桜の花の対称性

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数学月間SGK通信 ［2015.03.31］ No.057
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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今年も桜が咲きました．関東地方は良いお花見日和です．
皆様のまわりは如何でしょうか．満開の桜はいいですね．
桜吹雪も私は好きです．年に一度の良い季節です．
一斉に花だけ咲く桜は確かに異常です．闇を背景の夜桜は怖いようですし，
森の中でただ一人，満開の桜の中に居れば，坂口安吾の小説にもあるように
気が変になりそうですね．
桜の花は，見事な5回対称をしています．今回は花見の季節という事で
平面図形の5回対称を観賞しましょう．今回は気楽にご覧ください．

（１）点群
桜の花びらの対称性は正5角形の対称性と同じで，
点群でいうと記号5mで表現します．これは，5回回転軸と鏡映面mとから
生成される点群だという意味です．図を見て下さい．
赤い5角形は，正五角形の中心に立てた5回回転軸を示します．
赤い線分は鏡映面を示します．鏡映面が１つあれば，5回回転軸のために
5枚の鏡映面が生じ，これらの鏡映面の交線が5回回転軸になっています．
ここで生じる5枚の鏡映面はすべて同じ性質です．それは5回回転軸で
互いに変換されるべきものだからです．
（群論の本では，すべての鏡映面は同じ共役類に類別されると表現されます）
群という言葉を出しましたが，あまり気にすることではありません．
5回回転軸と1枚の鏡映面mの操作を組み合わせ，次々新しい対称操作を
生んでいくことを，どんどんやっていくと，それまでに得たものと
同じ対称操作になってしまうことがわかります．
点群5mの例では，異なるものは10個の対称操作で全てです．
これら10個の対称操作で点群5mの対称操作の集合は閉じているといい．
点群5mの位数は10だと言います．
群となる条件は，集合が閉じているだけではありませんが，細かい定義は省略し，
ここでは，5回対称軸とそれを含む1枚の鏡映面だけで
10個の対称操作が生まれ，それで閉じていることを鑑賞ください．
点群と書いているのは群5mは1点を不動点にするものだからです．
出発点となった5回回転軸と1つの鏡映面を点群5mの生成元と言います．

老婆心ながら注意をうながしたいのは，奇数回転軸の点群で点群に生じた
鏡映面はすべて同一の共役類に入り，5mなどと記述すことです．
5mmではありません．
偶数回転軸の場合は，例えば，2mmのように記述し，鏡映面は
２つの共役類に分かれます．これらの違いは共役類の類別のためで
結晶学の本にときどき誤りが見受けられますのでご注意ください．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/49/16607149/img_0_m?1427715627

（２）部分群
点群5m（位数10）の部分群に点群5(位数5)や点群m（位数2）があります．
部分群は上位の群の対称要素を落とすことで得られます．
操作mを落とすことで点群５が，操作5を落とすことで点群mが得られます．

（３）5回回転対称性は，並進と両立しない
均一な2次元平面を，互いに独立なベクトル a, b を用いて
na+mb となる格子点（n,m）で，デジタル化したものが結晶空間です．
すべての格子点（n,m）は同値ですから，結晶空間は周期的です．
ベクトル a, b を並進ベクトルと言います．格子点を多角形のタイル
で表現すると，平面のデジタル化は平面のタイル張りの問題になります．
ここで，正五角形のタイルでは隙間なく平面をタイル張りできないことを
確認しましょう．結局，結晶空間（今考察中のものは2次元ですか，3次元でも）
では5回対称性は存在し得ないことがわかります．

（４）フラクタルのタイル張り
正五角形でフラクタルのタイル張りをしてみましょう．
この図には隙間だらけですが，隙間をさらに2種類のタイルを使って
埋めることを考えるとペンローズのタイル張りが得られます．

（５）黄金比
正五角形の中に次々と組み込まれる小さな正五角形には，黄金比1:x　
が随所に表れています．そのため，たいへんまとまりの良い感じの
図形になります．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/49/16607149/img_1_m?1427715627

http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/49/16607149/img_2_m?1427715627