インドラの網と反転円

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数学月間SGK通信 ［2014.05.20］ No.007
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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■アポロニウスの窓ApolloniusGasket
映像が果てしなく繰り返す「インドラの網」
網の上に置かれた真珠は互いに反射し合って，他の真珠を映しだすだけでなく，
他の真珠の映る自身の姿をも映します．世界全体が真珠一つ一つの上に映り，
またその姿が別の真珠に映り，これが永遠に続くのです．
”インドラの真珠”
D.マンフォード, C.シリーズ, D.ライト, 小森洋平 (翻訳)，日本評論社より

この美しい図形は２次元では，「アポロニウスの窓」とも呼ばれます．
互いに 接し合う3つの円に接する第4の円を描くのですが，
これを次々と繰り返して作られる円の中の世界です.
4つの円の曲率（半径の逆数）をa,b,c,dとすると，
2(a²+b²+c²+d²)=(a+b+c+d)² という
デカルトの発見（1643）した定理が成り立っています.
参考⇒三角形の七不思議 (ブルーバックス)， 細矢 治夫

■反転によるフラクタル構造
美しいアポロニウスの窓を見ていると，いろいろな想いが拡がります.
2つの円が互いに接し，かつそれらがアポロニウスの窓の外周円とも接しているとき.
これらの接点を通り外周円と直交する円を考えましょう．すると，
この円で分断された2つのアポロニウスの窓の世界は，この円を反転円として，
互いに鏡像となっています.　もし反転円がどんどん小さくなれば，
その小さな領域に大きな世界がどんどん繰り込まれていくので，
不思議なフラクタル世界 の美しさが見られます.
Fig.

https://scontent-b-nrt.xx.fbcdn.net/hphotos-prn2/t1.0-9/s640x640/1661263_605037739584150_251764405_n.jpg
図は　Cinderellaというフリーソフトを用いて描きました．
緑色の円の外にあるピンクと黄色の円は，緑色の円を反転円とすると，
緑色の円内のピンクと黄色の円にそれぞれ映ります．
映されたこれらの円の大きさは，その上のグレーの円と同じ大きさです．
色々な反転円を考えれば，無限にある大小さまざまな大きさの円は，
みんな同じ大きさであるとも言えます．
だから，円盤内の世界は無限に広いと言い張るのも良いでしょう．

■円による反転
原点に中心のある半径1の円による反転は，反転円内の点r→反転円外の点Rへの写像
（あるいはこの逆）で，反転像どうしは，r･R=1の関係にあります．
もし，反転円の円周上に点があれば，反転像は元の点と同じ位置です(r=R=1）．
反転操作では，円は円に写像されます．もし，反転円に直交するような円周の円を
この反転円で反転すれば，同一の円の上に写像されます．したがって，
円周に直交するような反転円で分断された円の２つの部分は，反転円による
それぞれの鏡像になります．

円が直線なら，普通の鏡映像になります．
直線鏡の組み合わせで作られる映像は，良く知られた万華鏡です．
反転円を用いたインドラの網も拡張された万華鏡の映像です．

■編集後記
仏教では，「宇宙の一切のものが,一切のものの原因になっていて，
無限の過去からの無数の原因が，どの一人にも
それぞれ反映されている」と考えます．
これはまさに単純な因果列ではなく複雑系の考え方ですね．
宮澤賢治に「インドラの網」という小品があります．
インドラの網目に縫い付けられた珠玉は，互いに映じ合うと同時に,
自分自身も輝いています.
この項目は，複雑系，双曲幾何の円盤モデル，エッシャーの不思議な世界，
平面の分割と万華鏡，などに関連があります．
これらは順次別号で取り上げる予定です．

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