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数学月間SGK通信 ［2018.11.06］ No.240
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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私は色々な万華鏡を作っています．
今日は万華鏡のクイズを２つ載せますので，お考え下さい．
(1)2枚鏡（ブリュースタ）の万華鏡
Q:
下の２つの映像は，2枚鏡のある万華鏡を観察したものです．
ワンドの中のガラスくずの流れとともに，映像はいろいろに変化しますが，映像の対称性はいつも同じです．
そのわけは，生じる映像にはいつも万華鏡の鏡室の対称性が反映されるからです．
それでは，この万華鏡の2枚鏡の交差角度は何度でしょうか？

  (2)正多面体の見える万華鏡
Q:
次の写真は万華鏡の映像です．正８面体（緑）と正6面体（青），正4面体（赤）が同時に見えています．
これは，3枚鏡の万華鏡ですが，どのような鏡の組合せでしょうか？

ーーーーーーーーーーーーーーーーー

  A　

（１）

（２）
正８面体（緑）と正6面体（青）の対称性は同じなので，空間中の非対称領域（3枚の鏡が囲む空間＝鏡室）は同じですが，
正4面体（赤）の非対称領域はこの2倍の大きさです．
したって，これらの3つの正多面体が同時に生じているということは，
正4面体の非対称領域がこの万華鏡の鏡室であることが必要です．
万華鏡の3枚の鏡は，それぞれ，青，黄緑，赤紫で示した平面で，この３平面はO点で交わっています．
左図は正4面体の鏡室，右図は正8面体と正6面体の鏡室です．

この万華鏡は，正4面体の鏡室の場に，一番右の図に示すように物体（緑）を置いたり，
光の線分（赤，青）ができるようにしてあります．

この透明な立方体の箱（単位胞）が周期的に並ぶと，ページ65の空間の充填ができます．結晶はこのように単位胞が並んだ周期的構造です．
小梁（OSA工房）のパズルは，単位胞だけ取り出して充填させるパズルです．

 　　図１　　　　　　　　　　　　　　　　　　　図２　　　　　　　　　　　　　　　　　　図３
図１は，透明な単位胞の底面中央に正8面体の上半分が見える様子です．この正8面体の残りの下半分は，見えませんが立方体の底面を突き抜けて存在します．
周期的な空間ですから，透明な箱（単位胞）の天井と床は同じもので，天井から箱内に向かって存在とイメージすると良いです．
単位胞内の底面の4隅には正8面体の1/8が見えます．この正8面体の残りの部分は，周期的な空間なので，図２のように立方体の壁を突き抜けて存在します．
図１のように並んだ正８面体の間隙には正4面体が４つ入ります（図３）．

 　　図4　　　　　　　　　　　　　　　　　　　図5　　　　　　　　　　　　　　　　　図6

透明な単位胞の６つの面に，半割の正8面体を図4のように貼りつけました．単位胞内に6つの半割正8面体が入っています．単位胞の中心で，これら６つの半割正8面体の頂点が出会い，正8面体は稜を共有してつながります．
単位胞の中に含まれる正8面体の数は，半割正8面体6個と単位胞の8つの隅に1/8の正8面体がある（6×1/2＋8×1/8）ので4個です．
図4をよく見ると，単位胞の内部にあるこの多面体（注）には8個の正4面体の間隙があることがわかります．従って，このような単位胞が繰り返される空間は，充填される正8面体と正4面体の個数比は1:2です．
注）半割の正8面体6つと，正4面体８つでできる多面体は，半正多面体｛3,4,3,4｝です．

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数学月間SGK通信 ［2019.03.05］ No.257
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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皆様いかがお過ごしでしょうか．ひな祭りも過ぎ春がもうすぐです．
ご存知の方も多いと思いますが，yahooブログが今年で閉鎖されることになりました．
私は，数学と社会の架け橋＜数学月間＞を，yahooブログに書き続けていますが，
現時点で延べ47,917人の訪問者があるし，お友達もできて，この縁を続けたいと
対策を考えています．数学月間の会は，https://sgk2005.org/にホームページがあります．
加えて，新しいサイトhttp://sgk2005.saloon.jp/　を準備中で，そこにはブログのコーナーも設け
yahooブログもここに集積するつもりです．
しかし，現在，要の役割をしているyahooブログの地位は捨てがたいので，これに代わる
新しいブログサイトも何処かに開設しお知らせしますので，皆様との縁が続きますよう願います．
そのようなわけで，要のyahooブログが今移動準備状態で，
メルマガで使う図はyahooブログからのリンクで入れていましたので
本号のメルマガ257号は，文章だけとなります．

■液体のジュースの缶と凍らせたジュースの缶があり，斜面を転がしたらどちらが速いでしょうか？
質量は同じで，直径の大きい缶と直径の小さい缶があり，斜面を転がしたらどちらが速いでしょうか？
このトッピックスは，中西達夫著の微積とラグランジアン（工学社）に載っています．
ネットを検索してみると，これらの話題は各所に見受けられます．
中西氏の本では，このような物理（運動）の実験から，問題を解くための微積などの
数学概念手法を説明します．その数学理論が生まれた場に立ち戻り数学を作ろうというのが
数学月間流の数学理解の仕方です．大変読みやすく興味深い本なのでお勧めします．

表題の物理の問題は，缶が斜面を転がる運動は，重心の移動と重心の周りの回転の
両者の重ね合わせと考えます．斜面の上端で静止状態の持つ位置エネルギーが
重心移動の運動エネルギーと重心周りの回転運動のエネルギーに変わります．
すなわち，回転運動のエネルギーに費やされる分だけ，
重心移動の運動エネルギー（1/2）mv^2は小さくなります．
回転させにくい程，回転に多くのエネルギーを使います．
缶の中が凍っている方が回転させにくいし，半径の大きい方が回転させにくいので，
液体の入った缶の方が速く転がり，直径の小さい缶の方が速く転がります．

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数学月間SGK通信 ［2019.03.12］ No.258
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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数学への興味を喚起するさまざまな活動が米国では行われてきました．
教授法の優れた教師の表彰や数学啓蒙の優れた記事を書いたジャーナリスト表彰も行われています．
このたび，Math + Literature = 2019 Mathical Book Prize Winners!の発表がありました．
数学科学研究所（MSRI）は，2-18歳の若者向けの優れた数学文学書（フィクションとノンフィクション）
の2019年の受賞者を発表しました．今年で5年目だそうです．
数学+文学=the Mathical．対象学年別グレード分けがあります．

■3-5学年用の受賞作品
The Miscalculations of Lightning Girl by Stacy McAnulty(Random House Children’s Books)
「雷に打たれた少女の誤算」を紹介します：

12歳のルーシー・キャラハンは4年前に雷に打たれて気を失い心臓が止まったのですが，
アパート管理人が除細動器を使い心臓が再び動き出し救われました．
手をやけどしただけで，変わりないようでしたが，実は数学の天才になっていたのです．
突然，難しい計算をすることができました．医師は後天性サバント症候群と診断しました．
ルーシーの脳は落雷によって損傷を受け，彼女の左脳の一部が閉鎖され，右脳が余計に働くようになった．
ルーシーは高度な数学的計算，暦の数学，数学的パターンの認識を行うことができ，
あらゆる数字が色や形を持つものと認識するようになったといいます．
その他，おかしな習慣がルーシーにできました．細菌を恐れ、触れるあらゆる表面を消毒するようになり，
座る前に3回座る立つを繰り返す儀式が必要になった．
また，何でも読む前に，そのすべての単語を数えることが必須になりました．
彼女の奇妙な習慣のために，ルーシーはホームスクールで学びます．
そして今12歳で高校レベルを通過しました．彼女は大学に進学したいのですが，
彼女の母は大学に行くには若すぎると思っています．
ルーシーの伯父さんも，公立学校に通わせるという母に賛成し，ルーシーは７年生に入学します．
ルーシーは中学校に行きたくはなく大学に行きたい．彼女は自分がオンラインですべてを行えると信じています．

ルーシーは中学で2人の友人を作ります．
ミュージカルが大好きでルーシーの奇妙さに興味をそそられるウィンディ・シットンと，
写真が大好きな男の子リーバイ・ボイドです．ルーシーはからかわれて，「クリーニングレディー」とあだ名されます．
彼女は自分の数学の天才を隠すために，テストでわざと間違えるべき質問の数を計算したりもしす．
ルーシーは自分の数学の能力を使って，ウィンディとリーバイのグループをクラスプロジェクトで支援し，
2人のクラスメートとの友情が深まりますが，ルーシーは自分が数学の天才である秘密は守れると思っています．
しかし、ルーシーは数が特定の事を予測するのを助けることができるが，
人生のすべてが数学方程式で決定されているわけではないことを認識し始めます．
ルーシーは彼女が信頼と友情の意味について多くの誤算をしていることを発見します．

■6-8年生用には，「アポロ8号の宇宙飛行士と先駆的な女性数学者の感動的な実話」が受賞しました．

シリカガラスSiO2の軟化点は1700°Cと高温です．ガラスには明確な融点はありません．初めから乱れた構造ですから液体状態の個体ともいわれます．固体での変形が起こるのは軟化点～1900°Cあたりまでで，それ以上の温度では液体になります．シリカの正4面体ネットワーク中の所々にCaイオンやNaイオンが入ったものが，ソーダーライムガラス（青板ガラスとも呼ばれる）で，ガラスの融点も軟化点も下がり成型が容易になります．しかし，Naの熱振動振幅は大きく，ガラスの熱膨張率は大きくなります．ホウケイ酸ガラスは，ホウ素Bを添加したガラスで，ナトリウムNaの量を減らせるので，熱膨張率を小さくできます．これがpyrexパイレックスガラス（Corningの商標）で軟化点は820℃位で，Nonexという非膨張ガラスの処方も開発されました．パイレックスガラスは，キッチンのベーキング皿にも，温度計にも，ビーカーなど理化学機器にも，1949年に完成したパロマーのヘール望遠鏡の巨大鏡（回転放物面）にも使われています．この巨大鏡はパイレックスガラスの直径5mのガラスのキャストディスクで20トンもあります．この巨大なガラスのキャストディスクの製造では，アニーリング・オーブンに入れて10か月もかけて徐冷したそうです．これを現場に運び凹面（回転放物面）に研磨しました．
しかし，2008年3月14日に パイレックス・ロール板が生産中止をコーニング社は決めました．パイレックスと言えば耐熱ガラスの代名詞で，理化学機器にも使われていますが，望遠鏡用の 大きなガラスも作らなくなりました．どうなることか心配です．コーニング社の製品は，スマートフォン用のGorillaGlassというカバーガラスやエレクトロニクス用の薄い強化ガラスにシフトしたようです．

コーニングガラス博物館は面白そうです．

昔，ギリシャのデロス島で疫病が横行しました．神の怒りを鎮めるために預言者の言により，アポロンの立方体の祭壇を2倍の大きさにしなければなりません．長さが2倍では体積が8倍になってしまいます．体積を2倍にするには，現在の立方体の祭壇の長さを１とすると，新しい祭壇の1辺の長さは2の3乗根=1.259921･･･にしなければなりません．直線定規とコンパスを有限回使ってこの長さを作るというのがこの難問です．プラトンも考えました．実は，２の3乗根の作図は，直線定規とコンパスでは作図不可能でした．この他に，任意の角度の3等分．与えられた円と同じ面積の正方形の作図も直線定規とコンパスを有限回使って作図することが不可能です．いろいろな人々が挑戦しましたが出来ませんでした．これらの作図が絶対不可能であることが証明されるまでに2,000年もの年月を要しました．
■直線定規とコンパスだけを有限回繰り返し用いて作図できる長さは，
与えられた長さの　加法，減法，乗法，除法，開平（平方根）　です．
開平を繰り返せは，2のべき乗根（4乗根，8乗根，．．．）は作図できますが，
立方根（3乗根）は作図できません．
従って，有理数が与えられたとき，それらの加・減・乗・除と開平の操作を有限回繰り返して得られる数（a+b√cの形の数）が，直線定規とコンパスで作図できる数字です．

参考：
長さの加法，減法はすぐわかると思います．
乗法，除法，開平の作図法は，方冪の定理（以下の図を参照のこと）を応用します．
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/50/18283150/img_0_m?1539587485

1ドル札と2ドル札のみを使い，n（整数）ドルを払う方法の数B(n)を求めましょう．

１．n=1のとき：2ドル札は0枚で，1ドル札1枚出すしか方法はありません：
　　方法｛1｝のみで，方法の数はB(1)=1
２．n=2のとき：2ドル札0枚なら｛1,1｝，2ドル札1枚なら{2}で，
　　方法の数は　B(2)=2
３．n=3のとき：2ドル札0枚なら｛1,1,1｝，2ドル札1枚なら｛2,1}，{1,2}で，
　　方法の数は　B(3)=3
４．n=4のとき：2ドル札0枚なら{1,1,1,1}，2ドル札1枚なら{2,1,1},{1,2,1},{1,1,2}，2ドル札2枚なら{2,2}で，
　　方法の数は　B(4)=5
（ただし，同じ種類の札は区別していません）

これらの結果を考察すると，
B(n)はB(n-1)の方法に1ドル追加したものと，B(n-2)の方法に2ドル追加するものとの和になる．
2ドル追加の方法に{1,1}を追加する方法があると思う人がいるかもしれないが，
追加する２つの１のうちの始めの１は，B(n-1)個の方法に繰り込まれ，すでに存在し，それに1を追加することは，すでに前者の項に含まれている．ゆえに．
B(n)=B(n-1)+B(n-2)
かくして，この方法でnドル支払う方法の数の再帰的な定義が得られました．
これはフィボナッチ数列
1,2,3,5,8,13,21,34,55,･････
の定義と同じです．

万華鏡の映像は鏡映群にすぎないと数学者は思っているようだが，実は，群よりもっと複雑な代数系であるところが面白い．
理想化した状況で作った数学は適用範囲が広い．これに対し，複雑な状況下で作った数学は，あまり使われない．骨折り損のくたびれ儲けなのだが止められない．自然法則を数学は記述できるが，自然法則は数学に従はないところが面白い．

これらの万華鏡造像を鏡映群で記述すれば，どちらもmに過ぎないが，それではあまりにもつまらない．群では表現できない様々な規則性があるではないか．

■テープをこのように結ぶと正5角形ができることが知られていますが
なぜでしょうね．証明してください．

右の図は正5角形の外形と内部の対角線でできる星形が見えます．
対角線と正５角形の辺は平行で，赤く着色したものがテープであり，
テープの一方の端が対角線の星形を，もう一つの端が5角形の辺を
交互に入れ替えながら描くことが，軌跡を辿ってみれば確かめられます．
私は，正5角形であることの証明をどのようにしたらできるか
まだ考えたことがありません．案外難しそうです．
どうぞ良い証明ができたらここで教えてください．
いずれにしても，正５角形になることは，対称性から明らかです．
「この5角形の図形には，5回回転対称性があるので，この5角形は正5角形だ」
と言うのは如何ですか．一目でこの5角形は5回回転対称だとわかります．
これなら面倒なことを言わずにすむので，対称性は非常に強力な概念です．
このような論法をいろいろな所で使いたいのですが，乱暴ですか皆様どう思ますか．
■紙を2つ折りにすると折り目が直線になることを証明してください．
これも当たり前なのに，証明が面倒な問題です．
この問題に対する私の解答は，「対称性から明らかである」と言っておきます．

こんなクイズを何処かで聞いたことがありませんか？１人10ドルのホテルに3人が止まり，30ドル支払いました．ホテルフロントが5ドル値引きしてくれ，女中を介して返金してきましたが，途中で女中が2ドル抜いたので，3人に渡ったのは1ドルづつです．結局，それぞれ9ドルづつ支払ことになり，全員でホテルに27ドル，女中が2ドル持っています．残りの1ドルはどこに消えたのでしょうか？
ややっこしくて変な気分ですが，お判りでしょう．27ドルと2ドルを足す意味は何でしょうか？
このような計算の笑い話は，落語のツボ算にも出てきます．買ったツボを返品するときに，支払った金額と返品するツボの値段を足してしまうのです．
数学の方程式を作るときに，左辺に足すか右辺に足すかよく意味を考えて式を作らないと，このようなとんでもないことになります．
落語の時そばでは，そば代金の16文を数える間に，8のときに時間（八つ）を混ぜ込むことで，１つスキップし金額を1文ごまかします．与太郎が真似をするときは，時間が（四つ）で，逆戻りし損をしてしまいます．これは，お金と時の呼び名という単位が異なり足すことのできないものを足すトリックです．我々ももう少し複雑な問題ではありますが．方程式を立てるときに単位の異なるものを足してしまうような式を立ててしまうことがよくあります．笑い話ではすみません．
話のついでにもう一つ，落語に出てくる不正な計算について述べましょう．落語花見酒では，酒だるを担いで売りに行く2人の間で，お金をやりとりしているうちに，お酒が全部なくなってしまう話です．これは売上金の公金横領に当たるわけですが，お金はお金でも，公金と自分の金というカテゴリーの違うものの区別ができなかったために起きた笑い話です．
最初の例に戻ると，ホテル取り分は25ドル，女中取り分は2ドル，客支払い分は3x9=27ドルで何の不思議もありません．

■読者の方から「三方一両損」の話が出ましたので，追加しておきます．
江戸っ子の職人が３両入りの財布を拾って，落とし主に届けると，落とし主はいらないと意地を張る．どちらも江戸っ子らしくていいですね．
大岡越前守が，1両出して4両にし，2両づつ分けさせる名裁きをします．
拾ったまま届けず手元に置けば3両ある．届けてもらって受け取っておけば3両ある．
奉行も関わらなければ1両出さずに済む．しかし，結局3人とも1両ずつ損をしたというのです．