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数学月間SGK通信 ［2019.03.26］ No.260
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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周期的な2次元平面の互いに独立な並進ベクトルは2方向とれます．
これら2本の並進ベクトルが挟む平行４辺形を単位胞といいます．
並進ベクトルの組み（単位胞の形）を対称性で分類したものがブラベー格子です．
2次元のブラベー格子には，図に示す5種類があります．
そして，それぞれに対応する格子の図も掲載しておきました．

さて，以下に伝統文様を10種挙げました
図の中に赤色ベクトルで，並進の周期を書き込んだ図もあります．
１．書き込んでない図にも赤色ベクトルを書き込んでみましょう．
赤色ベクトルの選び方はいろいろ可能ですが，
単位胞の形（赤色ベクトルで囲まれた平行4辺形）が
A正方形，B長方形，C120°の菱形，D任意角度の菱形，　
の4種類のどれかにあてはめるようにとれます．
2次元のブラベー格子の5種類のうち，一般形の平行4辺形に属する伝統文様は，
ここの例には挙げていません．
２．それぞれの伝統文様は，A,B,C,Dのどのタイプに属するでしょうか．
３．伝統文様のいくつかを，どこかで見たことがあるでしょうか．
私は立涌を壁紙で見かけます．

この透明な立方体の箱（単位胞）が周期的に並ぶと，ページ65の空間の充填ができます．結晶はこのように単位胞が並んだ周期的構造です．
小梁（OSA工房）のパズルは，単位胞だけ取り出して充填させるパズルです．

 　　図１　　　　　　　　　　　　　　　　　　　図２　　　　　　　　　　　　　　　　　　図３
図１は，透明な単位胞の底面中央に正8面体の上半分が見える様子です．この正8面体の残りの下半分は，見えませんが立方体の底面を突き抜けて存在します．
周期的な空間ですから，透明な箱（単位胞）の天井と床は同じもので，天井から箱内に向かって存在とイメージすると良いです．
単位胞内の底面の4隅には正8面体の1/8が見えます．この正8面体の残りの部分は，周期的な空間なので，図２のように立方体の壁を突き抜けて存在します．
図１のように並んだ正８面体の間隙には正4面体が４つ入ります（図３）．

 　　図4　　　　　　　　　　　　　　　　　　　図5　　　　　　　　　　　　　　　　　図6

透明な単位胞の６つの面に，半割の正8面体を図4のように貼りつけました．単位胞内に6つの半割正8面体が入っています．単位胞の中心で，これら６つの半割正8面体の頂点が出会い，正8面体は稜を共有してつながります．
単位胞の中に含まれる正8面体の数は，半割正8面体6個と単位胞の8つの隅に1/8の正8面体がある（6×1/2＋8×1/8）ので4個です．
図4をよく見ると，単位胞の内部にあるこの多面体（注）には8個の正4面体の間隙があることがわかります．従って，このような単位胞が繰り返される空間は，充填される正8面体と正4面体の個数比は1:2です．
注）半割の正8面体6つと，正4面体８つでできる多面体は，半正多面体｛3,4,3,4｝です．

■テープをこのように結ぶと正5角形ができることが知られていますが
なぜでしょうね．証明してください．

右の図は正5角形の外形と内部の対角線でできる星形が見えます．
対角線と正５角形の辺は平行で，赤く着色したものがテープであり，
テープの一方の端が対角線の星形を，もう一つの端が5角形の辺を
交互に入れ替えながら描くことが，軌跡を辿ってみれば確かめられます．
私は，正5角形であることの証明をどのようにしたらできるか
まだ考えたことがありません．案外難しそうです．
どうぞ良い証明ができたらここで教えてください．
いずれにしても，正５角形になることは，対称性から明らかです．
「この5角形の図形には，5回回転対称性があるので，この5角形は正5角形だ」
と言うのは如何ですか．一目でこの5角形は5回回転対称だとわかります．
これなら面倒なことを言わずにすむので，対称性は非常に強力な概念です．
このような論法をいろいろな所で使いたいのですが，乱暴ですか皆様どう思ますか．
■紙を2つ折りにすると折り目が直線になることを証明してください．
これも当たり前なのに，証明が面倒な問題です．
この問題に対する私の解答は，「対称性から明らかである」と言っておきます．

2018年もあと数日になりました．今年も，いろいろなことがありました．
おつき合いいただき有難うございました．
皆様にとって，2019年は良い年になりますように．
数学と社会の架け橋＝数学月間の会からのお知らせです．この会を，
数学好きの同好会ではなく，分野横断的な市民活動にしたいと思っております．
社会でどのような数学が使われているのか？
上滑りでも言葉遊びでもなく，基礎を踏まえ本質をとらえた，見通しの良い説明で，そこにある数学に気づくことを目指します．
特定非営利活動法人「数学月間の会」が，来年早々スタートし，会員募集をする予定です．多くの皆様のご参加を呼びかけます．

■球に近い正20面体は，５つの正多面体（プラトン立体）のうちで，
最も対称性が高い（面の数が多い）もので，正３角形の面が20個でできています．
正多面体とは，正多角形（正p角形）の面でできていて，どの頂点の周りも同数の面（q個の面）が会している立体です．この立体を，シュレーフリの記号で｛p,q｝と記述します．
正多面体（プラトン立体）は，正4面体{3,3}，正8面体{3,4}，正6面体{4,3}，正12面体{5,3}，正12面体{3,5}の５つしかないことは証明できますから，
面数20より多い正多面体が存在するはずはありません．
しかし，例えばゴルフ球のディンプルはいくらでもたくさん作れるように思えなす．
正多面体の面を分割し続けると，いくらでも球に近い正多面体が作れるように思うかもしれません．しかし，そのようなことが可能なはずがありません．
ここで作るいくらでも球に近い多面体は，面が正多角形からわずかに歪むので，正多面体ではないのです．
正20面体の１つの正3角形の面を４つの三角形に細分化します．このとき，中心の三角形は正3角形ですが，その周りの3つの3角形は正3角形から歪むのを確認ください．
以下，細分化の操作を繰り返すたびに，面の数は4倍ずつ増加します．そして，細分化された面で正3角形のものは，初めの正20面体の面の中心にあるものだけです．
だから，正20面体を細分化して，球に近い多面体を作っても，その対称性は正20面体と同一（細分化しても対称性は上昇しません）．素性は隠せないのです．細分化された多面体の面は正3角形ではないので，細分化でできる多面体は正多面体ではありません．
（この細分化で用いたjavaプログラムは郡山彬氏が作成しました）

私はいくつかのゴルフ球のディンプルを調べましたが，
正多面体{4,3}の細分化の系列と，{5,3}の系列のものがありました．

「美しい図形と奇妙な空間」
 
東京ジャーミイ（代々木上原，東京）にある装飾です．左写真は祭壇の横にあります．
イスラム特有の美しい複雑な図形です．右の写真はステンドグラスです．
これらの図形の美しさの原因の一つは，これらの図形が黄金比だらけだからでしょう．

もう一つの原因は，折りたたまれた空間のような不思議感じがあるからでしょう．
図の一番左は辺の長さが黄金比の2等辺三角形です．
つまり底辺を１とすると，等しい２辺は1.618...
真ん中の図は，正5角形の中にできる星形で，
星の頂角は黄金比の三角形にでてくる頂角36°と同じです．
一番右の図は，この星型とこの星型を180°回転したものを重ね合わせたものです．
東京ジャーミイの美しい図形は，星形を２つ重ね合わせたものになっているのに
お気づきでしょうか．

星形を2つ重ねた図形の対称性はどのように記述しましょうか．
まず，星形の対称性は．点群5mです（５は5回回転対称軸，mは鏡映面）．
重ねた図形には，2回回転対称軸２があるので部分群として点群２を含みます．
結局，２つの点群の直積として2⊗5m＝10mmの点群になります．
あるいは，星形5mを「法」にすると，10回回転操作（36°の回転）は
｛１，10(mod5m)｝のような，位数2の点群としても理解できます．
この考え方は，奇妙なもので，36°回転を2回続けると元の星形に重なるから
振り出しに戻ったと見なすわけで，我々の3次元ユークリッド空間では
360°回転しないと元に戻らないのですが，この奇妙な空間があるとすると
2x36°＝72°回転すると元に戻ることになります．

菱形12面体が見える万華鏡を作りましょう．少し厚手（0.25mmとか0.31mm）のミラー紙（B5版）が手に入ると，簡単に作れます．
菱形12面体とは図１のような形で，空間を隙間なく埋め尽くすことのできる形でもあります．
菱形面ABA'B'を底面にして，立体の中心Oを結んだピラミッドADA'B-Oが，
中心のまわりに12個集まるとできる立体です．

①　ピラミッドABA'B-Oの側面OAB，OBA'，OA'B，OB'Aを鏡面にした万華鏡を作ります．非対称領域1/12
②　ピラミッドABA'B-Oの半分のABB'-OやABA'-Oでも万華鏡が作れます．非対称領域1/24
③　さらにそれらの半分のABH-Oも万華鏡が作れます．非対称領域1/48

菱形12面体の内部には立方体が含まれますので，
立方体の１辺を2とすると，菱形面ABA'B'の対角線の半分の長さは，
AH=1，BH=√2で，OH=√2，OA＝√3，OB=2となります．

                          図 1　                                                                            図2

 底面（＝菱形面ABA'B'）と頂点（立体の中心O）を結びピラミッドABA'B'-Oを作ります．ピラミッドの内面を鏡面とし，外部（ピラミッドの底側）から頂点Oを覗く万華鏡です．
ピラミッドABA'B'-O，あるいは，底面が直角3角形ABHのピラミッドABH-Oの2種類の万華鏡ができます．ピラミッドの各所の寸法は図２に示します．この寸法を用いて，作った展開図を図3a，bに示します．どちらの展開図でも，Oの周りのグレーに塗った部分は切り取り，窓（＝光の面）を開けます．それぞれの転開図で端辺どうし（左図ではOA'，右図ではOB）を，それぞれ貼り合わせると完成（写真は図4a，b）です．

展開図のグレーに塗った部分は切り取りる．

図3a,　図3b
実際に作る寸法はこの4倍位にすると良い．

完成した万華鏡の外側．鏡面はピラミッドの内側．

図4a　　　図4b

（a)および(b)に対応する万華鏡像

■２つの万華鏡はどちらも菱形12面体像が見えます．図4aのピラミッドには図4bが４つ入ります（図4bの非対称領域は図aの1/4）ので，図4bの万華鏡の方が「菱形面に2mmの対称性があり」，図4aの万華鏡より対称性は高いのです．

■菱形12面体の見える他の万華鏡の例は，⇒ここに掲載します．

「雪は天から送られた手紙（中谷宇吉郎）」という言葉がありますが，雪の結晶が生まれ・成長した気圏の状況により，様々な形の雪片が観察できます．これらの写真の中で，絶対にありえない雪の結晶が２つあります．どれとどれでしょうか？

 （以下は，追補）
雪片の形の対称性は6mmです．これは雪（氷）の結晶の内部構造（分子配列）が外に反映されたものです．以下に氷の結晶構造の2次元模式図を示します．水分子はH2O(酸素原子O●の両側に水素原子H●が結合し，その結合角度は約120°）で，両端の水素原子は，隣の分子の酸素原子と弱い相互作用（水素結合）をしています．そのためこのような6mmの対称性の結晶になります．

（注）雪片（雪の結晶）の形は，デンドライトという形です．
これは，比較的速く結晶が成長するときにできます．
金平糖も似たような現象で出来るデンドライトといえますが，
1粒の金平糖全体で砂糖結晶の方位が揃った単結晶というわけでは
ないので，それが雪の結晶とは違うところです．

東京ジャーミイの礼拝ホール

　祭壇の方向（西）に向かって礼拝

東京ジャーミイは，東京，代々木上原にあります．トルコ文化センターも併設されています．
この地には，昔，ロシアカザン州から避難したトルコ人によりモスクが建てられていました．
私の子供の頃，近隣の者は「マジスト寺院」と呼んでいた風情のあるモスクでした．
老朽化のため1986年に取り壊され，東京トルコ人協会の人々が中心になり，
東京ジャーミイの建設が1998年から始まり2000年に完成しました．
トルコから送られた資材を用い，オスマントルコ様式で設計され，2階の礼拝場のドームが印象的です．仕上げにはトルコ人建築家や職人が100人もかかったそうです．
毎日礼拝が行われコーランの声が流れます．特に金曜日には300人以上のイスラムの人々が礼拝に訪れます．皆，西に向かって絨毯にすわり礼拝します．ステンドガラスに西日が入ると，青い光線が，青緑色のカーペットに重なり，とても美しい光で溢れます．
イスラム教は偶像崇拝をしません．幾何学的な完璧な規則で描かれた模様が
宇宙を作った神の原理を思わせるのでしょう．
スペイン，グラナダのアルハンブラ宮殿の，さまざまな幾何学的な繰り返し模様を
表現したタイルは美しいので有名ですが，ここ東京ジャーミイも東アジアでもっとも美しいモスクと言われます．ここで見られるいくつかの幾何学模様を取り上げ鑑賞しましょう．

説教壇

 
東京ジャーミイ（代々木上原，東京）にある装飾です．写真左Fig.1は説教壇の横にある装飾です．写真右Fig.2はステンドグラスです．
どちらも複雑な図形ですが美しい．
これらの図形の構成を調べて見ましょう．

　　Fig.1　　　　　　　　　　　　　　　　　Fig.2　
■Fig.1の図形の構成を，以下のFIg.3で説明します．
Fig.3の一番左は辺の長さが黄金比の2等辺三角形です．
つまり底辺を１とすると，等しい２辺は1.618...，頂角は36°，両底角は72°です．
真ん中の図は，正5角形の中にできる星形で，
星の頂角は黄金比の三角形にでてくる頂角36°と同じです．
一番右の図は，この星型とこの星型を180°回転したものを重ね合わせたものです．
東京ジャーミイの美しい図形Fig.1には，星形を２つ重ね合わせたものが中心にあることに，お気づきでしょうか．

Fig.3

Q:星形をこのように重ね合わせた図形の対称性は？
A:まず，星形の対称性は．点群5mです（５は5回回転対称軸，mは鏡映面）．
2回回転対称軸２が生じるように重ね合わせたので，
重ね合わせた星形の対称性は，結局，2⊗5m＝10mmの点群になります．
あるいは，星形の点群5mを「法」にすると，10回回転操作（36°の回転）は
｛１，10(mod5m)｝のような，位数2の対称操作として理解できます．
注）数学の言葉を使うと，次のように表現されます．
点群10mmは，点群5m（これは点群10mm内の正規部分群）を核として，
群｛1,10(mod5m)｝に準同型．
この考え方は，奇妙なもので，36°回転を2回続けると元の星形に重なるから
これを振り出しに戻ったと見なすと，我々の3次元ユークリッド空間では
360°回転しないと元に戻らないのに，この奇妙な空間では，
2x36°＝72°回転すると元に戻ることになります．
■Fig.2のステンドグラス窓の模様は，繰り返し模様の一部です．
この繰り返し模様をFig.5に再現してみました．

　　　　　　　Fig.4　　　　　　　　　　　　　Fig.5

「正5角形と180°回転した正5角形を重ね合わせた」星型パーツ（点群10mm）を内角が108°と72°の菱形を単位胞とする格子に配置して（Fig.4）繰り返し模様を作ります(Fig.5）です．
この菱形格子は正6角形（正3角形）のように見えますが，
上下の方向が左右の方向に比べてすこし長く，歪んでいます．
正5角形や正10角形（どちらも最低でも5回対称性がある）を周期的に並べることは不可能ですから，5回対称性が全域で支配するような格子はできません．「正5角形とその180°回転したものを重ね合わせた」星型パーツの対称性（10mm）は，そのパーツの内部だけを支配する（局所的）ものです．
この繰り返し模様の対称性（平面群）には，2回軸と水平および垂直に鏡映面があり，記号でいうとP2mmの対称性です．

■エッシャーのトリック（引用先：コクセター論文）

M.C.エッシャーの「極限としての円」Circle limit IIIを鑑賞しましょう（図左）．
この円盤内は双曲幾何の世界（ポアンカレの円盤モデル）です．
この円盤内を旅する人は，円の縁（世界の果て）に近づくほど時間がかかる．
つまり，［世界の果てに到達するには無限の時間がかかる］ようになっています．
この世界で定義される直線（最短時間で移動できる経路）は，円盤世界の縁で直交する円弧です．
エッシャー作品（図（左））の円盤は，魚の流れを示す白い線で分割された双曲面の
[4,3,4,3,4,3]分割のように見えますが，実は図（中）に示すような，黒い線で分割した{8,3}正則分割です．
白い線は，双曲幾何の円盤世界の縁に80°で交差し，直線ではないのです．
図（中）の正8角形の黒い線がこの円盤世界の直線であることは，図（中）に書き込んだ赤い円弧
（いずれも円盤縁で直交する円弧）を見れば理解できるでしょう．
 

双曲平面の正８角形タイルは，双曲平面の直線（円盤の縁で直交する円弧）で囲まれています．
タイルの大きさは円盤の縁に行くほど小さく見えますが，円盤内は無限に広い双曲幾何平面なのですべて同じ大きさです．
１つのタイルの中には4匹の魚がおり中心に4回軸があります．
正8角形の頂点には3回軸があり，魚の白い流れは3回軸の場所に集まっています．
エッシャーは｛8,3｝分割に用いる直線をわざと隠し，白い流れが分割であるようなトリックを見せます．
もちろん，白い流れの円弧（直線ではない）に関して鏡映対称はありません．