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「美しい図形と奇妙な空間」
 
東京ジャーミイ（代々木上原，東京）にある装飾です．左写真は祭壇の横にあります．
イスラム特有の美しい複雑な図形です．右の写真はステンドグラスです．
これらの図形の美しさの原因の一つは，これらの図形が黄金比だらけだからでしょう．

もう一つの原因は，折りたたまれた空間のような不思議感じがあるからでしょう．
図の一番左は辺の長さが黄金比の2等辺三角形です．
つまり底辺を１とすると，等しい２辺は1.618...
真ん中の図は，正5角形の中にできる星形で，
星の頂角は黄金比の三角形にでてくる頂角36°と同じです．
一番右の図は，この星型とこの星型を180°回転したものを重ね合わせたものです．
東京ジャーミイの美しい図形は，星形を２つ重ね合わせたものになっているのに
お気づきでしょうか．

星形を2つ重ねた図形の対称性はどのように記述しましょうか．
まず，星形の対称性は．点群5mです（５は5回回転対称軸，mは鏡映面）．
重ねた図形には，2回回転対称軸２があるので部分群として点群２を含みます．
結局，２つの点群の直積として2⊗5m＝10mmの点群になります．
あるいは，星形5mを「法」にすると，10回回転操作（36°の回転）は
｛１，10(mod5m)｝のような，位数2の点群としても理解できます．
この考え方は，奇妙なもので，36°回転を2回続けると元の星形に重なるから
振り出しに戻ったと見なすわけで，我々の3次元ユークリッド空間では
360°回転しないと元に戻らないのですが，この奇妙な空間があるとすると
2x36°＝72°回転すると元に戻ることになります．

菱形12面体が見える万華鏡を作りましょう．少し厚手（0.25mmとか0.31mm）のミラー紙（B5版）が手に入ると，簡単に作れます．
菱形12面体とは図１のような形で，空間を隙間なく埋め尽くすことのできる形でもあります．
菱形面ABA'B'を底面にして，立体の中心Oを結んだピラミッドADA'B-Oが，
中心のまわりに12個集まるとできる立体です．

①　ピラミッドABA'B-Oの側面OAB，OBA'，OA'B，OB'Aを鏡面にした万華鏡を作ります．非対称領域1/12
②　ピラミッドABA'B-Oの半分のABB'-OやABA'-Oでも万華鏡が作れます．非対称領域1/24
③　さらにそれらの半分のABH-Oも万華鏡が作れます．非対称領域1/48

菱形12面体の内部には立方体が含まれますので，
立方体の１辺を2とすると，菱形面ABA'B'の対角線の半分の長さは，
AH=1，BH=√2で，OH=√2，OA＝√3，OB=2となります．

                          図 1　                                                                            図2

 底面（＝菱形面ABA'B'）と頂点（立体の中心O）を結びピラミッドABA'B'-Oを作ります．ピラミッドの内面を鏡面とし，外部（ピラミッドの底側）から頂点Oを覗く万華鏡です．
ピラミッドABA'B'-O，あるいは，底面が直角3角形ABHのピラミッドABH-Oの2種類の万華鏡ができます．ピラミッドの各所の寸法は図２に示します．この寸法を用いて，作った展開図を図3a，bに示します．どちらの展開図でも，Oの周りのグレーに塗った部分は切り取り，窓（＝光の面）を開けます．それぞれの転開図で端辺どうし（左図ではOA'，右図ではOB）を，それぞれ貼り合わせると完成（写真は図4a，b）です．

展開図のグレーに塗った部分は切り取りる．

図3a,　図3b
実際に作る寸法はこの4倍位にすると良い．

完成した万華鏡の外側．鏡面はピラミッドの内側．

図4a　　　図4b

（a)および(b)に対応する万華鏡像

■２つの万華鏡はどちらも菱形12面体像が見えます．図4aのピラミッドには図4bが４つ入ります（図4bの非対称領域は図aの1/4）ので，図4bの万華鏡の方が「菱形面に2mmの対称性があり」，図4aの万華鏡より対称性は高いのです．

■菱形12面体の見える他の万華鏡の例は，⇒ここに掲載します．

トレチャコフ美術館展のポスターを飾る．19世紀末から20世紀初頭のロシア絵画の代表作，クラムスコイ作の「忘れえぬ女」は印象に残ります．表題のНеизвестнаяを直訳の「見知らぬ女」でなく「忘れえぬ女」とした翻訳は実に上手いですね．
この女性が誰だか謎です．すべてのものをありのままに見通すようなまなざしは，実に魅力的です．何も恐れず媚びず，勇敢にまっすぐにみる．あらゆる欺瞞を見抜いているようです．

トレチャコフ美術館展で気に入った絵画がありました．子供の世界のコーナーに展示されている「楽しいひととき」です．作者は，アントニーナ・レオナルドブナ・ルジェフスカヤ（女性）．Антонина Леонардовна Ржевская
ルジェフスキー家のレオナルドの娘アントニーナというわけで，ロシアの標記では，父称からも姓からも女性ということがわかります．この絵画は，男名のА Л Ржевский　と署名し1897年の展覧会に出品しました．

この絵画はパーベル・トレチャコフの目に留まり彼の所蔵となりました．
当時は絵画は男の仕事になっており偏見を心配したためです．

(注）父称や姓は，アントニーナ（女性名詞）を修飾する形容詞ですから女性の語尾変化をし，女性であることが明示されてしまいます．
彼女は没落した貧しい領主の家に生まれました．アレクサンドル2世による農奴解放令は1861年だが，農奴は土地を買わなければならなかったので不徹底改革でしたが，没落領主もあったでしょう．調べたら父は早く死に母と苦労したようです．
1880年にモスクワの絵画・彫刻・建築学校を卒業しました．
1899年に正式に移動派のメンバーになりました．
私立女子学校で教えたり，1920年には骨疾患の子供達のための教育芸術スタジオを組織しボランティア活動をしました．
「楽しいひととき」はこの絵です

エントロピーといえばボルツマンを思い浮かべます．天才ボルツマン（オーストリアの物理学者）の墓碑には，S=klogWと刻まれているそうです．Sはエントロピー，Wはとり得る微視的な”状態数”，kはボルツマン定数です．
対数をとると，log(A･B)=logA+logBのように，積が和になりますので，加算量であるエントロピーと，微視的な”状態数”という積で増加する量とを結び付けるには，対数の登場となるわけです．
熱力学のエントロピーのクラウジウス（1865年）による定義は，系の温度をTとし，可逆過程で熱量δQが系に流入すると，dS=δQ/Tだけ系のエントロピーが増加するというものです．
系の内部エネルギーやエントロピーは状態量です．状態量ならば，系の２つの状態間で，変化経路にかかわりなく，状態量の差が一意に確定します．従って，系のある状態から出発し一回りして戻る経路積分をすると積分値はゼロです．状態量として系の内部エネルギーを例にとると，∲dE=0．このような性質のdEを全微分といいます．
熱や仕事の流入がないとき内部エネルギーは保存（熱力学の第一法則）されます．
閉じた系の内部で何か変化が起きても，その系のエントロピーは増大することはあっても減少することはなく，可逆変化の時のみエントロピーは不変（熱力学の第２法則）です．
系の微視的状態の数はW＝N!/(n_1)!(n_2)!･･･(ｎ_m)!通りで，ここで，P_iを状態n_iをとる確率（n_i＝P_iN，Pi=1）とし，
スターリングの公式を用いlogWを近似すると logW=-(P_i)Nlog(P_i) が得られます．

情報エントロピーの定義もこれと同じ形になります．エントロピーを微視的な状態数の表現と解釈すれば，エントロピーが大きいと可能な状態数が多く，エントロピーが小さいとは予想がしやすいということです．