2015年11月の記事一覧

■メビウスの万華鏡とコクセターの万華鏡

■楕円幾何平面の正則タイル張り
球表面が球面正p多角形タイルで{p,q}のように張りつめられているとき，1つのタイルの中を2p個の直角3角形に分割できます．この直角3角形を鏡室とする万華鏡は“メビウスの万華鏡”と名付けます．このときの直角3角形（鏡室）の内角は，それぞれ π/p，π/q，π/2で，この直角3角形を（p,q,2）と表記します．

■双曲幾何平面の正則タイル張り
ポアンカレ円盤の双曲幾何平面でも，双曲正p多角形で{p,q}のように張りつめられているとき，１つのタイルを2p個の直角3角形に分割できます．この直角3角形を鏡室とする万華鏡は“コクセターの万華鏡”と名付けます．
双曲面の｛6,4｝正則分割の場合の直角3角形(6,4,2)(赤い3角形）を図（左）に，対応する“コクセターの万華鏡”の映像を図（右）に示します．

■双曲面{6,4}分割の場合の“コクセターの万華鏡”を作る
双極面{6,4}分割の映像を，3角形の万華鏡で作るには，双曲面直角3角形(6,4,2)を用います．この3角形の2辺は平面鏡，残りの1辺は円盤のフチに直交する円弧鏡よりなります．この円弧鏡は，数学的には反転円として定義できるのですが，現実の円柱鏡の反射には収差があるので，数学の定義のように鮮明な万華鏡映像を作るのは困難です．