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数学月間SGK通信 ［2016.11.08］ No.140
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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前回の予告したペンローズ・タイル張りの後編です．
(2)正5角形のフラクタル配置からペンローズ・タイリングを作る
図をご覧ください
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/568616/07/17050507/img_4_m?1478536819
正5角形の周囲に正5角形を配置し，一回り大きな正５角形
［平面を隙間なく埋められないのでギャップはあります］を作ります．
これを単位とし，さらに一回り大きな正5角形の内に並べます．
このような操作を次々繰り返すと，全平面に広がる正5角形のフラクタル配置ができます．
ギャップがたくさんできますが，気にしないで配置を進めます．
実は，これらのギャップの中も正五角形（白色）で埋めれば，
最終的には，王冠型や星型のギャップのみが残されることになります．
この図には，この操作を3回繰り返したところまで載せました．

この図をよく見ると，2種類のタイル（黄色と青色の菱形）で置き換えて，
隙間なく平面を張り詰めることがわかります．
黄色いタイル（太った菱形），青いタイル（痩せた菱形）の中の
正5角形のフラクタル配置の名残を参考にしてください．
説明図は
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/568616/07/17050507/img_6_m?1478536819

このように置き換えると，よく知られたペンローズ・タイリングと同じであることがわかります．
図
http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/568616/07/17050507/img_5_m?1478536819

ここで作ったペンローズ・タイリングには，中心に5回回転対称が残っていますが，
中心の回転対称を消す配置も可能です．