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数学月間SGK通信 ［2015.11.17］ No.089
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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非ユークリッド幾何の双曲幾何平面を訪ねて見ようと思います．
エッシャーの作品で「極限としての円」シリーズを見たことがおありでしょうか．
円盤の世界で周辺に行くほど，どんどん小さくなって行く構図です．
この作品は双曲幾何のポアンカレ円盤モデルを使い，
円盤内の正則分割（コクセターの万華鏡）が基礎になっています．
正多角形タイルによるタイル張り（正則分割という）は，
双曲幾何平面の場合は無限にあります．
例として，{6,4}と{5,4}を掲載しますので，まずはご鑑賞ください．
　http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/568613/02/17100202/img_0_m?1447229525
（注）
ポアンカレの双曲幾何のモデルは，円盤の中にすべての宇宙があります．
宇宙の果て（円盤のフチ）に近づけば近づくほど自分もどんどん小さくなるので
いつまでたっても宇宙の果てに到達できません（無限の時間がかかります）．

{6,4}は正6角形による双曲幾何平面の正則分割で，各頂点に4個の正6角形が集まっています．
円盤の中は双曲幾何の世界ですから，この世界の直線は円盤のフチに直交する円弧です．
正6角形の辺はすべて直線です．円盤の中に描かれた円弧は皆，縁と直交しており，
この世界ではすべて直線です．円盤の中の正6辺形はすべて同じ大きさです．
同様に，{5,4}の図は正5角形による双曲幾何平面の正則分割の例です．
　http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/568613/02/17100202/img_1_m?1447686193

例えば，赤い円弧で分けられた世界は左が大きく右が小さいようですが，
この円盤内の世界では同じ広さです．どちらの世界も無限に広い．
円弧は左右の世界を写し合う鏡です．鏡像は色が変るように市松模様に塗り分けました．