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数学月間SGK通信 ［2017.06.20］ No.172
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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2次元のブラベー格子が5種類あることは既に学びましたが，3次元のブラベー格子が１４種類あることには，
まだ言及していませんでした．実際の結晶は3次元の物体ですから，3次元のブラベー格子は特に重要です．
14種類のブラベー格子をどのようにして数え上げるか表に従って説明します．
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/586541/03/18096603/img_0?1497878818

3次元ですから，3つの互いに独立なベクトルa,b,cがとれ，それらの組を対称性で分類すると
上段の7つの図（いわゆる晶系に対応している）が得られます．
例えばhexagonalでは，ベクトルaとbは周期が同じだから，a,a,cと書きました．
ベクトル間の交差角度は，対称性での分類の観点から，”90°，120°，および，3つの交差角度が互いに等しい”，
などが特別扱いされます．これらに基づき，図示した７つが，まずブラベー格子になります．
これら７つはすべて，P（primitive単純格子）－－格子の頂点のみに格子点がある（単位胞に1つの格子点が含まれる）ものです．
７つのP格子のそれぞれに，複格子；C（c-面心），I（体心），F（面心）が存在可能か調べます．
格子点を付加すると対称性が破れてしまう場合は，複格子の存在が許されない場合で，表中にx印がついています．
また，作った複格子は結局P格子と同じものである場合は，表中にPと書きました．
こうして生じる異なる型の格子（ブラベー格子）を数え上げると14種類であることがわかります．

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数学月間SGK通信 ［2017.06.13］ No.171
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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政治が国民のやる気をそいでいる今日この頃ですが，皆さまお変わりなくお過ごしでしょうか．
ここでは，周期的空間＝結晶空間について語ることが多いのですが，
まだミラー指数についてお話したことがなかったようです．
結晶を扱う固体物理では，必ず最初に学ぶことなのに，説明はとばしておりました．
ミラー指数は結晶面の記述に必要です．その原理（なぜ逆数をとるかなど）の理解に，
混乱する学生が多い所でもあります．疑問が解ける説明になるよう留意しつつ，今日ここで取り上げます．

結晶の内部構造（原子配列）の対称性は，結晶の外形にも現れるものです．
皆さんも，規則正しい面で囲まれた結晶の外形を見たことがあるでしょう．
水晶，蛍石，ザクロ石，黄鉄鉱，様々な結晶の写真をご覧ください．
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/82/18085782/img_2_m?1497280452

まず，結晶に座標軸(X-軸，Y-軸，Z-軸）を決めるのですが，
これは結晶の対称性を考慮して合理的に決めます．一般に，座標系は斜交座標軸です．
先の例で具体的に言うと，
水晶では，X-軸，Y-軸の交差角は120°，Z-軸は，X-Y平面に垂直．
蛍石，ザクロ石，黄鉄鉱，などでは，直交座標系です．

結晶は周期的な空間＝格子です．格子点を乗せている面が結晶面です．
（格子点は周期の表現であり，しいて言えば単位胞を点で代表していると考えてください．
ここに原子があるというわけではありません）
結晶構造中には，さまざまな結晶面が存在します．結晶の外形に現れる面も結晶面の１つであります．

ある結晶面が，X-軸，Y-軸，Z-軸を過る切片を，a/h, b/k, c/l　とすると，
この結晶面の平面の方程式は，hx/a+ky/b+lz/c=1　です．ここで，
a,b,cは，X-軸，Y-軸，Z-軸の周期（座標軸に沿って単位胞をとりますから，単位胞のサイズとも言えます），
h,k,lは整数です．結晶面が格子点を乗せているからには，h,k,lが無理数ではいけません．
これは，結晶空間が単位胞を並べてできているデジタル空間であることからの帰結で，
結晶面の有理指数の法則（アウイ，1778）と言います．
さて，この場合の結晶面のミラー指数は，（h,k,l）となります．
ミラー指数は，イギリスの鉱物（結晶）学者ミラーが，1839年に考案したものです．
2次元で，ミラー指数の実例を掲載してｐきます．
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/82/18085782/img_1_m?1497280452

ミラー指数(h,k)は，切片を(a/h，b/k)と書いた時のh,kであるから，
切片は（a/1，b/2)　と思っても良いし，（2a,1b)＝（a/(1/2)，b/(1/1)）として，
h:k=1/2:1/1＝1:2を求めても良い．．

x軸に平行な面の切片は，(∞a，b)＝（a/(1/∞)，b/(1/1)）として，
h:k＝0:1とする．

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数学月間SGK通信 ［2017.06.06］ No.170
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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久しぶりですが，今回は正多面体や菱形多面体の話題を取り上げます．
ユニット折り紙で，菱形多面体や星型多面体を作ったことがある方もおありでしょう．
まず，プラトンの正多面体は5種類であることを復習しましょう．
正p多角形の面が頂点でq個集まってできる正多角形は，シュレフリーの記法で｛p,q｝と記します．
プラトンの正多面体は，正4面体｛3,3｝，正6面体｛4,3｝，正8面体｛3,4｝，正12面体｛5,3｝，正20面体｛3,5｝です．
面を頂点に変えた図形同士は互いに双対な図形と言います．記号で言うと
{3,3}は自分自身と双対です．｛4,3｝と｛3,4｝は互いに双対．｛5,3｝と｛3,5｝は互いに双対です．
互いに双対の図形の対称性は同じです．

まず，Fig.2をご覧ください．
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/11/18073811/img_1_m?1496617471
左図は，互いに双対の図形，正6面体｛4,3｝と正8面体｛3,4｝の重ね合わせ．
双対の図形の対称性は同じですので，重ね合わせた図形も同じ対称性になります．
右図も同様で，正12面体と正20面体の重ね合わせの例です．

次にFig.1に移りましょう．
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/11/18073811/img_0_m?1496617471
6･8面体は，正6面体と正8面体の重ね合わせの共通部分です．同様に
12･20面体は，正12面体と正20面体の重ね合わせの共通部分です．
これらの多面体は正多面体ではありません（2種類の正多角形の面があるので，半正多面体）．

6･8面体の双対図形が菱形12面体，12･20面体の双対図形が菱形30面体です．
例えば，左側の系列で言うと，6･8面体の正方形の面を，菱形12面体の稜が4つ集まる頂点に，
正3角形の面を稜が３つ集まる頂点に対応させています．

互いに双対な多面体の対称性は同じですから，
左の系列
菱形12面体，6･8面体は，立方体（あるいは，正8面体）と同じ対称性．
右の系列
菱形30面体，12･20面体は，5角正12面体（あるいは，正20面体）と同じ対称性です．

菱形多面体は，面の形が菱形で正多角形ではありませんから，正多面体や半正多面体の仲間ではありません．
（注）半正多面体とは，複数種類の正多角形の面でできるものです．菱形は正多角形ではありません．

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数学月間SGK通信 ［2017.05.30］ No.169
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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今日は，数学の話題ではないのですが，福一原発事故で2011.3に環境に放出されたセシウムについて
測定したので，その話をします．半減期の定義は，ほんのちょっと数学に関係があります．
最近，IMADENさんの協力を得て，我々の研究会で新しいγ線測定器を作りました
そのテスト結果です．
この測定器のシンチレータはCsIで，前々回のものと変わりませんが，
検出にホトダイオードではなく，PMT（光電子増倍管）を使っています．
そのため，感度は大変よくなりました．
エネルギーの分解能はシンチレータで決まりますから，
前回の測定で使用したCZT結晶を用いたRAdAngel社のエネルギー分解能には及びません．

測定した西郷試料は，2012.10.17に採集した除染前屋根堆積物と栗です．
Fig2　2017.05.28の測定結果（CsI＋PMT）
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/45/18064145/img_0_m?1496061605

■
セシウムCs134の半減期は2年，Cs137の半減期は30年です．
Cs134もCs137も原子炉の中で作られたもので，2011.3の事故で放出されました．
ウラン235が核分裂すると，いろいろな核種が生まれます．
例えば，ヨウ素131とイットリウム103と中性子，セシウム137とルビジウム95と中性子 ，などです．
同様に核分裂で生じる核種にキセノン133があり，これが中性子を捕獲してセシウム134に変わります．
Cs134の生成には中性子の捕獲が必要ですので，原子炉の稼働時間が長いほど，燃料棒中たくさん生成されています．
今回の福一の場合は，放出された時点2011.3で，Cs137：Cs134の放射能量（ベクレル）比は1:1だったとのことです．
1 ベクレルというのは， 1 秒間に 1 回の割合で原子核が崩壊する放射能の量のことです．
Cs137は1回の原子崩壊で662keVのγ線が1つ出ますが，
Cs134の1回の原子崩壊では，605keVのγ線と796keVのγ線が1つづつ出ますので，
大雑把に言うと，同じ1ベクレルのCs137とCs134では，Cs134の方が2倍くらいγ線を出します．
■
2011.3に放出された試料を，新しく作った測定器で，再測定（2017.5）しました．
事故から6年ほど経っていますので，半減期30年と長いCs137はあまり減少しない(1割減程度)が，
半減期2年と短いCs134の強度は1/2.6に減少しているはずです．
計算は以下の半減期の定義を参照ください．
半減期Tの定義，tだけ経過後の残存原子比，N(t)/N(0)=(1/2)^(t/T)

保存した試料の測定ですので，このような結果になるはずです．
実際の環境中のセシウム分布状態は，このような自然減衰の他に，
拡散や移動により変化しています．下水や流水により川底や海低などに移動したものがあると思われます．
水の外からの測定では，水の遮蔽効果により測定できませんので，
この種の装置を水中に下し測定を行うべきですが，あまり測定は行われていません．

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数学月間SGK通信 ［2017.05.23］ No.168
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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■米国MAMの動向
現実世界の多くの課題を解くのに，数学と統計が重要な役割を演じています．
昨年度の米国MAMのテーマは，ずばり「予測の未来」でした．米国MAMでは，統計や予測に関するテーマが増加しています．
これまでのMAM数学月間（1986年4月のレーガン宣言で始まった）の呼称も，2017年から
MSAM(Mathematics and Statistics Awareness Month)数学・統計月間に変わりました．
この流れを作った背景には，コンピュータ利用とAI人工知能技術の発展があります．
嫌なことですが，スノーデンの告発で明らかになったように，個人情報，個人メールを含むあらゆるデータが，
米国NSAにより収集され（collect it all），解析に使うことができる監視社会になりました．
米国NSAによるデータ独り占めが，国家の独立性を危うくしたり，
不正な情報操作を許すことにならないように注意が必要です．
私たちの日本の数学月間では，世論調査がどれほど正しいのか疑問を持ち，この数年これを取り上げてきました．
しかし，その一方，大量のデータが，リアルタイムで収集できるのが現代です．
これをどのように解析・予測するかの数学手法は，興味深いことです．
社会と数学の架け橋を謳う「数学月間」としては，これらを取り上げないわけにはいきません．
今年7月22日の数学月間懇話会でも，昨年に続く世論調査のテーマと少ないデータからの推論を取り上げます．
詳細は数学月間ブログやSGKのウエブサイトをご覧ください．

■米国MSAMの「数学祭り」
今年の米国MSAMには，例年のMAM（毎年4月に実施）のような統一テーマがありませんでした．
ウエブサイトで目につくイベントは，「数学祭り」national math festivalの楽しい様子です．
これは，日本の「とっとりサイエンスワールド」（注）によく似ています．
（注）とっとりサイエンスワールドは，2007年にスタートした人気のある県民イベントです．
詳細は，数学月間ブログをご覧ください．
米国MSAMの「数学祭り」は，4月22日土曜日の10:00~１9:00,ワシントンDCのダウンタウンにある
ウォルター・E.・ワシントン・コンベンション・センターで実施（一般公開の無料イベント）されました．
講演，デモ，アート，映画，実演，パズル，ゲーム，児童書の読書などがあり，幼児からすべての年齢の成人が対象です．
ウエブサイトで見られるビデオの一つを紹介しましょう．
米英には，数学見世物師のような専門家が居り，なかなか見事なパフォーマンスが見られます．
例えば，Matt Parker のマジック・スクエアのデモはとても面白いものです．
以下の４ｘ４の数表をご覧ください．
A　　1 12 7
11 8 B 2
5 10 3 C
4 D 6 9

(1)縦列の4つの数字の総和，(2)横列の4つの数字の総和，(3)全体の4分割のそれぞれの部分の4つの数字の総和，
(4)中心部分の4つの数字の総和，(5)中心2列の上部分（下部分）の４つの数字の総和，
(6)表の4隅の数字の総和，(7)２つの対角線の4つの数字の総和．
これらがすべて同じ数字になるように，A,B,C,Dを求めます．
さて，総和の数字は，観客に勝手に言わせます．もし，48と言われたら，
A=28，B=27，C=30，D=29です．どんな総和の数字を言われてもすぐできて
とても不思議です．この種は，以下のようなものです．うまく実演してみましょう．
総和の数字をｎと言われたら，A=n-20，B=n-21，C=n-18，D=n-19と計算すればよいのです．

無限に広がる2次元の世界（平面）が，周期的であるとは，1枚のタイル（平行4辺形）を張り詰めて，平面のタイル張りがなされている状態です．
周期的な平面はタイル（単位胞）を単位としてデジタル化された平面といえます．
タイルの辺と辺を合わせてタイル張りをすると，平面は必ず周期的になります．
平行4辺形の2辺は，周期的な2次元世界を張る「基本並進ベクトル」a1,a2です．
（注）2次元だから，互いに独立なベクトルは2本あります．
平行6辺形でも平面のタイル張りができますが，
対向する２辺間の移動ベクトルを，a1,a2,a3とすると，互いに独立なベクトルは２つのみで，残りのベクトルは従属　a3＝a1+a2

a1,a2を基本並進ベクトルという．基本並進ベクトルa1,a2の1次結合ーつまり，任意の整数n1,n2に対して，T(n1,n2)=n1･a1+n2･a2　
となるベクトルT(n1,n2)も並進ベクトルで，並進ベクトルの集合は群をなします；
これを並進群といいます．並進ベクトルT(n1,n2)で移動する点はすべて同価で，格子点と言い，格子点の集合全体が格子です．格子は，並進群の具体的な表現とも言えましょう．　

（*注）
並進ベクトルの集合Γは，加法で閉じており，群をなすことは明らかでしょう．

・　T(n1,n2)，T(m1,m2)が並進群Γの元なら，
　　T(n1,n2)+T(m1,m2)＝T(n1+m1,n2＋m2)もΓに含まれる．
・　動かさない並進T(0,0)が存在し，これが群Γの単位元．
・　並進T(n1,n2)に対し，逆元T(-n1,-n2)が存在する．

基本並進ベクトルa1,a2の関係を，対称性で分類して５つのブラベー格子が出来ることは，前号の図をご覧ください．また，基本並進ベクトルが作る平行4辺形が単位胞で，単位胞と呼ばれる所以は，この面積の中に格子点が１つ含まれるからです．
ただし，面心格子のように複数の格子点（2次元の面心格子では２つ）を含む胞を単位胞（実は複格子点胞）と便宜上呼ぶこともあります．

本来，単位胞はすべて単格子点胞とすべきだが，複格子点胞も混じっている．それは，以下の便宜上の根拠による：
The smallest portion of a lattice with identipoints at its corners which still retains the same point-group symmetry as the entire lattice.
単位胞　　　　unit cell
単格子点胞　primitive unit cell　⇒　1-lattice point cell
複格子点胞　multiply primitive unit cell　⇒　n-lattice point cell

任意の並進ベクトルの和は，演算の順番によりません．そのような群は可換群（Abel群）と呼ばれます．
格子点を周期的に抜き取った粗い格子は，もとの格子の部分群です．1つの格子（並進群）には，たくさんの粗い超格子（部分群）がありますが，並進群は可換群ですから，並進群のすべての部分群は正規部分群になります．
例えば，（n1,n2）の偶数格子点だけを集めた粗い格子もできます．偶数格子点を「黒」，奇数格子点を「白」に塗り分ければ，黒白の2色格子ができます．

周期的平面を対称性で分類すると，図１に掲載するように５つのタイプ（ブラベー格子）になります．
平面ですから周期を決める互いに独立なベクトルは2種類で，そのベクトルの状態を図１の2段目に赤い矢印で示しました．やはり図の2段目には，この赤いベクトルを２辺とする平行4辺形（グレーに着色，平行4辺形の頂点には格子点がある）を図示しました．これは単位胞と呼ばれます．
図の3段目は，１つの格子点を中心とし，隣接格子点と結ぶ線の垂直2等分線で囲まれた図形を示しました．この図形はデリクレ胞（固体物理の方では，ウイグナー=ザイツ=W-Z胞）と呼ばれます．デリクレ胞の作り方から，”格子点にデリクレ胞を配置すれば平面が隙間なく埋められる”ことは明らかでしょう．それぞれのブラベー格子の対称性はデリクレ胞の対称性に帰着すると言っても良いでしょう．
図1

■5つの格子のタイプ（ブラベー格子という）の復習はここで終えましょう．
ブラベー格子の内の「一般格子」は，2回回転対称（格子なら自然に生じる）しかないので除外し，他の4つについて，実際の例を伝統模様で見てみましょう．
以下の図２を見て，どの文様がどのブラベー格子に所属するかご鑑賞ください．
図２
イメージ 1

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数学月間SGK通信 ［2017.05.02］ No.165
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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■モワレ縞
次の図をご覧ください．λ1の正方形目の格子と，λ2の正方形目の格子が，互いに平行のままで重なったときに生じるモアレ縞です，
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/61/18015761/img_0_m?1493248332

生じるモワレ縞の周期　Lは，1/L＝1/λ2－1/λ1　の関係で決まります．
子供の頃，織物検査器というのを玩具にしていました．布地の上に硝子板を乗せると，モワレ縞がはっきり表れ面白い．
この原理で1インチの中に何本糸があるか，織物の出来が均一かなどが，調べられる訳で，
ものさしの様なガラス板の中に，既知の間隔の線がたくさん引かれていました．

■周期的な平面（平面のタイル張り）
周期的な平面は，1種類のタイルでタイル張りされています．つまり，デジタル化された平面と言えましょう．
どんな形のタイルが，平行移動のみで平面をすきまなく埋め尽くすことができるかといえば，
（１）平行4辺形，あるいは，（２）平行6辺形のタイルです．
（１）平行4辺形とは下図の（A)のような形です．
これらは，向かい合った平行な辺どうしは同じ長さ．向かい合った辺どうしを突き合わせて平面を敷き詰めることができます．
向かい合った辺に同じような変形を加えて図案のモチーフを作ります．エッシャーの作品の2羽の鳥はこのようにして作られました．
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/568616/27/17239427/img_4_m?1493646655

（２）平行6辺形は平行な辺どうしが同じ長さの図形で，下図の（B),（C)のような形です．
これらは，向かい合った平行な辺（同じ色に着色）どうしを突き合わせて，平面を敷き詰めることができます．
向かい合った辺に同じような変形を加え，図案のモチーフを作るとエッシャーの様な繰り返す絵が作れます．
私は， ハロウイン魔女を作って見ました．
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/568616/27/17239427/img_5_m?1493646655

（３）平行8辺形以上は平面を敷き詰められないのは何故でしょうか
平面は2次元のために独立な平行移動の方向は２つだけで，3つ目の方向は決まってしまいます．
可能な並進方向は全部で３つで，4つ目の方向は存在できません．
従って，敷き詰め可能なのは平行6辺形までということになります．
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/568616/27/17239427/img_6_m?1493646655

■お知らせ
●数学月間勉強会
「結晶空間群で，物理と数学を学ぼう」，
谷　克彦（日本数学協会幹事）
●数学月間の会，日本数学協会

日本数学協会は，7/22～8/22を数学月間と定めました．
数学と社会の架け橋＝数学月間は今年で13回になります．
このたび，「数学月間勉強会」シリーズを始めます．
数学月間流勉強会の特徴は，テーマを，数学と社会（今回は，物理/芸術）の両面からとらえることです．
それは，完成した数学の学習ではなく，数学が生まれる現場に立ち会うようでもあります．
”通俗解説書は何冊読んでもピント来ない（私もそうです），一方，補題・定理の証明に終始する抽象数学は味気ない”
と思っている皆さん，とくに若い方々にお勧めします．初心から専門の方まで広くご参加を歓迎します。

●日時：6月28日，15:00～17:00
●場所：東京大学出版会，会議室
最寄り駅は，駒場東大前
●無料
●問い合せ・申し込み： sgktani@gmail.com
●第1回のテーマ：
「周期と空間のデジタル化」，繰り返し模様を鑑賞する　　　　　
第2回は，「結晶点群」と部分群を理解する
第3回は，並進群の結晶点群による拡大「結晶空間群」を作る
第4回は，因果律の対称性
の予定です．

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数学月間SGK通信 ［2016.04.25］ No.164
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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今日は，まず図をご覧ください．
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/79/18011279/img_0_m?1492957285

正方形の網目（格子点）の網（格子）を２枚重ねただけですが，
両方の網目が重なった位置の網目に新しい格子が見えて美しい．
もとの格子の２つの並進ベクトルをa，ｂとすると，もとの格子は，格子点 na+mb，（n,mは任意の整数）の集合です．
格子を２枚重ねて，新しい周期の２つの並進ベクトル x, yが生じているこの図の状態は，
x=2a+b，y=a+2b です．この基底の変換を行列で書き，行列式を求めると３ですので，
新しくできた格子はもとの格子と比べて面積で3倍粗くなっていることがわかります．
格子というのは，並進ベクトルの作る群＝並進群の”図的表現”ですが，
2枚の格子の干渉で生じた新しい格子の周期は，
もとの格子の粗いサンプリングになっていることがわかりますね．
だから，新しい格子はもとの格子の部分群になります．

格子が重なって，拡大された（粗い）格子が見える現象は，干渉（ビート）と同じことです．
実際に，２つの原子網面が重なって，このようなビートが見えることは，
電子顕微鏡で格子像の観察をするときにもよく起こります．
結晶は周期的な構造をしているので，周期的な空間は「結晶空間」とも呼ばれます．
エッシャーの繰り返し模様や，壁紙模様などで，周期的空間の実例をたくさん目にしていると思います．
次回は，周期的空間について，並進群を利用してもう少し詳しく調べていくことにします．

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数学月間SGK通信 ［2017.04.18］ No.163
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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先週は，ステレオ投影の原理を説明しました．
ステレオ投影は，角度を保存する（交差する線の角度を変えない）性質がありました．
この球表面から平面への投影法は，
地図を作るのにも利用されていますが，
結晶や多面体の対称性を記述するのに用いますので
先週の続きで応用例まで掲載しておきます．

■点群の表示に使われるステレオ投影図
・多面体を球の中心に置いて，球の中心から多面体の各面に下した垂線が，
球表面を過る点が，多面体の面の球表面への投影点とします．
・球表面の投影点（南半球）を，球の北極と結び，南極での接平面上に投影します．
こうして，多面体の面のステレオ投影像が作れます．
イメージ 1
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/09/18002609/img_0_m?1492443598

このステレオ投影の例で用いた多面体の見取り図を示します，
この多面体は立方体で，稜のに沿って2種類の面があるものです．
この多面体の対称要素の配置も見取り図に記入しました．
イメージ 3
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/585160/76/17100276/img_4_m?1491828971

作成した対称要素のステレオ投影図は以下のものです．
イメージ 2
https://blog-001.west.edge.storage-yahoo.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/572283/09/18002609/img_1_m?1492443598

この多面体には，各面に垂直にさまざまな回転対称軸があります．
ステレオ投影により，これらの点群の対称要素の配置図を，平面の円内に得ることができます．
各面の対称軸の位置（■，▲など），および，鏡映面（赤い円弧），対称心などが