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数学月間SGK通信 ［2016.02.09］ No.101
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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対称性が高いとか低いとか言いますが，これはいったいどのようなことでしょうか．
正方形の対称性4mmに限定して話を進めます．その他の平面図形についてはブログをご覧ください，

正方形の対称性（点群）は，4mmと表記されます．この記号中の４は，図形の中心にある4回回転対称軸です．
4回回転対称とは，図形を90°回転しても初めの状態と全く変わらないという図形の状態です．
このような操作を4回繰り返すと1回転しますから4回回転軸という名称が付きました．
４回回転対称の対称操作の数は，90°，180°，270°，360°＝0°の回転の４つがあります．
正方形の形に対する鏡映対称操作は，横辺の中点を結んだ鏡と，縦辺の中点を結んだ鏡の2枚（青色），
および対角線の方向に2分する2枚（赤色）の合計4枚があります．
前者の2枚の鏡は，4回軸の操作で互いに移り変われ，後者（対角線方向の2枚）の鏡同士も同様です．
しかしながら，前者の鏡と後者の鏡とは4回軸の操作で互いに移り変わることができませんから，
前者と後者は種類の異なる鏡です．そこで，正方形の対称性（点群）の記述では，
4mmというようにm［鏡（mirror）の意］を２つ並べて書きます（注）．
（注）正五角形は5mですが，5枚の鏡は5回軸で互いに変換されますので，１種類の鏡（赤の鏡）しかないからです．

点群4mmの対称操作（要素）の数（群の位数と呼ばれる）は，全部で8個になります．
対称性が高いとは，群の位数が大きいことですが，対称要素が次々に減じていく系列のなかで考えます．
これから説明しようとしているのは，それぞれの群の下に含まれる部分群の系統図についてです．
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/568615/22/17246222/img_4_m?1454724698

正方形の系列で最も対称性の高い4mmには，４回軸と2種類（赤色と青色）の鏡がありました．
回転対称軸の対称性が下がって（４→2→１）行ったり，鏡映面がなくなったりして，
対称性の高い点群から対称性の低い点群（部分群）が得られます．
赤や青の矢印で結ばれたものは，群と部分群の関係にあります．
図表には，それぞれの点群の対称性を一目でわかる図形で表現しました．

対称要素の数（群の位数）をrとすると，各図形の1/rの領域（緑に塗った）を
対称操作で広げて全体を作ることができます．
つまり，対称性の高い図形ほどこの領域は小さくて済みます．