2019年5月の記事一覧

Fig.1の円盤内部は双曲幾何の支配する世界で，ポアンカレの円盤モデルと呼ばれます．
この円盤世界の直線は，円盤の縁に直交する円弧です．もちろん，円盤の中心を通る直線は円盤の縁で直交するので，この円盤世界でも直線です．
この円盤世界は，正7角形のタイルが頂点で３つ集まるように敷き詰められています［双曲面の正則分割｛7,3｝］．正7角形の辺は，この双曲世界の直線でできています．
直線に沿って円盤の縁に向かって進んだとすると，自分の世界もどんどん小さくなり縁に到達するには無限の時間がかかるようになっている世界です．
｛7,3｝分割の正7角形のタイルは，円盤の縁に近づくにつれどんどん小さくなっていますが，円盤の中にいる人にとっては全部同じ大きさ（言葉をかえれば円盤内は無限に広い）です．

Fig.1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Fig.2

コクセター万華鏡は，正7角形タイルの中を14個の直角3角形(7,3,2)に分割してできます．この直角3角形の頂点の角度は（π/7，π/3，π/2）ですから，直角3角形(7,3,2)と略記しました．

この直角3角形を鏡室にして作った万華鏡をコクセター万華鏡と呼ぶことにしました．
それは，同様な分割｛6,4｝の論文をコクセターがエッシャーに送って，それがエッシャーの極限としての円の作品を生んだからです．
｛7,3｝分割を直角3角形(7,3,2)のコクセター万華鏡にすると，Fig.2のように3角形のどの頂点周りにも偶数の直角3角形が集まるので，円盤内の世界全体が市松模様になります．

円弧の1つを円柱鏡にして，この円弧で分けられた左世界の像を映し出した実験をした撮影してみましたFig.3．右世界の像は左の世界の鏡像なので，円柱鏡を境として市松模様が逆転しているのがわかるでしょう．
Fig.3