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数学月間SGK通信 ［2017.11.14］ No.193
<<数学と社会の架け橋＝数学月間>>
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皆様お変わりありませんか．MRI(核磁気共鳴イメージング)の話です．
私は，今年は2回MRIの測定をし，9月末に手術をしましたが，今は絶好調です．
MRIを撮ったことのある方もおられることでしょう．あのカタカタだのビーだの
ほとんど冗談かと思うようなふざけた音がしますが，1.5T（テスラ）という強い磁場の中で
装置が動くためにあたかもスピーカーと同じように振動する装置の出す音です．
それにしてもなんとかならないものか，
振動しないように作るにも，今でも何トンという重量ですから無理でしょう．
一方，画像の分解能を良くすれば，測定時間は増えるのが常識ですが，
分解能を上げて，かつ，測定時間も短縮できる「圧縮センシング」という数学的な方法があります．
その前に，今日はMRIの装置の仕組みについてお話します．
■プロトン（水素の原子核）はスピンを持ち,磁石の性質（核磁気）があります．
強い静磁場下に置かれたプロトン核磁気は，磁場に沿ってだいたい向きが揃い，
歳差運動している状態です．歳差運動の周波数（ラーモア周波数という）は，
磁場が強いほど高く，MRI装置の静磁場は1.5T程度と超強力なので，
ラーモア周波数は６４ＭＨｚ（ラジオ電波の周波数領域）程度です．
静磁場下のプロトンに，このラーモア周波数の電波が照射されると吸収共鳴が起こり，
核磁気の歳差運動の振幅（周波数は変わらない）が増大しほとんど横倒しの状態で回転
（古典論的なイメージ）しています．
一方，歳差運動をしているプロトン核磁気からは同じ周波数の電波が放射されるので，
これを検出することができます．
■生体組織は，水をはじめ水素原子と結合したいろいろな組織です．
つまり，プロトン（水素の原子核）核磁気は組織の至る所に分布していて，
その水素の属する組織の環境（診断情報）がそのプロトン核磁気の性質に反映されています．
すなわち，核磁気の歳差運動の縦緩和，横緩和という現象に，そのプロトンが含まれる水素周囲の違いが出ます．
緩和というのは，電波の照射を止めると，励起されていた核磁気の歳差運動が定常状態に戻ることで，
静磁場方向の核磁気成分の復元緩和を「縦緩和」，静磁場に垂直面内の成分の減衰緩和を「横緩和」といいます．
組織の各点で，これらの緩和定数を測定し，マップに表示できれば，
診断に役立つ組織の特徴を反映したイメージングになります．
■さて，組織画像の位置情報はどのようにして得られるのでしょうか．
これがなければ画像として見ることができません．
断層測定をするには，検出器に到来する電波が，
１つのスライス平面から来るものだけ集める必要があります．
このためには，静磁場の他に傾斜磁場を印加します．
傾斜磁場はさきほどの静磁場とは別で，ペアのコイルによって発生する
（数十mT/m程度の強さ）もので，静磁場方向をｚ軸とするとz方向に沿って変化する傾斜磁場，
x方向に沿って変化する傾斜磁場，y方向に沿って変化する傾斜磁場の3種類があります．
傾斜磁場があると，空間内で磁場の大きさが一定になるのは平面になります．
例えば，静磁場方向と同じz方向の傾斜磁場を印加すると，磁場一定の平面はz軸に垂直な平面です．
プロトン核磁気のラーモア周波数は，磁場の強度に比例するので，
共鳴吸収する電波の周波数をスキャンすれば，
z軸に垂直な各断層平面に並ぶ核磁気からの電波を順次採取することができます．
次に，各断層面内の(x,y)位置情報はどのように得るかというと，
断層内のプロトンの歳差運動を励起した後に，x傾斜磁場，引き続きy傾斜磁場の印加を行います．
x傾斜磁場印加でx軸に沿って歳差運動の周波数が変化し，その場所から放射される電波のx座標情報
（周波数エンコーディング）が得られます．
ｘおよびｙ傾斜磁場の印加でy軸に沿って歳差運動の位相が変化し，
y座標情報（位相エンコーディング）が得られます．
傾斜磁場を印加して，空間の位置情報を得，画像化を可能にしたのは，
Lautergur（1972）の発明で，2003年のノーベル賞を受賞しました．
■緩和時間の測定は，歳差運動の励起後，照射電波を切って行うので，
立ち上がり時間も考慮した電波照射の複雑なパルスシークエンスになり，
256x256画素の測定でもかなりの時間を要します．高分解能画像を得るには，
正攻法ではさらに細分化した画素数の測定が必要になり膨大な測定時間になるでしょう．
これを解決し，MRIの高分解能かつ高速化を実現したのは，
以下で言及する予定の「圧縮センシング」という数学方法です．