2014年5月の記事一覧

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数学月間SGK通信 ［2014.05.30］ No.010
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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円盤の中の不思議な世界（エッシャーの極限としての円）
双曲幾何空間のポアンカレ・モデル

■ポアンカレ万華鏡
1951年の国際数学会でエッシャーはコクセターに出会いました．その後1958年に
コクセターはFig.2を掲載した論文をエッシャーに送りそれがことの始まりです．

Fig.1は正6角形タイルが頂点で4つ出会うように平面を埋め尽くしている世界で，
シュレーフリの記号で{6,4}と表記されます．
これらの円盤内は双曲幾何の世界（ポアンカレ・モデル）なので，
円盤内では，正6角形タイルはすべて同じ大きさなのです．
（円盤のフチに近づけば近ずくほど，どんどん縮小されるので，我々から見たら
有限な円盤内なのに，無限個の正6角形タイルが敷き詰められています）
円盤内では，Fig.1に描かれているような円盤のフチに直交する円弧が直線です．

Fig.1
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/53/15820253/img_2?1401440063
Fig.2
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/53/15820253/img_3?1401440063

Fig.1の正6角形タイルを12個の直角3角形に分割したものがFig.2です．
この直角三角形の内角は(π/6, π/4, π/2)で，この直角3角形を簡単に(6,4,2)と表記することにします．
この3角形の内角の和は　π/6+π/4+π/2=11π/12<πですが，
ここは双曲幾何の世界ですからπより小さくなるのは当然です．
(6,4,2)直角3角形の各辺を鏡映面として万華鏡を作ると，
Fig.2のような市松模様が得られます（鏡映操作により白黒が反転する）．
私はこれをポアンカレ万華鏡と呼んでいます．
実際にこの万華鏡を作製しましたが，円弧面による反射は原理的に収差があり，
数学の反転操作とは異なります．あまり美しい万華鏡にはなりません．

■コクセターとエッシャー
さて，コクセターからFig.2の分割図を知らされたエッシャーは，
早速「極限としての円」シリーズの制作を始めます．
エッシャーは{6,6}正則分割を用いた直線魚の作品などといろいろ工夫を重ね，
「極限としての円」のシリーズIIIで，{8,3}正則分割を用い完成します（Fig.3）．

Fig.3
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/53/15820253/img_0?1401440063
Fig.4
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/53/15820253/img_1?1401440063

Fig.3に描かれている魚が泳ぐ流れの白い線は直線のように見えますが，
実は違います．円盤のフチと80°で交わっています．
直線となる円盤のフチと90°で交わる円弧はFig.4に描きこんだ黒い線です．
そしてエッシャーの作品は，{8,3}正則分割を基礎にしていることがわかります．
{8,3}正則分割は,正8角形のタイルが頂点で３つ出会うような敷き詰めですが．
エッシャーの作品のトリックは，正8角形のタイルを作る直線
（絵には顕には描かれていない）と，魚の流れに沿った線を正確に使い分けて
見事な印象を与えている所です．
この解説は，1979年のコクセターの以下の論文で指摘されています．
Coxeter, H. S. M. (1979), "The non-Euclidean symmetry of Escher's picture
'Circle Limit III'", Leonardo 12: 19-25, JSTOR 1574078.

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数学月間SGK通信 ［2014.05.27］ No.009
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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◆双曲幾何のポアンカレ・モデルの世界
円盤の中に宇宙があります．
円盤のフチに近づくほど自分もどんどん小さくなるので，
歩いても歩いてもフチまで行けません．Fig.1をご覧ください．
円盤の中に描かれた円弧はすべて，フチと直交しています．
この円盤の世界では，これらは皆，直線なのです．

◆反転円による鏡像
円盤のフチと直交するこれらの円の一つ，例えば，
赤い円弧で分けられた円盤の世界は，左が大きく右が小さい
ように我々には見えます．しかし，円盤の世界（双曲幾何の世界）
に住むとどちらも同じ広さで無限に広い．
なぜかというと，赤い円で分けられた円盤内の世界は，
赤い円を反転円にすると，互いに鏡像になるからです．
(注）円による反転とは-------ｰｰｰ
反転円の半径をrとるると，互いに反転鏡像となるA,B2点の
反転円の中心からの距離をa,bとすると，a･b=r²　です．
---------------------------------
我々のユークリッド空間では，鏡像というと直線鏡によるものですが，
円盤内の双曲幾何の世界では，フチと直交する円弧(この世界では直線）
による反転で鏡像が作られます．

◆Fig.1は円版の世界をフチに直交する円弧（この世界の直線）で
分割した例です．鏡映が起こるたびに色が変化するように，
市松模様に塗り分けてみました．
こような分割の表記にはシュレーフリの記号が使われます．
Fig.1は[4,6]と表記しますが，これは，どの頂点も同じ状態で，
正4角形が6つ頂点に集まっているという意味です．
我々にはゆがんで見えるかもしれませんが，
円盤内の世界ではこれらは皆同じ正方形なのです．
Fig.1→https://scontent-a-sjc.xx.fbcdn.net/hphotos-frc3/t1.0-9/s640x640/1507832_578610068893584_59018908_n.jpg

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数学月間SGK通信 ［2014.05.22］ No.008
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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不思議な魔方陣
http://www.mathaware.org/mam/2014/calendar/magicsquares.html
イーサン・ブラウンは，マサチューセッツ，アンドーバーのフィリップス・アカデミィ・
アンドーバーの高校生で，数学マジシャンです．
4×4魔方陣で，観客が任意に選んだ3マスに，観客が任意に選んだ数字（1～20)を置いて
スタートです．さらに観客に，コラムの総和となる任意の数（30～80)を選ばせます．
これらの条件下で4×4の魔方陣を作ります．まるで，“ねずっち”の謎かけ問答のように
直ちに作ります．Fig.1のような魔方陣ができました．
この例では，任意に選ばれたマス位置の数字は，11, 2, 5 で,
観客の提示した総和は79でした（Fig.1のオレンジのマス）．
確かに，魔方陣の縦/横/対角線/中心４マス/4隅の４マス/外周角のマス４つ，
などの総和はすべて79になっています．第二のビデオでその作り方がわかります．

Fig.1

第三のビデオで，
Fig.2,3のようなラテン方陣の変形から作る方法も紹介されています．

Fig.2　　　　　　　　　　　　　　　　

Fig.3

4×4の色々な魔方陣を作ってみてください．

■いろいろな同期現象
http://sgk2005.sakura.ne.jp/htdocs/index.php?key=jo6zrwacj-29

独立な多数の振動子が同期する現象はいろいろな所で観察されます．
もちろん，振動子間に何らかの相互作用が存在するために起こります．
それぞれの振動子の固有振動周波数は,バラついているものの
ある程度の範囲内でほぼそろっていなければなりません．
初期状態では各振動子の位相はバラバラですが，
時間が経つと不思議なことにそろってきます．
64個のメトロノームの動画では，最後には一糸乱れぬ軍隊の
行進のようにそろいます．言論統制みたいで気持ち悪いですね．
ホタルの点滅，心臓筋肉の同期，付和雷同の心理，化学反応，等々
これは，いろいろな分野で見られる現象です．私も昔，
放電の発光点の移動で同じような現象を体験したことがあります．

■同期の観察
以下のビデオがyoutubeにありますので予備知識に，まずご覧ください．
のぼさんの実験（１）
ロウソクの炎の振動の同期
池口研究室（２）
メトロノーム同期（2個）の分岐
メトロノーム同期 (64個)
◆ロウソクの炎の実験（１）を見ていると，2本のロウソクの炎の
振動が同相になる条件と逆相になる条件があることがわかります．
どちらになるかは，2本のロウソク間の距離によるようです．
2本のロウソク間の相互作用は，炎の周囲の気流によるものですから
2本のロウソクが近いときは，同相に，
ある程度の距離範囲ならば，逆相になることは推測できるでしょう．
大きく離れると，それぞれ独立になります．
◆メトロノーム2個の同期（２）でも，同相同期と逆相同期があり，
これは２つのメトロノームを積載している共通基盤の振動周波数
によって決まるようです．
共通基盤の振動は2つのメトロノームの相互作用そのものです．
共通基盤の振動周波数が小さいときに同相同期，
大きいときに逆相同期になっているのが観察されます．
これは，もちろん理論的な推測と合致しますね．

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数学月間SGK通信 ［2014.05.20］ No.007
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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■アポロニウスの窓ApolloniusGasket
映像が果てしなく繰り返す「インドラの網」
網の上に置かれた真珠は互いに反射し合って，他の真珠を映しだすだけでなく，
他の真珠の映る自身の姿をも映します．世界全体が真珠一つ一つの上に映り，
またその姿が別の真珠に映り，これが永遠に続くのです．
”インドラの真珠”
D.マンフォード, C.シリーズ, D.ライト, 小森洋平 (翻訳)，日本評論社より

この美しい図形は２次元では，「アポロニウスの窓」とも呼ばれます．
互いに 接し合う3つの円に接する第4の円を描くのですが，
これを次々と繰り返して作られる円の中の世界です.
4つの円の曲率（半径の逆数）をa,b,c,dとすると，
2(a²+b²+c²+d²)=(a+b+c+d)² という
デカルトの発見（1643）した定理が成り立っています.
参考⇒三角形の七不思議 (ブルーバックス)， 細矢 治夫

■反転によるフラクタル構造
美しいアポロニウスの窓を見ていると，いろいろな想いが拡がります.
2つの円が互いに接し，かつそれらがアポロニウスの窓の外周円とも接しているとき.
これらの接点を通り外周円と直交する円を考えましょう．すると，
この円で分断された2つのアポロニウスの窓の世界は，この円を反転円として，
互いに鏡像となっています.　もし反転円がどんどん小さくなれば，
その小さな領域に大きな世界がどんどん繰り込まれていくので，
不思議なフラクタル世界 の美しさが見られます.
Fig.

https://scontent-b-nrt.xx.fbcdn.net/hphotos-prn2/t1.0-9/s640x640/1661263_605037739584150_251764405_n.jpg
図は　Cinderellaというフリーソフトを用いて描きました．
緑色の円の外にあるピンクと黄色の円は，緑色の円を反転円とすると，
緑色の円内のピンクと黄色の円にそれぞれ映ります．
映されたこれらの円の大きさは，その上のグレーの円と同じ大きさです．
色々な反転円を考えれば，無限にある大小さまざまな大きさの円は，
みんな同じ大きさであるとも言えます．
だから，円盤内の世界は無限に広いと言い張るのも良いでしょう．

■円による反転
原点に中心のある半径1の円による反転は，反転円内の点r→反転円外の点Rへの写像
（あるいはこの逆）で，反転像どうしは，r･R=1の関係にあります．
もし，反転円の円周上に点があれば，反転像は元の点と同じ位置です(r=R=1）．
反転操作では，円は円に写像されます．もし，反転円に直交するような円周の円を
この反転円で反転すれば，同一の円の上に写像されます．したがって，
円周に直交するような反転円で分断された円の２つの部分は，反転円による
それぞれの鏡像になります．

円が直線なら，普通の鏡映像になります．
直線鏡の組み合わせで作られる映像は，良く知られた万華鏡です．
反転円を用いたインドラの網も拡張された万華鏡の映像です．

■編集後記
仏教では，「宇宙の一切のものが,一切のものの原因になっていて，
無限の過去からの無数の原因が，どの一人にも
それぞれ反映されている」と考えます．
これはまさに単純な因果列ではなく複雑系の考え方ですね．
宮澤賢治に「インドラの網」という小品があります．
インドラの網目に縫い付けられた珠玉は，互いに映じ合うと同時に,
自分自身も輝いています.
この項目は，複雑系，双曲幾何の円盤モデル，エッシャーの不思議な世界，
平面の分割と万華鏡，などに関連があります．
これらは順次別号で取り上げる予定です．

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不思議な魔方陣
http://www.mathaware.org/mam/2014/calendar/magicsquares.html
Ethan Brown
Mathemagician,
Massachusetts，AndoverのPhillipsAcademyAndoverの高校生．

観客に，縦，横，斜め，中心４マス，四隅4マス，外周の4マスなどの総和（この例では79），および何ケ所かのマスとその数字（この例では2,11,5）を提示させます．これらの制約の下で魔方陣を直ちに作ります（第1のビデオ）．まるで，ねずっちの謎かけのように直ちに作ります．こんな魔方陣ができました．
http://www.mathaware.org/mam/2014/calendar/images/ethans_magic_square.gif
第2のビデオで，魔方陣を作る方法の秘密がわかります．
第3のビデオは，ラテン方陣を変形して，魔方陣を作る方法を説明します．
http://sgk2005.sakura.ne.jp/htdocs/?action=common_download_main&upload_id=14

天文学者、物理学者、そして数学者がスコットランドを走る列車に乗っている。天文学者は窓の外を眺め、一頭の黒い羊が牧場に立っているのを見て、「なんと奇妙な。スコットランドの羊はみんな黒いのか」と言った。すると物理学者はそれに答えて「だから君たち天文学者はいいかげんだと馬鹿にされるんだ。正しくは『スコットランドには黒い羊が少なくとも一頭いる』だろう」と言う。しかし最後に数学者は「だから君たち物理学者はいいかげんだと馬鹿にされるんだ。正しくは『スコットランドに少なくとも一頭、少なくとも片側が黒く見える羊がいる』だ」と言った。

磁気双曲子の相互作用でつながった1次元の格子振動と同じです．
磁気双曲子間のエネルギーは距離の３乗に逆比例しますので，
非線形の現象で，カオスや弛緩型の振動モードへのトビが生じます．
代数的に解くには，振幅が小さいとして，相互作用による力を振幅に比例
（１次までとる近似）とできる場合で，普通の格子振動の扱いになります．
２くまさん（2人）の場合には，それぞれのくまの変位に関して，
1次の連立方程式ができますから，係数の行列式を０とおいて，
可能な周波数が求められます．
周波数１の同相モードと周波数1.732の逆位相モードの同期が可能ですが，
実現するのは以下のビデオの逆位相モード．
https://www.facebook.com/photo.php?v=640422772712313

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数学月間SGK通信 ［2014.05.15］ No.006
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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ささいな事故が雪崩となり大事故を生む複雑系

■複雑系の事故のトリガーは処々にある
「複雑系とは何か」は，別号で取り上げるとして，
大規模送電網や原発は複雑系です．
2011年７月の数学月間懇話会（第７回）では，これを取り上げました．⇒ プレゼン　
2011年４月の米国MAMのテーマは「複雑系」でした．
米国で何度か起きた大規模停電の仕組みを解析しています．
はっきり指摘のできないような”ささいな原因”（樹木が送電線に触れ
スパーク？）により，送電網に局所に停電が起きた．⇒
⇒　送電網の残りの部分に過剰な負荷がかかり，健全だった部分の電線が
切れる．⇒　あっという間に,次々と送電網全体に停電が拡がる．
これが，「小さな事故が雪崩となり，大きな事故を生む」という
複雑系での事故の特徴です．

2011.3.11の日本の原発事故でも、同じようなことが起こりました．
あっという間に
全電源喪失⇒再循環配管/圧力抑制プール損傷⇒冷却材喪失⇒炉心メルトダウン
の過酷事故になりました.
今回の事故の引き金は地震・津波だったかも知れませんが，
引き金になるのは，地震・津波だけではありません．
組織やエージェントを含め、何処にトリガーがあるか予測できないのが複雑系です．
原因⇒結果　の1:1対応の単純な因果列がたくさんあるのではなく，複雑系では，
複数の原因から１つの結果が生じたり，
１つの原因が多くの結果に影響を与えるような複雑な因果関係があります．

「今日のアフリカ上空での蝶の羽ばたきが，将来，米国でのハリケーン
の進路に影響を与えるかもしれない」と比喩されるのが，バタフライ・エフェクトです．
複雑系は,＜バタフライ・エフェクト＞が起こり得る世界で絶対安心はあり得ません．
かように，複雑系では事故の可能性を消すことはできません．
しかし，大規模停電や山火事なら最悪事故が自然に鎮火するのを待つことはできます．
でも，原子力ではそうはいきません．そのエネルギーの莫大さ，放射能の半減期の長さ，
どれをとっても人間のスケールに合いませんから．
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■複雑系の特徴
送電網ネットワーク中にある節点の次数(=その節点に集まる経路の数)
の頻度分布図を作ったとき，節点の次数の高いものも残っているような
（べき乗則分布）ネットワークですと，
次数の高い節点が攻撃されると故障の雪崩につながります．

■べき乗則
大規模停電，巨大地震，所得の分布，....　いろいろな頻度分布に＜べき乗則分布＞
が見られます．正規分布，ポアソン分布，ワイブル分布など，中心値のまわりに
釣鐘型の分布を作りますが，べき乗則分布では，規模の大きい事象が起こる確率も
いつまでも残っています．被害コストの期待値は，被害コストと確率の積であり，
巨大地震は巨大な被害コストをもたらすので，巨大地震の確率が小さいと言って
無視することは間違いです．原発事故も同様です．

（引用文献）ーーーーー
１．2011MAM、⇒　http://www.mathaware.org/mam/2011/essays/
Cascading Failures: Extreme Properties of Large Blackouts in the Electric Grid
２．数学文化（2011）,16,p113-127,
今年の米国MAMの話題と日本の原発事故
３．SGK通信（2011-06）数学月間懇話会報告
⇒ http://www.sugaku-bunka.org/jo2x314rz-453/#_453

◆映像が果てしなく繰り返す「インドラの網」
網の上に置かれた真珠は互いに反射し合って，他の真珠を映すだけでなく，
他の真珠の映る自身の姿をも映します．世界全体が真珠一つ一つの上に写り，
またその姿が別の真珠に映り，これが永遠に続くのです．
”インドラの真珠”
D.マンフォード, C.シリーズ, D.ライト, 小森洋平 (翻訳)，日本評論社より

◆「アポロニウスの窓」という美しい 図形は，
互いに 接し合う3つの円に接する第4の円を描くのだが，
これを次々と繰り返して作られる円の中の世界だ.
4つの円の曲率をa,b,c,dとすると，
2(a^2+b^2+c^2+d^2)=(a+b+c+d)^2 という
デカルトの発見した定理が成り立ってい る.
⇒三角形の七不思議 (ブルーバックス)， 細矢 治夫

◆美しいアポロニウスの窓を見ていると，いろいろな想いが拡がる.
それは，2つの円が互いに接し
かつそれらがアポロニウスの窓の外周円とも接しているとき.
これらの接点を通り外周円と直交する円を思い浮かべるなら，
その円を反転円として，反転円で分断された2つのアポロニウスの窓
の世界は互いに鏡像となることだ.　もし反転円がどんどん小さくなれば，
その小さな領域に大きな世界がどんどん繰り込まれていくだろう．
不思議なフラクタル世界 の美しさが見られる.
写真: 緑色の円の外にあるピンクと黄色の円を，緑色の円で反転すると，緑色の円内のピンクと黄色の円に写せます．写されたこれらの大きさはその上のグレーの円と同じ大きさです．色々な反転円を考えれば，無限にある大小さまざまな大きさの円はみんな同じ大きさで，円盤内の世界は無限に広いと言い張るのも良いでしょう．
Fig.　Cinderellaというソフトを用いて描きました．
緑色の円（想像した反転円）の外にあるピンクと黄色の円を，
緑色の円で反転すると，緑色の円内のピンクと黄色の円に映せます．
映されたこれらの円の大きさは，その上のグレーの円と同じ大きさです．
色々な反転円を考えれば，無限にある大小さまざまな大きさの円は，
みんな同じ大きさでもあります．
だから，円盤内の世界は無限に広いと言い張ることも良いでしょう．

◆円による反転操作
円が直線なら，普通の鏡映像になります．直線鏡の組み合わせで作られる
映像は万華鏡です．反転円を用いたインドラの網も万華鏡の映像です．
■編集後記
仏教では，「宇宙における一切のものが,一切のものに対して原因になっている．無限の過去からの無数に多くの原因が，どの一人にもそれぞれ反映されている」と考えます．これはまさに単純な因果列ではなく複雑系の考え方ですね．
宮澤賢治に「インドラの網」という小品があります．
インドラの網目に縫い付けられた珠玉は，互いに映じ合って輝く同時に,自分自身も輝いています.

◆映像が果てしなく繰り返す「インドラの網」
網の上に置かれた真珠は互いに反射し合って，他の真珠を映すだけでなく，他の真珠の映る自身の姿をも映します．世界全体が真珠一つ一つの上に写り，またその姿が別の真珠に映り，これが永遠に続くのです．
”インドラの真珠”
D.マンフォード, C.シリーズ, D.ライト, 小森洋平 (翻訳)，日本評論社より

■仏教では，「宇宙の一切のものが,一切のものの原因になっていて，
無限の過去からの無数の原因が，どの一人にも
それぞれ反映されている」と考えます．
これはまさに単純な因果列ではなく複雑系の考え方ですね．
宮澤賢治に「インドラの網」という小品があります．
インドラの網目に縫い付けられた珠玉は，互いに映じ合うと同時に,
自分自身も輝いています.

◆「アポロニウスの窓」という美しい図形は，互いに 接し合う3つの円に接する
第4の円を描くのだが，これを次々と繰り返して生まれる円の中の世界だ.
4つの円の曲率をa,b,c,dとすると，
2(a^2+b^2+c^2+d^2)=(a+b+c+d)^2 というデカルトの発見した定理が
成り立ってい る.
⇒三角形の七不思議 (ブルーバックス) 細矢 治夫

◆美しいアポロニウスの窓を見ているといろいろ な思いが拡がる. それは，
2つの円が互いに接し かつそれらがアポロニウスの窓の外周円とも接し ているとき.これらの接点を通り外周円と直交する円を想像し，それを反転円とすれば，
この反転円で分断された2つのアポロニウスの窓の世界は互 いに鏡像となることだ.もし反転円がどんどん小 さくなれば，その小さな領域に大きな世界がどんどん繰り込まれていき，不思議なフラクタル世界 の美しさがある.

フラクタルの美しさがあり気に入ってます．
Cinderellaというソフトを用いて描きました．
写真: 緑色の円の外にあるピンクと黄色の円を，緑色の円で反転すると，緑色の円内のピンクと黄色の円に写せます．写されたこれらの大きさはその上のグレーの円と同じ大きさです．色々な反転円を考えれば，無限にある大小さまざまな大きさの円はみんな同じ大きさで，円盤内の世界は無限に広いと言い張るのも良いでしょう．
緑色の円の外にあるピンクと黄色の円を，緑色の円で反転すると，
緑色の円内のピンクと黄色の円に写せます．
写されたこれらの円の大きさは，その上のグレーの円と同じ大きさです．
色々な反転円を考えれば，無限にある大小さまざまな大きさの円は，
みんな同じ大きさで，円盤内の世界は無限に広いと言い張るのも良いでしょう．

英国MMPのplusマガジンの42号と31号から論文３編の翻訳です．
⇒　http://sgk2005.sakura.ne.jp/　
色々な分野に数学が使われているのを見るのは大変興味深い．
これら３篇の全翻訳は最下行にあるpdfファイルを開いてご覧ください．
■movies
ジェラシックパーク，ロードオブザリングズなど本物そっくりの映画やゲームの世界をつくる３次元映像は数学を使って実現される．光線追跡，事前計算放射輝度伝搬，ラジオシティが，本物そっくりのライティングをリアルタイムで可能にする．３次元の物体回転のグラフィックスではHamiltonの４元数が活躍している．
■buildings
Foster＋パートナーグループが，ロンドンシティホール，ガーキン（巨大なきゅうり形）などのランドマークを建設している．環境に影響を与える気流や，内部の反響や，エネルギー効率をシミュレーションする．形状を関数で表現するパラメータモデルが形状の探索に使われる．また曲面でできている外形を平面で作るために，表面の分割に幾何学が使われる．
■memory
πの記憶のギネス記録は，原口氏が2006年に達成した100000桁です．語呂合わせの記憶法では日本人は圧倒的に有利です．数の記憶のメカニズムを解説しています．
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plus42_movies.pdf
plus42_buildings.pdf
plus31_remember.pdf

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数学月間SGK通信 ［2014.05.11］ No.004
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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■数学まつり
多くの人々が数学に関心をもつようになるイベントを数学月間では応援しています．
講演会，講習会，数学カフェ，ワークショップ，様々な活動形態がありますが，
子供たちが楽しめて数学感覚が身に着く”数学まつり（フェスティバル）”というのが
あり，英国のMMPでも米国のMAMでも大変人気があります．
今年の米国MAMでも，最終日はMoMathの話題でした．

国立数学博物館MoMath(National Museum of Maths)は，米国唯一の数学博物館で，
ニューヨークのマディソン・スクエアに，2012年12月15日オープンしました．
ここには30以上の対話型の展示があります．
東京でもMomathのような常設の数学展示のあるものは，科学技術館，リスーピア，
東京理科大「数学体験館」などがあります．一度見学されると良いでしょう．

■とっとりサイエンスワールド
常設展示ではありませんが，毎年夏に開催される「とっとりサイエンスワールド」
--美しい数学・楽しい算数--はユニークな数学体験フェスティバルです．
小さい子供からお年寄りまで楽しみにしている市民イベントに成長しました．
鳥取県と鳥取県数学教育会の主催で，
鳥取大学と地元の先生方や生徒がボランティアで運営しています．
今年も，米子（8月2日），鳥取（8月31日），倉吉（9月21日）で実施予定です．
私も万華鏡ワークショップで参加しています．
万華鏡は美しいばかりでなく，対称性の数学と関係があります．

■米国MAMでMoMathが紹介されました．
MoMathとは，冒頭で紹介したように，2012年12月15日にニューヨークに
オープンした数学に特化した国立博物館です．
ホールの展示で目立つのは，正方形の車輪の3輪車が滑らかに走る光景です．
たいへん興味深いので，床面の曲線がどのような形であるかを計算してみました．
ここに掲載する結果（Fig.1）は，2013年7月22日の数学月間懇話会（第9回）で
谷が発表したものです．
ついでに応用問題として計算した3角形の車輪の結果を（Fig.２）に掲載します．

注）2013年10月2日に開設された東京理科大学「数学体験館」にも
同じような4角い車輪の車の展示があります．

Fig.1　四角形の車輪

http://sgk2005.saloon.jp/blogs/blog_entries/view/46/d4ca3f8ca64cfd0e784cf3f249e2461e?frame_id=54

Fig.2　三角形の車輪

http://sgk2005.saloon.jp/blogs/blog_entries/view/46/c81205d7276bfb68cd5bfe06f79bec97?frame_id=54

■編集後記
　メルマガ1号はtxt形式，2号はhtml形式，3号はtxt形式でお送りしました．
みなさん見え方は如何でしょうか？まだ不慣れなので苦労しています．
html形式の場合は，メール配信されると下添え字などが不自然に見えますね．
良い方法をご存知の方はお教えください．

　まぐまぐにすべてのバックナンバーを公開していますから
http://archive.mag2.com/0001633088/index.html で
htmlメルマガを見るを選択すると正常に見えます．

　メルマガはメールで軽快に見たいものです．
そこで，基本的にtxt形式で発行して行こうと思っています．しかし
どうしてもtxtではわかりにくい添え字のある数式，図が必要な場合は
html形式を使うことがあります．その時はまぐまぐのバックナンバーの公開で見るか，
私のブログのメルマガ倉庫の中にあるにあるイメージ形式のものを見てください．

　このメルマガは，公式HPの記事（煩雑で読みにくい）から面白いものを選択し，
完結した読み物になるように編集・書き下ろしています．ブログも同様です．
メルマガは内容重視で，できるだけ言葉txtでわかるようにしたいと思います．
メルマガにない美しい図などは私のブログの方でご覧ください．
イベント情報などもご紹介します．皆様からの情報やご意見ご感想をお寄せください．

002号はHTML形式で発行したため，txtメールでは，下添え字などに乱れがあります．
まぐまぐサイトでhtmlメルマガを見るを選んで見てください．
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数学月間SGK通信 ［2014.05.09］ No.002
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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■■無限大の脅威（2014年米国MAMの話題より）
今回は，奇妙な数学の話です．数式はうまく表示できているでしょうか？
■発散する級数
S=1+2+3+4+....+n+....=-1/12
正の整数すべての総和が無限大でなく-1/12であるという．正気の沙汰なのか？
このとんでもない結果は，1748年に偉大なオイラーにより導かれた．
発散する数列は悪魔の発明であり，無限級数を用いると，どんな結論でも導くことができる．
発散する級数の研究は，アーベル（1802-1829）に端を発する．
数学者がこの悪魔の細部を解決するのに続く百年を要したのだ．
すなわち，リーマンの解析接続の理論(1859)を待ち理論的解決した．
現代では，物理学（超弦理論,量子計算）や数学（ζゼータ関数）で利用している．
リーマンは素数の分布を調べるためにζ関数に解析接続をした関数の0点を研究し，
リーマン予想を提示した(1856）．これはまだ解かれていない．
■オイラーの発見が現実に
オイラー＋リーマンの ζ関数は無限級数の形で定義される．
ζ(s)=1+2^-s+3^-s+4^-s+5^-s+....
この関数は，実部が1より大きいRe(s)>1複素平面で収束するが，
実部が1あるいは1より小さいRe(s)=<1複素平面では発散する．
そこで，全複素平面（ただし１は極）に，ζ 関数の定義域を拡張
するのに解析接続という手段が役立つ．
S=ζ(-1)=1+2+3+4+5+....
S₁=1-1+1-1+1-1+....=1 奇数項までの和
　　　　　　　　　  0 偶数項までの和
この和は，偶数項で止めれば0，奇数項まで止めれば１になる．
しかし，解析接続という理論を使うと1/2になることを以下に示す．
f(x)=1+x+x²+x³+x⁴+x⁵+....=1/(1-x)
この多項式は公比xの等比級数だから，|x|<1なら収束し1/(1-x)になる．
もとの多項式は|x|<1の外では発散するので定義できないが，
級数を解析接続した関数1/(1-x)に繋ぎ，形式的だが
x=-1を入れると 1/2 が得られる．
S₁=f(-1)=1-1+1-1+1-1+....=1/2
級数S₁, S₂ などを等式と見立て加減演算をし，Sを求めてみよう．
o+oなどの無限大を数値のように演算しているのが気持ち悪いが
解析接続で収束した級数を用いているので実は正しい結果になる．
S₂=1-2+3-4+5-6+.... とすると，
2S₂=1-2+3-4+5-6+....+[1-2+3-4+5-6+....]=1-1+1-1+1-1+.... =1/2
ゆえに，S₂=1/4が得られる．
S-S₂=1+2+3+4+5+6+....-[1-2+3-4+5-6+....]=
=4(1+2+3+....)=4S
ゆえに，S=-S₂/3=-1/12
■参考
http://www.mathaware.org/mam/2014/calendar/infinity.html
超弦理論入門，大栗博司，ブルーバックス
リーマン予想を解こう，黒川信重，技術評論社

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数学月間SGK通信 ［2014.05.10］ No.003
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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☆7月22日--8月22日は数学月間（since2005）☆
日本数学協会は，2005年に，7月22日-8月22日を数学月間と定めました．
この期間は，数学の基礎定数 π(22/7=3.142..) とe(22/8=2.7..) に因みます．
この期間に，数学への関心を高めるイベントが各地で開催されるよう応援しています．
イベント情報を，日本数学協会，数学月間の会にお寄せください．
毎年，月間の初日7/22に，数学月間懇話会を開催しています．
お気軽においでください．　詳細は⇒　http://sgk2005.sakura.ne.jp/

■■必要とされる大量データ解析新手法
■大規模データ解析の困難さ！
2011年の数学月間懇話会（第7回）のテーマの一つは，”サイバー世界のモデリング”
北川源四郎氏（統計数理研究所）であった．今日，我々の周囲で莫大なデータが
収集されるようになったが，解析すべきパラメータ数も多くなったので，
データ量がやはり不足している（「新NP問題」）．溢れるデータから必要な解析を
行うには，新手法が必要とされる．
数学月間懇話会（第9回）の記録⇒
http://sgk2005.sakura.ne.jp/htdocs/index.php?key=jox165hdn-11#_11

2012年の米国MAMのテーマも，＜数学，統計学とデータの洪水＞だった．
統計学は，品質管理，医療・創薬・臨床，経済金融，統計調査，データマイニング
などの分野に係わり，現在ますます必要性が増している.
大規模データ（データの洪水）といっても，被験者1人から大量（P種類）の特性データ
を採集できるのだが，解析する特性数より被験者の数（N個）がはるかに少ない
（N<<P）という状態であり，この状態で推論を行うのはとても難しい．
これが「新NP 問題」と呼ばれている．
つまり，大規模データがあるといっても，データはむしろ不足している．
このような状態に適用できる統計的推論の新手法が必要とさる．

■不確かさで満ち溢れた世界！
私達は，観測データからモデル（現象を起こす仕組み）を推定します．
このモデルが，全ての観測データをよく説明したとしても，このモデル（サイバー世界）
が真実であるがどうかは誰にもわからない．将来，このモデルで説明できないデータ
が観測される可能性は消せないのですから．
かように私達の世界は，不確かなことで満ち溢れています．

■■編集後記
私達は，yes/noのデジタル思考に毒されているので，数学や科学は，yes/noの
答えを出せるはずと思い込んでいます．あるいは，判断できないと知りつつ
「専門家の判断」と言って責任転嫁に利用するのは政治の常套手段です．
真実はあるのだが，yesでもnoでもないのが真実．それを，「yes/noに2値化」
するのは科学ではない．まことに理不尽な要求です．
科学が出したグレーゾーンの結論を，自分に都合の良いように2値化するのは，
似非科学で結果だけを報道する大手メディアの数学リテラシーの欠如を憂います．
安全/危険の2値化区分を何処に置きますか？数学や科学で答えを出せません．
その判断は，国民がどのような価値を選択するかの問題です．
これは，科学を超えて判断する＜トランス・サイエンス＞の課題になります．
数学科学の結果を恣意的に利用され，数学科学の信用を落としてはなりません．
数学月間が今ほど必要な時代はありません．

正3角形の車輪では如何でしょうか？
（2013.10.6のFacebookより）

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数学月間SGK通信 ［2014.05.07］ No.001
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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■■数学月間を知っていますか
7月22日～8月22日は数学月間です．
日本数学協会は，2005年に，7月22日～8月22日を数学月間と定めました．
この期間は，数学の基礎定数 π(22/7=3.142..) とe(22/8=2.7..) に因みます．
「数学が社会を支えていることを知り，逆に，社会の課題を数学が知る」機会
です．この期間に，数学への関心を高めるイベントが各地で開催されるよう
応援しています．SGK通信に情報をお寄せください．
毎年，月間初日の7月22日には，数学月間懇話会を開催しています．

■■お知らせ
数学月間懇話会（第10回）
日時●７月２２日，14:00-17:10
プログラム●
1.人口の集合関数としての「民力指数」
松原望（東京大学名誉教授，聖学院大学）
2.スパゲッテイを巡る旅，
中西達夫（株・モーション）
3.数学月間の狙と効用，今年の米国MAM
片瀬豊，谷克彦（日本数学協会）
会場●東京大学（駒場）数理科学研究科棟，002号室
最寄り駅●京王井の頭線「駒場東大前」
参加費●無料
問合せ先●日本数学協会，数学月間の会（SGK）
sgktani@gmail.com，谷克彦（SGK世話人）
一般の方が対象ですご参加お待ちしています．直接会場においでください．
17:30からは，構内で各自払いの懇親会も予定しています．
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■■数学に関心を（第１回）
■米国MAMはレーガン宣言から始まった
連載第1回目は，米国MAMのスタートとなったレーガン宣言です．
全文を掲載します．
どなたの草稿か知りませんが，格調高く今日でも心を打ちます．
米国MAMのスタート時は月間行事ではなく，週間行事MAWでした．
⇒http://sgk2005.sakura.ne.jp/
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アメリカ合衆国大統領による宣言5461
｢国家的数学週間」1986年4月17日

宣言(National Mathematics Awareness Week)

およそ5000年前，エジプトやメソポタミアで始まった数学的英知は，
科学･通商･芸術発展の重要な要素である．
ピタゴラスの定理からゲオルグ･カントールの集合論に至る迄，
目覚ましい進歩を遂げ，さらに，コンピュータ時代の到来で，
我々の発展するハイテク社会にとって，数学的知識と理論は
益々本質的になった．
社会と経済の進歩にとって，数学が益々重要であるにも拘わらず，
数学に関する学課が米国教育システムのすべての段階で低下する傾向にある．
しかし依然として，数学の応用が医薬，コンビュータ･サイエンス，宇宙探究，
ハイテク商業，ビジネス，防衛や行政などの様々な分野で不可欠である．
数学の研究と応用を奨励するために，すべてのアメリカ人が日常生活において，
この科学の基礎分野の重要性を想起する事が肝要である．
上院の共同決議261で，国会が1986年4月14日から4月20日の週を，
国家的な数学週間に制定し，この行事に注目する宣言を出す事を
大統領に要請した．
今日，アメリカ大統領，私ロナルド･レーガンは，
1986年4月14日から4月20日の週を国家的数学週間とする事を，ここに宣言する．
私はすべてのアメリカ人に対し，合衆国における数学と数学的教育の重要性を
実証する適切な行事や活動に参加する事を勧告する．
その証拠として，アメリカ合衆国の独立から210年の西暦1986年の４月17日，
ここに署名する．ロナルド･レーガン(Ronald Reagan)
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■米国MAM活動の様子（2006年当時の記事）

各地の大学を中心に，講演会，講習会，展示会等が展開される．
婦人向け数学講習会，女性数学者の伝記奨励，数学に関する優れた記事を
書いたジャーナリストの表彰，教え方の優秀な高校の数学教師と大統領が
食事を共にする等々の行事が報告されています．［いかにも米国らしい］
毎年，国家的に統一テーマが選定され，開発されたテーマ用素材は，
電気自動車［2006年当時は先端だった］を使って配られる．
活動の総括と結果集計は、毎年，春に行い，次年度への企画の検討に入る．
力を結集し参加を奨励するために，AMS，MAA，SIAMのリーダー，部門長，
選ばれた高校の先生，公共政策の代表者，関係する団体のリーダー達へ，
その年のMAMの小包が送付される．これには，カラーポスター，はがき，
現地の活動に役立つ素材のリスト，特別なMAM行事を行うにあたりメディア
報道等を含んでいる．
MAMの活動は，学部，先生，諸学年の生徒，両親，他の公共社会のメンバー，
公的政策リーダーやビジネスマンなど幾千人もの意見で評価される．
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■MAMの年度別テーマ

1986数学----基礎的訓練
1987美と数学の挑戦
1988米国数学の100年
1989発見のパターン
1990通信数学
1991数学----それが基本
1992数学と環境
1993数学と製造業
1994数学と医学
1995数学と対称性
1996数学と意思決定
1997数学とインターネット
1998数学と画像処理
--MAWからMAMへ------
1999数学と生物学
2000数学は全次元に
2001数学と海洋
2002数学と遺伝子
2003数学と芸術
2004ネットワークの数学
2005数学と宇宙
2006数学とインターネット保全
2007数学と脳
2008数学と投票
2009数学と気候2013持続可能性の数学
2010数学とスポーツ
2011解明進む複雑系
2012統計学とデータの洪水

注）略語表
MAM：Mathematics Awareness Week
MAM: Mathematics Awareness Month(4月)
AMS：American Mathematical Society米国数学会
MAA: Mathematical Association of America米国数学協会
SIAM: Society for Industrial and Applied Mathematics工業応用数学会
ASA: American Statistical Association米国統計学協会
JPMB: Joint Policy Board for Mathematics米国連結政策協議会
*）2006年から、ASAが加盟することになった．

■■編集後記
数学月間は数学者のものではなく，一般人が対象です．数学は，
ものごとの本質を追求し，装飾を剥ぎとり，その本質をあぶりだします．
出来上がった抽象化された概念体系（定理）を，数学者は美しいと感じます．
数学とは，そのような理論体系であるべきことは確かです．
しかし，このようにして出来上がった抽象的な数学を見せられても，
一般人は興味が湧かない．そこで，数学月間は＜数学と社会の架け橋＞として，
数学が実際の課題に使われていることを示して行こうと考えています．

大学の数学では，完成され抽象化された数学を，数学科の先生が教えます．
これは，数学科の学生に対する教程としてはオーソドックスなものですが，
数学科でない学生には不親切であります．工学，薬学，経済学など，
それぞれの専門に適した内容の数学が必要であると考えられ始めました．
このような議論は，英国のMMPや日本の「教育数学の構築」などで見られます．
SGK通信にご意見などをお寄せください．

国立数学博物館MoMath(National Museum of Maths)は，米国唯一の数学博物館で，ニューヨークのマディソン・スクエアに，2012年12月15日オープンした．
ここには30以上の対話型展示がある．
ホールの展示で目立つのは，正方形の車輪の3輪車が滑らかに走る光景である．
たいへん興味深いので，床面の曲線がどのような形であるかを計算してみた．
ここに掲載する結果は，2013年7月22日の数学月間懇話会（第9回）で
谷が発表したスライドである．
注）2013年10月2日に開設された東京理科大学「数学体験館」にも
同じような4角い車輪の車の展示がある．

数学月間懇話会（第9回）スライド

◆27枚のカード・トリック
米国の数学月間MAMは毎年4月です．今年は，マーティン・ガードナーの生誕百年にあたります．
それを記念して，MAMのテーマは，”Maths, Magic and Mystery”でした．
4月は，毎日一つの面白い話題が発表されました．
27日に発表されたのは「27枚のカード・トリック」でした．
27の枚カード・トリックは，マーティン・ガードナーが1956年に発表したものですが，
それをマット・パーカーが発展した新バージョンです．
詳しくは⇒　数学月間の会

◆Matt Parker
エジンバラ・フェスティバルでは大人気のコメディ・ショーを持つ数学コミュニケータ．楽しいです．⇒　http://www.standupmaths.com/

◆27枚カードのトリックは次のように演技される：
観客に任意のカード1枚（例えば，スペードA）と，27以下の数字（例えば18）を選ばせる．
演技者は，選んだカードが何んであるか知らない．選ばれたカードを含む27枚のカードは十分に混ぜられ，裏向きの束に積み上げられている．演技の最後には，27枚のカード束の上から18番目の位置に，選ばれたカードを移動して見せる必要がある．つまり，スペードAの上に17枚のカードがあるようにしたい．
この演技のプロセスに，3進法が利用されている．
3進法で17を表すと17=2x3⁰+2x3¹＋1x3²で，221と表記される．
(ここでは，１の位から先に表記しているので，慣れている表記と逆順になるのに注意)
演技者は，27枚のカードを，3つの山に，1枚づつ配り分けていく．
選ばれたカードがどの山に入っているか聞いてから，3つの山を，さりげなく重ね合わせる．
再度同じ操作を繰り返す．結局全部で，この操作が3セット繰り返され，１つの束ができるが，不思議なことに求めるカードは，上から18番目に置かれている．
このトリックのミソは，3つの山を重ねる順番にある．重ねる機会は3回あるのだが，
各回の束を作る時，どの山を上（Top=0），中（Middle=1）,下（Bottom=2）の
何処に置いたら良いだろうか？
さりげなく手際が良いので見分け難いが，ビデオの後半で，マットがその仕組みを説明する．
日本語の解説は⇒　数学月間の会
ビデオをよく見て練習しましょう！⇒