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数学月間SGK通信 ［2014.07.08］ No.019a
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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◆HTLM形式は数式や図があるものには便利なのですが．
読みやすかったでしょうか？読みにくい場合は
http://blogs.yahoo.co.jp/tanidr/folder/545271.html
に掲載していますから．こちらでご覧ください．

今号のメルマガは，再度txt形式に戻します．
これもプラスマガジン42号からの紹介です．
感想などお寄せ下さい．
ーーーーーーーー

■完全なる建物：モダーン建築術を支える数学
http://plus.maths.org/issue42/features/foster/index.html
Marianne Freiberger

建築術は，過去に，幾何学に対し素晴らしい業績を残した．
自分の住む土地を測る必要性と共に，建物を建てる必要性から，
形態と形の理論の研究が起こった．
エジプトでの偉大なピラミッド建設から4500年がたった今日，
数学は建築術に何ができるだろうか？　昨年［*2006年］の
数学と芸術・デザインの連携を探る架け橋会議（Bridges　conference）で，
プラスは， Foster ＋ パートナー専門家モデリンググループの二人の建築家
Brady PetersとXavier De Kestlierに出会っつた．彼らの作品を数学的視点から見る．

http://plus.maths.org/issue42/features/foster/LCH_web.jpg
テームス川にかかるロンドンシティホール．内部の巨大な螺旋階段ケースに注目．
映像©Foster + Partners

Foster+パートナーは，Norman Foster とシニアーパートナーグループ
が指導する国際的に著名な建築スタジオである．
ロンドンの30St Mary Axe (ガーキンGherkinとして知られる)や，
ロンドンシティホール，大英博物館の大広場のようなランドマークを作った．
進行中のプロジェクトには地上最大建設の一つワシントンDCのスミソニアン研究所の中庭，
ロンドンのウエンブリースタジアム，北京国際空港がある．
Foster+パートナープロジェクトには共通な一点がある：
巨大．これは，環境に最大限の影響を与えることを意味する．
このような巨悪のデザインは，微妙なバランスの技である．
建造物は構造的に健全で，美的に快いものであるだけでなく，
設計規制，工費の制約，目的に良く合うこと，エネルギー効率の極大化
などを遵守しなければならない．デザイン過程は，複雑な最適化問題に要約される．
この問題を解く方法が，モダーン建築術と古代エジプトの建築術とで異なる：
先進的なデジタルツールが，制約の膨大な配列を分析統合し，最適解を見出す．
数学は建設される構造の形，知っておかなければならない物理的特徴を記述する．
数学はコンピュータの言語で，モデリングのすべての段階の基礎になっている．

◆専門家モデリンググループ
Foster+パートナー専門家モデリンググループ（SMG）は，De KestelierとPetersが
メンバーになっており，1997年に設立された．SMGの仕事は，建築家を助けて，
プロジェクトのバーチャルモデルを創造することだ．
”通常，チームは概念を持って我々のもとにやって来る”と，De Kestelierは語る．
”スケッチか何かから，より発展させたものまで．そこで我々は，
CADツールを用いるかツールを開発し，モデル作りで彼らを助ける．”

http://plus.maths.org/issue42/features/foster/populated_surfaces.jpg
パネルを収めた数学的表面．映像提供 ΕBradyPeters

コンピュータの助けを借り，その物理から外観まで，建物のほぼすべての様相を
設計することができる．コンピュータ モデルで，建物の周囲を風が流れる様や，
建物内部の音波の反響をシミュレートできる．グラフィックプログラムで，
異なった数学的な表面を探究し，それらに異なった柄のパネルをはめてみることができる．
そして，これらのモデルから手に入る情報のすべては，近年の建築 CAD ツールで
最も重要な発明であるパラメトリックモデリングに連動できる

http://plus.maths.org/issue42/features/foster/gherkin_model.jpg
30St Mary Axeの建築モデル.
映像 © Foster + Partners.

パラメトリックモデリングは，１９６０年代からあった．しかし，
建築家がその力をフルに利用できるようになったのはついこの頃である．
モデルは,諸君が建物に加えた変化により影響を受ける他の特徴を再計算せずに，
建物のある特定の特徴をいじることを可能にする．
これはたいへん強力なデザインツールである．左に示されているガーキンを例にとろう．
もし，建物をもっとスリムにしようと思うなら，他の何らかの特徴が犠牲になるだろう．
外側ライニングカーブやダイヤモンド型の角度など再計算が必要となる．
これはまったくたいへんな仕事量で，もしなされたとしても，手書きであれ
再プログラミングであれ，新しいスケッチを描きなおさねばならない．
パラメトリックモデルはこれらのすべてを諸君のためにやってくれる．
変えないようにしようと決めた特性は固定されたままで，幾何学的特徴を
色々変えることができる．モデルはスプレッドシートのような働きで，
建物の特徴を変えることは， スプレッドシートの項目を変えるようなものだ．
変化に応じ，ソフトウエアは先に決めた関係を保ちつつ，モデルを再度生成する．
丁度スプレッドシートがそのすべての項目を再計算するようにSMG によって
提供されたデジタルのツールが装備され，デザインチームは，
短期間のうちにデザインオプションの莫大な範囲を探検することができる．
チームは建物の幾何学的な特徴を変えて，変化がどのように，－例えば，
気流，あるいは音響特性に－影響を与えるかを見ることができる．
建てるのが難しいようなどのような複雑な形でも，探究することができ，
単純な形へと分解することもできる．必要な材料はどれほどで，
コストはいくらかもすばやく見積ることができる．
複雑な形がほとんど建設不可能であったためと，
最良な環境への適合に科学を充分使いこなせなかったため，
数十年前には実現不可能であった建物が建設できるようになった．

◆ガーキン　［＊ガーキンとは”キュウリ”のこと］
http://plus.maths.org/issue42/features/foster/gherkin_wind_web.jpg
ガーキンの周囲の気流のモデル．映像 © Foster + Partners.

ガーキン、は SMG が関与したプロジェクトの１つで，形がどのように制約を満足
させるように選ばれたかの主要な例である．３０St mary Axe の公式名称で，
高さ180m，ナイアガラの滝の3倍の高さ．他の高層建築に比べて，３つの際立った特徴がある：
方形でなくむしろ丸い．膨らむ中央と先細るトップ．螺旋のデザインに基づいている．
これらすべてが，純粋に審美的特徴となることに容易に気づく．だがそれだけでなく，
これらは特定の制約を満足させる．
ガーキンサイズの建物の主要な課題は，周囲を吹き抜ける気流だ．
ベースから旋風がまきおこり，近隣地域を不快な地にする． この問題を扱うために，
SMG は建築家に，乱気流の数学に基づき，建物の空気力学特性を
シミュレートするコンピュータモデルを使うように助言した．
モデルは円筒状が方形のものより空気の流れへの応答が良く，旋風を減らすことを示した．
中央が太く１６階で最大直径に達するものが，スリムなものより風の低減の助けになる
ということもわかった．
強風でくちゃくちゃにならないとしても，高層ビルの隣に立つのは恐ろしい．
それは諸君を小さく見せ，低い建物の輝きを奪い，日光を奪い取る．
これらの効果を最小に抑えるのは，ガーキンの特有な形である．
膨らんだ中央と先細のトップは，下からトップが見えないようにする．
かくして諸君を小さいとは感じさせない．太陽と他の景観は底から覗き込める可能性がある．

http://plus.maths.org/issue42/features/foster/gherkin_floorplan.jpg
ガーキンの床面プラン. 映像 © Foster + Partners.

最初に決定されたこと，ガーキンが可能な限り持続可能な建物であるべきということだ．
そしてこれは，自然な換気（エアコンの節約のため）と自然の日光照射（光熱費の節約）
を最大にする形の選択を意味する．６つの三角形のくさび形を，
建物の内部に貫入するように各フロアの円形プランから切り取る．これらは光の井戸の役をする．
それらが作る光線は，自然の喚気を促進する．しかしながら，
くさび形はお互いの直上には位置していない．空気力学のモデリングは，
１つの床のプランが下の床のに対して数度回転していると，換気が最大になることを示した．
それで， くさび形が作るシャフトは建物を昇る螺旋を作り，
建物の外形により起こる空気の流れと，最適に相互作用する．
くさび形のファサドの窓が自動的に開いて，新鮮な空気を建物に引き込む．
慎重に選んだ幾何学の結果として，この建物は，同程度の他の建物に比べて，
エネルギーが50%削減されたという．

http://plus.maths.org/issue42/features/foster/gherkin_inside.jpg
ガーキンの内部．三角形のくさび形は，床面プランから切り取られる．
それらは，光の井戸の役をするし，喚気も促進する．映像 © Foster + Partners.

（次号に続く）→

◆3Dへ
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/plaque.jpg
Broone橋にある記念プレート，
Hamiltonが４元数を発明したときこの橋の下を散歩していた．
数学者William Rowan Hamilton卿はDublinのTrinity学寮の最も著名な息子であろう．
彼は最後の20年，複素数が２次元の回転を表すのと同様な
３次元の回転の表現を捜し求めた．
人生の最後にHamiltonは，4元数という答えを見出した．
q=a₀+a₁i+a₂j+a₃k
ここで，i 2
=j 2
=k 2
=ijk=-1， a 0
, a 1
, a 2
, a 3
は実数．
複素数でしたように，４元数を幾何学的に記述し，回転の表現に用いよう．
今度は2次元でなく３次元の回転だ．
i, j, kは，3次元内の基本平面：iはyz平面，jはxz平面，kはxy平面で,
外側向き法線はそれぞれ x，-y，z方向である．
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/planes_web.jpg

i, j, kは，３次元空間の基本平面という幾何学的解釈ができる．
点a=(a 1
,a 2
,a 3
)を，角βだけ原点を通るb=(b 1
,b 2
,b 3
)軸の回りに
回転してみよう．２つの４元数q 1
,q 2
をb, β から作る．
q 1
=cos(β/2)+sin(β/2)(b 1
i+b 2
j+b 3
k)
q 2
=cos(β/2)-sin(β/2)(b 1
i+b 2
j+b 3
k)
a (x,y,z方向の単位ベクトルの線形結合)に，これら２つの４元数を乗じて
a'=q 1
aq 2
この積で得られる点a'は，aを与えられた軸の回りに角度βだけ
回転したものだ．
複素数は平面内の回転記述，４元数は３次元空間内の
回転記述に用いられる．
ダブリンの橋の下を通りかかったとき，Hamiltonのひらめきは，
３次元で物体を回転させる最も効率の良い方法であることがわかった．
だが彼の新しい乗法で，だれも幸福にならなかった．
物理学者Kelvin卿は４元数のことを：”....美しく巧妙だが，とにかく，
これに触れるものには，純粋邪悪である...と評した．
とりわけ厄介なのは，２つの4元数を掛け合わせるとき，
答えがかける順番で変わることだ．この特性を非可換という．
Hamiltonの積則をみれば，ij=k, ji=-kが示せる．
もし，i, j, kを単位平面のように扱えば，Kelvinや彼の同時代の
人々を困らせた特性は，直接導ける．
◆映像を生活へ
Ｈａｍｉｌｔｏｎの発明はいまや多数の物体を動かしたり，
運動の創出へのｸﾞﾗﾌｨｯｸ応用に使われる．コンピュータグラフィックで
最も重要なツールの２つは，変形と補間である．
補間とキーフレーミング技術は，物体の初めと終わりの形と位置の特定と，
その間の様子をコンピュータに計算させることだ．以下に示す映像のように：
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/teapots_web.jpg
一連のフレームにわたって徐々に変形するティーポットの形
諸君は，未発達のへびのアニメーション（Richard Wareham製作）を
見ることができる．
ここではへび全体が，いくつかの特定な点の運動から，
補間を用いてコンピュータで作られた．
[訳注：ファイルのダウンロード先は略]
変形は単純なものから複雑なものを作り出す方法だ．
下の映像のように，変形球を覆っている布は，
普通の球面で起こる同じ光景を数学的な変形をして得られる．
変形も補間も速くて安定な数学的技術を必要とし，
４元数関連の手法がこれを提供する．
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/sphere.png
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/deformed_sphere.png
◆ガーラムを信じさせる
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/motioncapture1.jpg
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/dots.jpg
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/skeleton.jpg
データは体の色々な部分に付属しているリフレクターの運動から
キャプチャーされる．....
....骨格は，データに数学的にフィットさせる．
上で記述したテクニークは古典的なアニメーションでも基本的なツールである．
漫画キャラクターでは，我々はその結果が信じられるのはとても幸せだ．
しかし，人間のアニメーションでは，たちまち偽者とわかってしまう．
現実味ある動きを作り出すにはモーションキャプチャーが必要になる．
ロードオブザリングズのフィルムバーションから，ガーラムのような
多数のキャラクターを作るにはモーションキャプチャーによる．
これらは，身体，頭，肩，ひじ，ひざなどの回転点に，本当の人の
リフレクターを付加して作られる．それぞれは，多重のカメラによって
フィルム化されリフレクターの位置の変化をコンピュータに記録する．
骨格は３次元データでフィットされる．
最後に，上に記述された技術はすべて，骨格上に具体化し，
生活し，呼吸し，動くキャラクターを作り出す．
もしまだ諸君がタイトルロールを完全に見るために留まっているなら，
首尾よい映画作製で使われた種々の製作タレントに気づくだろう．
作者，ディレクタ，俳優，衣装デザィナー，プロップビルダー，．．．．
これらのクレジットリストが続々流れる．
しかし一つの名前がしばしばタイトルロールから忘れられている－数学だ．
今日の映画の多くは，光線追跡の幾何学，
４元数による空間内の回転なくしてはできない．
次回は，あなたの映画シートで，CGスペクタクルを楽しむために，
数学に対してポップコーンを掲げよう．ショーの隠れたスターへ．
（訳：谷 克彦）
-----------------------
著者
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/jl_small.jpg
Joan Lasenbyはケンブリッジ，トリニティカレッジで数学を専攻し,
電波天文学グループ物理学科のPhDをとった．
マルコーニの企業で短期間働いた後に，大学に戻り，現在，
ケンブリッジ大学工学部の信号処理グループの講師や
トリニティカレッジの研究のディレクター，研究員である．
彼女の興味は，コンピュータビジョン，コンピュータグラフィックス，
画像処理，モーションキャプチャと幾何代数の分野にある．

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数学月間SGK通信 ［2014.07.01］ No.018
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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今回も，MMP,plusマガジン42号の翻訳です．
(2007年の数学月間懇話会で配布したものです）
017号のHTML形式が正しく表示されなかったので，
018号で再度掲載します．
まだ正しく表示されない場合は，以下のホームページをご覧ください．
http://sgk2005.sakura.ne.jp/htdocs/index.php?key=jo5i1xzi0-37#_37
数学が映画に入る
http://www.plus.maths.org/issue42/features/lasenby/index.html
Joan Lasenby
ポップコーンは手に入れたか？よい席は選んだか？座り心地は良いか？
それではタイトルロール....
◆数学が誇らしげにプレゼント....
映画の中の信じられないほど真に迫ったコンピュータで作られた映像に
皆な驚く．ジュラシック・パークの恐竜，ロード・オブ・ザ・リングズの不思議 --
-- 特に，ガーラムの出演者 --- は，数学なしではできなかったということを
知らない人が何と多いことか．
どのようにして，これらの驚くべき映像が作られるのだろう？
コンピュータ・グラフィックス，コンピュータ・ビションは大きな課題だ．
この記事では，完成作品に使われる数学のいくつかを簡単に概観する．
最初に映画の世界を創造し，次にそれを生活へ持ち来たそう．
◆場面を作る
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/trianglesurface_web.jpg
最初の対象物は，三角形のような単純多角形よりなる針金骨格
として作られる．
コンピュータ生成映画を作る第一ステップは，物語中のキャラクターや，
それらが棲む世界を創造することだ．これら対象物のそれぞれは，
接続された多角形（通常は三角形）で構成された表面として作られる．
各三角形の頂点は， コンピュータメモリにストアされる．
どの三角形のどちらの面が，物体やキャラクターの外側であるかを
知ることは重要だ．
この情報は， ストアされている頂点の順番として，
右ネジの規則に従い記号化される．これで，どちらが外か一意に決まる．
［頂点の順番に従い，三角形の周りを右手の指を
人差し指，中指，．．と回したとき］
諸君の親指が向いているのが三角形の外側だ．例でやってみよう．
三角形（A,B,C）の外側方向（外側法線）は，三角形（A,C,B）の外側方向と
反対であることがわかるだろう．
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/rhrule_web.jpg
右ネジ規則で定義された（A,B,C)の外側法線は(A,C,B)とは反対方向
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/rayfacet.jpg
諸君の視点からファセット面までの光線を追跡しよう．
光線は反射して光源を通過するか？
いまや対象物の表面は三角形の針金網で，
網のコンポーネントのそれぞれを彩色する準備ができた．
我々がモデル化している光景のライティングを，
実際と同じにすることが重要である．
これは光線追跡と呼ばれるプロセスを用いなされる．
視点から物体へと遡り光線追跡し，反射させる．もし，
目から出た光線がファセット面（針金網三角形の中の一つ）で反射され，
光源を通過するなら，そのファセット面は光源に照らされ明るい色，もし，
反射された光線が，光源を通過しないなら，
そのファセット面は暗い色の影付をする．
光線を特定のファセット面まで追跡するには，表面を数学的に記述し，
光線とファセット面の平面とが係わる幾何学方程式を解くことが必要になる．
これはベクトルを用いなされる．光景の３次元座標系に，
視点となる原点(0,0,0)を加える．
ベクトルv=(a, b, c)は，原点から発し座標 a, b, cで終わる矢である．
例えば，vにスカラー2を乗ずるのは，
規則 2v=2(a,b,c)=(2a,2b,2c)のように行う．
2vはvと同じ方向で２倍長い矢だ．
表現λvを見よう．λは変数（言い換えれば，任意の実数）．
これはもはや，ある長さの矢ではない． 長さが変数になったのだから，
矢の方向だけを表している．別の言葉でいえば，
この表現はベクトルvを含む直線を表す．
それは我々の視点からベクトルvの方向に発する光線を記述する．
三角形のファセット面で定義される平面は，３つの情報で表現される：
３頂点のうちの１つの位置頂点a 1
と，a 1
からa 2
へのベクトルと，
a 1
からa 3
へのベクトルである．
下の囲みの中に，目とファセットで決定される面から発する一本の光線の
方程式を与えた．光線がファセットをよぎるか否か，何処でよぎるかを知り，
反射された光線の方程式を計算するには，これらの2式を解かねばならぬ．
------------------------------------------
光線の表現 r=λv
頂点 a 1
, a 2
, a 3
のファセットが定義する平面の式
r=a 1
+μ 1
(a 2
-a 1
)+μ 2
(a 3
-a 1
)
-------------------------------------------
（光線追跡の数学の詳細は，Turner Whittedの革新的な論文
”影付け表示のための改良された照明モデル”，
Communication of the ACM,Vol.23,Isuue6に見ることができる．）
光線追跡は現実味ある光景を作り出すことができるが，たいへん遅い．
これはコンピュータが作る映画の製作には用いることができるが，
コンピュータゲームのようにリアルタイムで照明を変化させることが
必要な場合問題である．
影や火線束（コースティク）［収差による回り込みでできる光像］，
多重反射のような複雑な現象は，モデル化が困難で，動的あるいは
もっと巧妙な数学的な手法，事前計算放射輝度伝搬（PRT)や
ラジオシティ（R)が使われる．
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/doom3_web.jpg
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/neverwinter_web.jpg
コンピュータゲームDOOM3，Neverwinter nights は
ダイナミックライティングが必要だ．
◆必要なのは若干の想像力
光景，照明が出来てしまえば，監督が”アクション！”と叫び，
キャラクターが動き出すのを待っばかりだ．
いまや，数学がイメージに命を吹き込むのを確かめよう．
最も基本的な物体の動きの一つは，
与えられた軸の回りの与えられた角度の回転である．
座標幾何学は，回転後の物体各点各点の位置を計算するツールを提供する．
だがこれらのツールは効率的で高速であることが重要だ．
これらのツールを見るにあたり，数学授業に一寸立ち寄って見る．．．．
［訳注：この後に，複素平面のこと，複素数に虚数 i を乗じると反時計回りの
90度回転になること，などの説明が続くのだが略］．．．．．．．．
http://plus.maths.org/issue42/features/lasenby/complexplane.gif
1806年にアマチュア数学者Jean Ribert Argandは複素数と i に
幾何学的な解釈を与えた．
複素数を乗ずることは，幾何学的には回転を表す．

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数学月間SGK通信 ［2014.06.26］ No.017
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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今回は2回目のHTML形式です．うまく表示されない場合は
http://sgk2005.sakura.ne.jpでご覧ください．
今回も，MMP,plusマガジン42号の翻訳です（2回に分けて掲載）．
(2007年の数学月間懇話会で配布したものです）
数学が映画に入る
http://www.plus.maths.org/issue42/features/lasenby/index.html
Joan Lasenby
ポップコーンは手に入れたか？よい席は選んだか？座り心地は良いか？
それではタイトルロール....
数学が誇らしげにプレゼント....
映画の中の信じられないほど真に迫ったコンピュータで作られた映像に，
皆な驚く．ジュラシック・パークの恐竜，ロード・オブ・ザ・リングズの不思議 ----
--- 特に，ガーラムの出演者 --- は，数学なしではできなかった
ということを知らない人が何と多いことか．
どのようにして，これらの驚くべき映像が作られるのだろう？
コンピュータ・グラフィックス，コンピュータ・ビションは大きな課題だ．
この記事では，完成作品に使われる数学のいくつかを簡単に概観する．
最初に映画の世界を創造し，次にそれを生活へ持ち来たそう．
場面を作る
pblk0001.png
最初の対象物は，三角形のような単純多角形よりなる針金骨格として作られる．
コンピュータ生成映画を作る第一ステップは，物語中のキャラクターや，
それらが棲む世界を創造することだ．これら対象物のそれぞれは，
接続された多角形（通常は三角形）で構成された表面として作られる．
各三角形の頂点は， コンピュータメモリにストアされる．
どの三角形のどちらの面が，物体やキャラクターの外側であるかを知ることは重要だ．
この情報は， ストアされている頂点の順番として，右ネジの規則に従い記号化される．
これで，どちらが外か一意に決まる．
［頂点の順番に従い，三角形の周りを右手の指を人差し指，中指，．．と回したとき］
諸君の親指が向いているのが三角形の外側だ．例でやってみよう．
三角形（A,B,C）の外側方向（外側法線）は，三角形（A,C,B）の外側方向と
反対であることがわかるだろう．
pblk0002.png
右ネジ規則で定義された（A,B,C)の外側法線は(A,C,B)とは反対方向
pblk0003.png
諸君の視点からファセット面までの光線を追跡しよう．光線は反射して光源を通過するか？
いまや対象物の表面は三角形の針金網だ．網のコンポーネントのそれぞれを彩色する準備ができた．
我々がモデル化している光景のライティングを，実際と同じにすることが重要である．
これは光線追跡と呼ばれるプロセスを用いなされる．視点から物体へと遡り光線追跡し，
反射させる．もし，目から出た光線がファセット面（針金網三角形の中の一つ）で反射され，
光源を通過するなら，そのファセット面は光源に照らされ明るい色，もし，
反射された光線が，光源を通過しないなら，そのファセット面は暗い色の影付をする．
光線を特定のファセット面まで追跡するには，表面を数学的に記述し，
光線とファセット面の平面とが係わる幾何学方程式を解くことが必要になる．
これはベクトルを用いなされる．光景の３次元座標系に，視点となる原点(0,0,0)を加える．
ベクトル v =( a, b, c ) は，原点から発し座標 a, b, c で終わる矢である．
例えば， v にスカラー2を乗ずるのは，規則 2 v =2( a,b,c )=(2 a, 2 b, 2 c ) に従い行う．
2 v は v と同じ方向で２倍長い矢だ．
表現 λ v を見よう． λ は変数（言い換えれば，任意の実数）．
これはもはや，ある長さの矢ではない．長さが変数になったのだから．
矢の方向だけを表している．別の言葉でいえば，この表現はベクトル v を含む直線を表す．
それは我々の視点からベクトル v の方向に発する光線を記述する．
三角形のファセット面で定義される平面は，３つの情報で表現される：
３頂点のうちの１つの位置頂点 a₁と， a₁から a₂へのベクトルと， a₁から a₃へのベクトルである．
下の囲みの中に，目とファセットで決定される面から発する一本の光線の方程式を与える．
光線がファセットをよぎるか否か，何処でよぎるかを知り，
反射された光線の方程式を計算するには，
これらの2式を解かねばならぬ．
------------------------------------------
光線の表現 r = λ v
頂点 a₁, a₂, a₃のファセットが定義する平面の式
r = a₁+ m₁( a₂- a₁)+ m₂( a₃- a₁)
-------------------------------------------
（光線追跡の数学の詳細は，Turner Whittedの革新的な論文
”影付け表示のための改良された照明モデル”，
Communication of the ACM,Vol.23,Isuue6に見ることができる．）
光線追跡は現実味ある光景を作り出すことができるが，たいへん遅い．
これはコンピュータが作る映画の製作には用いることができるが，
コンピュータゲームのようにリアルタイムで照明を変化させることが必要な場合問題である．
影や火線束（コースティク）［収差による回り込みでできる光像］，
多重反射のような複雑な現象は，モデル化が困難で，動的あるいは
もっと巧妙な数学的な手法，事前計算放射輝度伝搬（PRT)や
ラジオシティ（R)が使われる．
pblk0004.png

コンピュータゲームDOOM3，Neverwinter nights はダイナミックライティングが必要だ．
必要なのは若干の想像力
光景，照明が出来てしまえば，監督が”アクション！”と叫び，キャラクターが動き出すのを待っばかりだ．いまや，数学がイメージに命を吹き込むのを確かめよう．
最も基本的な物体の動きの一つは，与えられた軸の回りの与えられた角度の回転である．
座標幾何学は，回転後の物体各点各点の位置を計算するツールを提供する．
だがこれらのツールは効率的で高速であることが重要だ．
これらのツールを見るにあたり，数学授業に一寸立ち寄って見る．．．．
［この後，複素平面のこと，複素数に虚数iを乗じると反時計回りの90度回転になること，
などの説明があるが略］．．．．．．．．
1806年にアマチュア数学者Jean Ribert Argandは複素数とiに幾何学的な解釈を与えた．
複素数を乗ずることは，幾何学的には回転を表す．
3Dへ
pblk0006.png

Broone橋にある記念プレート，Hamiltonが４元数を発明したときこの橋の下を散歩していた．
数学者William Rowan Hamilton卿はDublinのTrinity学寮の最も著名な息子であろう．
彼は最後の20年，複素数が２次元の回転を表すのと同様な，
３次元の回転の表現を捜し求めた．人生の最後にHamiltonは，4元数という答えを見出した．
⇒次号に続く

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数学月間SGK通信 ［2014.06.24］ No.016
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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■plusマガジンの記事について
2号に分けてplusマガジンの翻訳を掲載してみました．如何でしたでしょうか．
全体，海外のマガジンは冗長と思います．でも，わかりやすく親切な所もあります．
今回の14&15号に掲載した論文がplusマガジンにでた頃，
翻訳配布について問い合わせたことがあります．
全文をこのまま翻訳するなら良いと言う返事でした．

■数学は「事のなりたちの本質を見極める」
次のようなジョークがあります..................
天文学者、物理学者、そして数学者がスコットランドを走る列車に乗っている。
天文学者は窓の外を眺め、一頭の黒い羊が牧場に立っているのを見て、
「なんと奇妙な。スコットランドの羊はみんな黒いのか」と言った。
すると物理学者はそれに答えて「だから君たち天文学者はいいかげんだと馬鹿にされるんだ。
正しくは『スコットランドには黒い羊が少なくとも一頭いる』だろう」と言う。
しかし最後に数学者は「だから君たち物理学者はいいかげんだと馬鹿にされるんだ。
正しくは『スコットランドに少なくとも一頭、少なくとも片側が黒く見える羊がいる』だ」と言った。
.........
なるほどと感心するジョークではあります．
おそらく，私たち一般に近いのは物理学者（工学者）の感覚でしょう．
数学とは，厳密で正確だという所を強調したのがこのジョークの趣旨です．
なるほど，そのようなつき合い難い性格の数学者も多いことでしょう．
しかし，重箱の隅を突っつくような厳密さが数学ではありません．
事（あるいは現象）の成り立ちを支配する本質はなにかを追求するところにあります．
事を飾っているあらゆる装飾を取り去り，事の因果関係だけを顕にする．
こうして得た本質は，無駄の一切ない抽象的な命題となります．
別の言い方をすれば，数学の練習問題には色々な解き方があって，
論理が正解ならばどれでも正しいわけですが，
一番美しい解き方は，回り道がなく本質にズバリと迫るものです．
（補助線一本で謎がすべて氷解するというのがその例です）
これは，数学に限ったことではない．求められているのは何かを
的確に判断し，話をそらさずに誠実に対応することにつながります．

■複雑系は不確かな世界．確率の2値化は我々の意思で！
社会の色々な現象は非常に複雑で多くの因果関係が絡み合っています．
一人の人間でも望む理想とその行動とが首尾一貫していないようですし，
その集合としての社会の動きはとても危うい．
論理を重要視しない社会に正義や公正はありません．
専門家が科学的に結論を出せると思うのは大きな間違いです．
学識経験者などという定義のわからないものもありますし，
複雑系は不確かな世界で，yes/noの答えを望んでも存在しないものですから．
数学（統計）で得られるのは確率までで，これをyes/noの2値化をするのは
国民の一人一人で，科学で決定できない「トランス・サイエンス」の領域になります．

■統計学は恣意的に利用されることが多い．
統計学自体は数学的に正しいのですが，集めたデータに問題があることが多いようです．
選択肢の論理がおかしいものや答えようもないアンケートから，
いったいどのような結論が引き出されるでしょうか？
結論に合うような都合の良いデータの母集団を恣意的に用いたりもします．
このような利用のされ方をすると，統計学や数学の信用を落とすことになります．
私たちは，処理された数値やグラフを見ても，その欠点を見抜くことは困難です．

■■お知らせ
7月22日～8月22日は数学月間です．
この期間は，数学の基礎定数 π(22/7=3.142..) とe(22/8=2.7..) に因んでいます．
（予告）......
講演１は，私たちが知っておくべき統計学の話です．
講演２は，変わった表題ですが，スパゲティを砕くと破片の分布はポアソン分布
クラッカーを砕くと破片の分布はべき乗則に従うという実験の話です．
講演３で私は今年の米国MAMの話題をとり上げます．

■数学月間懇話会（第10回）
日時●７月２２日，14:00-17:10
プログラム●
1.人口の集合関数としての「民力指数」
松原望（東京大学名誉教授，聖学院大学）
2.スパゲッテイを巡る旅，
中西達夫（株・モーション）
3.数学月間の狙と効用，今年の米国MAM
片瀬豊，谷克彦（日本数学協会）
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会場●東京大学（駒場）数理科学研究科棟，002号室
最寄り駅●京王井の頭線「駒場東大前」
参加費●無料
問合せ先●日本数学協会，数学月間の会（SGK）
sgktani@gmail.com，谷克彦（SGK世話人）
開場13:30，直接会場においでください．ご参加お待ちしています．
17:30より構内で各自払いの懇親会も予定しています．

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数学月間SGK通信 ［2014.06.21］ No.015
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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◆揺動させる
もう一つの重要なモデリングパラメータはランダムジグリングである
（プログラム中にrandomJiggleと記す）．
各鳥の周囲の鳥の平均飛行方位の査定がいつも正確になされる訳ではない
という事実を考慮に入れる．プログラムが時時刻，各鳥の方位を更新するとき，
ランダムジグリング変数により与えられる範囲内のランダム角で調整される．
10°より小さいrandomJigle値なら，群れは最終的に一方向への一体運動になる．
randomJiggleを180°にセットすると系は塵微粒子のブラウン運動の
シミュレーションと同じになる．ガス分子の例のように，
このモデルをさらに自然に近づけるいくつかの方法がある．
このヒントのいくつかはプログラムファイルの末尾にある．

◆単純さと速度
モデル記述で重要な因子は，用いるアルゴリズムの効率である．
”アルゴリズム”の起源は，アラブの数学者al-Khowarazmiの名前であるが，
”仕事を完成させるための一連の指示”を意味するようになった．
ここの鳥の群れの例で用いたアルゴリズムは，おそらくそれほど自然ではない．
本当の鳥は，他のすべての鳥の位置を記録し，
自身と他のすべての鳥間の斜辺距離を計算し，
正確に5ｍ内のものを選択し，
それらの進路の算術平均の方位に向けて舵を切るなどということはしない．
これらのステップは，追従が容易で，望ましい結果が得られるので，
モデルとして選ばれたのだ．これは，なかなか冗長な方法だ．
一つの鳥から他のすべての鳥までの距離を計算しなければならない．
これを順番にそれぞれの鳥について，各時間ステップごとに行う．
高速なデスクトップコンピュータでも，
鳥の数が500より大きいとシミュレーションはゆっくりゆっくり進む．

そこでモデルのデザインでは，仕事をどのように達成するか考える必要がある．
可能な限り速いアルゴリズムを使うか，現実の系の現実の方法に近づけるか，
単純に効率は悪いかもしれないが仕事はできる方法にするか．プログラミングで，
しばしば，特定の仕事部分のアルゴリズムを関数にするのは良いアイディアだ．
こうすればプログラム内で特定の計算が必要になったときいつでも呼び出せる．
（鳥の群れのコードを見れば，MeanHeading()関数でこれがなされる
のを見るだろう．）
見守る間にシミュレーションがずっと速く走るようにしたければ，
プログラムを２つの段階に分割するとよい．
最初は，コンピュータを貪り尽くすようなすべての計算を通して行い，
各時間ごとに系の状態を別々な行列として記録する．
この計算の後は，例えば1000回の時間間隔の行列リストの束
のような３次元行列に行き着く．
シミュレーションを一回通しで行えば，すべての情報が保存される．
第二のステージは時間ステップごとに順番に表示する
（今度は計算処理のために待つ必要はない）．
あたかもアニメーションを見るのに，
行列の本の頁をパラパラするようなものだ．
我々は，単純な鳥の群れシミュレーションに絞ってきた．
コンピュータプログラムの構造，特定の仕事をするアルゴリズムや
関数の記述などのコンピュータモデリングの重要な様相が浮彫りになるからだ．
このように単純なモデルでも，複雑で大変自然に近い群れのふるまいが作れる．
これはまさに，動物研究者が作ろうとし，理解しようとした鳥の群れのふるまいや，
魚の群れのコンピュータモデルだ．
例えば，Iain Couzin博士が動物のふるまいを理解するために
巨大グループのコンピュータモデルを使つている．
彼のモデルは，この論文で見てきたものとまったく同じ原理に基づいており，
同様の複雑性がみごとに出現する．
モデルはさらに複雑になっており，（我々の2次元平面を超え）
３次元で動き，冗長だが現実に近い各個体のふるまいを制御する規則の集合を持つ．
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◆Iain Couzin
イアンは，プリンストン大学とオックスフォード大学の両方に拠点を置く
動物行動の専門家だ．バッタから魚，鳥に至るまでの
群れのダイナミックスのコンピュータモデルを作った．
彼の研究は，如何に動物の群れが集団としての決定をなすか
驚異的な特徴を見いだすことと，
アフリカの政府機関の行うバッタの致命的な群移動コントロールを
手伝うことだ．最近まで，イアンは群れがどのように肉食動物の
アプローチに反応するかに集中していた．
諸君はイアンの研究の詳細を
http://www.princeton.edu/̃icouzin/で読むことができる．
下の映像は彼のモデルの一つから作ったビデオの静止画だ．
ＢＢＣのドキュメンタリシリーズ”肉食動物”で使われた．
http://plus.maths.org/issue42/features/dartnell/SimImage.jpg
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◆重力モデル
この種類の粒子運動モデリングの拡張は，
地図をよぎって伸びる効果を含めることである．
このわかりやすい例は，重力である．
重力は消えそうなほどわずかかもしれないが，
太陽の重力の影響は非常に長距離まで達する．
processingを使い単純な重力モデルを作るには，
太陽としてスクリーンの中心に小円を描き，
他のすべての点から太陽までの方位と距離を
計算する関数を記述する．これで，諸君のモデル化した世界にある
粒子が影響を被り速度を変じる重力を計算できる．
ランダムな位置に置かれランダムな速度を持った惑星で
シミュレーションを初期化し，
これらの太陽の周りの円弧運動をアニメートしよう．
次の時間ステップのこれらの位置は，
現在の重力と速度で決定される．諸君はプログラムを，
各惑星が後ろに軌道の軌跡を残すように変更することもできる．
（draw()関数BYの背景コマンドを取り除く．ラインの始めに//でコメントにする）．
http://plus.maths.org/issue42/features/dartnell/collision.jpg

Fig. 何十億という星がアンテナ銀河の衝突の間に形成された．
下に示した銀河衝突モデリングで色々見いだそう．
このイメージはハッブル宇宙望遠鏡で撮影された（ＮＡＳＡ提供）．

太陽系の表示のために，各惑星の円軌道を生む速度を
注意して解く必要がある．太陽系の圧倒的な支配力，
太陽の重力だけを含めば，第一近似で正確なモデルができる．
だが，巨大ガスの木星は他の惑星に注目すべき影響を与える．
このような二次的な効果を含めるなら，さらに正確なモデルができる．
水星の軌道を完全に観察に合わせるには，もっと複雑なレベルが必要で，
アインシュタインの相対性理論－これはNewtonの重力の法則よりも，
ある特定の状況では正確－を含める必要がある．
再度，モデリングのコツは，月面に人を着陸させるアポロプログラムが
含める必要のある詳細の最小量を巧みに考慮することだ．
単純な Newtonの重力モデルで地球と月の影響以外のすべてを無視している．
すべての粒子が互いに相互作用するもっと大きな重力系ダイナミックス
のモデリングは，非常に高速なコンピュータで膨大な計算が必要で，
極端な”計算浪費”である．
しかし，このような数値シミュレーションは多くの研究者にとって
極めて重要だ．例えば，下の枠中に，
２人の主導的な研究者の仕事に焦点を合わせ，
過去と未来の何十億年のイベントを見る．
世界を打ち砕く衝突を通して月が作られ，
我々自身の銀河と我々の最も近くの隣人の巨大な重力の引きが，
何十億年もの年を超えお互いを分裂させるであろう．
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◆Robin Canup
ロビンはデキサスのサウスウエスト研究所の宇宙科学者だ．
彼女は月がいかにして形成されたかに興味を持ち，
太陽系生成の初期に，若い地球がより小さい原始の惑星に衝突した時の
イベントから月が生まれたという理論をテストした．
彼女のコンピュータモデルは衝突の熱で地球全体が融け
大量の岩が宇宙に放出され，その多くは衛星の軌道でに合体し月になった．
http://www.boulder.swri.edu/̃robin/でもっと多くを見ることができる．
http://plus.maths.org/issue42/features/dartnell/Moon_impact1.jpg
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◆John Dubinski
ジョンはトロント大学で全銀河のダイナミックスを研究している宇宙物理学者．
我々の銀河，天の川，アンドロメダと呼ばれるらせん銀河の隣人は
重力的に互いに引き合っていて，
500,000km/時間でお互いに向かって落ちて行く．
２人がお互いを破壊する（とき・から・につれて・ように）、
これらの２つの巨大銀河が星の大きい細長い布をもぎ取って、合流し始めるであろうとき、
ジョンは将来の30億年の時間のモデル作りにスーパーコンピュータ使い，
これらの２つの巨大銀河が混合し始め，
星の巨大な細長い布をもぎ取り2つの裂け目のようになる．
驚異的なのは，このすべての混乱にもかかわらず個々星間のギャップは
非常に大きいので，実際には一つも衝突しないであろう．
我々の太陽の運命は不確実である．
しかしそれはあるいは銀河間の宇宙の暗虚に排出されるか，
混合銀河の密集しているコアに飛び込むかである．諸君は，
http://www.cita.utoronto.ca/̃dubinski/tflops/で，
地球の夜空の景色も含めて，さらに色々な映画を見ることができる．
http://plus.maths.org/issue42/features/dartnell/galaxy1.jpg　　　
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◆著者：Lewis Dartnell
ルイスはオックスフォード，クイーンズ・カレッジで生物科学を専攻している．
現在［訳注:2004年当時］，生命科学と実験生物学の数学と物理センター，
学際科学のロンドン大学センターの生物学的複雑系モデリングの
4年間のMRes-PhD課程にいる．彼は宇宙生物学の分野で研究している．
火星の放射線レベルのコンピュータ・モデルを用い，火星の表面付近で
生命が生きられるかの予測をし，最近ニュースで報じられた．
彼はデイリーテレグラフ/ BASFの若手科学ライター賞などを4回受賞した．
彼のポピュラーサイエンス本，宇宙での生活：初心者向けガイドは，
2007年3月に出版された．彼のウェブサイトで多くの作品を読むことができる．
（訳:谷克彦）

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数学月間SGK通信 ［2014.06.17］ No.014
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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proccessingという使いやすいオープンソースのプログラムがあります．
現在はver.2が出ています．これで何ができるか紹介します．
この記事は，英国MMPのplusマガジン42号(2004)の翻訳です．
http://plus.maths.org/issue42/features/dartnell/index.html
by Lewis Dartnell

鳥の群れが黄昏空に飛び交う様，魚群が敵をかわす様を見たことがあるなら，
その完璧に振り付けられた動きに驚愕したことだろう．この行動は，
複雑に思えるかもしれないが，コンピュータでそのモデル化を行うのは，
それほど難しくはない．Lewis Dartnellが諸君自身のシュミレーションの
実地ガイドをする⇒経験不要．
粒子モデルにより，鳥の群れの運動，銀河系誕生，原子分子の物質構成，
などをシミュレート！

■マトリックス［訳注：1999年アメリカ映画］
世界をシミュレート　　　第１部---粒子モデル

モデルの構築は，科学や工学の多くの研究分野の核心である．
モデルの本質は複雑な系の表現であり，複雑な系のふるまいを理解するのに
異なった種々の方法で系の単純化がなされてきた．
例えば，航空技師は，風胴テストのために戦闘機のミニチュア模型を
作るかもしれないが，現代は，数学モデルをコンピュータ上で
たいへん高速に走らせるモデリングが，ますます盛んになっている．
超音速気流のコンピュータモデルは，信じられないくらい複雑だが，
プログラムのデザインとシミュレーションは非常に基礎的な原理に基づいている．
モデルのふるまいに関するこの論文の前半で，
たいへん興味深い自然系研究のコンピュータモデルが，
いとも簡単にプログラムできることを述べる．
先端研究にこのようなモデルを用いている科学者の何と少ないことか．

◆はじめよう
http://plus.maths.org/issue42/features/dartnell/fish.jpg
Fig.1 どちらに行くのか？魚の行動をシミュレートする方法を見出せ．

これは，数学的なモデリングとコンピュータ・シミュレーションへの
体験入門である．だが，プログラミングそのものの学習には深入りしない．
これまでにプログラムを見たことがないとしても，心配は要らない．
シミュレーションのすべては，
このウエブサイトでJavaビデオとして見ることができる．
もし諸君がコンピュータプログラミングをすこしやったことがあるなら，
この論文で用いた全コードをダウンロードして，改良や調節など
試してみたいだろう．これらのシミュレーションを書いたり，
アニメーション作りに用いたソフトウェアはプロセッシングと呼ばれ，
無料でダウンロードでき，ＰＣやMac バージョンで利用可能だ．
プロセッシングはコンピュータ科学者とアーティストの協力でリリースされ，
自分で容易に改良や開始ができる．http://processing.org/download/index.html
プロセッシングが使われた世界中の種々プロジェクトすべてのリストを
ホームページで一見されたし．http://processing.org/
よいモデルを組み立てる本質は，複雑な問題をいかにうまく単純化し，
系の重要な特徴を抽出し，
モデルのふるまい解析を混乱させるものは取り除くように考えることだ．
例えば、ライフル銃から発射された銃弾弾道の単純なモデルは，
明らかに重力の影響を考慮する必要があるが，
空気抵抗のわずかな影響は無視してよい．
この場合の空気抵抗は，２次オーダーの効果と呼んでよい．
別の系のモデリング，航空機の翼による揚力では，
空気の影響を無視することはできないが他の因子は無視できる．
コツは，そのふるまいが理解しやすいように，
モデルをできうる限り単純に保つことと，
意味のない結果が生じないように重要と思われる因子を
あまりカットしないようにし，
入力因子の一つを変えて全系の応答の影響を見ることとのバランスにある．
この最初の論文のすべての例は，
各点が空間内を色々な規則に従い動き回る粒子モデルとして知られるものである．

◆箱の中のガス分子
最初のモデルは，箱につめられたガス分子の大変基礎的な物理シミュレーションだ．
見やすく単純にするため正方形内に閉じ込められた２次元粒子とする．
この場合の物理は簡単である．各粒子は，箱の壁に当たるまで，
出発したときと同方向・同スピードで直線運動し続ける．壁に衝突すると，
粒子は跳ね返り方向を変えるがスピードは変えない．映画と同じで，
この論文のアニメーションは流体の運動を印象づけるフレームのシリーズからなる．
プログラムの仕事は各粒子の位置，方向，スピードを各時間ステップごとに
前のステップの情報に基づき計算することである．この論文のすべての例では，
各時間ステップごとのデータを配列または行列に蓄える．
行列の各行は異なる粒子に関する必要な情報を蓄える．このガスの例では，
各粒子の状態は４つの数で記述される．
これらのうちの２つは平面内の位置(x,y)である．
残りの２つは，粒子の運動の２成分を記述する．これらはdeltaX, deltaYと
呼ばれる（”X位置の変化”，”Y位置の変化”の意）．粒子の速度も定義する．
この場合の行列は４つの列を持ち，全粒子に対する十分な行数を持つ．
シミュレーションの各時間ステップごとに，各粒子の位置(x,y)は，その速度に依存した更新を受ける．
このプロセスのモデルを記述するプログラムの構造は，かなり直接的である．
どのように機能するか一般的な要点がつかめるかコードを見てみよう．
http://plus.maths.org/issue42/features/dartnell/Gas_molecules.pde
最初にするのは，モデルの最も重要なパラメータ
（含まれる分子の数，各粒子の位置と速度の情報を格納する行列など）
の定義である．次に，プロセッシングは，世界の大きさ－この例では正方形，
アニメーションのフレームレート－を決め，シミュレーションのセットアップをする必要がある．
それからシミュレーションの初期化をする．これはデータを蓄える行列で，
各粒子の初期位置，速度の必要な情報を順次蓄える．
今回は，粒子のランダム散布を選んだ．
次に，トルコ石色の背景と各粒子の(x,y)位置に置かれた赤い円で
系の現状を記述するコードがある．
最後に，シミュレーションの中核，アップデート関数が来る．
各時間ステップごとに，
この関数は，行列中の各粒子に順番にあたり，時間ステップ内に，
その速度が箱の境界を越えその粒子を飛び出させないかどうか計算する．
もし飛び出すなら，箱の壁で跳ね返り，粒子速度は変化するが，
そうでなければ，その速度ベクトルで決められる距離だけ前進し続ける．
かくして，各粒子は新しい位置と新しい速度ベクトルをもち，
行列は新しい値にアップデートされる．

http://plus.maths.org/issue42/features/dartnell/Gas_molecules_web.jpg
Fig
箱に閉じ込められたガス分子のモデル．Java始動には映像をクリック．
全プログラムは，粒子が系をアップデートした後，再び描画し，
粒子はもう一度アップデートされ，これが繰り返されるように，
ループにセットされる．高速な現在のコンピュータでは，
これがたいへん高速に行われるので，ガス分子のスムーズなアニメーションになる．
この絵はプログラムのJAVAバージョンを開くようになっているので，
プロセッシングソフトウエアをインストールしなくても，動作を見ることができる．

この過剰に単純化したモデルは，２つの問題点があることに気づくだろう．第一に，
我々のプログラムではdeltaX，deltaYに整数値だけ使っていること．
このため粒子が動ける異なる方向の多くがなくなってしまう．
粒子のいくつかは，両サイドでバウンドし往ったり来たりするので，
完全に水平や垂直に動くのが見られる．
第二に，このコードは，分子間の相互作用を考慮していない．
分子は決して互いに衝突せず，箱の中を跳ね回るだけで，
完全予測可能である．周期的に，はじめがそうであったように，
全分子が外向きに散らばる前に，真ん中で密なクラスターが形成される．
こえは明らかに部屋の中の空気分子では起こらないことだ．
空気分子は絶えず互いにぶっつかりあい予測不可能な運動を生み出している．
もし諸君が，少しコンピュータプログラム知っているなら，
この単純な例をスタートとして，もっと洗練され現実的なものを
作りたいと思うだろう．
これをどのように行うかの若干の助言は，プログラムファイルの末尾にある．
運動のモデリングのもう一つの例に移ろう．
今度は，粒子の相互作用の規則がもう少し複雑である．

◆鳥の群れ
モデル化する系は鳥の群れである．分子の例のように完全に独立に動くのではなく，
各粒子は他の粒子の動きに反応して動く．
同様な標準構造をガスのプログラムにも用いるだろう．
最初はパラメータと世界の大きさを決め，全粒子の位置と速度を初期化する．
次に，系の現在の状態を表示する関数のループをまわし，
次のタイムステップでの系の変化の計算を行う規則を実施する．
最初の例は，閉空間に閉じ込められた粒子の運動のシミュレーションをねらった．
今度は，開かれた戸外で飛ぶ鳥がどのように群れを作るか調べるのが関心事だ．
エッジがあるような世界は困る．なぜなら，そのような人工的な特徴の周りでは，
シミュレーションが適切にふるまわないであろうから．
モデリングの共通のコツは，世界空間を，粒子が左から去れば右から現れる，
上下も同様［周期的境界条件］に世界空間を定義することだ．
上下は互いにつながりチューブのよう．左右端を丸く曲げてつなぐ．
ドーナツの表面の世界のようだ（数学ではトーラスという）．

http://plus.maths.org/issue42/features/dartnell/flocking_index.html
Fig
鳥の群れモデル．単純な規則の集合が，
他の鳥との相互作用を定義し各粒子の運動に作用する．
燈色の円は視野範囲を示す．イメージをクリックすると
シミュレーションのＪａｖａバージョンが走る．
再スタートは［Ｃｔｒｌ］＋［Ｆ５］（Ｗｉｎｄｏｗｓ）または，［ｚ］＋［Ｒ］（Ｍａｃ）．

このモデルでの第二の発展は，直線運動を続ける粒子のかわりに，
鳥たちは互いに相互作用をし近隣者に依存し飛ぶ方向を変化させることだ．
各時間ステップごとに，プログラムは，次々に各鳥を選び，
選んだレンジ内で他のすべての鳥の飛行方向の平均を計算し，
選んだ鳥はこの方向に舵をとる．
ランダムに選んだある鳥の視野レンジの場を燈色の円で表示させる．
プログラムで値を蓄える変数はeyeSight．
プログラムがどのように機能するか一般的な要点を拾い上げるため，
コンピュータ・コードを一寸見てみよう．
http://plus.maths.org/issue42/features/dartnell/Flocking.pde
次に左のイメージのシミュレーションを走らせて見よう．
始めはランダムであった鳥たちの運動が，直ちに秩序のある振る舞いに変わる．
鳥の巨大な群れが，大体同じ方向に飛び行くように自己組織化される．
孤立した鳥が一団の中に引き込まれる．
そして時折２つの大きいグループがお互いに近づいて迷うとき，
個々の鳥は他の群れに参加するために引き剥がされる．
２つの雲がスムーズに混ざり合うようだ．
ちょっと迷って，そして次に新しいグループの先頭が決まる．
この設計された行動を本当の鳥一団の動的関係と比較してみよう．
これを書く時点で，あるホップベースの飲物の英国テレビで放映されている素晴らしい広告がある．
夕映え空のツバメの群れに魅せられる．タグ ライン「属します」で終わる．
この広告はYouTube から見ることができる．たとえすでに消されていたとしても，
他の鳥の群れビデオを見いだすのは全く容易であろう．

http://www.youtube.com/watch?v=RHHfynLYW1I
Fig 巨大スケール鳥群れを示すYouTube広告

この運動は優雅な振り付けに見える．
個々の鳥が次に何処に飛ぶか正確に知っているように見える．
鳥の巨大な流れが，滑らかに調和し一斉に方向を変える．
群れの中にリーダーはいない．基本計画もない．
すべての決定はグループ力学だけで決まる．
何千という群れをなす鳥の魅了される複雑さのすべては，
最近接の隣を越えた残りのグループが何をするかを知ることなしに，
個人が行動するというたいへん単純な規則から発する．
これはボトムアップ制御として知られる．
単純な規則で相互作用している個体から，
たいへん複雑なグループ行動が出現する例だ．
たくさんの動物，ミツバチ，スズメバチ，アリ，シロアリ，．．．が，
この種の「群れ知性」を使う．
しかし，群れの振る舞いの基礎となっているこれらの単純な規則は異常な環境では，
まったく馬鹿な行動を惹き起こすことがある．
自分自身ではまだ試す機会がなかったが，友達の友達から，
諸君が羊の一団と一種にやれる面白いトリックの信頼できる情報を得ている．
羊達の前で突然走ったとする．羊達は脅威を察知し動き去ろうとする．
まだ可能な限り，諸君の隣人に近い状態を保って，
同じ方向に動作することが最も安全であるという規則は働いている．
もしあなたが羊より少し速く走り続けるなら，あなたは追いつき，
そして一団の中央を通過して先頭で今走っている．グループの動的力学が，
侵略者から逃げ出すという初期の個体の決断を引き継いだ，
そして諸君は逃げようとするのではなく，
群れ全体を諸君の後ろに従えていることになる．

◆コウモリとタカ
プロセッシングソフトとこのモデルのプログラッミングコードを
ダウンロードしたら，グループ全体のふるまいにどのように影響するか
モデルのある特徴をいじることができる．
例えば，鳥同士は何処まで見えているのか，
eyeSight変数はたいへん重要なパラメータだ．
我々のプログラムでは，この変数は20にセットされている
（とりの視野を表している燈色の円の半径が20単位）．
このパラメータは諸君の望む如何なる値にもセットできる．
２つの異なるシナリオを見てみよう：
”コウモリのように目が見えない”eyeSightは１とする．
もう一つは”タカの目”eyeSightは100とする．
地図をよぎって見る事ができる．

下の２つのリンクの図をクリックすればjavaが動き，
どちらのシミュレーションも見ることができる．
http://plus.maths.org/issue42/features/dartnell/eyeSight1_web.jpg
http://plus.maths.org/issue42/features/dartnell/eyeSight100_web.jpg
Figコウモリのように目が見えないeyeSight=1　　タカの目eyeSight=100

第一のシナリオでは鳥たちは相互作用をまったくしない．
だから実際は世界空間内でランダムに走るガス分子と同じだ．
第二のシナリオでは，鳥たちはグループの反対側にいる個々の鳥の
飛行方向に反応するくらい，たいへん遠くまでコミュニケーションする．
グループのふるまいはたいへん速く一体化した固まった運動になる．
どちらの場合にも，少なすぎるか多すぎる相互作用のために，
すべての複雑な群れのふるまいは失われる．
系のアウトプットはこのパラメータにたいへん敏感である．
気体的ふるまいと固体的なふるまいの間にある種の相転移がある．
興味あるダイナミックスの見地ではどちらも死んだも同然だが，
自然ではeyeSightの値がこれら両極端の中間値のときにのみ
緊急行動が起こることが見られる．

［以下，次号に続く］

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数学月間SGK通信 ［2014.06.10］ No.013
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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◆数を記憶する
http://plus.maths.org/issue31/features/eastaway/index-gifd.html
Rob Eastaway

［今回は，2004年の英国MMP，plusマガジン31の記事の翻訳です．
肩のこらない読み物なので全文を掲載します］

2004年3月, Kent のDaniel Tammet が，π（パイ）を小数22,511位まで暗唱してみせ，
ヨーロッパ新記録が達成された．この仕事を完了するのに5時間を費やした．
それでも，日本の後藤裕之が1995年に達成した小数点以下42,195桁のやっと半分である．

［訳注：その後の2006年10月3～4日に，16時間28分をかけて，
原口　證（当時６０歳）が100,000桁を暗誦している．ギネス社申請中とのことだ．
http://www.worldrecord314.com/pi01.html
原口の方法は，数字を1,000桁ずつ区切り，語呂合わせで物語として暗記するもの．
今回の物語のテーマは「世界旅行」．北海道に住んでいる武士が全国各地を歩いて
いるうちにいろいろな人物や物件に出会い，10万桁にもなれば，
朝鮮半島を通り過ぎてシルクロードまでたどりつくストーリーになっているという．
柴田昭彦http://www5f.biglobe.ne.jp/̃tsuushin/sub1.htmlによる］

人間はいかにしてこのような信じられない（むしろ無意味な）記憶の業績を
やり遂げるのだろうか？　それらから学べるものが何かあるだろうか？
数字を覚えていなければならぬもっと実際的な必要性---
例えば，南京錠のコード，キャッシュカードの暗証番号---などもある．

◆記憶と数
記憶は諸君が考えるために重要だ．諸君はほとんどすべての活動に記憶を使用する．
記憶は事実と名前を学ぶために必要だが，新規に身体技能を獲得するためや，
冗談を言うためにでさえ必要となる．素質はそれぞれの人によって大変異なる．
同じ人の記憶能力も仕事によって大変違う．例えば，数を良く記憶する人が，
ジョークも覚えているとは限らない（私は苦い経験がある）．
数を覚えているという特別な素質はどこから来るのだろう？

数学者は他の人より数を覚えているようだが，
この領域で卓越した能力を持っことが数学者になるための必須条件ではない．
例えば，Daniel Tammetは，数字の順番を記憶するすばらしい能力を，
数字を色と映像として”見る”ことに置き換えている．
彼にとってπは数字の抽象的なセットではなく，物語か映じられるフィルムのように現れる．
Tammetは，稀有だが詳しい記載のある症候群---共感---と呼ばれるもので，
感覚のある一つが刺激されると，他の感覚も反応を引き起こすのだ．
共感はさまざまな様子で現れる．ある人達は，数字にさらされるとき，多重の感覚の反応を得る．
有名なロシアの”記憶男”Shereshevskyは，数字2は常に暗い矩形として見えるさまを記述している．
私は別の人間で，数字４はトマトの味とリンクしている人に出会ったことがある．
彼らにとってこれらの関連に理屈はない．共感は，記憶をしようと思ったときに自然な利点がある．
なぜなら，脳は，感覚と結びついたものを長期間記憶しようとするからだ．
出来事や物体は，音や映像や素材や特に匂いに結びついているときに，さらに記憶し易くなる．

ほとんどの人と同じく諸君も匂いに関する奇妙な経験があるだろう．
例えば古い家具の匂いをかぐことが，遠い過去に起こった何かを思い出させる．
匂いは記憶と特別に強い結合がある．多分，匂いを扱う脳の部分が，
長期記憶を形作ると考えられている海馬と近いためだろう．もし諸君が，
何かを記憶しようとするとき，わざと特定の匂いに囲まれるようにすれば，
後に思い出す必要があるとき，その匂いは記憶を引き出すのに役立つ可能性が高い．
記憶と感覚の間のこのリンクは，勉強の助ける記憶術の基礎である．
数を記憶しておくためによく提案される方法は，各数字を韻を踏んでいる言葉と結び付ける方法である．
oneワン＝バンbun
twoトゥー＝シューshoe
threeスリー＝ツリーtree
fourフォー＝ドォーdoor
......
このアイデアは，抽象的な数字を付随するイメージと音とともに，実質のあるものに変える．
もし，数字24を覚えていようと思ったら”シュードア”と覚え，正面ドアを蹴っ飛ばす絵を描く
（このイメージはなぜか容易に記憶される）．
ドアをける記憶は数字２４より長く維持されるだろう．私が１週間，数を覚えていようとするとき，
私はすぐにイメージを考える．思い出すにはただそれを数に変換するだけだ．

明らかにこれは小さい数を記憶しておく助けになるテクニックであろう．
しかし，もし何桁かの数を記憶する必要があるなら，信じられないほど厄介である．
1492は，bun-door-wine-shoe．この順番を記憶するのに必要となるイメージ---
オドビンスの［ワイン］店にパンを投げ込む適切な事件---を思い浮かべようと奮闘する．
もっとよい方法がきっとある....

◆数の記憶の数学的アプローチ
数を良く覚えている人のほとんどは，何らかの感覚的経験によるわけではない．
数が彼らにとって意味をもっているということはありそうな理由である．
数学者はここに強力な有利さがある．なぜなら，本職で数にさらされているので，
数の特徴に親しんでいるからだ．数学者に4832を見せる．彼らは，
その数字はどのような種類（4桁，偶数）か直ちに認識できる．
時には，数学者は数で遊ばずにはいられない．
この場合，4832を4×8=32と言っている自分を見出すかもしれない．
この種の遊びは，数字の意味付けを助け覚えやすくする．
数で遊ぶというこの衝動の有名な例がある．記憶で有名だった
Alexander Aitkenアレクサンダー・エイトケンは，エジンバラ大学の数学教授で，
かつて以下のようなコメントをした：
私が散歩している時に，モーターカーが通り過ぎ，登録ナンバーが731なら，
それは17×43と観察せざるをえない．....折襟に数字のついたバスの車掌を見ると，
その数字を２乗してしまう．....これは故意ではなく，どうしてもそうしてしまうのだ．
....時々は，数字が811のように特徴をまったくもたないものもある．
時には41のように諸君ご存知の多くの定理に登場するものもある．
さて，どっちが興味深い数字だろうか？

数学的な特性により数を記憶する最も有名な例の一つに，
病院に友人のRamanujanをたずねた時の数学者G H Hardyの話がある．
Hardyはタクシーできて，Ramanujanに挨拶した後お詫びを言った．
”私のタクシーナンバーは， 1729 だった．あまりぱ っとしな い数 ですみません.”
”それは逆です．1729はたいへん興味深い．”とRamanujanは言った．
”それは２種類の答えがある2つの立方体の和の最小の数字だ．”
（1729=12^3+1^3，または，10^3+9^3 ）

しばしば，数字の背景にあるパターンと意味が努力なしに心に残るだろう．
それほどでなくても，数字を意識的に記憶する方法の基礎になりうる．
諸君はそれらを暗証番号や電話番号の記憶に使うかもしれない．
これらはもっと長い数にも適用できる．例えば，この数を覚えてみよう．
10秒間の猶予がある：15222936435057

書いて覚えようとするなら，多分苦しむだろう．数の短期間の記憶保持は通常7桁までである．
これより長いものは，最初の数桁より先は覚えられそうもない．
（上の例では，たいがいの人が15222は簡単に覚えるが，それ以降はごちゃごちゃになってしまう）
今，数学の頭になってみよう．諸君は，数字のパターンのなかに，
それをもっと簡単に覚えるものを見つけることができるか？
おそらくここの仕事を単純化する複数の方法があるだろう．もし見つけたなら，
仕事をなんでもないものにしてしまう一つの特別なパターンがある．
実は，数字が二桁づつに分解されて，15 22 29 36 43 50 57,７つの対は
だんだん大きくなる順に並んでいる．諸君がすることは始まる数字と規則を覚えればよい．
[訳注：７ずつ増えていく数列]

◆πの記憶
すべての数がそんな都合のいいパターンとは限らない，だがどの数のなかにも，
数学的な意味のある数のサブグループがあるものだ．
実際上はランダムな順序と思える数πに適用して見る．ここにπの始めの100桁を記す：
ほとんどの人は，一桁の数字の列として覚えることはできないだろう．
だが，もし諸君が面白い数の固まりを選び出すなら，仕事はもっと容易になる．
3.141592653589793238462643383...
例えば，最初の10桁は連番14-15を含む，足すと100になる数65-35，
後の方には偶数のクラスター846-264がある．これらはともに，二番目以降の数を
逆転すると（864は846，246は264になる）単純な数列になる．
これらのパターンにリンクさせ，数学的ストーリーを組み立てることができる．
これはプロフェッショナル記憶者が使う種類のアプローチだ．彼らは，
それを他のテクニック－数字を，文字に置き換え言葉にするなど－と結びつけている．
良く使われる数字と文字の対応規則は：
1 becomes the letter T (a single downstroke),
2 is n (two downstrokes),
3 is M (three downstrokes),
4 is R (r is the fourth letter of four!),
5 is L (L is the Roman fifty, which is close...),
6 is J (J is a bit like a backwards 6),
7 is K (K is like two sevens stuck together),
8 is F (a cursive f resembles an eight),
9 is P (P is a backwards 9),
0 is Z (Z is for zero).

πは次のように始まる M-T-R-T-L-P-N-J-L...，思いつきで母音を時々入れる
（これは数字にカウントしない）．例えば，My TuRTle oPeN JaiL....，
諸君の亀が牢やぶりするイメージを描く．ほら，πの最初の９桁を記憶出来た．
これを42,187桁続ける．世界記録は諸君のものだ．幸いなことに諸君が記憶演者になるか，
あるいは物理学，数学，天文学の非常に特別な分野を追求する予定がない限り，
πを３～４桁以上記憶している必要性はなく，
この重要な数のその程度の桁を思い出すときには，忘れにくい文章がある．
”May I have a large container of coffee?" [コーヒー大カップをいただけますか］
この文中の各単語の文字数を数える．πの数字が小数７桁まで現れていることがわかるだろう．
［訳注：日本語では，“産医師異国に向かう....”などとやるのです］

最後に，覚えていたい数字が何であろうとも，πでも，歴史の日付でも，
ナンキン錠のコードでも，最も忘れ難い記憶術は，諸君が諸君自身のために発明するものである．
諸君のアプローチがどんなに風変わりでも問題ではない．
それが諸君のために働くならそれで良いのだ．（訳：谷克彦）
http://www.sugaku-bunka.org/?action=common_download_main&upload_id=1228

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数学月間SGK通信 ［2014.06.08］ No.012
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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前回のペンローズ・タイリングの作り方は如何でしたか．
今回は，前回と異なる方法でペンローズ・タイリングを作ってみましょう．

前回の記事の中で一か所誤りがありましたので訂正します．
シュヒトマンが発見した準結晶はMn-Al合金(Al4Mn)でした，Mg-Al合金ではありません．
現在では，色々な合金で安定な準結晶が発見されています．東北大多元研の蔡研究室
http://www.tagen.tohoku.ac.jp/labo/tsai/ZnMgDy_09.jpg
で，準結晶の単晶（Single Quasicrystal）の美しい５角12面体のSEM写真が見られます．

■正五角形のフラクタル構造
ペンローズ・タイリングは自己相似（フラクタル）なので，
正五角形のタイルと関係があります［正五角形は黄金比だらけの図形です］．
もちろん正五角形のタイルでは隙間なく平面を張り詰めることはできません．
正五角形タイルを並べればギャップができますがかまいません．
正五角形タイルで，５回対称になるようなタイル張りを考えましょう．

http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/35/15846735/img_0?1402146576
Fig.1

次々と正五角形の中に正五角形の配列が繰り込まれる様子をFig.1に示します．
まず，正五角形の中に正五角形が6つ納まるような分割をします．
分割された小さい正五角形をもとの正五角形サイズに戻すには
1+Φ倍だけ拡大します［ただし，Φ=(1+√5)/2=1.618･･･］．
随所に頂角36°の二等辺三角形のギャップができますが，
気にしないで進めましょう．もし，大きなギャップの中を正五角形で
埋めると，王冠型や星型のギャップが残ります．
このように正五角形の中に，次々と正五角形の繰り込み[分割］
と拡大が繰り返されると，
ギャップは随所に残りますが平面を埋め尽くします（Fig.2）
そして，これはフラクタル構造です．．

http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/35/15846735/img_1?1402146576
Fig.2

■ペンローズ・タイリングを作る
正五角形の中には，Fig.3AやFig.3Bに示すような
黄色，青色に着色した図形が隠れています．
Fig.3Aにでてくる図形は前回のペンローズ・タイリングで使用しました．
今回のパターンは，Fig.3Bにでてくる２つの図形が関係があります．
Fig.2のパターンは，Fig.3Bの2つの図形を用いると，
Fig.4の赤い線のように隙間なくタイリングされていることに気付きます．
ここに現れる2種類のタイル（黄色と青色のタイル）には，
Fig.2のパターンが重なって見えているでしょう．
黄色のタイルと青色のタイルには，それぞれ独特な正五角形の模様が
あります．それを観察しましょう．

http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/35/15846735/img_2?1402146576
Fig.3A Fig.3B

http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/35/15846735/img_3?1402146576
Fig.4

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数学月間SGK通信 ［2014.06.03］ No.011
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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ペンローズ・タイリング
ロジャー・ペンローズが1966に考案したタイリング

■非周期のタイリング

1種類（あるいは2種類）のタイルで，隙間なく平面を張ると，
必ず周期的なパターンが現れると思うかもしれません．
確かに周期的なパターン［平行多角形（平行6角形など）になるよう
タイルを組み合わせて単位とする］を作れば，平面を埋め尽くせることはすぐわかります．
しかし，埋め尽くされた平面には，必ず周期的なパターンが
生じているかとえばそうでもありません．

古くから知られている1種類のタイルによる非周期タイリングに，
Voredbergタイリングがあります（Fig.1).
これはずいぶん複雑な形のタイルに見えますが，本質はFig.2のタイリングと同じ．
螺旋の中心が２つあるようなタイリングで，規則的ではあるが確かに非周期です．

Fig.1
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/05/15825205/img_0?1401584285
Fig.2
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/05/15825205/img_1?1401584285

■ペンローズ・タイリング

Fig.3
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/05/15825205/img_2?1401584285
Fig.4
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/05/15825205/img_4?1401584285
Fig.5
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/05/15825205/img_3?1401584285

2種類のタイルを用いた規則的ではあるが非周期なタイリングのもう一つが，
ペンローズのタイリング(Fig.3)です．
2種類のタイルをFig.4に示します．凧のような形の2Aと矢じりのような形の２Bです．
これらの形の半分A,BはFig.5の五芒星の中に出てきます．この図形には，
やたらに黄金比1:Φ　，Φ=(1+√5)/2=1.6180･･･があらわれ，フラクタル構造が生じます．
A型の二等辺三角形は，等辺：底辺＝Φ:1，B型の二等辺三角形は，等辺：底辺＝1:Φです．
このタイリングには，同じパターンが次々に繰り込まれて行くフラクタル構造の規則が
ありますが非周期です．
ペンローズ・タイリングが興味深いのは，それ自身美しいことにもよりますが，
それにもまして，このような構造をとる準結晶と呼ばれる物質が，現実に発見されたからです．

■ペンローズ・タイリングの作り方

Fig.6
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/05/15825205/img_5?1401584285
Fig.7
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/05/15825205/img_6?1401584285

Fig.7に示すように，A型の三角形はA型2個とB型1個に分割できます．
分割して生じたA型が始めのA型と同じ大きさになるためにΦ倍に拡大します．
B型の三角形はA型1個とB型1個に分割でき，生じたB型が始めのB型と同じ
大きさになるためにΦ倍に拡大します．このように分割・拡大を繰り返して，
いくらでも広い平面を埋め尽くすことができます．
この例では，正十角形からスタートし，分割手続きが繰り返されるので
5回回転対称が残ることがわかるでしょう．素性を隠すことはできませんね．
タイルの細分化が充分進んだとき，Aタイル数/Bタイル数＝Φ=1.618････となることがわかります．

■準結晶

電子線回折像（Fig.5）が10回回転対称性を示す物質が見つかり大騒ぎになりました．
回折像が観測できるのは結晶で，結晶構造は周期的なので5回対称（回折像は10回対称）
は許されないはずです．しかし，ペンローズ・タイリングの構造であれば，5回対称性をもち，
周期的な構造ではないが回折像が観測されます．
シュヒトマンは，特別な合金［超急冷で作ったMg-Al合金］でこのような物質を発見しましたが，
その論文が信用され受理(1984)されるのに2年半もかかりました．回折像が観測されるのは，
周期的な結晶構造でなければならないという思い込みがあったからです．今では，
種々の合金の安定相としても存在することが知られています
（5角12面体の準結晶の単結晶single quasicrystal）．
シェヒトマンはこの発見でノーベル賞を受賞しました．
準結晶の発見（1984）に先立ち，ペンローズ・タイリングが考案（1966）
されていたというのも興味深いことです，

Fig.8
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/05/15825205/img_7?1401584285

■高次元結晶の低次元空間の切り口としての解釈

ペンローズ・タイリングを見ていると，局所的に5回対称をもつ球のような部分が随所に分布している
のに気づきます．これは，局所的な3次元宇宙がたくさん埋め込まれているようでもあります．
例えば，周期的な5次元空間を3次元空間に投影したものとの解釈は出来ないでしょうか．⇒続く