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数学月間SGK通信 ［2015.12.15］ No.093
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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ネットでこのような美しい正八角形の箱を見つけました．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/99/17162399/img_0_m?1450074719

このなかに以下のような図形が見られます．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/99/17162399/img_1_m?1450074719

一番外側の大きな正8角形の内に一回り小さな正8角形が
含まれています．そしてその正8角形の内に，さらに一回り小さい
正８角形が見えます．
この調子で，内部に作図を続けていくなら，どんどん小さな正8角形が
含まれて行きます．そのようなどんどん繰り込まれていく図形は
フラクタル図形です．
一回り小さくなる度に，その相似比はどのくらいでしょうか？
外側周は直角2等辺3角形でできていますからすぐわかると思います．
１：√2－1　が答えの相似比ですね．

外側を以下のように星形にすると
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/99/17162399/img_2_m?1450074719

レオナルドの星形8角形が得られます．
外側の星形と内部の星形の相似比は，やはり
１：√2－１　です．
老婆心ながら，この比率を√2＋1倍して
√2＋１：１
が相似比だと答えても正解です．

■私も折り紙でこの箱を作製してみました．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/99/17162399/img_3_m?1450104156

以下のサイトに作り方が出ていますのでご参考まで．
同じ部品を作っておいて組み立てるこのような作り方を
ユニット折り紙というそうです．
正方形の千代紙が8枚必要です（フタ側の半身で）．
ただし，中心の白く見える部分は千代紙の裏側ですから
これが嫌な方は両面印刷の千代紙か，贅沢ですが
背中合わせで2枚重ねの千代紙を使うと良いでしょう．
折り紙では，45度や45度の半分の角度は簡単に作れます．
今回の箱作りでもそのような折り方（下写真）を使います．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/545271/99/17162399/img_4_m?1450104156

■作り方は以下のサイトを参考にしました
https://www.youtube.com/attribution_link?a=CJItUT4Igow&u=/watch?v=RbSiETOOac4&feature=share
八角形の折り紙箱 1/2
http://origamisho.com/archives/1412
セツの折り紙処