対称性とピエール・キューリーの原理

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数学月間SGK通信 ［2016.05.10］ No.114
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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連休も終わってしまいましたが，皆さまお元気でお過ごしでしょうか．
大変な日々をお過ごしの方もおられるでしょう・お見舞い申し上げます．

今回は，対称性とキューリーの原理について紹介します．
ピエール・キューリーは，私の最も好きな科学者で，
キューリーの原理も学生の頃から今までずっと心を奪われている事柄です．
半導体や誘電体など色々な材料で，色々なデバイスが作られています．
例えば，半導体結晶を舞台にして，光子や電子が演じるパフォーマンス
を利用するのが，半導体デバイスです．舞台となる結晶世界は周期的なデジタル世界です．
（周期的な空間は「結晶空間」とも呼ばれます）
周期的な空間の数学（対称性）はとても重要で魅力的，いつも私の心をとらえていました．
この分野では，フェドロフ，シュブニコフ，ベーロフ，ザモルザエフなどの学者を輩出した
ロシアが大変魅力的で，1970年代にはロシアの本を一生懸命勉強したものです．

結晶の幾何学（数理結晶学発展史），結晶空間（周期的空間）の対称性
の話は，ぜひ取り上げたいと思っていますが，
今回は，キューリーの原理の易しい紹介にもどります．

色々な「系（もの）」や「そこで起こる現象（こと）」の理解に，「対称性」の考え方が使われます．
ピエール・キューリーは，“結晶という舞台”で起こる”物理現象の対称性”を研究しました（1894）．
水晶結晶の圧電効果はその例です．
「舞台の対称性は，その舞台で起こる現象の対称性に反映されるべきだ」という因果律は，
キューリーの原理と呼ばれます．
色々な分野で，原因（舞台）と結果（現象）のそれぞれの対称性間でこの因果律がなりたちます．
例えば，結晶にX線ビームをあてたとき，結晶を通過したX線の作る回折パターンの対称性には，
その原因となった結晶の対称性が反映されています．
あるいは，運動量保存則が成り立つのは，空間が無限に広く一様であり，
平行移動しても変わらないからです．
エネルギー保存則が成り立つのは，時間に関して変わらない時です．

環境舞台とそこで生きる生物の形．結晶構造とそこで起こる物理現象．
万華鏡の鏡室と生じる繰り返し模様．
こられもみんな対称性の因果律が支配しています．
「もの」や「こと」の対称性とは，変換をほどこしても，
「もの」や「こと」が全体として変わらない性質です．
例えば，回転や鏡映で系全体が不変なら，その系には回転対称，鏡映対称があるといいます．

音楽や詩歌の形式や韻律．
絵画，壁紙模様，タイル張り模様，建物，などのデザイン．
.....，芸術を始め色々な分野で，対称性の考え方が役立ちます．