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Fig.1の円盤内部は双曲幾何の支配する世界で，ポアンカレの円盤モデルと呼ばれます．
この円盤世界の直線は，円盤の縁に直交する円弧です．もちろん，円盤の中心を通る直線は円盤の縁で直交するので，この円盤世界でも直線です．
この円盤世界は，正7角形のタイルが頂点で３つ集まるように敷き詰められています［双曲面の正則分割｛7,3｝］．正7角形の辺は，この双曲世界の直線でできています．
直線に沿って円盤の縁に向かって進んだとすると，自分の世界もどんどん小さくなり縁に到達するには無限の時間がかかるようになっている世界です．
｛7,3｝分割の正7角形のタイルは，円盤の縁に近づくにつれどんどん小さくなっていますが，円盤の中にいる人にとっては全部同じ大きさ（言葉をかえれば円盤内は無限に広い）です．

Fig.1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Fig.2

コクセター万華鏡は，正7角形タイルの中を14個の直角3角形(7,3,2)に分割してできます．この直角3角形の頂点の角度は（π/7，π/3，π/2）ですから，直角3角形(7,3,2)と略記しました．

この直角3角形を鏡室にして作った万華鏡をコクセター万華鏡と呼ぶことにしました．
それは，同様な分割｛6,4｝の論文をコクセターがエッシャーに送って，それがエッシャーの極限としての円の作品を生んだからです．
｛7,3｝分割を直角3角形(7,3,2)のコクセター万華鏡にすると，Fig.2のように3角形のどの頂点周りにも偶数の直角3角形が集まるので，円盤内の世界全体が市松模様になります．

円弧の1つを円柱鏡にして，この円弧で分けられた左世界の像を映し出した実験をした撮影してみましたFig.3．右世界の像は左の世界の鏡像なので，円柱鏡を境として市松模様が逆転しているのがわかるでしょう．
Fig.3

円柱鏡（円の内側で反射）の焦点は収差のため，このような曲線になります．
このような反射光線のが作る包絡線の形を“火線”といいます．
この曲線の形はネフロイド（サイクロイドの仲間）と呼ばれます．

 ■コクセター万華鏡
このコクセター万華鏡は直角3角形(7,3,2)の辺を鏡にして作られます．
この双曲幾何のポアンカレ円盤世界の直線は，円盤の縁で直交する円弧です．

双曲面の正則分割｛7,3｝の正7角形を，直角3角形(7,3,2)で細分したコクセター万華鏡を示します．

この万華鏡像は，
直角3角形(7,3,2)の辺を鏡にして，円による反転（数学的演算）により得られます．

しかしながら，円柱鏡による反射像には収差があるので，反射を繰り返すとボケてしまいます．
円柱鏡の1回反射の実験例を示します．右側世界は左側世界の鏡像なので，市松模様が鏡面に沿ってずれているのがわかるでしょう．

■風が吹けば桶屋が儲かるバタフライ効果

バタフライ効果とは，気象学者のエドワード・ローレンツが1972年にアメリカ科学振興協会で行った講演のタイトル”予測可能性：ブラジルの1匹の蝶の羽ばたきはテキサスで竜巻を引き起こすか？”に由来します．

複雑系では，単純な因果列ではなく，あらゆる原因がどの結果にも反映されるので，予測できない結果をもたらす可能性があることを言います．

□定まっているようで定まらない運命

系の運動を記述する方程式は正しく作れるのだが，この方程式の解析解が求まる（可積分）とは限りません．現実は，非可積分の場合がほとんどで，教科書で習う可積分の場合は例外的幸運な場合です．1880年代にポアンカレは，ニュートンの運動方程式ですべての運動が定まっているはずの世界で，三体問題は解析解が得られないことを証明しました．

□非可積分の世界とバタフライ効果

非可積分の方程式の解は，コンピュータによる数値計算で求めることができます．しかし，このような系の解では，方程式のパラメータや初期値によって，解が分岐したりカオスと呼ばれる定まらない状態になったりします．

このような状態は，ロジスティク写像の漸化式X_n+1＝aX_n(1-X_n)　や同様な漸化式　X_n+1＝X_n²＋λ　でも見られます．ここで得られる実数列　X_n（n→∞）が，実数パラメータλやaの値により，振動したり発散したり，定まらない状態になったりすることが起こります．また，初期値のごくわずかのずれが，X_nの劇的な変化を生むことがあります．これがバタフライ効果と呼ばれる所以です．

■マンデルブロの登場とフラクタル

IBMトーマス・J・ワトソン研究所にいたマンデルブロは，綿花などの価格変動を調べていて，不規則な変動データの中に隠れている自己相似性を見つけフラクタルとなずけました．フラクタル幾何学は1982年に発表されました．

 マンデルブロ集合（奇妙なフラクタル構造）と言うのは，

f(z) = z² + Cという写像で生まれる複素数列を，

初期値z₀ = 0として，z₁ = f(z₀), z₂ = f(z₁), …とくり返し計算し，n → ∞で|z_ｎ|が発散しないような，複素平面上の複素数Cの集合「初項z₀ = 0に対して，発散しないCは何か」のことです．

マンデルブロ集合の境界（数列が発散する/しないの限界）ではカオスの発生があり，美しく不思議に入り乱れたフラクタルが見られます．

 Fig.1

 菱形30面体と12・20面体とは互いに双対な多面体です．双対の説明はFig１に図示しました．さらに，12・20面体は互いに双対な正12面体と正20面体とを重ねたときの共通部分でもあります．

注）Fig.1の重な合わせでは，共通部分はサッカーボール［5,6,6］の半正多面体ですが，正20面体のを少しづつ大きくしていくと，［5,3,5,3］の半正多面体（12・20面体）になる点があります．

菱形30面体の頂点は，正12面体の頂点（3回軸の位置）と正20面体の頂点（5回軸の位置）とから構成されています．菱形面の短対角線（正12面体の正5角形面の辺長）をaとし，長対角線（正20面体の正3角形面の辺長）をbとすると，a:b=1:Φ＝2:1+√5　の黄金比です．正12面体の頂点のうちの8個を使い，一辺Φaの立方体を内接できるので，正12面体の外接球の半径は，R₁₂＝√3Φa/2です．
一方，正20面体の外接球の半径は，R₂₀=(b/4)√(10+2√5)です．

寸法をa=2，b=1+√5，Φ=1.618にすると，R₁₂=2.80，R₂₀=3.08が得られます．
実際の製作は展開図に記入した寸法（10倍）にすると作り易いです．

ミラー紙（厚さ0.25mm程度の厚紙）を使って，展開図の鏡を作りピラミッド（内側が鏡）のような形に組み立てます．O点は立体（ピラミッド）の中心に相当し，O点の周囲は光の窓になります．覗くのは菱形面（ピラミッドの底面）の外部からです．

針金で正4面体ABCDを作り，持ち手をつけて，正4面体をシャボン液の中に浸してからゆっくり引き上げると，どのような面にシャボン膜ができるでしょうか？
実験してみてください．針金枠の正4面体の面にシャボン膜ができると思いますか？

多分，正4面体の中心Oと正4面体の辺でできる三角形，例えば，△OABなどの膜ができると思います．正4面体は辺が6個ありますから，このような膜は6枚あります．
Oから正4面体の各頂点へ，線分OA,OB,OC,ODの4本がありこの線分が３つのシャボン膜の境界になります．
（１）Oから正4面体の各頂点に向かう線分同士のなす角度は何度でしょうか？
（２）△OABのような６つの膜が1点で出会うOのような点が必ずできるでしょうか？
（３）正4面体の４つの面の面積合計と，△OABの面積x6とでどちらが大きいでしょうか？
（４）どのようなシャボン膜の形のつり合いが実現するでしょうか？
色々な疑問が起こり難しい問題です．実験してみて推測してみましょう．

 針金の枠が立方体のときは，どのような膜の形になるでしょうか？

実験してみると下図のような膜ができると思います．
このような膜の形ができることを説明してください．