11（倉吉）

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数学月間SGK通信 ［2016.07.12］ No.123
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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昨日参院選が終わりました．改憲勢力が2/3になりました．
RDDによる世論調査やビッグデータによる選挙予測通りの状況になってしまいました．
RDDによる今回の世論調査では，母集団の性質を代表する正しいサンプル集合であったことになります．
特に，ビッグデータによる予測では，今回さらに実証データが増えましたから，
モデルの精度はますます向上することが期待できます．

デッドヒート状態にある選挙区では，結果予測のアナウンス効果で，正あるいは負のフィードバックが
最後の一揺れを起こす場合があるのですが，今回は予測をひっくり返すほどのものではなかったようです．
そもそも投票率が低い54.4%（世論調査ではこれより高い予測）．
「改憲勢力が2/3になるのが良くない」が世論調査では47%でしたが，
結果は，改憲勢力が追加公認も入れ77人で64％でした．世論調査では「まだ決めていない」が35%もあったので，
これが棄権につながったように思います．比例区の支持政党なしの党に1.2%の得票がありなんたることだ．

選挙予測は当てなければならないが，別の見方をすると，結果が予測できるような安定な選挙ではだめだ．
この安定さは，NHKを始めとする大手TV・メディアが選挙の様子を報じないために作られたものだ．
私はインタネットの中継で，各政党候補の街宣演説を聞いているが，特に自民党候補の質は低い．
名前だけを連呼する内容のないものが多い．安倍総理の演説も低俗なものであった．
TVの報道だけではこの差はわからない．各党の街宣演説に出会うこともなかった人には，
今回の選挙は行く気にもなれない盛り上がらないと感じただろう．争点を隠し投票日を迎え，
無風状態で予測通りの安定な結果となったわけだが，これを予測が正しいと喜ぶわけにはいかない．
メディアは予測よりも現場と政策内容に切り込んでもらいたいし，市民はアナウンス効果に鋭敏に反応するようでありたい．
社会は複雑系なのだから，バタフライ効果はいつ起こっても良いはずだ．
このような選挙結果の鈍感安定さは，選挙制度（小選挙区）にあることは間違いない．

■次回取り上げるテーマ：地震の発生確率．
今日地震が起こらなかった．明日は今日より地震発生確率は高いのだが？

－－－－－－記－－－－
数学月間懇話会（第12回）
主催●日本数学協会，数学月間の会（SGK）
日時●７月２２日，14:00-17:10
－－－－
１．数学者って，どんな顔をしてる？
　　亀井哲治郎・河野裕昭（亀書房・写真家）
２．世論調査は正しいか
　　松原望（東京大学名誉教授，聖学院大学）
３．がん登録の可能性
　　田渕　健（都立駒込病院・東京都がん登録室）
ーーーー
会場●東京大学（駒場）数理科学研究科棟002号室
最寄り駅●京王井の頭線「駒場東大前」
参加費●無料
問合せ先●数学月間の会（SGK）
sgktani@gmail.com，谷克彦（SGK世話人）
直接会場においでください（開場13:30）
17:30より構内カフェテリアにて懇親会（各自払い）
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数学月間SGK通信 ［2016.07.05］ No.122
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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■現代は，衛星からスマートフォンまで大小のソースから，さまざまなデータが絶えまなく集められています．
検索サイトのgoogleやyahooにはビッグデータが蓄積しています．
ビッグデータの様々な利用法やそのための解析法も急速に発展しつつあります．
世論調査は従来から，RDD（無作為抽出）の電話によるアンケート形式で実施されているのだが，
先日，yahooのビッグデータを用いた参院選挙当選予測が発表された．
http://docs.yahoo.co.jp/info/bigdata/election/2016/01/
それによると改憲勢力が2/3に達しそうな情勢という．

■webサイトを渡り歩き，あるサイトで買い物をしたとする．そこに導いた各webサイトの貢献率は如何様なものだろうか？
googleの各webサイトのレイティングはどのように計算しているのだろうか？
サイト間の遷移確率を成分とする遷移行列＊)を作り，この行列を各サイトの状態に作用させた結果，
各サイトの状態は新しい状態になる．何度も遷移が繰り返されると，状態が収束するとして，
各webサイトの状態（貢献度，ランキング）を求めることができる．
*)各webサイトを頂点とし，頂点間の遷移を矢印で表すと，有向グラフができる．
サイト間の遷移確率をこれに書き込むと遷移行列になる．

■さて，選挙の当選予想に戻るが，Amazonの「これを買った顧客はこれも買う」のような推薦システムや，
企業が集めたデータから，顧客の行動を予測をしている．これにはクラスタリングと最隣接クラス分けのツールが用いられる．
投票行動の予測もこれに類似したものであろう．
ビッグデータをどのように解析したのかわからないので，何とも言えないが，
過去に実績のある推測法らしいので当たるかもしれない．
http://searchblog.yahoo.co.jp/2012/12/yahoobigdata_senkyo.html
例えば，ある本の購入数，あるワードの検索数など，関係のなさそうな事柄と各政党の得票との相関を重ね合わせ予測がなされる
（投影法という）．定義した注目度という量を各候補の当落の評価関数に用いている．
なぜ各事柄と得票に相関があるのか，各相関を重ね合わせる時のウエイト付の意味など説明できないことだらけだが，
予測結果が実際と合うように決める．因果関係の筋が通っていないものは，私には信用できないが，
絡み合った因果関係の“複雑系の世界”とはそういうものなのでしょう．
地球のどこかで起きた蝶の羽ばたきが，後日離れた地でハリケーンの進路を変える原因になる
かもしれないという“バタフライ・エフェクト”の世界ですから．

そして，思いもよらぬ事柄の些細な変化で結果の逆転も起こり得ます．
予測は不安定ですので信じるのはほどほどにしないと誘導され易い運命論者になってしまいます．

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数学月間SGK通信 ［2016.06.28］ No.121
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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選挙戦たけなわです．皆様の周りは如何でしょうか．
TVニュースはもともと政治報道は少ないのですが，選挙期間中はさらに少なく，国民を眠らせておけとばかりです．
街宣の様子や市民の反応など中継して欲しいものです．政治討論でも，
選挙後に安倍連合政権が緊急事態条項の成立を狙っていることは触れないように話題をそらしています．
私たちは，支持率や選挙結果の予測や政局は，結果ですので知ったって意味がありません．
その根拠となる政策の賛否を議論したいのです．
しかし，支持率を見せて世論を誘導するというマスコミもあるようです．
内閣支持率が高いことを知って，戦っても無駄だとやめるのですか？
支持率が低いことを見て，見捨てて大勢につくのですか？
あるいはこれらの逆で，弱い方につくのですか？
支持率結果は，市民の投票行動に複雑なフィードバックを起こします．
雪崩をうって体制につく（正のフィードバック）のと，バランスをとろうとする（負のフィードバック）の混合でしょう．
24日朝刊トップは参院選情勢調査の結果で，いずれも自民党が勝利し、公明やお維新を加えると、
改憲に必要な３分の２に届く勢いであるとのニュースです．
それほど与党が優勢でしょうか？私の感じでは，まさにデッドヒートを演じていると思います．
野党統一候補が頑張っている所をもっと報道するのが公平だと思います．
さて，各社同じような世論調査を出したわけですが，出所は日経リサーチ社のもの．
読売は，日経と同じデータを使って，同じような記事を載せました．
これは，意図的で悪質です．以下の記事をご覧ください．
http://hunter-investigate.jp/news/2016/06/-24-300.html

さて，世論調査の結果と本番の選挙結果が逆転した例が，しばしば見られるようです．
直前の世論調査の結果のフィードバック効果により，揺さぶられることもありましょう．
しかし，それはさておき，世論調査はサンプリングで集めたした小さな集合（サンプル集合）で行いますから，
ランダムサンプリングを心がけても，一方の陣営の意見が多く集まって偏ったサンプル集合ができる危険性は避けられません．
このサンプル集合が，安倍内閣の支持率が高いという，世論誘導に都合のよいものを意図的に選ぶということも起こりえます．
そのような意図的なサンプル集合でないとしても，賛否が半々（50%付近）で，拮抗している場合には，
統計学的に誤差が大きくなります．別のサンプル集合をとれば別の支持率がでます．
サンプル集合の撮り方による支持率のばらつきが標本（サンプル）誤差です．
賛否が拮抗している（50%付近のデッドヒート状態）ときは，信頼度95％（100回中95回はこの幅に収まる）で考えると，
7.1%（サンプル数200），4.1%（標サンプル600）の誤差があります．

さて，皆さんはEUに残留か離脱かの英国の選挙結果をどう思いますか．
私は英国が自分だけ離脱したことは，大変残念なことだと思います．
この国民投票前の世論調査では，どちらが過半数をとるか，さまざまな予測がありました．
ほぼ半々の予測だったわけです．
このようなデッドヒート状態の時には，予測の誤差は最も大きく，
今回のように３～4%くらいの逆転が起こっても不思議ではありません．
サンプル集合のサイズ（サンプル数）を大きくすると，この誤差は小さくなりますが
よほど大きくしなくてはならず，本番の投票のようになってしまいます．
英国の国民投票の結果は，離脱51.9%，残留48.1%（投票率72.2%）でした．

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数学月間SGK通信 ［2016.06.21］ No.120
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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世論調査に関する記事は，日刊ベリタ（6/18）に掲載していただきました
http://www.nikkanberita.com/read.cgi?id=201606181029266
今週号は，これをもとに書き足したものです．
以前にも，英国世論調査(5/24号)，ビデオリサーチ(5/31号）は，すでに取り上げています．
こういったものがどれほど正しいのか，疑問に思いませんか？
自分は聞かれたことがないのにどうして意見が反映されるのか？
わずかなサンプル集合で行った統計的推論が母集団の性質になるのか？素朴な疑問ですが，
これらは根拠のない不安ではありません．
明後日は参院選の公示で，それから選挙戦に突入します．
世論調査は週末に行われ，調査の方法はだいたいRDDという
「コンピューターでランダムに発生させた番号に調査員が電話をかける」方式です．
母集団は全国の全有権者で，調査に選ばれた回答数「サンプル集合」は，2,000から700程度です．
サンプル集合はこの程度のサイズだから，私は選ばれたことは一度もありません．
各地域からできるだけ均一なランダムサンプリングになるように，色々工夫をしているようですが，
誰もランダムサンプリングがなされたことを保証できません．
実際に偏ったサンプリングが行われて（意図的ではなかったが）予測が外れた例が昨年の英国総選挙でも起きました．
意図的に偏ったサンプル集合や小さなサンプル集合を採用することも可能で，世論操作は可能です．
出された数値は独り歩きします．
メディアのコメンテータは，世論調査で出た政党支持のわずかな変化を過剰に解釈する傾向があり，
証拠が推論をサポートしていない（統計的に有意でない）のに，公衆に党の運命が変わってきたと印象づけたりする．
何ポイント支持率上昇とかいうが，そのような変化を起こす因果関係を説明できる事実はあるのか私は問いたい．
アンケートの作り方（問の文章，およびそれらの配列順，回答用選択肢）は，回答結果に影響を与えます．
複数ある設問は，互いに独立に見えるが，実際はある種のパラメータで関連し合っている．
設問の配列順で，そして，回答を誘導していくことも可能です．
問題を良く理解している人しか答えにくいようにすることも可能です．
「○○のために，▲▲するのはどう思いますか」というような問いかけは巧みです．
条件付きで答えが決まるなら，条件がない問いには答えようがありませんから．
このような論理と因果関係は明瞭にして欲しいものです．
とにかく色々な原因で，サンプル集合には偏りが生じます．そのようなサンプル集合で解析した結果は，
サンプリング理論の予想外の誤差が起こります．
ーーーーーーーーーーーーー
最後に，先週末（6/17～19）時点の各社の世論調査から内閣支持率だけ掲載します：
日本テレビ：世帯数1487，回答数725，回答率48.76%，
内閣支持43.3%，内閣不支持39.5%
NHK：世帯数3035，　回答率66%，
内閣支持47%，　内閣不支持34%
朝日新聞：世帯数2371，有効回答1163，回答率49%，
内閣支持45%，内閣不支持36%
読売新聞：
内閣支持49%，内閣不支持38%

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数学月間SGK通信 ［2016.06.14］ No.119
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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空間充填パズル

空間は正8面体だけでは隙間なく充填することは出来ません．
（１）正８面体と立方8面体を組み合わせて空間を充填することができます．
ペロブスカイト構造に見られる正8面体と立方8面体による空間の充填構造
（２）正8面体と正4面体を組み合わせて空間を充填することができます．
ダイヤモンド構造に見られる正4面体と正8面体による空間の充填構造

（１）の場合は，正8面体と立方8面体の個数比は1:1です．
どのようにして数えますか？
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/566714/14/17051514/img_2?1445217129
（解答）
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/566714/10/17507610/img_0_m?1465832802
赤い立方体の中に立方8面体が１つ納まっています．立方体の８つの頂点に
隙間がありますが，この隙間は正8面体の1/8の形です．したがって8つ集めると正8面体１つになります．
よって，個数比は，正8面体：立方8面体＝1:1　です．

（２）の場合は，正8面体と正4面体の個数比は，1:2です．
どのようにして数えますか？
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/568616/62/17051462/img_1_m?1453416995

（解答）
正8面体が辺を共有するように配列しています．赤枠の正方柱の中に正８面体が2つ入ります．
なぜなら，１つは丸々入り，赤枠内の8つの頂点周りにある間隙には正8面体の1/8の形が入るからです．
さらに，正8面体間には間隙があり，その形は正4面体（橙色）です．
ただし，赤枠の中に入るのは正4面体の1/2の形で，上側に（1/2）x4個，
下側も同様ですので合計4個が赤枠内に入ります．結局，個数比は；　正8面体：正4面体=1:2　です．

http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/568616/28/16779028/img_7_m?1453418256
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/566714/10/17507610/img_2_m?1465832802

■小梁（OSA工房）によるCube充填パズル
周期的な空間でできるこの詰め込み構造を，立方体の単位胞の中につくります．
そのためには正8面体を分割した部品にする必要があります．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/568616/28/16779028/img_5_m?1453418256

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数学月間SGK通信 ［2016.06.07］ No.118
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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早いものでもう6月です．私は，どれも進まないまま大変焦っています．
皆様は，順調な日々をお過ごしでしょうか？
これから，万華鏡と繰り返し模様の話を始めようと思います．

平面群P3m1とP31mの対称性はとてもよく似ています．
以下の２つはともにエッシャーの作品です．比較鑑賞しましょう．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/566714/93/17489893/img_0_m?1465078055

どちらも3回回転対称のある繰り返し模様ですが
鏡映面の入り方が違います．
P31mの方には，鏡映面が集まっていない3回対称軸がありますが
P3m1の方の3回対称軸の場所には，すべて鏡映面が集まっています．
両者の絵から受ける微妙な感覚の差は，
このような所にあるのではないでしょうか？

■正三角形の鏡室の万華鏡を作ると，P3m1の壁紙模様が観察できます．
しかしながら，P31mの壁紙模様は自然には得られません．
その理由は，P31mでは鏡室の内部の図柄が3回対称である必要があるからです．
鏡室の図柄は，ガラス屑が自然に分布して作る図柄なので，
それが3回対称であるなどという偶然はあり得ません．

（注）平面群の記号P31m，P3m1の記法について：
P:単純格子，3：紙面に垂直な3回回転軸，
単位胞の辺（並進方向）に垂直な鏡mの有無，その他の方向の鏡mの有無
鏡のないときは１と記す．

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数学月間SGK通信 ［2016.05.31］ No.117
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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いよいよここにきて選挙の動きが激しくなってきました．
はたしてダブル選挙があるのかないのか？
今回は，前回の「世論調査は正しいか」に続いて，「視聴率調査は正しいか」です．
これは，日刊ベリタに掲載（05/30)したものです：
http://www.nikkanberita.com/read.cgi?id=201605300831101

アメリカの視聴率調査会社ニールセンが，機械による視聴率調査をスタートさせたのは1961年．
日本でも1962年9月にビデオリサーチが設立され，12月より機械による視聴率調査が始まりました．
（ビデオリサーチは電通系列）
関東，関西，名古屋の3つの地区では，それぞれ600世帯にピープルメーターPMと呼ばれる装置がテレビに取り付けられ，
分ごとのデータが蓄積・送信されています．このシステムはPMシステムと呼ばれます．
この他に，オンラインメーターシステムというものがあり，全国に24地区（各地区の200世帯）で実施されています．
http://www.videor.co.jp/rating/wh/03.htm
例えば，関東地区には15,000,000世帯ありますが，そのうちから選ばれた600世帯だけが調査の対象になります．

全対象（母集団）の調査をするのが正確なのですが，実際には，“選ばれた”（サンプル集合）について調査をします．
全対象の調査（全数検査）は，国勢調査などの限られた調査だけです．統計量の解析は，サンプル集合について実施し，
それを母集団のものと推測します．
それが意味を持つ根拠には，サンプル集合は母集団の性質を代表しているということが前提にあります．
つまり，サンプル集合の作り方が，ランダムサンプリングによるということが前提にあります．
しかし，それがランダムサンプリングであるかどうか誰も保証できない．無作為に細心の準備をして実施しても，
サンプリングにバイアスがあり，サンプル集合に偏りがあることはしばしばあります．
2015年の英国総選挙で起こった外れた世論調査の原因研究報告については，前回のメルマガで述べました．

ビデオリサーチのサンプル数は，如何にも少ない感じがするでしょう．
サンプル数600は母集団の1/25,000（抽出率）です．ところがこれで大丈夫だというのです．
標本誤差（600世帯のサンプル集合で解析した統計量の母集団の統計量からのずれ）は，
視聴率10%（90%）では±2.4，20%（80%）では，±3.3，30%(70%）では±3.7，40%(60%)では，±4.0%，
50%では±4.1％です．
大きな母集団に対して，意外に少ないサンプル数でよい解析ができることになり，これが現在実施されている根拠です．
しかしながら，サンプル集合が母集団を代表している（ランダムサンプリングである）という保証はありません．
これらの議論はランダムサンプリングでなければ崩れてしまいます．
そして，サンプル数が少なければランダムサンプリングから外れる危険性は増加すると言わざるを得ません．
私たちの感じる心配は，いわれのないことではないのです．
視聴率調査結果を皆さんはどこまで信じますか？
出された数字が独り歩きし，人々を誘導するのは，前回の世論調査と同じです．

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数学月間SGK通信 ［2016.05.24］ No.116
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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今年は選挙の年ですが，世論調査を鵜呑みにしてはいけません．
世論調査のためのサンプル集合は信用できますか？
母集団からサンプル集合を作るのに，
意見を聞く集団が偏っていることは良くあります．
視聴率調査のビデオリサーチのように，サンプル数の少ないものもあります．
母集団を代表しない偏ったサンプル集合では正しい情報が得られません．
ランダムサンプリングであるのが前提ですが
ランダムサンプリングであるかどうか事前に判定できません．
昨年６月の英国総選挙の世論調査では実際にそのようなことが起こり
保守党と労働党の票獲得は，予測された「統計的デッドヒート」が実現せず，
保守党が労働党に対し7ポイントの優位で下院の多数を勝ち取った．
選挙直後に，外れた世論調査の原因研究が
英国世論調査会議BPCと市場調査協会MRSによって立ち上げられ，
2016年3月に報告書（120ページの長文）が出た．
この報告書は大部のため，本稿への引用は，Tarranのエッセイによる（注）．

報告書によると，サンプルが母集団を代表するものでなかったことが，
世論調査ミスの主原因であるというのだ．
世論調査組織が使ったサンプル補集の方法が，
労働党有権者を過剰に，保守党有権者を過少に系統的に集め，
適用された統計的調整手順も，これらのエラーの低減に効果がなかったという．
報告書が勧告する改善提案は，将来起こりうる世論調査ミスのリスクを低減するが，
リスクそのものを取り除くものではないことに注意しよう．

世論調査では，今後も非ランダムサンプリングを使用せざるを得ない．
ランダムサンプリング（確率的サンプリング）は，実行するのに，費用と時間がかかる．
しかし，非ランダムサンプリング（非確率的サンプリング）に比べて明らかに優れている．
非確率的サンプリングではサンプルに偏り（バイアス）が生じ易いのだ．
回答者がランダムに選択されるなら，母集団のすべてのメンバーに，調査参加者となる一定のチャンスがある．
これ自体は，得られたサンプルが，母集団の完全な代表であると保証するものではないが，
選択のランダム性は，代表されるグループの外部/内部を調整するためのサンプリング理論の適用を可能にする．
また，サンプルへ自己選択される可能性を下げ，回答者の採用過程で，バイアスがかかるリスクを軽減できる．
研究報告書を読んで失望する読者もいるだろうが，失望が畢竟実用主義への道を与え，
世論調査の難しさと不確実性を理解することになる．母集団でなくサンプルで解析するのだから限界がある．
世論調査は将来起こるかもしれない行動について，
有権者のようなよくわからない母集団を調べるので苦しい闘いに直面している．
世論調査の実施方法の高い透明性と，その推定の不確実性レベルを明確に伝える責任がある．
それぞれの政党の支持率の信頼区間と前回公開世論調査に対するそれぞれのシェア変化
の統計学的有意差検定を合わせて報告することを報告書は勧告している．

メディアのコメンテータは，世論調査で出た政党支持のわずかな変化を過剰に解釈する傾向があり，
証拠が推論をサポートしていない（統計的に有意でない）のに，公衆に党の運命が変わってきたと印象づける．
このようなことは避けるべきだ．

（注）https://www.statslife.org.uk/politics/2752

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数学月間SGK通信 ［2016.05.17］ No.115
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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皆さんお変わりありませんか．良い季節になりました．
今日は町の歩道で見かけたタイルの景色についての軽い話です．

■問
Fig.1Aをご覧ください．綺麗な市松模様が見えます．
確かに斜めから見ると（Fig.1B）コントラストがあります．
しかし真上から見ると（Fig.1C）コントラストがつきません．何故か？

Fig.1
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/77/17449077/img_3_m?1463289592

■正解発表
タイルの条線がコントラストに差を生じると思ったでしょう．その通りです．
条線に直角な横方向から浅い視射角で見下ろす場合Aと，
条線方向から浅い視射角で見下す場合Bを比較すると，前者Aの方が暗く見えます．
だから，条線が市松模様になっているタイル張りを，浅い視射角で見下すとコントラストの市松模様が見えます．
見る方向を90°変えると，いままで条線方向を見せていたタイルは，条線が横方向になりますので，
タイル張りの市松模様コントラストは逆転します．

では，条線の横方向から浅い視射角で見下すAは，条線方向から見るBより，
タイルが暗く見えるのは何故でしょうか？

Fig.2
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/06/17451706/img_2_m?1463289812

Fig.2をご覧ください．視射角θが浅い（A)の場合は，条線の底（図中の緑）が見えません．
しかし，（A)の場合でも視射角θが大きくなれ条線の底（図中の緑）が見えます．
実地にタイルを観察してみると，条線は１ｍｍ程度凹んだ底で，
その上，条線の底はタイルの凸部より白くなっている（散乱光の光量が多い）のです．
従って，視射角が浅くなると条線（図中の緑）から散乱光が視点まで来なくなりタイルは暗く見えます．
一方，条線の方向から見た（B)の場合は，視射角にかかわらず，いつも条線の底（図中の緑）が見えますので，
タイルは大体明るく見えます．
この解答へのヒントとして，浅い視射角で撮影した写真（Fig.1B）と，
タイルの真上から撮影した写真（Fig.1C）を掲載しました．

■以上で，この話は完結で，私のfacebookに掲載したところ．読者の方から反響やコメントがありました．
写真(Fig.1A)で，横方向の条線タイルの中がさらに明・暗のコントラストに2分されている所があるのは何故かという疑問です．

写真（Fig.1A）の写真撮影では，できるだけ見やすく，均一な効果が出る場所を選ぶのに苦労しました．
説明通りに均一な市松模様のできる場所はありますが，1枚のタイルの中が明・暗に2分される場所もあるのです．
言及しないつもりでしたが，その説明が必要になり考えました．
タイル真上から見た写真(Fig.1C）を詳しく見なおしても，タイルの条線の幅も深さも均一です．
このような1種類のタイルで市松模様を作るという条件で，この現象の説明を考えるなら，
タイルが平面ではなく，タイルの表面が円柱表面のように（条線方向を円柱の軸方向）わずかに反っている場合
しか考えつきません．しかし，facebookの読者は，タイルの反りでの説明は満足しないようです．
そこで，タイル張りの別の場所（Fig.3A）で，真上から撮影した写真（Fig.3B）がありましたので，それも調べて見ました．
写真（Fig.3B）を見ると，タイル内の半分領域の条線がつぶれているタイルもあることがわかります．
これでこの疑問は解決しました．
つまり，完璧な条線のタイルだけで市松模様を作るという仮定から導けるパターンではなかったのです．
Fig.3
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/06/17451706/img_3_m?1463289812

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数学月間SGK通信 ［2016.05.10］ No.114
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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連休も終わってしまいましたが，皆さまお元気でお過ごしでしょうか．
大変な日々をお過ごしの方もおられるでしょう・お見舞い申し上げます．

今回は，対称性とキューリーの原理について紹介します．
ピエール・キューリーは，私の最も好きな科学者で，
キューリーの原理も学生の頃から今までずっと心を奪われている事柄です．
半導体や誘電体など色々な材料で，色々なデバイスが作られています．
例えば，半導体結晶を舞台にして，光子や電子が演じるパフォーマンス
を利用するのが，半導体デバイスです．舞台となる結晶世界は周期的なデジタル世界です．
（周期的な空間は「結晶空間」とも呼ばれます）
周期的な空間の数学（対称性）はとても重要で魅力的，いつも私の心をとらえていました．
この分野では，フェドロフ，シュブニコフ，ベーロフ，ザモルザエフなどの学者を輩出した
ロシアが大変魅力的で，1970年代にはロシアの本を一生懸命勉強したものです．

結晶の幾何学（数理結晶学発展史），結晶空間（周期的空間）の対称性
の話は，ぜひ取り上げたいと思っていますが，
今回は，キューリーの原理の易しい紹介にもどります．

色々な「系（もの）」や「そこで起こる現象（こと）」の理解に，「対称性」の考え方が使われます．
ピエール・キューリーは，“結晶という舞台”で起こる”物理現象の対称性”を研究しました（1894）．
水晶結晶の圧電効果はその例です．
「舞台の対称性は，その舞台で起こる現象の対称性に反映されるべきだ」という因果律は，
キューリーの原理と呼ばれます．
色々な分野で，原因（舞台）と結果（現象）のそれぞれの対称性間でこの因果律がなりたちます．
例えば，結晶にX線ビームをあてたとき，結晶を通過したX線の作る回折パターンの対称性には，
その原因となった結晶の対称性が反映されています．
あるいは，運動量保存則が成り立つのは，空間が無限に広く一様であり，
平行移動しても変わらないからです．
エネルギー保存則が成り立つのは，時間に関して変わらない時です．

環境舞台とそこで生きる生物の形．結晶構造とそこで起こる物理現象．
万華鏡の鏡室と生じる繰り返し模様．
こられもみんな対称性の因果律が支配しています．
「もの」や「こと」の対称性とは，変換をほどこしても，
「もの」や「こと」が全体として変わらない性質です．
例えば，回転や鏡映で系全体が不変なら，その系には回転対称，鏡映対称があるといいます．

音楽や詩歌の形式や韻律．
絵画，壁紙模様，タイル張り模様，建物，などのデザイン．
.....，芸術を始め色々な分野で，対称性の考え方が役立ちます．

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数学月間SGK通信 ［2016.05.03］ No.113
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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連休の中日となりました．良い休日でありますように．しかし，
地震で落ち着かない日々を過ごされている方もおありでしょう．
お見舞い申し上げます．

今年の数学月間懇話会（第12回）のお知らせです．
日時：7月22日，14:00～17;00
場所：東大駒場キャンバス，数理科学研究科・002号教室
１．数学者って，どんな顔をしてる？
　　亀井哲治郎・河野裕昭（亀書房・写真家）
２．世論調査は正しいか
　　松原望（東京大学名誉教授，聖学院大学）
３．ガン登録とガン統計
　　田渕健（東京都立駒込病院）
参加費無料．
17:30より構内カフェテリアにて懇親会（各自払い）
問い合わせ先：sgktani@gmail.com（日本数学協会，数学月間の会）
みなさんのご参加をお待ちします．

始めの話題は，JIR（ジャーナリスト・イン・レジデンス）という活動の紹介です．
編集者の亀井さんは，写真家の河野さんと組んで，
数学者へのインタビューと写真撮影を続けて，すでに１５０人を超える人たちを取材しました．
今年のテーマは統計学です．次に，２つの話題を取り上げます．
世の中は不確かなものやことばかりで確率で記述されます．
確率の正しい理解が必要です．
従来，得られなかったようなデータも多量に収集できる時代になりました．
でも，データ収集が恣意的であったり，不合理な解析をしたりすると
どんな結論でも導くことができるので，だまされないように要注意です．

（その他お知らせ）
5月22日に，日本数学協会のシンポジウムがあります．
こちらの方は，協会員は無料ですが一般の方は若干の参加費がかかります．
場所：大東文化大学
13:30－14:30　岡本龍明（NTT)，暗号
14:50－15:50　加藤文元（東工大),ライプニッツ

■雑談：エンブレム
このデザインの生まれるまでを，勝手に推理してみました．
おそらく次の順番で，右端のデザイン（パラリンピック）に到着したのでしょう．
地球（ステレオ投影）のイメージ（左端）から，2番目の市松模様を作り，
赤い円領域をくり抜くと，パラリンピックのエンブレムになります．
ここまでは自然ですが，これからくり抜く穴を中心に持っていくのは，
平行移動のパズルで難しい．でもいくつかのユニットを平行移動だけで入れ替えると
オリンピックのエンブレムができます．
そこで，次の疑問が浮かびました（未解決です）．
オリンピックのエンブレムが3回回転対称に落ち着くのは何故でしょう．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/97/17424497/img_0_m?1461891630