2015年3月の記事一覧

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
数学月間SGK通信 ［2015.03.31］ No.057
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
今年も桜が咲きました．関東地方は良いお花見日和です．
皆様のまわりは如何でしょうか．満開の桜はいいですね．
桜吹雪も私は好きです．年に一度の良い季節です．
一斉に花だけ咲く桜は確かに異常です．闇を背景の夜桜は怖いようですし，
森の中でただ一人，満開の桜の中に居れば，坂口安吾の小説にもあるように
気が変になりそうですね．
桜の花は，見事な5回対称をしています．今回は花見の季節という事で
平面図形の5回対称を観賞しましょう．今回は気楽にご覧ください．

（１）点群
桜の花びらの対称性は正5角形の対称性と同じで，
点群でいうと記号5mで表現します．これは，5回回転軸と鏡映面mとから
生成される点群だという意味です．図を見て下さい．
赤い5角形は，正五角形の中心に立てた5回回転軸を示します．
赤い線分は鏡映面を示します．鏡映面が１つあれば，5回回転軸のために
5枚の鏡映面が生じ，これらの鏡映面の交線が5回回転軸になっています．
ここで生じる5枚の鏡映面はすべて同じ性質です．それは5回回転軸で
互いに変換されるべきものだからです．
（群論の本では，すべての鏡映面は同じ共役類に類別されると表現されます）
群という言葉を出しましたが，あまり気にすることではありません．
5回回転軸と1枚の鏡映面mの操作を組み合わせ，次々新しい対称操作を
生んでいくことを，どんどんやっていくと，それまでに得たものと
同じ対称操作になってしまうことがわかります．
点群5mの例では，異なるものは10個の対称操作で全てです．
これら10個の対称操作で点群5mの対称操作の集合は閉じているといい．
点群5mの位数は10だと言います．
群となる条件は，集合が閉じているだけではありませんが，細かい定義は省略し，
ここでは，5回対称軸とそれを含む1枚の鏡映面だけで
10個の対称操作が生まれ，それで閉じていることを鑑賞ください．
点群と書いているのは群5mは1点を不動点にするものだからです．
出発点となった5回回転軸と1つの鏡映面を点群5mの生成元と言います．

老婆心ながら注意をうながしたいのは，奇数回転軸の点群で点群に生じた
鏡映面はすべて同一の共役類に入り，5mなどと記述すことです．
5mmではありません．
偶数回転軸の場合は，例えば，2mmのように記述し，鏡映面は
２つの共役類に分かれます．これらの違いは共役類の類別のためで
結晶学の本にときどき誤りが見受けられますのでご注意ください．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/49/16607149/img_0_m?1427715627

（２）部分群
点群5m（位数10）の部分群に点群5(位数5)や点群m（位数2）があります．
部分群は上位の群の対称要素を落とすことで得られます．
操作mを落とすことで点群５が，操作5を落とすことで点群mが得られます．

（３）5回回転対称性は，並進と両立しない
均一な2次元平面を，互いに独立なベクトル a, b を用いて
na+mb となる格子点（n,m）で，デジタル化したものが結晶空間です．
すべての格子点（n,m）は同値ですから，結晶空間は周期的です．
ベクトル a, b を並進ベクトルと言います．格子点を多角形のタイル
で表現すると，平面のデジタル化は平面のタイル張りの問題になります．
ここで，正五角形のタイルでは隙間なく平面をタイル張りできないことを
確認しましょう．結局，結晶空間（今考察中のものは2次元ですか，3次元でも）
では5回対称性は存在し得ないことがわかります．

（４）フラクタルのタイル張り
正五角形でフラクタルのタイル張りをしてみましょう．
この図には隙間だらけですが，隙間をさらに2種類のタイルを使って
埋めることを考えるとペンローズのタイル張りが得られます．

（５）黄金比
正五角形の中に次々と組み込まれる小さな正五角形には，黄金比1:x　
が随所に表れています．そのため，たいへんまとまりの良い感じの
図形になります．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/49/16607149/img_1_m?1427715627

http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/49/16607149/img_2_m?1427715627

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
数学月間SGK通信 ［2015.03.24］ No.056
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
私が通潤橋（熊本県上益城郡山都町）を訪れたのは，2007年10月のことでした．
22日は，午前中に潤徳小学校3,4年生36人に万華鏡づくりの授業，
午後は先生方と人形浄瑠璃注）観劇を経験しました．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/28/16586128/img_4_m?1426898367
－－－－－
注）人形浄瑠璃は，清和文楽館
http://seiwabunraku.hinokuni-net.jp/wp-content/uploads/img/about/s_06.jpg
で観賞しました．山都町の人形浄瑠璃の始まりは，江戸時代の嘉永年間（1850年ごろ）で，
山都町（旧・清和村）を訪れた淡路の人形芝居の一座から，
浄瑠璃好きな村人が人形を買い求め，技術を習ったのが始まりといいます．
清和文楽は農家の人々が農業の合間を縫って練習や公演を行い伝承されてきました．
良い話です.民衆の文化の高さに感激しました．三人で一体の人形を操ります．
首（かしら）と右手を操る「主遣い（おもづかい）」，左手を操る「左遣い」，
足を操る「足遣い」です．人形も触らしてもらいました．
－－－－－－－－－－－－－

■通潤橋
阿蘇山の南側のこの付近の地形は，島のように台地があり，台地から台地への移動が
大変で平家の落人が隠れ住むのに好都合だったようです．
台地（白糸台地）に農業用水を引くのが大変です．
水は台地のがけ下に汲みに行かなければなりません．
時の惣庄屋「布田保之助（ふたやすのすけ）」は，白糸台地に水を引くための
水路橋”通潤橋”を，肥後の石工たちの技術を用いて1854年に建設しました．
通潤橋は，石造りアーチ水路橋で，長さ75.6m，高さ20.2m。幅6.5m．
橋の上部にサイフォンの原理を応用した3本の石の通水管が敷設されています．
通潤橋の写真（放水事に撮影k.Tani）
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/28/16586128/img_0_m?1426898367
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/28/16586128/img_1_m?1426898367

通水管の写真(撮影k.Tani)
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/28/16586128/img_2_m?1426898367

長さ約127m．石をくりぬいた１尺（30cm）四方の函渠（圧力のかかる管水路）．
管と管の繋ぎ目には，振動吸収と漏水防止のための漆喰（しっくい）が塗られている．
さらに，通水管には5～6ケ所に地震対策のための板（緩衝材）を挟んでいる．
→http://www.geocities.jp/fukadasoft/isibasi/tsujyun/tuusui.html
通潤橋は両側台地より低いので，サイフォンの原理で出口で水を押し上げています．
通潤橋の高さから流入側台地は7.5m高く，流出側台地は5.8m高い．
→http://www.geocities.jp/fukadasoft/isibasi/tsujyun/kaisetu.html
通潤橋は，今でも周辺の田畑を潤しています．
放水は，通水管に詰まった堆積物を取り除くために行うものです．

「通潤橋史料館」　に行くと，どのようにアーチ石橋を施工したかわかります．
川の中に写真のような木枠を大工が組んで石工が石を置きました．
アーチ橋の高さを台地の高さまで上げられなかった理由は，
この木枠をこれ以上の高さにする木材がなかったためという事です．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/28/16586128/img_3_m?1426898367

石橋の木枠を外す最終段階は，橋の中央に白装束を纏った布田翁が鎮座し，
石工頭も切腹用の短刀を懐にして臨んだといいます．

これから，アーチ曲線の数学の話をしようと思っています．
写真で見えるアーチ曲線を型どっている石の並びについてです．
アーチの頂点にある石を”かなめ石”と言います．
アーチ状に一列に並んだ石達は自分の重さで互いに締め付けあい安定になっておりセメントなど不要です．
それでも下の木枠を外すときは，とても心配で責任者は命がけだったでしょう．
ーーーーーーー

さて，石積の橋の形，アーチ曲線に関して考えましょう．
アーチの両側の根元はしっかり固定しなければなりませんが，
アーチの上の石の重さが重ければ重いほどアーチの石は互い押し合い引き締め合うので，
橋は大きな荷重に耐えられるのです．石積みは引張力に抗する力はないが，
石積の石に働く力はすべて圧縮力だけなので接着の必要はなく安定構造になります．
石は圧縮に強い材料ですからアーチ型の橋には最適です．ただし，アーチ根元の支点部には，
大きな水平力が発生するので，それとつり合う大きな水平反力が必要です．
山で挟まれた峡谷などはこの点では最適な立地条件でしょう．
通潤橋の根元をしっかり押さえつけている重そうな石積の写真を見てください．

■空き缶を積んで作ったアーチ
私が真剣に積んだのですが，できるのはどうしても缶5個のアーチまででした．
5個の缶で缶同志の接点は4点．すべての接点で同時につり合っていなければなりませんから，
とても難しいことです．もし，6個以上でアーチが出来た方は新記録です．ご一報ください．
缶の周りにラップを巻いていますが，摩擦力を増すためでアーチのつり合い条件を変えるものではありません．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/46/16586546/img_1_m?1426979031

ここから先は，釣合の5つの一次方程式を連立して解く線形代数の話になりますから
省略します．興味ある方は以下でご覧下さい．
http://blogs.yahoo.co.jp/tanidr/16586546.html

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
数学月間SGK通信 ［2015.03.17］ No.055
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
とうとう桜の花も咲きだしました．やるふりだけの中身のない政治や仕組みに呆れます．
メルマガくらいは，実質のある楽しんでいただけるものをと心がけようと思います．
ご希望コメントなどをお寄せください．

■振幅の大きな2重振り子の動画がyoutubeなどに色々あります．
大変滑稽な動きをしますのでまずご覧ください．
http://blogs.yahoo.co.jp/tanidr/16560015.html
にはインターネットから拾った2つの例を掲載しています．
第１の動画は実験，第２の動画はシミュレーション結果です．
なぜこのような話をするのかと言えば，
２重振り子は，振幅の小さいうちは，皆が見たことのある自然な振動をしますが，
ある程度以上の振幅になると，とても不自然な滑稽な動きになるからです．
振幅が大きいときは，始めのスタート位置（初期値）によって結果が変わることにも気づくでしょう．

■このような系（エネルギーが保存される）の運動は，
ラグランジュ関数（運動エネルギーと位置エネルギーの差）に対する
オイラー=ラグランジュ方程式を解けば決定できます．
ラグランジュ関数　L(x(t),x'(t)，t)は，座標x(t),速度x'(t)，時間tの関数です．
オイラー=ラグランジュ方程式というのは変分原理とも呼ばれ，
ラグランジュ関数の時間積分（これを作用積分といいます）が
停留値となるようなx(t)の経路を見つける方法です．
ここでは，代表して変数はx(t)しか記述していませんが，
実際は自由度の数だけ変数があり，
これと同じ数だけオイラー=ラグランジュ方程式ができます．
エネルギーが保存される系では，ラグランジュ関数は作れるのですが，
オイラー=ラグランジュ方程式は，一般に解けません（解を関数で書けません）．
昔，私達が物理学で演習したのは，解のある特殊なケースばかりだったのです．
注）振幅の小さい範囲では，x(t)やx'(t)の2乗まで残す近似で，
線形な微分方程式の固有値問題に帰着します．
詳細はhttp://blogs.yahoo.co.jp/tanidr/16560687.html

■問題は振幅の大きいときの運動を知る方法です．
これは解析的な解が得られないので，
今日のようにコンピュータが使えるようになって数値計算ができるようになりました．
そのためのプログラムは，次のような手順です．
現在の位置と速度をx(n),x'(n)とします．
x(n)，x'(n)から加速度x''(n)を得るのは，オイラー=ラグランジュ方程式を使います．
一方，x'(n+Δ)＝x'(n)+x''(n)Δ，　x(n+Δ)＝x(n)+x'(n)Δ　ですから，
x(n), x'(n), x''(n)から，時間ステップΔ後の x(n+Δ)，x''(n+Δ)が更新できます．
このようにして，初期値から，逐一運動の様子を求めていきます．

■力学系を記述するラグランジュ方程式は存在するのだが，
解を関数で記述できない（解けない）方程式が大多数です．
系の運動を支配する法則（ニュートン力学）は明確なのに，
解が関数で記述できないのです．コンピュータによって
運動は逐一決定できますが，常識と違う予想もつかない挙動が起こる．
分岐やカオスです．このようなことを指摘したのはポアンカレでした．

・1766　オイラー「変分法の原理」
オイラー，　ラグランジュ
・1800　ラグランジュ「解析力学」
エネルギー散逸がない系は，オイラー＝ラグランジュ方程式が作れる
オイラー，　ハミルトン，　ヤコービ
・1900　ポアンカレ
可積分の方程式はごくわずか
大部分の方程式は非可積分（関数で記述できない）
ニュートンの法則に従う系の運動は，可積分と決めつけてはいけない．
－－－－－－
可積分　→　予測可能，安定な軌道　互いに独立な因果列
非可積分→　カオス的　　　　　　　干渉し合う因果列

力学系を記述するラグランジュ方程式は作れるのだが，これが解けるとは限らない．
物理の演習では，解けるものしか扱わなかったのです．
実際の世の中は，解を関数で記述できない（解けない）方程式が大多数．
系の運動を支配する法則（ニュートン力学の方程式）は明確なのに，
解が関数で記述できないのだ．でも，コンピュータによる数値計算により，
運動は逐一決定できる．しかも，予想もつかない挙動が起こる．
このようなことを指摘したのはポアンカレでした．

1766　オイラー「変分法の原理」
オイラー，　ラグランジュ

1800　ラグランジュ「解析力学」
エネルギー散逸がない系は，オイラー＝ラグランジュ方程式が作れる
オイラー，　ハミルトン，　ヤコービ

1900　ポアンカレ
可積分の方程式はごくわずかで，大部分の方程式は非可積分（関数で記述できない）
ニュートンの法則に従う系の運動は，可積分と決めつけてはいけない．

可積分　→　予測可能，安定な軌道　互いに独立な因果列
非可積分→　カオス的　　　　　　　干渉し合う因果列

分岐理論

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
数学月間SGK通信 ［2015.03.10］ No.054
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
今回はホットなニュースです．
■錯視のシンポジウム
http://cmma.mims.meiji.ac.jp/…/jointrese…/demosillusion.html
International Symposium on Psychological vs Mathematical Approaches to Optical Illusion
が，明治大学中野キャンバスで，2015年3月4-6日に開催されました．
興味があるテーマでしたので多くのセッションを聞きたかったのですが，
私の時間の許す5日の14:00~17:20のセッションだけ参加しました．
https://www.facebook.com/sgk2014?fref=nf
注）
3月12-14日に明治大学駿河台キャンバスでサテライトミーティングがあるようです
http://www.mims.meiji.ac.jp/seminars/another/2011/20120313.html
ーーーーーーーーーーー
聴講したセッションの座長はYasushi Yamaguchi,
講演は次の3件；
Masanori Idesawa, A model for explaining tha anomalous motion illusion.
Akiyoshi Kitaoka, Color-dependent motion illusion in stationary images:
What causes illusory motion?
Stuart Anstis, Illusion of motion perception.
ーーーーーーーーーーー
会場は，明治大学中野キャンバス，5Fの新しい楕円型の階段ホール．
参加者は若者が多く４０人程度であった．この国際シンポジウムのオーガナイザーは，
Kokichi Sugihara(明治大学), Akiyoshi Kitaoka(立命館大学)です．
注）
明治大学は，2008年度，「現象数理学の形成と発展」グローバルCEOプログラムに採用された．
数学系では，東京大学，京都大学，九州大学，明治大学が採択されている．
大学院先端数理科学研究科，現象数理学専攻は2011年に開設，2013年に中野キャンバスがオープンした．
明治大学には錯視美術館（大学と少し離れた淡路町）があり，毎週土曜日だけ開館している．
博士前期課程では，学生1人に対し正副3人の指導教員が広がりを持った研究指導を行う．
後期課程では，学生の研究テーマに応じて，モデリング，シミュレーション，
数理解析の3分野から1人づつ計3人の指導教員がチームを組んで多角的な研究指導を行うという．
現象数理学は，微分方程式のモデルで定量的に記述し，コンピュータでシミュレーション．
分岐理論でなぜ違いが生じるのかを理解する．金融工学，進化ゲーム理論，錯視の仕組みなどが，
数理モデリングを通じて理解ができる．修了後の進路は，
ビッグデータを扱うIT系企業，金融機関，教員など．米国の例では，
投薬タイミングなどを分析して医師らにアドバイスする病院ポストなどまで広範である．

2006年の文科省科学技術政策研究所「忘れられた科学－数学」で
数学と他分野との共同研究実施に向けた体制整備が叫ばれた．
数学と諸科学の連携研究は，米国MAMでも盛んに報じられており，
活発化している数学の分野である．これが純粋な数学と呼べるかの疑問はさておき，
高性能のコンピュータと数値計算の発展により可能となった新しい分野である．
エネルギー散逸のない系を記述するオイラー=ラグランジュ方程式は存在するが，
その大部分は解けない（関数で書けない．非可積分という）．
学生時代に教科書で扱ったのはごく特殊なケースなのだ．
これらをコンピュータを用いて数値的に解くことになる．
安定軌道がなくカオス的で分岐が生じる現象が注目される．
同様にビッグデータを解析する統計学でもコンピュータが活躍する．
日本数学協会が，６月7日午後に予定している講演会（於大東文化大学）
「ヒトとモノづくり数学－10年目の数学月間」でも，
数学月間の経緯と並べて錯視を取り上げることになっている．
ーーーーーーーーーー
■静止画なのに動きを生じる錯視
見ているのは静止画なのに動きが出る（なぜ時間の要素が入る）のか？
と不思議に思うでしょう．見る側に原因があります．目の空間認識は，
TVのようなラスタースキャンではないが，サッケード運動，ドリフト，
中心視と周辺視の切り替わり，網膜の周期的なリセット，等々により，
これらは時間の関数だからです．私は形の認識の仕組みに興味があります．
図形の対称性を見て快いと感じるのは，単純なサッケードになるからだろうと考えていました．
そして今回，これは錯視と表裏一体の現象であると気付きました．図形の認識にかかわる
測度量で時間の関数であるものが，動きのある錯視を生む原因になるようです．
動きを生む錯視にも色々あります．北岡の回転する蛇に見るように，
黒/暗灰/白/明灰/黒/･･･の明暗のストライプで，白から黒の方向に動くように見える現象が，
色相のストライプでも起こり，周囲が明るいときと暗いときでは動く方法が逆になる．
このようなデザインは処々で活用されています．
http://www.ritsumei.ac.jp/~akitaoka/rotate.html
同じものを見ていても，全域的回転を認識するか局所的回転を認識するというように
注目現象が異なることがあります．どちらかを認識すると他方は見えないのです．
これは亜群の集合で核となる部分集合をどれに定義するかの問題と類似しています．
■青・黒ドレスの色が変わる
動きは生じない錯視の例として，青・黒の横縞のドレスが白・金の横縞に変わるのが，
このシンポジウムの紹介を兼ねて3月4日の夕方のTVニュースで取り上げられました．
youtube動画やtwitterなどで，この原因が，右脳，左脳による個人差だというような
説が流れていますがそれは嘘です．周囲の明るさに依存して変化するのです．
色相変化ではγ特性が効いています．
宮澤賢治が注文の多い料理店序文で「はたけや森の中で、ひどいぼろぼろのきものが、
いちばんすばらしいびろうどや 羅紗 や、宝石いりのきものに、
かわつているのをたびたび見ました」と言いましたが，これは錯視ではありません．
でも黄昏の光できものの模様が変わって見える錯視はあることでしょう．
フィルタリングや非線形γ特性などは，画像処理で日常使われているものですが，
これらも錯視を生む場合があります．
Stuart Anstis(University of California)は，動きを生む錯視の原理が理解できる例を
以下に掲載しています．http://anstislab.ucsd.edu/illusions/

■2重振り子（振幅の大きいとき）

微小な振幅であるならば，解析的な解があり，あまり複雑でない周期的な運動になることを前回に学習しました．
しかし，振幅が大きくなると，ラグランジュ関数 L の近似ができませんので，ラグランジュ方程式は解けません．
しかし，将来，誰かが巧妙な方法で解くのではないかと期待し，最悪そのような解析的な解は存在しないとしても，
振動範囲が小な場合と本質的に大差はないのではないかと想像するのが自然なことでした．
系のラグランジュ関数 L は全く正しいし，ラグランジュ方程式も正しいのですから，
解析的に解けないと言っても心配ないのではと思うでしょう．

しかし，実験ではとんでもない現象が見られました．
コンピュータを用いた計算が高度になり，力ずくで動きのシミュレーションがなされるようになりました．
正しい方程式は実在するのですから，関数による軌道記述は出来なくても，動きは逐一決定されるはずです．
しかし，初期条件（初期値）により，予想もつかない挙動が見られます（カオス）．

◆第１の動画は実験
スタートする初期値によって運動の様子は異なります：

◆第２の動画はシミュレーション
Double Pendulum Chaos Light Writing (computer simulation) 1

■2重振り子（振幅の小さいとき）

図のような2重振り子の運動です．今回は物理演習のようになりましたが，
数式に囚われる必要はありません．重要なのは，振幅が小さい範囲なら
運動は線形の微分方程式に近似できるので，2種類の周波数の振動が重畳
された運動になる．つまり，関数で記述できる安定な周期的な運動になる
という事です．そして，これに対比される次に話題になる振幅の大きい
2重振り子運動では，運動は関数で記述できず，予想もつかない
とんでもない運動をするということです．

◆それでは，振幅の小さいときの2重振り子の学習をしましょう．
ここでは，ラグランジュ関数やラグランジュ方程式を説明せずに用いています．
これらを学習したい方は，EMANの物理学などが参考になります．

m1の座標は

これは，Oから釣り下がる長さ l の糸と
mから釣り下がる長さ l₁ の糸の和であるからだ．

この2重振り子のラグランジュ関数Lは

Tは系全体の運動エネルギー，Uは系全体の位置エネルギー
解Φ，ψ を求めるには，次のラグランジュ方程式を解かねばならないのだが

解析的には解けない（関数で記述できる解がない）ので，
Φ，ψ の振動範囲を微小に制限して（Φ，ψの2次までを残す近似），

この近似した L=T-U を用いて，ラグランジュ方程式を解く．
これは解けるのだが物理の演習問題なので（参考）に示し，結論だけ述べる．
結論
Φ, ψ は，以下の2つの固有ベクトル（基準振動）の重畳（線形結合）で表せる．　

微小振動の範囲では，Φ，ψは，それぞれ２つの固有振動の重ね合わせであるということは，
それほど複雑な振動ではない．いずれにしろ周期的な振動である．
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
（参考）

続く⇒　振幅の大きい場合

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
数学月間SGK通信 ［2015.03.03］ No.053
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
3月になりました．皆様，お元気にお過ごしでしょうか．
母が救急車で入院した1月には，硬い芽のようだった病院の梅も，
今はすっかり咲いてしまいました．白梅でした．
病院は遠方なのですが，見舞いにほぼ毎日通っています．
ここの梅の花の咲くのが見られるとは思っていませんでした．
でも，お陰様で無事に日々が過ぎています．

無限に繰り返す周期的な空間を結晶空間といいます．
このような空間を，正多面体（あるいは半正多面体）を組み合わせて，
すきまなく充填する様式を観賞しましょう．
これは立体パズルとしては難しいものですが，自然界ではめずらしくありません．
美しい鉱物結晶の構造として，結晶学の常識になっています．
空間分割の対称性，空間群の研究は，数学者ではなく
フェドロフなどの結晶学者や鉱山技師が偉大な業績を残しています．

■立方体（1種類）を積み重ねた周期空間から始めましょう．
Fig.1の4列目の最上行（右上隅）にあります．
http://blogs.yahoo.co.jp/tanidr/GALLERY/show_image.html?id=16535749&no=1
（これらの図はPOV-Ray，v3.7を用いて作成しています）

1列目の図は，立方体と正8面体を重ねて表示したものです．
これらの2つの正多面体は互いに双対*の関係にあります．
（*立方体の面を頂点に，頂点を面に変えたものが正8面体）
立方体のサイズを固定して，正8面体のサイズを連続的に変化してみましょう．
第1列の上から下へ，正8面体のサイズを徐々に小さくしています．
そのとき，立方体と正8面体の共通部分として得られる半正多面体が第2列．
これら半正多面体の名前をシュレーフリ記号*で書くと，
第2列の上から順に［3,8,8］,［3,4,3,4］,［4,6,6］です．

*)記号の見方：例えば［3,8,8］は，頂点のまわりが，
正3角形，正8角形，正8角形で囲まれているという状態です

■第3列は，それぞれの多面体を2次元に配列させて作ったシート．
第3列の上段図には小さい正8面体，中段図には大きな正8面体を立てる穴が，
下段図では，正８面体ではなく同じ半正多面体［4,6,6］用の穴ができます．

■第4列に，空間を隙間なく埋め尽くす正多面体の組み合わせを示します．
第4列の最上段図は，立方体のみでできる配列．
立方体だけで隙間なく空間を充填した構造は単純格子といいます．
第２，第３の行に，正8面体の穴に正8面体を詰めて空間を充填する様式を示します．
これらも格子としては単純格子と同じです．
第４の行は，多面体［4,6,6］のみで空間を充填できることを示します．
このとき出来上がる構造は体心格子と呼ばれます．

■ペロブスカイト（CaTiO3）構造
Fig.1の下から2行目の配列構造を見てください．
正8面体と［3,4,3,4］多面体の組み合わせで，空間が充填されています．

Fig.2
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/79/16539279/img_3_m?1425130572
正8面体の中心にTi原子，［3,4,3,4］多面体の中心にCa原子，
各多面体の頂点にはO原子を配置すると，ペロブスカイトの結晶構造が得られます．

余談ですが，この構造は，強誘電体や超伝導物質と係わりがありますし，
地球マントルの高密度物質の構造とも係わりがあります．

■ダイヤモンド構造
Fig.3
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/07/16541407/img_0_m?1425310851
こんどは，正8面体の稜を共通にして，平面シート状に並べます．
もちろん，正8面体だけでは空間の充填は出来ませんので，
正4面体の隙間がたくさんできます．正4面体の隙間はFig.3の緑のシートが
積み重なったようになり，頂点で８つの正4面体がつながり（シートが重なるため），
正4面体と正8面体の比率は2:1です．
空間の充填パズルはこれで正解なのですが，ついでにダイヤモンド構造を作ってみます．
Fig.4
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/07/16541407/img_1_m?1425310851
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/07/16541407/img_2_m?1425310851
正8面体（間隙）を取り囲む緑の正4面体の半分だけ使い，
各頂点で４つの正4面体がつながるようにします．
ダイヤモンドの結晶構造は， このような正4面体の配列が繰り返し，
青い正4面体の中心と頂点の位置に炭素原子を配置した構造*です．

*)正4面体の中心にある炭素原子から，4つの頂点方向に4本の結合が伸びています．
正四面体のどの頂点も4つの正4面体と規則正しくつながつているので，
正4面体の頂点の炭素原子からは，周りの４つの正4面体の中心にある炭素原子に向かって，
同様に4本の結合が伸びています．