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この式を証明していきたいと思います。n桁の数字を$$(x_n),(y_n),(z_n)$$とすると、

$$ (x_n)=(10^n-4)/6 $$

$$(y_n)=(10^n)/2$$

$$(z_n)=(10^n-1)/3$$

と表せる。元記事より

$$ x_{n}^{3}+y_{n}^{3}+z_{n}^{3}=10^{2n}x_{n}+10^{n}y_{n}+z_{n} $$

を証明すれば良いことがわかる。

$$x_{n}^{3}+y_{n}^{3}+z_{n}^{3}＝((10^{n}-4)/6)^{3}+(10^{n}/2)^{3}+((10^{n}-1)/3)^{3}$$

$$ {10^{2n } }x_{n}+10^{n}y_{n}+z_{n}=10^{2n}(10^{n}-4)/6+10^{n}10^{n}/2+(10^{n}-1)/3 $$
$$=10^{3n}/6-10^{2n}/6+10^{n}/3-1/3$$

ゆえに

$$(x_n)^3+(y_n)^3+(z_n)^3＝{10^(2n)}(x_n)+(10^n)(y_n)+(z_n)$$

が成立する。

大まかなものだとこういう感じです。