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立方格子の空間を見る万華鏡は，立方体の単位胞内の対称面を鏡に選び4枚鏡の万華鏡を作ります．
立方体にある対称面には立方体の正方形面に平行なものや，正方形の面と45°方位のものがあります．
上図の万華鏡では，（１）△ABC，△ABO，△ACO，△BCOを鏡映面にした万華鏡，（２）△ACO，△ACD，△AOD，△DCOを鏡映面にした(1)の半分体積の万華鏡，（３）△ABO'，△ABO，△AO'O，△BO'Oを鏡映面にした(1)の2倍体積の万華鏡を示しました．それら３つの万華鏡の作製と映像の記事は別項

これらは，3次元ユークリッド空間の「立体万華鏡」の例です．（上の写真は「美しい幾何学」p.47より引用）

ここでは，ユークリッド空間だけでなく，非ユークリッド空間（球面･楕円幾何，双曲幾何）の3角形面を用いた多面体についてまとめて数学の話をします．

正多面体の面のなす角（二面角）の話から始めます．凸正多面体Mとその頂点の１つを中心とする小球がよぎる線は，凸球面正多角形を形成します．
頂点から$${q}$$本の辺が出ているとすると，凸球面多角形の頂角（辺の二面角）の和は$${π(q-2)}$$よりも大きい．
正多面体Mのすべての二面角が$${π/2}$$を超えない（たとえば，コクセター多面体）場合，各頂点から出る辺は3本だけであることがわかります．この最後の性質を持つ多面体を単純多面体と呼びます．４面体や立方体は単純多面体ですが，８面体は単純多面体ではありません．

しかし，この単純な不等式だけでは，凸多面体の二面角の関係を網羅することはできません．最も単純なMが三角錐の場合について考えてみましょう．その面に番号をつけ，$${i}$$ 番目と$${ j}$$ 番目の面のなす角を $${α_{ij} = α_{ji } }$$ とします．ユークリッド三角錐の二面角が次の関係にあることは，線形代数によって簡単に証明できます．

$$
\begin{vmatrix}
1 & -\textrm{cos}\alpha _{12} & -\textrm{cos}\alpha _{13 } &
-\textrm{cos}\alpha _{14 } \\[0mm]
-\textrm{cos}\alpha _{12} & 1 & -\textrm{cos}\alpha _{23} &
-\textrm{cos}\alpha _{24} \\[0mm]
-\textrm{cos}\alpha _{13} & -\textrm{cos}\alpha _{23} & 1 &
-\textrm{cos}\alpha _{34} \\[0mm]
-\textrm{cos}\alpha _{14} & -\textrm{cos}\alpha _{24} &
-\textrm{cos}\alpha _{34} & 1
\end{vmatrix} =0
$$                                                

左辺の行列式は，ピラミッドの面に対する単位法線ベクトルのグラム行列式［ベクトルの内積が成分］で，０に等しいのは，これらのベクトルが線形従属であることによります．

注）二面角を$${α}$$とすると，対応する面の法線ベクトルの内積は，$$\textrm{cos}(π-α)＝-\textrm{cos}α$$となります．
試しに，ユークリッド三角形とすると，$${α_{12}＝α_{1}, α_{13}＝α_{2}, α_{23}＝α_{3 } }$$　になり，

$$
\begin{vmatrix}
1 & -\textrm{cos}\alpha_{1} & -\textrm{cos}\alpha_{2} \\[0mm]
-\textrm{cos}\alpha_{1} & 1 & -\textrm{cos}\alpha_{3} \\[0mm]
-\textrm{cos}\alpha_{2} & -\textrm{cos}\alpha_{3} & 1
\end{vmatrix} =0
$$

この簡単な場合からは，$${α_{1}＋α_{2}＋α_{3}＝π}$$　が得られます．

証明（Andreevより）

$$
\begin{vmatrix}
1 & -\textrm{cos}\alpha _{1} & -\textrm{cos}\alpha _{3} \\[0mm]
-\textrm{cos}\alpha _{1} & 1 & -\textrm{cos}\alpha _{2} \\[0mm]
-\textrm{cos}\alpha _{3} & -\textrm{cos}\alpha_{2} & 1
\end{vmatrix} =1-\textrm{cos}^{2}\alpha _{1}-\textrm{cos}^{2}\alpha _{2}-\textrm{cos}^{2}\alpha _{3}+2\textrm{cos}\alpha _{1}\textrm{cos}\alpha _{2}\textrm{cos}\alpha _{3} \\　
=-4\textrm{cos}\left( \displaystyle \frac{\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3 } }{2} \right) \textrm{cos}\left( \displaystyle \frac{-\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3 } }{2} \right) \textrm{cos}\left( \displaystyle \frac{-\alpha _{2}+\alpha _{1}+\alpha _{3 } }{2} \right) \textrm{cos}\left( \displaystyle \frac{-\alpha _{3}+\alpha _{1}+\alpha _{2 } }{2} \right)
$$

$$
=\begin{cases}
>0 & \Longleftrightarrow & \alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}>\pi \\[0mm]
=0 & \Longleftrightarrow & \alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}=\pi \\[0mm]
<0 & \Longleftrightarrow & \alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}<\pi
\end{cases}
$$

なぜならば，
$${0<\alpha _{1}, \alpha _{2}, \alpha _{3}<\pi /2}$$なので，$${-\pi <-\alpha _{i}+\alpha _{j}+\alpha _{k}<\pi}$$，$${\textrm{cos}\left( \displaystyle \frac{-\alpha _{i}+\alpha _{j}+\alpha _{k } }{2} \right) >0}$$であり，
従って，式の$${ \pm }$$は，$${\textrm{cos}\left( \displaystyle \frac{\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3 } }{2} \right) }$$の$${ \mp }$$で決まる（複合同順）．

始めに示した関係式は，先に導いた不等式と合わせて，二面角$${α_{ij } }$$を持つ三角錐がユークリッド空間に存在するための必要十分条件となります．これを利用すると，二面角が$${π/}$$整数であるユークリッド空間の三角錐をすべて求めることができ，その数は3つです．図7で，マークのない辺の二面角は$${π / 2}$$，マーク|あるいは||のついた辺の二面角は，それぞれ，$${π / 3}$$または$${π / 4}$$です．図7のピラミッドのうち，1つ目のピラミッドを対称面によって切断すると2つ目のピラミッドが得られ，2つ目のピラミッドを対称面で切断すると3つ目のピラミッドが得られます．

 

 

 

 

 

3次元ユークリッド空間には，この3つの万華鏡のほかに，ある意味で2次元に還元された万華鏡が4つだけあります．これは、直角プリズム（3角柱）の底面が2次元の万華鏡であるものです．

3次元ユークリッド万華鏡は，結晶学と密接な関係があります．このような万華鏡の中にいくつかの原子を配置し，万華鏡の壁で繰り返し反射させ得られる像をすべて調べると，結晶格子を得ることができます．つまり，図7に示した万華鏡のうち，1番目の万華鏡で，炭素原子Cを図に示した2つの頂点に置くとダイヤモンドの結晶格子が得られ，2番目の万華鏡で，ナトリウムNaと塩素Clの原子を図に示した頂点に置くと，食塩の結晶格子が得られます．

3次元球面上の万華鏡をすべて見つけることも難しくありません．このすべてが，球面三角錐です．この場合，ユークリッド平面から球面に移るとき，三角形の内角の和が$$π$$より大きくなるので，始めに示した式の等号が不等号$$>$$に置き換えられます．

引用：
E. B. Vinberg, published in the "Soros Educational Journal" (1997, No. 2)
«КВАНТ» No6, 2020