3回対称の繰り返し模様

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数学月間SGK通信 ［2016.06.07］ No.118
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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早いものでもう6月です．私は，どれも進まないまま大変焦っています．
皆様は，順調な日々をお過ごしでしょうか？
これから，万華鏡と繰り返し模様の話を始めようと思います．

平面群P3m1とP31mの対称性はとてもよく似ています．
以下の２つはともにエッシャーの作品です．比較鑑賞しましょう．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/566714/93/17489893/img_0_m?1465078055

どちらも3回回転対称のある繰り返し模様ですが
鏡映面の入り方が違います．
P31mの方には，鏡映面が集まっていない3回対称軸がありますが
P3m1の方の3回対称軸の場所には，すべて鏡映面が集まっています．
両者の絵から受ける微妙な感覚の差は，
このような所にあるのではないでしょうか？

■正三角形の鏡室の万華鏡を作ると，P3m1の壁紙模様が観察できます．
しかしながら，P31mの壁紙模様は自然には得られません．
その理由は，P31mでは鏡室の内部の図柄が3回対称である必要があるからです．
鏡室の図柄は，ガラス屑が自然に分布して作る図柄なので，
それが3回対称であるなどという偶然はあり得ません．

（注）平面群の記号P31m，P3m1の記法について：
P:単純格子，3：紙面に垂直な3回回転軸，
単位胞の辺（並進方向）に垂直な鏡mの有無，その他の方向の鏡mの有無
鏡のないときは１と記す．