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数学月間SGK通信 ［2015.06.16］ No.068
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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◆お知らせ
数学月間懇話会（第11回）
主催●日本数学協会，数学月間の会（SGK）
日時●７月２２日，13:50-17:20
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1.十年目の「数学月間」
　片瀬豊，高窪正明（SGK）
2.「サッカーボールの対称性を解くTopological Symmetry」
　細矢治夫（お茶の水女子大名誉教授）
3.繰り返し模様の観賞法
　谷克彦（SGK）
4.テーラー展開の話
　鈴木啓一（SGK）
ーーーー
会場●東京大学（駒場）数理科学研究科棟002号室
最寄り駅●京王井の頭線「駒場東大前」
参加費●無料
問合せ先●数学月間の会（SGK）
sgktani@gmail.com，谷克彦（SGK世話人）
直接会場においでください（開場13:30）

◆数学月間だより１
日本数学協会は，2005年に，7月22日--8月22日を数学月間と定めました．この期間は，数学の基礎定数 π(22/7=3.142..) とe(22/8=2.7..)に因みます．この期間に，数学への共感を高める活動が各地で盛んになるよう我々は応援しています．
数学が色々な分野で社会を支えていることを市民が知ることは，数学への共感の呼び起こしに直結します．逆に，社会が必要としている数学を数学者が知る--言い換えれば，異分野の課題の中に数学が適用できるニーズや新しい数学が生まれるシーズを見出す--ことも重要であります．

先ず隗より始めよで，SGKは毎年7月22日に数学月間懇話会を開催しています．
これまでのテーマを見て見ましょう．
（資料１）**********
◆数学月間懇話会10年の記録
第1回（2006.07.22）会場：シーボニア
数学月間のπとeの連分数展開，公開鍵暗号　山崎圭二郎
数学と社会　　　　　　　　　　　　　　 　真島秀行
ゲストスピーチ　　　　　　　　　　　　 鈴木裕道
第2回（2006.08.06）会場：議員会館
財政再建と数学：TQC手法　　　　　　　 （日科技連）
第3回（2007.07.22）会場：ルベソンヴェール
シミュレーション　　　　　　　　　　　 谷口健英
第4回（2008.07.22）
数学月間 　片瀬豊
ある数学者たちの物語 　 上野正
数学と基礎科学 　 谷克彦
秘宝－数学的オブジェの照明 　　　岡本和夫，河野俊丈
第5回（2009.07.22）
宇宙のかたち　　　　　　　　　　　 河野俊丈 　　　
造血幹細胞移植データベースと統計　　 田渕健
生体情報のゆらぎとフラクタル性　　　　 河野貴美子
MRIの数学的原理 真島秀行
第6回（2010.07.22）
手と目で観賞，数学曲面と多面体　　　　　手嶋吉法
教育数学の試み 　　　　　　　　　　　　岡本和夫
第7回（2011.07.22）
サイバー世界のモデリング　　　　　　　　北川源四郎
量子コンピューティングの考え方　　　　　荒井隆
米国MAM複雑系と日本の原発事故　　　　　谷克彦
第8回（2012.07.22）
物理化学の探検ー化学の中の数学の世界　　細矢治夫
じゃんけんの必勝法を論じて統計的思考に　石黒真木夫
第9回（2013.07.22）
考える楽しみわかる喜び　　　　　　　　　水谷一
最小二乗問題の新解法と逆問題への応用　　速水謙
数学祭り　　　　　　　　　　　　　　　　谷克彦
第10回（2014.07.22）
人口の集合関数としての「民力指数」　　　松原望
スパゲッティを巡る旅　　　　　　　　　　中西達夫
第11回（2015.07.22）
十年目の数学月間　　　　　　　　　　　　　　　　 　片瀬豊，高窪正明
サッカーボールの対称性を解くTopological Symmetry　細矢治夫
繰り返し模様の観賞法 　　　　　 　　　谷克彦
テーラー展開の話　　　　　　　　　　　　　　　　　　鈴木啓一
注）第4回以降の会場は，数理科学研究科棟・東大駒場キャンバス

次号に続く

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数学月間SGK通信 ［2015.06.09］ No.067
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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『数学 理性の音楽』，東京大学出版会(2015.4）刊行記念イベントが，
東京大学伊藤国際学術研究センター地下1階　ギャラリーにて開催された．
（6月8日，19:00-21:00）
同書の著者，東大名誉教授（岡本和夫・薩摩順吉・桂利行の三氏）による鼎談．

この書籍の副題は，自然と社会を貫く数学で，
まさに，数学月間のコンセプトが語られております．
ぜひ皆様が一読されることに期待し，ここでは書籍の内容には言及しません．
その代り，鼎談の内容を速報します（今夜，参加し帰宅したばかりでホットな情報です）．
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鼎談は，岡本氏の「数学の３つの側面」
ー道具としての数学．言葉としての数学，対象としての数学--の話から始まりました．
著者の3氏は，奇しくも歴代の東京大学大学院，数理科学研究科長です．
数学の大学院が理学部から抜けて，駒場に大学院数理科学研究科が創設されたのが
1992年のことで初代の科長が岡本氏，次いで薩摩氏，桂氏でした．
本郷キャンバスの理学部から大学院だけ抜けて，駒場キャンバスに
大学院数理科学研究科が設立できたのは，教養学部の数学の歴史があり，
基礎科学科もあったので，環境が整っていたことがあったようです．

20世紀の数学は，抽象化・純化に進んだわけですが，これは数学を学び難くしています．
どうも，学生・生徒たちは数学を人間が作ったという気がしないそうです．
完成された体系がそこにある．どうして生まれたかなど考える余裕もないようです．
完成された数学はそびえたつ山脈のようでとりつきがたい．
数学月間でも数学が生まれる所から親しむことを薦めています．

数学は役に立つのかというのは愚問です．
すぐ役に立っこともあるし，何十年もの後で役に立っものもあります．
岡本氏の研究したパンルヴェ方程式はソリトンの研究に使われるし，
暗号（公開鍵．楕円曲線），デジタル信号の誤り訂正，などの例が出ました．
1900年に，ヒルベルトは23の問題を出し，数学は抽象化の方向に進みだします．
同年，ポアンカレも人力で計算できるところまで行き着き，非可積分の方程式の
性質を示しました．その先はコンピュータの出現を待たねばなりませんでした．
現在はコンピュータによる数値計算が盛んで，非線形やカオス，分岐理論も研究されています．
モデリングやシミュレーションの現象数理科学も盛んです．

私は数学と数理科学の違いを質問してみました．
数理科学は数学のように厳密な証明の手順がないのではないか．
それとも数理科学というのはコンピュータを用た数学であるのか．
などという漠然とした感じがあったからです．
結論は，どちらも同じである（ニュアンスの個人差はあるが）という事でした．

コンピュータで計算は万能かというと，そうでもないようです．
例として出されたのは調和級数：
1/1+1/2+1/3＋・・・+1/n＋・・・＝lim_n→∞（log n）=∞
ですが，ｎをずいぶん先までたし行っても，対数ですから級数はなかなか∞にはなりません．

最後に岡本氏が面白い計算を提示しました．
方程式の問題より，数の問題の方が奥が深いということを象徴するためです：
2×3×5×7+11=13+17
2^2+3^2+5^2+････＋17^2=1+2+3+････+36=666

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数学月間SGK通信 ［2015.06.02］ No.066
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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日本数学協会・第14回総会および講演会のお知らせ
日時：　2015年　6月7日，
場所：　東京大学数理科学研究棟（駒場キャンバス）
11:30～12:30　総会
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13:30～15:40　講演会
13:30～14:30
「十年目の数学月間，これまでとこれから」，片瀬豊・谷克彦（SGK）
14:40～15:40
「視覚と錯視の数学からアート，そして画像処理」，新井仁之（東京大学）
講演会にどうぞお気軽にご参加ください．
協会員は無料ですが，協会員外は参加費2千円かかります．

*******（私の話そうとしていること）*******
数学月間は，数学から社会を見ると同時に，社会からの要請を数学側が知る機会でもあります．
国内外の数学月間テーマのトレンドを見ると，ビッグデータや統計学，複雑系や非線形，
モデリングやシミュレーションの話題です．
これらはすべてコンピュータを駆使した数値計算によって可能になった分野です．
これまでの数学とは違う新しい数学分野が生まれているところと言えるかもしれません．
1900年ポアンカレは，独立な因果列からなる可積分の方程式はごくわずかで，
大部分の方程式は非可積分（干渉し合う因果列）であると警鐘をならしました．
明日の一つの出来事には，今日の全ての出来事の影響が反映される世界です．
遠方の地で過去に起きた蝶の羽ばたきが，この地の明日の大風を引き起こす要因の一つになり得る
「バタフライ・エフェクト」の世界です．
ちょっとした初期パラメータの違いでカオスが起きるかもしれません．
これらは方程式を積分して関数で書き表すことは不可能ですが，
コンピュータを用いた数値計算で現象の追跡ができます．
モデリングとシミュレーションにより現実の現象を理解する
「現象数理科学」がさまざまな分野で発展しています．

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数学月間SGK通信 ［2015.05.26］ No.065
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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これは私の造語です．あまり耳慣れない言葉ですが，とても気に入っています．
結晶学では「空間格子」という言葉がでてきますが，「空間のデジタル化」はこれと同じ状況の表現です．
空間のデジタル化とは，「空間を，１つの多面体を並べ（面と面が接するよう）て隙間なく張りつめること」
を意味します．例えば，角砂糖のような立方体を並べて，空間を張り詰めたとすると，
このデジタル化された空間の対称性は，立方体の対称性と同じであることはわかりますね．
”立方体（A)”と同等な対称性の多面体で，空間のデジタル化ができる多面体に，
面心格子を生む”菱形12面体（B)”と，体心格子を生む”ケルビン立体（C)”があります．
これらは立方体の対称性に分類される3種類の空間充填です（Fig)．
（この図はpov-rayを用いて作成しました）
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/85/16728485/img_0_m?1432564271

1種類の多面体を互いに面が隙間なく接するようにして空間に詰め込んだ状態を想像してください．
この状態が空間のデジタル化です．
空間のデジタル化の様式を分類したいなら，多面体の対称性に注目すべきでしょう．
一様で連続的な空間が，デジタル化によって，異方性があり周期的な空間に変わります．
無限に広がる空間が，単位となる１つの多面体に還元されます．
すでに，アモルファスと結晶の項目で述べましたが，デジタル化された空間はシンプルで扱いやすい．
このような空間を「結晶空間」と言います．
一寸脱線しますが，連続信号をサンプリングして得たデジタル信号の周波数帯域が抑えられるのと似ています．
結局，3次元では14種類の空間のデジタル化の様式があり，
これは結晶学でブラベー格子が14種類ということと同じことです．

(注)2種類の多面体を使って空間を充填することもいろいろ考察できます．
例えば正8面体と正4面体を使って空間を周期的に充填します．
2種類の多面体の混合による空間の充填では，必ず周期が生じるかといえばそうでもありません．
ペンローズのタイリングに相当する3次元非周期充填もあり得ます．

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数学月間SGK通信 ［2015.05.19］ No.064
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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このような不思議で奇麗な法則があります．
https://www.facebook.com/maxplancksociety/photos/a.10150979253928376.447707.324380493375/10153218754768376/?type=1

1³ + 5³ + 3³ = 153
16³ + 50³ + 33³ = 165033
166³ + 500³ + 333³ = 166500333
1666³ + 5000³ + 3333³ = 166650003333
and so on and om and on!

不思議な数式です．証明してみたくなるでしょう．
いや，なぜこのようなことが起こるのかが知りたいですね．
別の話ですが，似たような数式がまだあります．
ただし，こちらの場合は「数字の桁数が増えていっても，いつも成り立つ」
という性質ではありません．
https://twitter.com/Derektionary/status/484852762102857730

166³ + 500³ + 333³ = 166,500,333
296³ + 584³ + 415³ = 296,584,415
710³ + 656³ + 413³ = 710,656,413
828³ + 538³ + 472³ = 828,538472

閑話休題．初めの不思議な法則の証明法の問題に戻りましょう．
考え方は人さまざまで，証明法には色々あるでしょう．
論理が正しくて，命題が証明されるのならば，どのような証明方法でも正解です．
それでも，「美しい」証明とか「エレガント」な証明とか言われるものがあります．
そのような証明は，「命題の本質にズバリと触れている無駄のないシンプルな証明」
のことだと私は思っています．
補助線一本で解けてしまう図形問題の証明などはその例でしょう．
力ずくで計算して証明できても，命題の本質や現象の起こる仕組みが見えていないのでは，
本質にズバリと触れているとは言えません．
本質や仕組みがわかるということは，その仕組みを基礎とするもっと幅広い命題にも適用できる．
つまり「一般化できる」証明法でもあり価値が高いと思います．

小林昭七先生が「数学と美」というエッセイを，「いまを生きるための教室」角川文庫の中に掲載しています．
（私は小林先生がお亡くなりになる直前の夏の日本滞在中にお会いしこの本を頂きました）
この本から以下の部分を引用しておきます：
「他の科学と同様，数学でも新しい結果は重要である．しかし，数学では既に知られている結果の
別証明や新しい見地からの解釈もかなり評価されている．定理の本質を理解させるような証明，
「なるほどそういうことだったのか」と思わせるような美しい証明は，それが既知の定理の
証明であっても高く評価される」

「数学は美しい」と良く言われますが，美しいと言われても漠然として私にはピンときません．
これを言い換えるなら，「シンプルである」，「本質を見抜いてそれに言及している」，
「話を逸らさないで真摯に課題に集中している」という意味でしょう．

「問題の本質の議論から逃げて，話をそらし，周辺の議論にすり替える」という手法は，
政治や社会で良くみられることです．特に，今の安倍政権では目にあまるものがあります．
「丁寧に説明していく」とよく言いますが，これは聞く耳を持たないと言うことです．
我々の方が説明してあげたいくらい十分な知識があります．国民をバカ扱いしないでもらいたいものです．
論理や数学を軽視する社会に公正はありません．数学月間活動をもっと社会に広げる必要がある所以です．

もう一度，閑話休題で，この不思議な式に戻りましょう．
皆さん証明を考えてみてください．
n桁の数字を　$$ (x_n), (y_n), (z_n) $$と書くと，
　$$(x_n+1)=10(x_n)+6，(y_n+1)=10(y_n)，(z_n+1)=10(z_n)+3$$

$$(x_n)^3+(y_n)^3+(z_n)^3＝(10^2n)(x_n)+(10^n)(y_n)+(z_n)$$　が成立するとして，数学的帰納法で
力ずくで計算して証明することはできるでしょう．でも計算は大変ですし本質は別の所にありそうです．
この問題の本質が何処にあるのか私にもまだ理解できません．皆さん良い証明が出来たら教えてください．
ポイントは循環小数のように続く数字と数の表記法（10進法を使っている）にあるように思います．
多分，以下の表式が利用できます：
$$(x_n+1)＝(1+6/9)(10^n)-6/9，(y_n+1)＝5*(10^n)，(z_n+1)＝(3+3/9)(10^n)-3/9$$　

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数学月間SGK通信 ［2015.05.12］ No.063
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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2015年米国MAMのテーマ
「数学がキャリアを動かす」
（http://www.mathaware.org/mam/2015/highlighted/ より）

自分のキャリアに数学を利用している実在の人物
数学の才能や嗜好を報酬や多様なキャリアに変えた17人

数学が好きだが，数学専攻者にアカデミック以外のどのような仕事があるのかわからない？
幸いなことだが，「数学を専攻するのは今でしょう」というわけだ．
なぜなら，数学がイノベーションの原動力であるようにキャリアも運ぶからだ．
数学の才能と嗜好を，実業界や工業界や政府での多様なキャリアと報酬に替えた17人が紹介される．
彼らが影響を受けたものやそのキャリア・パス選択を見ることは，
アカデミックの外にキャリアを探す数学専攻者にとって，ユニークな見通しや有用なアドバイスになるだろう．

詳しく知るには
http://www.mathaware.org/mam/2015/highlighted/#sthash.gXM8A0oh.dpuf
に17人のプロフィールがあります．17人のうちIBM研究所の人が2人います．
そのほかは，data scientistという人が多いようで，
これらは統計学やコンピュータを用いた数学分野です．

■代表的なプロフィールの例
プロフィール：Jean Steiner
データ・サイエンティスト，Google社，ニューヨーク

私は、工学分野の広告組織Googleのデータ科学者です．
広告主が彼らのgoogle AdWordsアカウントを
どのように管理したらよいかを理解するためにデータを分析し，
彼らに良いツールの提供ができ，彼らのアカウント管理が容易になるようにしています．
私はデータから話を引出し，我々のソフトウエア技術者が良い製品を作るのを助けます．
データ・サイエンティストという役割をする人のほとんどは，
統計学，生物情報学，認知科学，物理学，数学，経済学などの背景を持っています．
私は，アカデミックの場の純粋数学からスタートした
（博士号を取った後，ポスドクフェローシップで研究と教育を行った）．
そして，私はやはり定量的であるが，応用的な何かをしたいと思った．
多くの可能なキャリア（例えば、疫学、定量的な金融、経営コンサルティング）
を探しての情報インタビューの結果，Googleで私の関心にぴったり合った仕事を見つけた．
データ解析と，わずかばかりの軽量シェル·スクリプト（コーディング），
ビジネスへの関心が組み合わさっている仕事だ．
当初，私は金融機関で，収益予測，分析，報告をしていたが，
最終的には，より深い分析とより少ない報告を望んでいたので，
データ・サイエンティスの役割に移動した．

■個人的な感想－－－－－
今年の米国MAMのねらいは，数学者の働き場所は大学教授や教員の他にも広範な分野があり
需要があるということにある．「だから数学を学ぶなら今でしょう」という調子だ．
この状況は日本でも全く正しいとは思う．

しかし，今年の米国MAMのキャンペーンのなかで，数学のキャリアは年収が高いとか言うのは眉唾物だと私は思う．
2014年度の高年収職業ベスト10とかワースト10とかは馬鹿げたデータだ．
だいたい高収入が欲しくて数学を専門にするなどおかしな話だ．
17人のプロファイルもそれほど面白くない．
広範な各分野で具体的にどのような数学を用いた仕事や研究をしているのかを知りたいと思ったのだが，
週刊誌の表題程度のレポートで，本年の米国MAMの内容には失望した．

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数学月間SGK通信 ［2015.05.05］ No.062
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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ゴールデン・ウイークの最中です．
皆様，よい休日をお過ごしでしょうか．
今週は2つの本を紹介しようと思います．

■「数学を楽しむ」西山豊，現代数学社
6174の不思議はこの本のp.130に出ています．

数学はなんでも証明されているかというとそうでもないらしい．
6174の不思議さを理解するのはちょっと大変．私はまだわかりません．
でも，6174に関する不思議な命題が成立しているのは事実です．
　
6174の各桁の数字の並びを変えて，最も大きい数字を作ると7641，
最も小さい数字を作ると1467です．
最大数字と最小数字の差は　7641-1467＝6174　になってしまいます．
6174という数字は不思議ですね．

いろいろな4ケタの数字で実験してみます．例えば，
2005なら
5200-0025＝5175
7551-1557=5994
9954-4599＝5355
5553-3555＝1998
.....
このような操作をカプレカー操作というそうです．
（カブレカーはなんでこんな操作を思いついたのでしょうか不思議です）
頑張って，この先をもう少し繰り返して行くと，結局6174に到着します．
全部同じ数字の場合を除き，どのような4ケタの数かtら出発しても
6174に到達するそうです．不思議ですね．なぜなのだろうか？

西山さんはプログラムを作り，パソコンですべての4ケタの数が，
有限回のカプレカー操作で6174に達することを確かめ，系統図をつくりました．

そのほかの桁数の数字ではどうかというと，
3ケタでは存在するけれど，5ケタでは存在しないそうです．

事実は確かめられましたが，なぜこのようなことが起こるのか？
その仕組みをしりたい．数学の不思議さを感じる例です．

■美しい幾何学，　丸善
高木隆司監訳
Eli Maor and Eugen Jost

ルネサンスの時代は，数学とアートの活動は協力して行われ，
心の中で補い合うものと考えられていた（イーリーによるまえがきより）．
オイゲンの数学的アートと数学者（数学史）イーリーの協同でできた本書は珍しい数学の本です．
説明には微積分などは出てきません．子供から大人まで数学アートを鑑賞しながら読み進むことができます．
テーマは系統的な幾何学とは異なります．初級の幾何学もあれば無限級数などもあります．
さらに意外なテーマが現れたり変化に富みます．
取り上げられたいくつかのテーマを見てみましょう．例えば，シュタイナーの円鎖．
これはアルベロスとかインドラの真珠などと呼ばれることもあります．
円の中に互いに接する円を詰め込んだ美しい図形です．円による反転操作もあります．
この図形は和算の算額にも登場しますが，それにも言及しているのは著者の専門が数学史だからでもあり，
本書の構成にもそれが現れています．本書の前半に，ピタゴラスから始まり，
素数，無限級数の収束，ユークリッドなどのテーマが現れます．
さらに続くのは，円周率，積み木による調和級数，自然対数の底，らせんや種々の曲線などです．
これらの説明も，数学アートの図が活きていて面白い本です．
本書の後半には，スノーフレーク曲線，シェルペンスキーの三角形などのフラクタル図形の特徴も，
美しく理解しやすい図による記述があります．

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数学月間SGK通信 ［2015.04.28］ No.061
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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面積がゼロで，周囲が無限大のフラクタル図形

フラクタル図形というのは，図形を拡大していくと，
どんどん細部が見えてくるが，それらがいつも同じ図形なのです．
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6a/Sierpinski_zoom.gif

そのような図形のうち，ポーランドの数学者シェルピンスキーの図形の作り方を見てみましょう．

(1)シェルピンスキーのガスケット
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/58/16668258/img_2_m?1429928123

正3角形から出発します．正3角形を4分割して真ん中を通り覗きます．
残った3つの正三角形をそれぞれ4分割して，それぞれの真ん中を取り除きます．
この操作を際限なく（無限に）繰り返して得たフラクタル図形はシェルピンスキーのガスケットです．
面積は0に収束し，境界の長さは無限大に発散します．

(2)シェルピンスキーのカーペット
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/58/16668258/img_3_m?1429928123

正方形から出発し，9分割し真ん中の正方形を取り除きます．
残りの８つの正方形をそれぞれ9分割して，それぞれの真ん中を取り除きます．
この操作を際限なく（無限に）繰り返して得たフラクタル図形はシェルピンスキーのカーペットです．
やはり，面積は0に収束し，境界の長さは無限大に発散します．

これらの図形は，1次元でも，2次元でもありません．
「長さがx倍になった領域に，現在の図形をy個詰め込む」という操作を繰り返したわけですが
　　x^d=y　（dはフラクタル次元）　より，フラクタル次元は　d＝logy/logx　です．　
フラクタル次元は，(1)ガスケット3角形では1.585･･･，(2)カーペット4角形では1.89････になります．

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数学月間SGK通信 ［2015.04.21］ No.060
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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■結晶とガラスについての話です．
まず，石英（水晶）と石英ガラスの2次元の模式図を見て下さい．
図はwikipediaから借りました．どちらも材料の化学式はSiO2で同じです．
Fig.1　結晶
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/fd/SiO2_-_Quarz_-_2D.png
Fig.2　ガラス
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/19/SiO2_-_Glas_-_2D.png/240px-SiO2_-_Glas_-_2D.png

結晶とガラスの違いは一目瞭然でしょう．
そう，結晶構造には繰り返し周期がありますが，ガラスにはありません．
Fig.3に示すように，結晶には単位となるタイルがあり，これで無限平面を隙間なく張りつめることができます．
石英の例では，正6角形のタイルを，赤点の場所に置けば，無限平面を隙間なく張り尽くせます．
赤点は格子点と呼ばれます．格子は，図中に示した2つの互いに独立なベクトルa1，a2の
一次結合ha1+ka2により生成されるベクトルを集めた無限集合（並進群）の図による表現でもあります．
Fig.3　結晶構造にある並進群
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/26/16652126/img_0_m?1429350335

■結晶空間は並進周期のある空間です．結晶構造は規則正しい秩序のある構造ですから，
並進操作以外にも回転対称操作とか鏡映対称操作などあり，
構造に存在するこれらの操作を続たとき生じる対称操作全体の無限集合は”群”をなしています．
生成される対称操作はこの集合に含まれるし，すべての操作に逆元があり，
何も動かさないという単位元もあります．
結晶空間（周期のある無限空間）の対称操作の集合のなす群を結晶空間群と言います．
今日，ここで扱ったような2次元の平面群（壁紙模様）は17種類あることが知られています．
並進（格子点間の移動）で重なるものは同値と定義すると，
無限に広がる結晶構造を，単位タイルの中に押し込めることができます．数学の言葉で言うと，
「並進群を核とする準同型写像で結晶空間群は結晶点群に帰着する」ということになります．
私はこの理論が大好きでした．しかし皮肉なもので，実際に扱った材料は結晶ではなく
群論の適用ができないガラスが中心になりました．

■ガラスの構造をどう解析し記述するかというのは，今日でも困難な課題です．
結晶で活躍する群論もFourier変換も役に立ちません．ガラス（一般化してアモルファスと言う）には，
単位タイルと言うものがありません．結晶構造では，
無限にある構成原子のパラメータは単位タイルに含まれる有限個に還元することができましたが，
ガラスでは無限個の構成原子のパラメータを減らせません（実際にコンピュータで扱うのは有限個）．
結晶空間は単位タイルによってデジタル化された空間，他方，アモルファス空間は連続空間（アナログ空間）です．
ガラス構造では，結晶のようにすべての構成原子のパラメータを記述するのは諦めねばなりません．
そこで古くから，1つの原子を中心に置いて．半径r+Δrの球殻上に何個の原子が存在するのか
というような確率的な記述（動径分布関数）が用いられてきました．
最近は，アモルファス構造を特徴づけるいくつかのトポロジー量を定義することもやられています．
Fig.2を見るとリングがたくさん見えるでしょう．ガラス構造の中に，何員環がどれだけ存在するかとか，
ベッチ数とか連結数などの特性量，さらにパーシステントホモロジーの計算がなされ，
これにより詳細なアモルファスの特徴量が得られるようになりました．
これらのトポロジー量は，大きな原子数のアモルファス構造のモデルから，
シミュレーションにより決定された原子の座標値のビッグデータを土台に導出されます．
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（編集後記）
今回のメルマガでガラスの構造について書こうと思ったのは，
4月16日の文科省の講演会「数学は世界を変えられるか？」で数学イノベーションの紹介例3つの内に
ガラス構造への応用トポロジー（東北大）があったからです．
この講演会の主旨は，数学と社会・諸科学の連携です（ガラス構造の研究発表ではありません）．
数学連携に関する個人的感想は（メルマガ分量オーバーのため）．以下のサイトに書きました：
http://sgk2005.sakura.ne.jp/htdocs/index.php?key=joth4d0ko-36

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数学月間SGK通信 ［2015.04.14］ No.059
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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図
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/556225/69/16381169/img_0_m?1428931802

計算することも大事ですが，このような感覚を体に身に着けることは有益です．
有限個の積み木を積んで長さの記録を競います．
無限個の積み木を積むなら，少しずつですが無限に伸びる対数曲線ができます．
（例１）発散する無限級数を体験する
　　１+1/2+1/3+1/4+.......+1/n+....=∞
積み木の長さの半分を１とする．
一番上の積み木の飛び出している長さは１
その下の積み木の飛び出している長さは1/2
その下の積み木の飛び出している長さは1/3
.....以下同様にいくらでも続きます．

（例２）収束する無限級数を体験する
　　1/2+1/4＋１/8＋1/16+........=1
総和でできる立方体の体積を１とする．
立方体の内部の1/2の体積(オレンジ）を取り除く
残りの体積から残りの体積の1/2（グリーン）つまり立方体の（1/2）^2を取り除く
その残りの体積の1/2（青）つまり立方体の(1/2)^3を取り除く
その残りの体積の1/2（赤）つまり立方体の(1/2)^4を取り除く
......以下同様にいくらでも続きます．

私達は子供の頃，積み木を積んで遊びました．そして自然に重心や釣合の感覚が身に着きました．
水遊びをして流体の性質を自然に身に着けました．
後に学校で物理学を学びますが，そのような理論を学ばずとも重力や力学の法則が身に着いていました．
身に着いていなければキャッチボールもできません．
吹きガラスの職人になるには，熔融ガラスの振る舞いを瞬時に判断できることが
身に着いていなければなりません．数学でもこのような体験は大事なことだと思います．