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$$\displaystyle \frac{E'}{E}=\displaystyle \frac{1}{1+\alpha (1-cos\theta )}$$
$$\alpha =\displaystyle \frac{E}{m_{0}c^{2 } }$$
クラインー仁科
$$\displaystyle \frac{d\sigma }{d\mit\Omega }=\displaystyle \frac{r_{0 } }{2}\left( \displaystyle \frac{E'}{E} \right) ^{2}\left( \displaystyle \frac{E'}{E}+\displaystyle \frac{E}{E'}-sin^{2}\theta \right) $$
$$E_{e}=E-E'=E\displaystyle \frac{\alpha (1-cos\theta )}{1+\alpha (1-cos\theta )}$$
$$\displaystyle \frac{d\sigma }{dE_{e } }=\displaystyle \frac{d\sigma }{d\mit\Omega }\displaystyle \frac{d\mit\Omega }{d\theta }\displaystyle \frac{d\theta }{dE_{e } }$$
$$ d\mit\Omega =2\pi sin\theta d\theta ,　　　　 \displaystyle \frac{d\mit\Omega }{d\theta }=2\pi sin\theta $$\

$$\displaystyle \frac{dE_{e } }{d\theta }=E\displaystyle \frac{\alpha sin\theta }{\left[ 1+\alpha \left( 1-cos\theta \right) \right] ^{2 } }$$

$$\displaystyle \frac{d\sigma }{dE_{e } }=\displaystyle \frac{d\sigma }{d\mit\Omega }2\pi sin\theta \displaystyle \frac{\left[ 1+\alpha \left( 1-cos\theta \right) \right] ^{2 } }{E\alpha sin\theta }=\displaystyle \frac{\pi r_{0 } }{E\alpha }\left( 1+cos^{2}\theta \right) \left\{ 1+\displaystyle \frac{\alpha ^{2}\left( 1-cos\theta \right) ^{2 } }{\left( 1+cos^{2}\theta \right) \left[ 1+\alpha \left( 1-cos\theta \right) \right] } \right\} $$

１種類の形（2等辺3角形）の赤色と黄色のタイル（赤タイルと黄タイルは互いに鏡像）で作ったタイル張り模様を鑑賞しましょう．1種類の形のタイルで，平面をタイル張りすると，必ず周期的なタイル張りになってしまうと思い込むのは間違っています．確かにFig.4,やFig.5のような周期的なタイリングはすぐ思いつきます．

しかし，Fig.2やFig.3のように非周期なもので，平面をタイル張りするものがあります．Fig.2は中心に回転対称があるタイリング模様で，点群5mの対称性です．Fig.3は，２つの目がある螺旋パターンのタイリングで，水平線は映進面だと思うかもしれませんが，このパターンには周期がありませんから映進操作はできません．
螺旋の目の中間に対称心があります．

さて，ここで万華鏡で作られるタイリング模様Fig.1の登場です．
この万華鏡を生む3枚の鏡は１つの頂点では点群を生成しますが，他の２つの頂点では点群を生成しません．従って平面を赤と黄色の市松模様で埋めることはありません．全体の代数系は，群より緩いもの（特殊な亜群）になってしまいますから非常に複雑です．
対称操作は局所的で，独自の作用域と値域があり興味深いものです．
作用域，値域の制限のために，一つのタイル全体が無傷で写像されるパターン内の位置と，部分が写像される位置があり，このような複雑なタイリング模様ができます．

シュロ縄で柵の竹竿を結びました．庭師は男結びと言う方法で結ぶそうですが，私は簡単にランニング・ノットという方法で結びました．実は，シュロ縄の扱いが大変だったので，一番作業の楽な結び方をして，後でこの結び方の名前を調べたら，ランニング・ノットという方法であることがわかりました．
ランニング・ノット（あるいは，スリップ・ノット）と言われる所以は，竹竿を通してから紐を引っ張って締めると結節ノットが移動して，自然に竹竿の周りの輪が締まるからです．結節になる輪から紐の両端が同じ方向に出ていますから，竹竿を通してから紐の一端を引っ張ると，輪が締り結節になると同時に，他端も同方向に引かれるので，両側から輪を締め，自分自身を締め緩みを防止しする一番シンプルな結び方になります．
ランニング・ノットの結び方で紐の両側を引っ張ると，輪の中に竹竿がなければ手品のように紐は結び目が出来ずに解けてしまいます．比較のために，もやい結びを見てみると，結びの両側を引っ張ると結節ノットは移動せず輪が出来てしまい，竹竿の周りを締める結び方にはなりませんし，竹竿がない状態で，もやい結びの紐の両側を引っ張ると解けずに固定した輪を残して結び目が出来てしまいます．

紐の始まりを竹竿の周りのランニング・ノットから始めて，柵を組んだ竹竿に巻きつけ固定し，紐の最後もランニング・ノットで収めようとするとなかなか難しい．巻いてきたひもが緩まないように締めながら出口の結節になる結び目を作る必要があるからです．
シュロ縄は水に湿らせた方がしなやかでよく締まります．シュロ縄を繰り返ししごいていると，縄に毛玉のような塊や細い箇所ができますから注意しましょう．

今回は，紐の両端をそれぞれ別の場所で固定したので，使いませんでしたが”かます結び”という方法もあります．これは紐の両端を結ぶ結び方です．

■連立線形微分方程式を解く

例えば，次の連立線形微分方程式は，行列を使って表現できます．

$$ \left\{ \begin{array}{@{\,} c @{\, } } \displaystyle \frac{d}{dt}x=y \\[0mm] \displaystyle \frac{d}{dt}y=-x \end{array} \right. $$

 $$ \displaystyle \frac{d}{dt}\left[ \begin{array}{@{\,} c @{\, } } x \\[0mm] y \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{@{\,} cc @{\, } } 0 & 1 \\[0mm] -1 & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{@{\,} c @{\, } } x \\[0mm] y \end{array} \right]　　 \Longleftrightarrow 　\displaystyle \frac{d}{dt}\vec{x }=M\vec{x } \\ $$

このような微分方程式の解は，初期値を $$\vec{x_{0} } =\vec{x }(t_{0})$$ として，

$$ \vec{x}(t)=\vec{x }_{0}+\displaystyle \int_{t_{0 } }^{t}M\vec{x}(\tau )d\tau　 $$  となります．

これの計算は，逐次近似で無限の関数列を作れば実行できます．

$$\vec{x_{1 } }(t)=\vec{x}_{0}+M\vec{x_{0 } }(t-t_{0})$$

$$\vec{x_{2 } }(t)=\vec{x}_{0}+\displaystyle \int_{t_{0 } }^{t}M\vec{x_{1 } }(\tau )d\tau =\vec{x}_{0}+M\vec{x_{0 } }(t-t_{0 } )+M^{2}\vec{x_{0 } }\displaystyle \frac{(t-t_{0})^{2 } }{2}$$

$$\vec{x_{n } }(t)=\displaystyle \sum_{0}^{n}M^{n}\vec{x_{0 } } \displaystyle \frac{(t-t_{0})^{n } }{n!}$$

ここで，$$n \longrightarrow \infty $$とすると収束して，次の指数関数の解が得られます．

$$\vec{x }(t)=e^{M\left( t-t_{0} \right) }\vec{x}_{0}$$ ただし，$$e^{Mt} $$の定義は　　$$e^{Mt}=\displaystyle \sum_{0}^{ \infty }\displaystyle \frac{1}{n!}(Mt)^{n}$$

この解は確かに，　$$\displaystyle \frac{d}{dt}e^{Mt}=Me^{Mt}$$を満たします.

■線形化

現実の連立微分方程式は非線形がほとんどです.

平衡点の近傍でテーラー展開し，局所的に方程式を線形化します．

例えば，一般的な反応拡散系の方程式で$$f(u,v)，g(u,v)$$は線形とは限りません．

$$ \left\{ \begin{array}{@{\,} c @{\, } } \displaystyle \frac{ \partial u}{ \partial t}=D_{u}\displaystyle \frac{ \partial ^{2}u}{ \partial x^{2 } }+f(u,v) \\[0mm] \displaystyle \frac{ \partial v}{ \partial t}=D_{v}\displaystyle \frac{ \partial ^{2}v}{ \partial x^{2 } }+g(u,v) \end{array} \right. $$

$$u(x,t), v(x,t)$$（それぞれ2種類の物質の濃度）を，平衡点のまわりでテーラー展開し，線形近似します．ただし，平衡点を$$(0,0)$$とする（このようにしても一般性を失わない）．

1次の偏微分係数が作る行列（ヤコビアン）$$J$$を定義し，次のように線形化する．

　　　$$ J \equiv \left[ \begin{array}{@{\,} cc @{\, } } \displaystyle \frac{ \partial f}{ \partial u} & \displaystyle \frac{ \partial f}{ \partial v} \\[0mm] \displaystyle \frac{ \partial g}{ \partial u} & \displaystyle \frac{ \partial g}{ \partial v} \end{array} \right] \equiv \left[ \begin{array}{@{\,} cc @{\, } } f_{u} & f_{v} \\[0mm] g_{u} & g_{v} \end{array} \right] $$，　　$$\left[ \begin{array}{@{\,} c @{\, } } f(u,v) \\[0mm] g(u,v) \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{@{\,} cc @{\, } } f_{u} & f_{v} \\[0mm] g_{u} & g_{v} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{@{\,} c @{\, } } u \\[0mm] v \end{array} \right] $$

$$f_{u} , f_{v} ,g_{u} ,g_{v}$$は，平衡点$$(0,0)$$での偏微分係数です．

線形化された反応拡散方程式を以下に示します．$$D_{u}, D_{v}$$はそれぞれの拡散係数（常に正）．

$$ \left\{ \begin{array}{@{\,} c @{\, } } \displaystyle \frac{ \partial u}{ \partial t}=D_{u}\displaystyle \frac{ \partial ^{2}u}{ \partial x^{2 } }+f_{u}u+f_{v}v \\[0mm] \displaystyle \frac{ \partial v}{ \partial t}=D_{v}\displaystyle \frac{ \partial ^{2}v}{ \partial x^{2 } }+g_{u}u+g_{v}v \end{array} \right. $$

$$u(x,t)=u^{*}e^{\sigma t}\textrm{sin}\alpha x$$， $$v(x,t)=v^{*}e^{\sigma t}\textrm{sin}\alpha x$$ と置くと

$$ \left\{ \begin{array}{@{\,} c @{\, } } \sigma u^{*}=-\alpha ^{2}D_{u}u^{*}+f_{u}u^{*}+f_{v}v^{*} \\[0mm] \sigma v^{*}=-\alpha ^{2}D_{v}v^{*}+g_{u}u^{*}+g_{v}v^{*} \end{array} \right. $$

行列形式で書くと，

$$ \left[ \begin{array}{@{\,} c @{\, } } u^{*} \\[0mm] v^{*} \end{array} \right] =\displaystyle \frac{1}{\sigma }\left[ \begin{array}{@{\,} cc @{\, } } f_{u}-\alpha ^{2}D_{u} & f_{v} \\[0mm] g_{u} & g_{v}-\alpha ^{2}D_{v} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{@{\,} c @{\, } } u^{*} \\[0mm] v^{*} \end{array} \right] $$

$$A \equiv \left[ \begin{array}{@{\,} cc @{\, } } f_{u}-\alpha ^{2}D_{u} & f_{v} \\[0mm] g_{u} & g_{v}-\alpha ^{2}D_{v} \end{array} \right] $$

は平衡点$$(0,0)$$におけるヤコビアン．

■解の安定性

$$ \left[ \begin{array}{@{\,} c @{\, } } u^{*} \\[0mm] v^{*} \end{array} \right] =\displaystyle \frac{1}{\sigma }A\left[ \begin{array}{@{\,} c @{\, } } u^{*} \\[0mm] v^{*} \end{array} \right]      \Longrightarrow      P\left[ \begin{array}{@{\,} c @{\, } } u^{*} \\[0mm] v^{*} \end{array} \right] =\displaystyle \frac{1}{\sigma }PAP^{-1}P\left[ \begin{array}{@{\,} c @{\, } } u^{*} \\[0mm] v^{*} \end{array} \right] $$

$$ PAP^{-1}=\left[ \begin{array}{@{\,} cc @{\, } } \lambda _{1} & 0 \\[0mm] 0 & \lambda _{2} \end{array} \right] $$

が対角化されると，固有値 $$\lambda _{1} , \lambda _{2}$$，固有ベクトルは $$P\left[ \begin{array}{@{\,} c @{\, } }u^{*} \\[0mm]v^{*}\end{array} \right] $$

平衡点 $$(0,0)$$ の解が安定であるためには，すべての固有値が負でなければならない．

$$\lambda _{1}<0,\lambda _{2}<0$$ が必要十分であり，$$\lambda _{1}+\lambda _{2}<0$$では少しゆるい条件になる.

$$A$$の固有値を求めるのは面倒なので，対角化により$$Tr$$は変わらない$$Tr[A]=Tr[PAP^{-1}]$$を利用し，ゆるく評価すると，$$Tr[A]=f_{u}+g_{v}-\alpha ^{2}(D_{u}+D_{v})<0$$

拡散項がない（$$D_{u}=D_{v}=0$$）時の安定性から　$$f_{u}+g_{v} < 0$$が成立するので，

例えば，　$$f_{u}>0, g_{v}<0$$，$$\left| \begin{array}{@{\,} c @{\, } }f_{u}\end{array} \right| <\left| \begin{array}{@{\,} c @{\, } }g_{v}\end{array} \right| $$が得られます．

$$u$$は加速剤，$$v$$は阻害剤として働き，互いの解が安定化することがわかります．