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数学月間SGK通信 ［2014.05.30］ No.010
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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円盤の中の不思議な世界（エッシャーの極限としての円）
双曲幾何空間のポアンカレ・モデル

■ポアンカレ万華鏡
1951年の国際数学会でエッシャーはコクセターに出会いました．その後1958年に
コクセターはFig.2を掲載した論文をエッシャーに送りそれがことの始まりです．

Fig.1は正6角形タイルが頂点で4つ出会うように平面を埋め尽くしている世界で，
シュレーフリの記号で{6,4}と表記されます．
これらの円盤内は双曲幾何の世界（ポアンカレ・モデル）なので，
円盤内では，正6角形タイルはすべて同じ大きさなのです．
（円盤のフチに近づけば近ずくほど，どんどん縮小されるので，我々から見たら
有限な円盤内なのに，無限個の正6角形タイルが敷き詰められています）
円盤内では，Fig.1に描かれているような円盤のフチに直交する円弧が直線です．

Fig.1
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/53/15820253/img_2?1401440063
Fig.2
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/53/15820253/img_3?1401440063

Fig.1の正6角形タイルを12個の直角3角形に分割したものがFig.2です．
この直角三角形の内角は(π/6, π/4, π/2)で，この直角3角形を簡単に(6,4,2)と表記することにします．
この3角形の内角の和は　π/6+π/4+π/2=11π/12<πですが，
ここは双曲幾何の世界ですからπより小さくなるのは当然です．
(6,4,2)直角3角形の各辺を鏡映面として万華鏡を作ると，
Fig.2のような市松模様が得られます（鏡映操作により白黒が反転する）．
私はこれをポアンカレ万華鏡と呼んでいます．
実際にこの万華鏡を作製しましたが，円弧面による反射は原理的に収差があり，
数学の反転操作とは異なります．あまり美しい万華鏡にはなりません．

■コクセターとエッシャー
さて，コクセターからFig.2の分割図を知らされたエッシャーは，
早速「極限としての円」シリーズの制作を始めます．
エッシャーは{6,6}正則分割を用いた直線魚の作品などといろいろ工夫を重ね，
「極限としての円」のシリーズIIIで，{8,3}正則分割を用い完成します（Fig.3）．

Fig.3
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/53/15820253/img_0?1401440063
Fig.4
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/53/15820253/img_1?1401440063

Fig.3に描かれている魚が泳ぐ流れの白い線は直線のように見えますが，
実は違います．円盤のフチと80°で交わっています．
直線となる円盤のフチと90°で交わる円弧はFig.4に描きこんだ黒い線です．
そしてエッシャーの作品は，{8,3}正則分割を基礎にしていることがわかります．
{8,3}正則分割は,正8角形のタイルが頂点で３つ出会うような敷き詰めですが．
エッシャーの作品のトリックは，正8角形のタイルを作る直線
（絵には顕には描かれていない）と，魚の流れに沿った線を正確に使い分けて
見事な印象を与えている所です．
この解説は，1979年のコクセターの以下の論文で指摘されています．
Coxeter, H. S. M. (1979), "The non-Euclidean symmetry of Escher's picture
'Circle Limit III'", Leonardo 12: 19-25, JSTOR 1574078.

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数学月間SGK通信 ［2014.05.27］ No.009
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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◆双曲幾何のポアンカレ・モデルの世界
円盤の中に宇宙があります．
円盤のフチに近づくほど自分もどんどん小さくなるので，
歩いても歩いてもフチまで行けません．Fig.1をご覧ください．
円盤の中に描かれた円弧はすべて，フチと直交しています．
この円盤の世界では，これらは皆，直線なのです．

◆反転円による鏡像
円盤のフチと直交するこれらの円の一つ，例えば，
赤い円弧で分けられた円盤の世界は，左が大きく右が小さい
ように我々には見えます．しかし，円盤の世界（双曲幾何の世界）
に住むとどちらも同じ広さで無限に広い．
なぜかというと，赤い円で分けられた円盤内の世界は，
赤い円を反転円にすると，互いに鏡像になるからです．
(注）円による反転とは-------ｰｰｰ
反転円の半径をrとるると，互いに反転鏡像となるA,B2点の
反転円の中心からの距離をa,bとすると，a･b=r²　です．
---------------------------------
我々のユークリッド空間では，鏡像というと直線鏡によるものですが，
円盤内の双曲幾何の世界では，フチと直交する円弧(この世界では直線）
による反転で鏡像が作られます．

◆Fig.1は円版の世界をフチに直交する円弧（この世界の直線）で
分割した例です．鏡映が起こるたびに色が変化するように，
市松模様に塗り分けてみました．
こような分割の表記にはシュレーフリの記号が使われます．
Fig.1は[4,6]と表記しますが，これは，どの頂点も同じ状態で，
正4角形が6つ頂点に集まっているという意味です．
我々にはゆがんで見えるかもしれませんが，
円盤内の世界ではこれらは皆同じ正方形なのです．
Fig.1→https://scontent-a-sjc.xx.fbcdn.net/hphotos-frc3/t1.0-9/s640x640/1507832_578610068893584_59018908_n.jpg

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数学月間SGK通信 ［2014.05.22］ No.008
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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不思議な魔方陣
http://www.mathaware.org/mam/2014/calendar/magicsquares.html
イーサン・ブラウンは，マサチューセッツ，アンドーバーのフィリップス・アカデミィ・
アンドーバーの高校生で，数学マジシャンです．
4×4魔方陣で，観客が任意に選んだ3マスに，観客が任意に選んだ数字（1～20)を置いて
スタートです．さらに観客に，コラムの総和となる任意の数（30～80)を選ばせます．
これらの条件下で4×4の魔方陣を作ります．まるで，“ねずっち”の謎かけ問答のように
直ちに作ります．Fig.1のような魔方陣ができました．
この例では，任意に選ばれたマス位置の数字は，11, 2, 5 で,
観客の提示した総和は79でした（Fig.1のオレンジのマス）．
確かに，魔方陣の縦/横/対角線/中心４マス/4隅の４マス/外周角のマス４つ，
などの総和はすべて79になっています．第二のビデオでその作り方がわかります．

Fig.1

第三のビデオで，
Fig.2,3のようなラテン方陣の変形から作る方法も紹介されています．

Fig.2　　　　　　　　　　　　　　　　

Fig.3

4×4の色々な魔方陣を作ってみてください．

■いろいろな同期現象
http://sgk2005.sakura.ne.jp/htdocs/index.php?key=jo6zrwacj-29

独立な多数の振動子が同期する現象はいろいろな所で観察されます．
もちろん，振動子間に何らかの相互作用が存在するために起こります．
それぞれの振動子の固有振動周波数は,バラついているものの
ある程度の範囲内でほぼそろっていなければなりません．
初期状態では各振動子の位相はバラバラですが，
時間が経つと不思議なことにそろってきます．
64個のメトロノームの動画では，最後には一糸乱れぬ軍隊の
行進のようにそろいます．言論統制みたいで気持ち悪いですね．
ホタルの点滅，心臓筋肉の同期，付和雷同の心理，化学反応，等々
これは，いろいろな分野で見られる現象です．私も昔，
放電の発光点の移動で同じような現象を体験したことがあります．

■同期の観察
以下のビデオがyoutubeにありますので予備知識に，まずご覧ください．
のぼさんの実験（１）
ロウソクの炎の振動の同期
池口研究室（２）
メトロノーム同期（2個）の分岐
メトロノーム同期 (64個)
◆ロウソクの炎の実験（１）を見ていると，2本のロウソクの炎の
振動が同相になる条件と逆相になる条件があることがわかります．
どちらになるかは，2本のロウソク間の距離によるようです．
2本のロウソク間の相互作用は，炎の周囲の気流によるものですから
2本のロウソクが近いときは，同相に，
ある程度の距離範囲ならば，逆相になることは推測できるでしょう．
大きく離れると，それぞれ独立になります．
◆メトロノーム2個の同期（２）でも，同相同期と逆相同期があり，
これは２つのメトロノームを積載している共通基盤の振動周波数
によって決まるようです．
共通基盤の振動は2つのメトロノームの相互作用そのものです．
共通基盤の振動周波数が小さいときに同相同期，
大きいときに逆相同期になっているのが観察されます．
これは，もちろん理論的な推測と合致しますね．

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数学月間SGK通信 ［2014.05.20］ No.007
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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■アポロニウスの窓ApolloniusGasket
映像が果てしなく繰り返す「インドラの網」
網の上に置かれた真珠は互いに反射し合って，他の真珠を映しだすだけでなく，
他の真珠の映る自身の姿をも映します．世界全体が真珠一つ一つの上に映り，
またその姿が別の真珠に映り，これが永遠に続くのです．
”インドラの真珠”
D.マンフォード, C.シリーズ, D.ライト, 小森洋平 (翻訳)，日本評論社より

この美しい図形は２次元では，「アポロニウスの窓」とも呼ばれます．
互いに 接し合う3つの円に接する第4の円を描くのですが，
これを次々と繰り返して作られる円の中の世界です.
4つの円の曲率（半径の逆数）をa,b,c,dとすると，
2(a²+b²+c²+d²)=(a+b+c+d)² という
デカルトの発見（1643）した定理が成り立っています.
参考⇒三角形の七不思議 (ブルーバックス)， 細矢 治夫

■反転によるフラクタル構造
美しいアポロニウスの窓を見ていると，いろいろな想いが拡がります.
2つの円が互いに接し，かつそれらがアポロニウスの窓の外周円とも接しているとき.
これらの接点を通り外周円と直交する円を考えましょう．すると，
この円で分断された2つのアポロニウスの窓の世界は，この円を反転円として，
互いに鏡像となっています.　もし反転円がどんどん小さくなれば，
その小さな領域に大きな世界がどんどん繰り込まれていくので，
不思議なフラクタル世界 の美しさが見られます.
Fig.

https://scontent-b-nrt.xx.fbcdn.net/hphotos-prn2/t1.0-9/s640x640/1661263_605037739584150_251764405_n.jpg
図は　Cinderellaというフリーソフトを用いて描きました．
緑色の円の外にあるピンクと黄色の円は，緑色の円を反転円とすると，
緑色の円内のピンクと黄色の円にそれぞれ映ります．
映されたこれらの円の大きさは，その上のグレーの円と同じ大きさです．
色々な反転円を考えれば，無限にある大小さまざまな大きさの円は，
みんな同じ大きさであるとも言えます．
だから，円盤内の世界は無限に広いと言い張るのも良いでしょう．

■円による反転
原点に中心のある半径1の円による反転は，反転円内の点r→反転円外の点Rへの写像
（あるいはこの逆）で，反転像どうしは，r･R=1の関係にあります．
もし，反転円の円周上に点があれば，反転像は元の点と同じ位置です(r=R=1）．
反転操作では，円は円に写像されます．もし，反転円に直交するような円周の円を
この反転円で反転すれば，同一の円の上に写像されます．したがって，
円周に直交するような反転円で分断された円の２つの部分は，反転円による
それぞれの鏡像になります．

円が直線なら，普通の鏡映像になります．
直線鏡の組み合わせで作られる映像は，良く知られた万華鏡です．
反転円を用いたインドラの網も拡張された万華鏡の映像です．

■編集後記
仏教では，「宇宙の一切のものが,一切のものの原因になっていて，
無限の過去からの無数の原因が，どの一人にも
それぞれ反映されている」と考えます．
これはまさに単純な因果列ではなく複雑系の考え方ですね．
宮澤賢治に「インドラの網」という小品があります．
インドラの網目に縫い付けられた珠玉は，互いに映じ合うと同時に,
自分自身も輝いています.
この項目は，複雑系，双曲幾何の円盤モデル，エッシャーの不思議な世界，
平面の分割と万華鏡，などに関連があります．
これらは順次別号で取り上げる予定です．

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不思議な魔方陣
http://www.mathaware.org/mam/2014/calendar/magicsquares.html
Ethan Brown
Mathemagician,
Massachusetts，AndoverのPhillipsAcademyAndoverの高校生．

観客に，縦，横，斜め，中心４マス，四隅4マス，外周の4マスなどの総和（この例では79），および何ケ所かのマスとその数字（この例では2,11,5）を提示させます．これらの制約の下で魔方陣を直ちに作ります（第1のビデオ）．まるで，ねずっちの謎かけのように直ちに作ります．こんな魔方陣ができました．
http://www.mathaware.org/mam/2014/calendar/images/ethans_magic_square.gif
第2のビデオで，魔方陣を作る方法の秘密がわかります．
第3のビデオは，ラテン方陣を変形して，魔方陣を作る方法を説明します．
http://sgk2005.sakura.ne.jp/htdocs/?action=common_download_main&upload_id=14

天文学者、物理学者、そして数学者がスコットランドを走る列車に乗っている。天文学者は窓の外を眺め、一頭の黒い羊が牧場に立っているのを見て、「なんと奇妙な。スコットランドの羊はみんな黒いのか」と言った。すると物理学者はそれに答えて「だから君たち天文学者はいいかげんだと馬鹿にされるんだ。正しくは『スコットランドには黒い羊が少なくとも一頭いる』だろう」と言う。しかし最後に数学者は「だから君たち物理学者はいいかげんだと馬鹿にされるんだ。正しくは『スコットランドに少なくとも一頭、少なくとも片側が黒く見える羊がいる』だ」と言った。

磁気双曲子の相互作用でつながった1次元の格子振動と同じです．
磁気双曲子間のエネルギーは距離の３乗に逆比例しますので，
非線形の現象で，カオスや弛緩型の振動モードへのトビが生じます．
代数的に解くには，振幅が小さいとして，相互作用による力を振幅に比例
（１次までとる近似）とできる場合で，普通の格子振動の扱いになります．
２くまさん（2人）の場合には，それぞれのくまの変位に関して，
1次の連立方程式ができますから，係数の行列式を０とおいて，
可能な周波数が求められます．
周波数１の同相モードと周波数1.732の逆位相モードの同期が可能ですが，
実現するのは以下のビデオの逆位相モード．
https://www.facebook.com/photo.php?v=640422772712313

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数学月間SGK通信 ［2014.05.15］ No.006
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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ささいな事故が雪崩となり大事故を生む複雑系

■複雑系の事故のトリガーは処々にある
「複雑系とは何か」は，別号で取り上げるとして，
大規模送電網や原発は複雑系です．
2011年７月の数学月間懇話会（第７回）では，これを取り上げました．⇒ プレゼン　
2011年４月の米国MAMのテーマは「複雑系」でした．
米国で何度か起きた大規模停電の仕組みを解析しています．
はっきり指摘のできないような”ささいな原因”（樹木が送電線に触れ
スパーク？）により，送電網に局所に停電が起きた．⇒
⇒　送電網の残りの部分に過剰な負荷がかかり，健全だった部分の電線が
切れる．⇒　あっという間に,次々と送電網全体に停電が拡がる．
これが，「小さな事故が雪崩となり，大きな事故を生む」という
複雑系での事故の特徴です．

2011.3.11の日本の原発事故でも、同じようなことが起こりました．
あっという間に
全電源喪失⇒再循環配管/圧力抑制プール損傷⇒冷却材喪失⇒炉心メルトダウン
の過酷事故になりました.
今回の事故の引き金は地震・津波だったかも知れませんが，
引き金になるのは，地震・津波だけではありません．
組織やエージェントを含め、何処にトリガーがあるか予測できないのが複雑系です．
原因⇒結果　の1:1対応の単純な因果列がたくさんあるのではなく，複雑系では，
複数の原因から１つの結果が生じたり，
１つの原因が多くの結果に影響を与えるような複雑な因果関係があります．

「今日のアフリカ上空での蝶の羽ばたきが，将来，米国でのハリケーン
の進路に影響を与えるかもしれない」と比喩されるのが，バタフライ・エフェクトです．
複雑系は,＜バタフライ・エフェクト＞が起こり得る世界で絶対安心はあり得ません．
かように，複雑系では事故の可能性を消すことはできません．
しかし，大規模停電や山火事なら最悪事故が自然に鎮火するのを待つことはできます．
でも，原子力ではそうはいきません．そのエネルギーの莫大さ，放射能の半減期の長さ，
どれをとっても人間のスケールに合いませんから．
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
■複雑系の特徴
送電網ネットワーク中にある節点の次数(=その節点に集まる経路の数)
の頻度分布図を作ったとき，節点の次数の高いものも残っているような
（べき乗則分布）ネットワークですと，
次数の高い節点が攻撃されると故障の雪崩につながります．

■べき乗則
大規模停電，巨大地震，所得の分布，....　いろいろな頻度分布に＜べき乗則分布＞
が見られます．正規分布，ポアソン分布，ワイブル分布など，中心値のまわりに
釣鐘型の分布を作りますが，べき乗則分布では，規模の大きい事象が起こる確率も
いつまでも残っています．被害コストの期待値は，被害コストと確率の積であり，
巨大地震は巨大な被害コストをもたらすので，巨大地震の確率が小さいと言って
無視することは間違いです．原発事故も同様です．

（引用文献）ーーーーー
１．2011MAM、⇒　http://www.mathaware.org/mam/2011/essays/
Cascading Failures: Extreme Properties of Large Blackouts in the Electric Grid
２．数学文化（2011）,16,p113-127,
今年の米国MAMの話題と日本の原発事故
３．SGK通信（2011-06）数学月間懇話会報告
⇒ http://www.sugaku-bunka.org/jo2x314rz-453/#_453

◆映像が果てしなく繰り返す「インドラの網」
網の上に置かれた真珠は互いに反射し合って，他の真珠を映すだけでなく，
他の真珠の映る自身の姿をも映します．世界全体が真珠一つ一つの上に写り，
またその姿が別の真珠に映り，これが永遠に続くのです．
”インドラの真珠”
D.マンフォード, C.シリーズ, D.ライト, 小森洋平 (翻訳)，日本評論社より

◆「アポロニウスの窓」という美しい 図形は，
互いに 接し合う3つの円に接する第4の円を描くのだが，
これを次々と繰り返して作られる円の中の世界だ.
4つの円の曲率をa,b,c,dとすると，
2(a^2+b^2+c^2+d^2)=(a+b+c+d)^2 という
デカルトの発見した定理が成り立ってい る.
⇒三角形の七不思議 (ブルーバックス)， 細矢 治夫

◆美しいアポロニウスの窓を見ていると，いろいろな想いが拡がる.
それは，2つの円が互いに接し
かつそれらがアポロニウスの窓の外周円とも接しているとき.
これらの接点を通り外周円と直交する円を思い浮かべるなら，
その円を反転円として，反転円で分断された2つのアポロニウスの窓
の世界は互いに鏡像となることだ.　もし反転円がどんどん小さくなれば，
その小さな領域に大きな世界がどんどん繰り込まれていくだろう．
不思議なフラクタル世界 の美しさが見られる.
写真: 緑色の円の外にあるピンクと黄色の円を，緑色の円で反転すると，緑色の円内のピンクと黄色の円に写せます．写されたこれらの大きさはその上のグレーの円と同じ大きさです．色々な反転円を考えれば，無限にある大小さまざまな大きさの円はみんな同じ大きさで，円盤内の世界は無限に広いと言い張るのも良いでしょう．
Fig.　Cinderellaというソフトを用いて描きました．
緑色の円（想像した反転円）の外にあるピンクと黄色の円を，
緑色の円で反転すると，緑色の円内のピンクと黄色の円に映せます．
映されたこれらの円の大きさは，その上のグレーの円と同じ大きさです．
色々な反転円を考えれば，無限にある大小さまざまな大きさの円は，
みんな同じ大きさでもあります．
だから，円盤内の世界は無限に広いと言い張ることも良いでしょう．

◆円による反転操作
円が直線なら，普通の鏡映像になります．直線鏡の組み合わせで作られる
映像は万華鏡です．反転円を用いたインドラの網も万華鏡の映像です．
■編集後記
仏教では，「宇宙における一切のものが,一切のものに対して原因になっている．無限の過去からの無数に多くの原因が，どの一人にもそれぞれ反映されている」と考えます．これはまさに単純な因果列ではなく複雑系の考え方ですね．
宮澤賢治に「インドラの網」という小品があります．
インドラの網目に縫い付けられた珠玉は，互いに映じ合って輝く同時に,自分自身も輝いています.